Расстояние в прямоугольном треугольнике

Как найти расстояние между двумя точками?

Расстояние в прямоугольном треугольнике

Расстоянием между точками также называют прямую,
у которой одна из точек это начало, а соответственно
другая конец. Найти расстояние между этими
двумя точками, значит найти длину прямой,
связывающей точки.

Есть много разных способов найти расстояние между
двумя точками, но самый универсальный, на мой взгляд,
это найти расстояние взяв за основу Теорему Пифагора.
Исходя из этой теоремы, можно сказать, что в нашем
случае расстоянием(прямой), является гипотенуза,
а чем тогда являются точки, сейчас разберемся.

Формулировка великой Теоремы Пифагора звучит так:
в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен
сумме квадратов катетов. Или же кратко, формулой:
( c^2 = a^2 + b^2 ) где c — это гипотенуза, a и b — катеты.

Формулировка этой теоремы применяется почти всегда и везде,
где нужно найти расстояние от чего-то до чего-то. Сейчас, мы
используя эту теорему найдем расстояние между точками.

Итак, для примера возьмем точки с координатами
первой точки — x1 = 0; y1 = 4, второй точки — x2 =3; y2 = 0.
Как же нам теперь выразить точки через катеты a и b ?
Читайте дальше, все гениальное просто.

Расстояние в прямоугольном треугольнике Расстояние в прямоугольном треугольнике

На рисунке 1 мы изобразили для наглядности
прямоугольный треугольник, с координатами
которые мы взяли для примера. На рисунке 2
тот же самый прямоугольный треугольник,
только без координат! Эти два прямоугольных
треугольника идентичные, поэтому вернемся
к Теореме Пифагора.

Заменяем длины катетов a и b, из Теоремы Пифагора,
на разность координат точек. ​Взгляните на формулу,
которая получилась:

Подставляем наши координаты:

В итоге получилось, что расстояние в нашем примере
равно 5(корень из 25). Как видите все просто, и вы можете
смело применять эту формулу, решая не только задачи,
но и на практике, находя расстояние зная только две точки.

Видео:Определить расстояние от точки С до прямой АВ. Метод прямоугольного треугольника.Скачать

Определить расстояние от точки С до прямой АВ. Метод прямоугольного треугольника.

Свойства высоты прямоугольного треугольника

В данной публикации мы рассмотрим основные свойства высоты в прямоугольном треугольнике, а также разберем примеры решения задач по этой теме.

Примечание: треугольник называется прямоугольным, если один из его углов является прямым (равняется 90°), а два остальных – острые ( Содержание скрыть

Видео:Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскостиСкачать

Определение кратчайшей расстоянии от точки до плоскости

Свойства высоты в прямоугольном треугольнике

Свойство 1

В прямоугольном треугольнике две высоты (h1 и h2) совпадают с его катетами.

Расстояние в прямоугольном треугольнике

Третья высота (h3) опускается на гипотенузу из прямого угла.

Свойство 2

Ортоцентр (точка пересечения высот) прямоугольного треугольника находится в вершине прямого угла.

Свойство 3

Высота в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе, делит его на два подобных прямоугольных треугольника, которые также подобны исходному.

Расстояние в прямоугольном треугольнике

Аналогичным образом доказывается, что ∠ABD = ∠DAC.

Свойство 4

В прямоугольном треугольнике высота, проведенная к гипотенузе, вычисляется следующим образом:

1. Через отрезки на гипотенузе, образованные в результате ее деления основанием высоты:

Расстояние в прямоугольном треугольнике

Расстояние в прямоугольном треугольнике

2. Через длины сторон треугольника:

Расстояние в прямоугольном треугольнике

Расстояние в прямоугольном треугольнике

Данная формула получена из Свойства синуса острого угла в прямоугольном треугольнике (синус угла равен отношению противолежащего катета к гипотенузе) :

Расстояние в прямоугольном треугольнике
Расстояние в прямоугольном треугольнике

Расстояние в прямоугольном треугольнике

Примечание: к прямоугольному треугольнику, также, применимы общие свойства высоты, представленные в нашей публикации – “Высота в треугольнике abc: определение, виды, свойства”.

Видео:Расстояние от точки до плоскостиСкачать

Расстояние от точки до плоскости

Пример задачи

Задача 1
Гипотенуза прямоугольного треугольника поделена высотой, проведенной к ней, на отрезки 5 и 13 см. Найдите длину этой высоты.

Решение
Воспользуемся первой формулой, представленной в Свойстве 4:

Расстояние в прямоугольном треугольнике

Задача 2
Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найдите длину высоты, проведенной к гипотенузе.

Решение
Для начала найдем длину гипотенузы по теореме Пифагора (пусть катеты треугольника – это “a” и “b”, а гипотенуза – “c”):
c 2 = a 2 + b 2 = 9 2 + 12 2 = 225.
Следовательно, с = 15 см.

Теперь можно применить вторую формулу из Свойства 4, рассмотренного выше:

Видео:Лекция 1. Точка на прямой. Метод прямоугольного треугольникаСкачать

Лекция 1. Точка на прямой. Метод прямоугольного треугольника

Как найти стороны прямоугольного треугольника

Видео:Определение кратчайшей расстояние от точки до плоскости способом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение кратчайшей расстояние от точки до плоскости способом замены плоскостей проекции

Онлайн калькулятор

Расстояние в прямоугольном треугольнике

Чтобы вычислить длины сторон прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

  • для гипотенузы (с):
    • длины катетов a и b
    • длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
  • для катета:
    • длину гипотенузы (с) и длину одного из катетов
    • длину гипотенузы (с) и прилежащий к искомому катету (a или b) острый угол (β или α, соответственно)
    • длину гипотенузы (с) и противолежащий к искомому катету (a или b) острый угол (α или β, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
    • длину одного из катетов (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)

Введите их в соответствующие поля и получите результат.

Найти гипотенузу (c)

Найти гипотенузу по двум катетам

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны оба катета (стороны a и b)?

Формула

следовательно: c = √ a² + b²

Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 3 см, а катет b = 4 см:

c = √ 3² + 4² = √ 9 + 16 = √ 25 = 5 см

Найти гипотенузу по катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а прилежащий к нему ∠β = 60°:

c = 2 / cos(60) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равна гипотенуза (сторона с) если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равна гипотенуза прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а противолежащий к нему ∠α = 30°:

c = 2 / sin(30) = 2 / 0.5 = 4 см

Найти гипотенузу по двум углам

Найти гипотенузу прямоугольного треугольника только по двум острым углам невозможно.

Найти катет

Найти катет по гипотенузе и катету

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и второй катет?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а катет b = 4 см:

a = √ 5² — 4² = √ 25 — 16 = √ 9 = 3 см

Найти катет по гипотенузе и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и прилежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 5 см, а ∠α = 60°:

b = 5 ⋅ cos(60) = 5 ⋅ 0.5 = 2.5 см

Найти катет по гипотенузе и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известны гипотенуза и противолежащий к искомому катету острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если гипотенуза c = 4 см, а ∠α = 30°:

a = 4 ⋅ sin(30) = 4 ⋅ 0.5 = 2 см

Найти катет по второму катету и прилежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и прилежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет b прямоугольного треугольника если катет a = 2 см, а ∠β = 45°:

b = 2 ⋅ tg(45) = 2 ⋅ 1 = 2 см

Найти катет по второму катету и противолежащему к нему острому углу

Чему равен один из катетов прямоугольного треугольника если известен другой катет и противолежащий к нему острый угол?

Формула
Пример

Для примера посчитаем чему равен катет a прямоугольного треугольника если катет b = 3 см, а ∠β = 35°:

🎥 Видео

Определение расстояния от точки до плоскости треугольникаНатуральная величина расстоянияСкачать

Определение расстояния от точки до плоскости треугольникаНатуральная величина расстояния

№202. Точка удалена от каждой из вершин прямоугольного треугольника на расстояние 10 см. На какомСкачать

№202. Точка удалена от каждой из вершин прямоугольного треугольника на расстояние 10 см. На каком

Определить расстояние от точки до плоскости (от точки D до плоскости треугольника ABC)Скачать

Определить расстояние от точки до плоскости (от точки D до плоскости треугольника ABC)

Расстояние от точки до плоскостиСкачать

Расстояние от точки до плоскости

Геометрия 7 класс (Урок№26 - Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№26 - Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми.)

№199. Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этогоСкачать

№199. Точка S равноудалена от вершин прямоугольного треугольника и не лежит в плоскости этого

10 класс, 19 урок, Расстояние от точки до плоскостиСкачать

10 класс, 19 урок, Расстояние от точки до плоскости

Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольникеСкачать

Найти расстояние между центрами описанной и вписанной окружностей в прямоугольном треугольнике

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекцииСкачать

Определение натуральной величины треугольника АВС методом замены плоскостей проекции

№143. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 смСкачать

№143. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника ABC равно 4 см

№155. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника ABCСкачать

№155. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника ABC

№172. Катет АС прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С лежит в плоскости α, а уголСкачать

№172. Катет АС прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С лежит в плоскости α, а угол

Как найти расстояние от точки до прямойСкачать

Как найти расстояние от точки до прямой

Геометрия Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найти расстояние между точкамиСкачать

Геометрия Катеты прямоугольного треугольника равны 9 и 12 см. Найти расстояние между точками

7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямымиСкачать

7 класс, 38 урок, Расстояние от точки до прямой. Расстояние между параллельными прямыми
Поделиться или сохранить к себе: