Положение материальной точки м задано радиус вектором найти расстояние м т м от начала координат

Главная > Документ

Видео:Лекция 4.1 | Радиус-вектор, скорость и ускорение | Александр Чирцов | ЛекториумСкачать

1. МЕХАНИКА

1.1. Кинематика

1.1.1. Краткие теоретические сведения

Положение материальной точки в пространстве задается

радиус-вектором ,

где – единичные векторы направлений (орты);

x, y, z – координаты точки (рис. 1.1.1).

Абсолютное значение радиус-вектора .

Кинематические уравнения движения :

(в векторной форме)

или (в координатной форме) , где t – время.

Уравнение траектории может быть получено из кинематических уравнений координат исключением времени.

Средняя скорость , где – перемещение материальной точки за время  t .

Средняя скалярная (путевая) скорость: , где – путь, пройденный точкой за время .

Мгновенная скорость , ,

где – проекции скорости на оси координат.

Абсолютное значение скорости .

Ускорение ,

где – проекции ускорения на оси координат.

Абсолютное значение ускорения .

При криволинейном движении ускорение можно представить как сумму нормальной и тангенциальной составляющей

. Абсолютное значение этих ускорений: ,

где R – радиус кривизны в данной точке траектории.

Путь где – модуль скорости; и – начальный и конечный моменты времени, соответствующие пройденному пути.

Перемещение ,

где – векторы, соответствующие начальному и конечному положениям материальной точки.

Кинематические уравнения равнопеременного движения ()

,

где – начальная скорость.

Положение твердого тела (при заданной оси вращения) определяется углом поворота (или угловым перемещением)  . Кинематическое уравнение вращательного движения  = f ( t ).

Средняя угловая скорость = / t ,

где  – изменение угла поворота за интервал времени  t . Мгновенная угловая скорость .

Угловое ускорение .

Кинематические уравнения равнопеременного вращения (  = const ) ,

где  0 – начальная угловая скорость.

Связь между линейными и угловыми величинами, характеризующими вращение материальной точки, выражается следующими формулами (рис. 1.1.3 и 1.1.4):

.

Рис. 1.1.3 Рис. 1.1.4

.1.2. Методические указания

В кинематике следует различать прямую и обратную задачи. В прямой задаче необходимо получить закон движения, если известны скорость, либо ускорение. В этих случаях используют формулы п. 1.1.1, предварительно проанализировав условие задачи. При анализе необходимо установить начальные условия и записать их в форме дополнительных уравнений. Начальные условия служат для определения констант интегрирования скорости или ускорения.

Систему координат необходимо выбирать в зависимости от условий задачи, чтобы математическое решение было упрощено. Во многих случаях этому требованию удовлетворяет декартова система координат.

Следует обратить внимание на то, что законы движения в координатной форме содержат не путь, проходимый движущимся телом, а только его координаты.

В обратных задачах задается закон движения, из которого скорость и ускорение находятся простым дифференцированием.

Как правило, закон движения удобно записывать либо в координатной форме, либо в векторной как изменение радиус-вектора материальной точки или центра масс системы в зависимости от координат и времени.

1.2. Динамика

1.2.1. Краткие теоретические сведения

Уравнение движения материальной точки (второй закон Ньютона)

в векторной форме , или при m = const , ,

где – векторная сумма внешних сил, действующих на материальную точку; m – масса; – ускорение;

– импульс; N – число внешних сил действующих на точку.

В координатной форме (скалярной): , , ,

где под знаком суммы стоят проекции сил на соответствующие оси координат.

C ила упругости ,

где – коэффициент упругости (жесткость в случае пружины); x – абсолютная деформация.

Сила гравитационного взаимодействия ,

где G – гравитационная постоянная;

и – массы взаимодействующих тел, рассматриваемых как материальные точки;

– расстояние между ними.

Сила трения скольжения ,

где  – коэффициент трения скольжения; N – сила нормальной реакции.

1.2.2. Методические указания

При решение задач данного раздела используются законы Ньютона. При этом особое внимание надо уделять анализу сил, действующих на рассматриваемое тело. Он должен включать: происхождение сил – в результате взаимодействия с каким телом возникла данная сила; природу сил – тяготение, упругость, трение; характер – от каких величин и как зависит данная сила.

Уравнение второго закона Ньютона следует записывать в векторной форме, а затем проецировать его на оси системы координат, выбранной в зависимости от условий задачи.

Законы Ньютона справедливы только для инерциальных систем отсчета. Почти во всех рассматриваемых задачах систему отсчета, связанную с Землей, можно считать инерциальной, если пренебрегать ее ускорением относительно системы неподвижных звезд. Отсюда вытекает ограничение в выборе системы отсчета: она не должна иметь ускорения относительно Земли.

При описании движения тел, связанных между собой, второй закон Ньютона целесообразно применять к каждому телу в отдельности, установив предварительно связь между координатами и кинематическими параметрами этих тел. При этом часто приходится накладывать дополнительные условия на характер связей.

1.3. Законы сохранения

1.3.1. Краткие теоретические сведения

1. Координаты центра масс системы материальных точек

; ; ,

где m – масса i — ой материальной точки; , , – ее координаты.

2. Закон сохранения импульса выполняется в замкнутой системе и записывается в виде: , где N – число материальных точек (или тел), входящих в систему.

3. Работа, совершаемая постоянной силой : ,

где  – угол между направлениями векторов силы и перемещения .

4. Мощность: , где – работа, совершаемая за промежуток времени .

5. Кинетическая энергия материальной точки (или тела, движущегося поступательно): .

6. Потенциальная энергия упруго деформированного тела (сжатой или растянутой пружины): , где – жесткость пружины, х – величина деформации.

7. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия двух материальных точек (или тел) массами m 1 и m 2 , находящихся на расстоянии r друг от друга: .

8. Потенциальная энергия тела, находящегося в однородном поле силы тяжести : , где h – высота тела над уровнем, принятым за начало отсчета потенциальной энергии.

9. Закон сохранения энергии в механик е выполняется в замкнутой системе, в которой действуют только консервативные силы, и записывается в виде: .

1.3.2. Методические указания

Используя законы сохранения (импульса, энергии), можно найти связь между параметрами движения тела (координатами, скоростями) или системы тел в различных состояниях. В некоторых случаях, когда характер сил взаимодействия (закон изменения силы со временем, время взаимодействия) неизвестен, только законы сохранения позволяют найти по известным параметрам (координаты, скорости) системы в одном состоянии ее параметры в другом состоянии. Подобная ситуация, в частности, имеет место при кратковременных взаимодействиях, таких как удар, взрыв и т. п.

Решение задачи необходимо начинать с анализа сил, действующих на каждое тело системы. Такой анализ должен показать, целесообразно ли рассматривать каждое тело в отдельности либо систему тел; возможно ли к выбранной системе применять тот или иной закон сохранения.

Закон сохранения импульса можно применять, строго говоря, только к замкнутым системам, т. е. к системам тел, на которые не действуют внешние силы (либо векторная сумма внешних сил равна нулю). Природа внутренних сил не является существенной, к числу этих сил могут, например, относиться и силы трения.

При составлении уравнений на основании закона сохранения импульса следует обращать внимание на то, что скорости всех рассматриваемых тел должны определяться относительно одной и той же системы отсчета, а также на векторный характер закона.

Использование закона сохранения полной механической энергии предполагает консервативность рассматриваемой системы. И это условие обязательно необходимо проверять.

Если энергия системы включает потенциальную энергию тел во внешнем консервативном поле, то можно говорить о законе сохранения энергии одного тела, находящегося во внешнем консервативном поле, в частности, в поле тяжести Земли. Подобное рассмотрение предполагает, что расчеты производятся в системе отсчета, связанной со вторым телом, в данном случае с Землей.

При определении изменения энергии следует обращать внимание на то, что изменение потенциальной энергии тела во внешнем консервативном поле равно работе сил поля, взятой с обратным знаком. Сама потенциальная энергия не может быть вычислена без предварительного выбора начала отсчета потенциальной энергии.

1.6. Элементы механики жидкостей

1.6.1. Краткие теоретические сведения и методические

указания к решению задач

Используется единый подход к изучению жидкостей и газов, т. к. в ряде механических явлений их поведение определяется одинаковыми параметрами и идентичными уравнениями. Поэтому пользуются единым термином «жидкость».

1. Давление жидкости – скалярная физическая величина, определяемая нормальной поверхностной силой, действующей со стороны жидкости на единицу площади:

, , , Па = Н/м 2 .

2. Закон Паскаля : жидкость (или газ) передает производимое на нее поверхностными силами внешнее давление по всем направлениям без изменения.

3 . Закон Архимеда : на тело, погруженное в жидкость (газ), действует со стороны жидкости направленная вверх сила, равная весу жидкости, объем которой совпадает с объемом погруженной в жидкость части тела:

, ,

где  – плотность жидкости, V – объем погруженной в жидкость части тела.

Жидкость, плотность которой с изменением давления не изменяется, называется несжимаемой.

4. Давление в жидкости .

– давление на свободной поверхности жидкости, часто оно равно атмосферному.

В точке А , погруженной в жидкость на высоту h , давление равно р (рис. 1.6.1) ,

где – гидростатическое давление.

6. Уравнение Бернулли для стационарного течения идеальной несжимаемой жидкости:

,

где – полное давление, р – статическое давление, – гидростатическое давление, – динамическое давление.

7. Идеальная жидкость – физическая абстракция – жидкость, в которой отсутствуют силы внутреннего трения.

Формула Торричелли , определяющая скорость истечения идеальной жидкости через малое отверстие в открытом широком сосуде:

,

где h – глубина, на которой находится отверстие относительно свободной поверхности жидкости в сосуде.

Контрольное задание состоит из двух частей:

1 часть – задания открытого типа, необходимо не только выбрать единственный правильный ответ, но и дать пояснение к его решению.

2 часть – задания закрытого типа, необходимо представить подробное решение.

1.1. Физическая теория объяснила все известные в данной области физики явления и предсказала существование новых, неизвестных ранее явлений. Каким образом эта теория может быть опровергнута?

1. Созданием новой теории, предсказывающей другие неизвестные явления.

2. Теория будет опровергнута, если при проведении эксперимента предсказанные ею новые явления не будут обнаружены.

А. Только 1. Б . Только 2. В . Или 1, или 2. Г . Ни 1,ни 2. Д . Такая теория не может быть опровергнута.

1.2. На горизонтально движущуюся ленту транспортера соскальзывают кирпичи. Скорость ленты транспортера относительно Земли , скорость кирпича векторы и направлены параллельно. Через какой промежуток времени кирпич станет непо­движным относительно ленты, если коэффициент трения кирпича о ленту равен ?

А . Б. В . Г . Д.

1.3. Цилиндрический сосуд высотой 40 см заполнен водой. В боковой стенке сосуда есть три отверстия. Первое отверстие находится на расстоянии 10 см, второе — на расстоянии 20 см и третье — на расстоянии 30 см от основания сосуда. Если сосуд заполнен водой до верха, то из какого отверстия струя достигнет поверхности, на которой стоит сосуд, в наибольшем удалении от стенки сосуда?

А . Из первого. Б. Из второго. В. Из третьего. Г . Из первого и третьего. Д. Из всех трех одинаково.

1.4. В какую фазу Луны приливы в земных океанах и морях достигают максимального значения?

А. Только в полнолуние. Б. Только в новолуние. В . В полнолуние и новолуние. Г . В первую и последнюю четверть. Д. Высота прилива не зависит от фаз Луны.

1.5. Какую примерно силу нужно приложить к малому поршню гидравлического подъемника для подъема автомобиля массой 1000 кг, если площадь малого поршня 10 см 2 , площадь большого поршня 0,1 м 2 ?

А. 100 кг. Б. 10 кг. В . 1000 Н. Г . 100 Н. Д. 10 6 Н.

Видео:Радиус векторСкачать

МЕХАНИКА

Видео:2.4. Радиус-вектор и вектор перемещенияСкачать

ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ

Кинематика материальной точки

В кинематике движение тел рассматривают формально, без объяснения причин и характера изменения движения и, следовательно, не используют ни понятие силы F, ни понятие массы т тела.

Простейшей физической системой является либо одна материальная точка, либо их относительно небольшая совокупность.

Положение материальной точки относительно какой-либо системы отсчета в произвольный момент времени t определяется радиусом- вектором r-r(t) (рис. 2.1). Если ввести единичные векторы (орты) Т,],к , направленные по соответствующим осям (OX, OY, OZ), то радиус- вектор г можно представить в виде

где x(f), y(f), z(t) — компоненты радиуса-вектора г.

Одновременное задание трех функций x(t), y(t) и z(t) эквивалентно заданию одной векторной функции г от скалярного аргумента t. Уравнение (п.2.1) называют законом движения материальной точки. Таким образом, закон движения (п.2.1) определяет положение материальной точки в любой момент времени.

Вектор скорости v = <v_v(/), v_v(/), v_(/)> и вектор ускорения a = <a_x(t),a_y(t),a_:(t) определяются через соответствующие производные:

Закон движения (п.2.1) является фундаментальным в кинематике. Зная этот закон, можно определить другие физические величины, характеризующие движение материальной точки, например компоненты вектора скорости v, ускорения а и т.д.:

Следовательно, с законом движения (п.2.1) связана основная задача кинематики. Формально этих задач две: прямая и обратная. Прямая основная задача кинематики заключается в нахождении любого параметра движения по известному закону движения. Она решается путем последовательного применения основных законов кинематики (п.2.1-п.2.3). Обратная задача кинематики состоит в определении закона движения по какому-либо известному параметру движения (вектора скорости v или ускорения а). Обратная задача значительно труднее прямой. Рассмотрим примеры прямой и обратной задач кинематики.

Пример 2.1. Определить модуль скорости материальной точки в момент времени t = 2 с, если точка движется по закону г = аг/ +

+ (3sin( nt)j, где а- 2 м/с 2 , (3 = 3 м.

Решение. Физический анализ . Физическая система состоит из одного идеального объекта — материальной точки. Задан формально закон ее движения. Следовательно, рассматриваемая задача — прямая задача кинематики (по известному закону движения определить один из параметров движения, в данном случае — модуль вектора скорости). Используя известный закон движения, находим, что компоненты радиуса-вектора r(t) следующие:

Таким образом, материальная точка движется в плоскости XOY, поэтому каждый из векторов г, v и а имеет две компоненты. По определению вектора скорости из уравнений (п.2.2), (п.2.4), (п.2.6) и (п.2.7) получаем компоненты вектора скорости:

Отсюда находим искомый модуль вектора скорости

Подставив численные значения, получим v ж 12,4 м/с.

* Вводную часть физического анализа будем проводить неполностью. Поэтому слова «физический анализ» после слова «решение» означают, что проводится основная часть метода анализа физической ситуации задачи (выбор и анализ физической системы, исследование физического явления и т.д.).

Пример 2.2. Ускорение материальной точки изменяется по закону а — at 2 ! — Р / , где а = 3 м/с 4 , (3 = 3 м/с 2 . Найти, на каком расстоянии от начала координат она будет в момент времени t = 1 с, если v₀ = О и Р₀ = О при t = О.

Решение. Из условия задачи видно, что материальная точка движется в плоскости XOY. Для того чтобы определить, на каком расстоянии от начала координат она находилась в момент времени t — 1 с, необходимо знать закон ее движения. Таким образом, перед нами обратная задача кинематики: дан какой-то параметр движения (в данном случае ускорение а), надо определить закон движения F = r(t) и далее найти модуль радиус-вектора |r I в момент времени t = 1 с. Сначала определим вектор скорости из уравнения (п.2.3):

Это векторное дифференциальное уравнение эквивалентно двум дифференциальным уравнениям:

Разделяя переменные и интегрируя, получим компоненты вектора скорости: Учитывая начальные условия (v_v = 0, v_v = 0 при t = 0), находим значения

ПРОИЗВОЛЬНЫХ ПОСТОЯННЫХ С — 0 и с₂ = 0.

Далее из системы дифференциальных уравнений

определяем компоненты x <t)и y <t)радиуса-вектора ?<t): где сз и с₄ — произвольные постоянные.

Учитывая начальные условия (х = 0, у — 0 при t = 0), из системы (п.2.9) находим, что Сз = с₄ = 0. Закон движения найден:

По формуле для модуля радиуса-вектора определяем искомое расстояние материальной точки от начала координат в момент времени t = 1 с:

Анализ решения. Зная закон движения, можно найти любой параметр, характеризующий движение материальной точки, и, следовательно, поставить и решить множество других кинематических задач. Сформулируем, например, задачу о нахождении траектории данной материальной точки: по заданному ускорению а — at 2 ! — р / 11 тем же начальным условиям (их можно изменить) определить траекторию материальной точки. После того как будет получен закон движения (и.2.10), траектория определится из системы уравнений

Исключив из этой системы время /, можно найти уравнение траектории. Совокупность методов решения прямой и обратной задач кинематики составляет сущность кинематического метода, о котором упоминалось в и. 1.2.3.

Видео:Консультация к устному экзамену. Механика. Часть 1: "Движение материальной точки"Скачать

Тема 1.6. Основные понятия кинематики

§1. Кинематика точки. Введение в кинематику.

Кинематикой (от греческого «кинема» — движение) называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.

Основной задачей кинематики является нахождение положения тела в любой момент времени, если известны его положение, скорость и ускорение в начальный момент времени.

Механическое движение — это изменение положения тел (или частей тела) относительно друг друга в пространстве с течением времени.

Для определения положения движущегося тела (или точки) в разные моменты времени с телом, по отношению к которому изучается движение, жестко связывают какую-нибудь систему координат, образующую вместе с этим телом систему отсчета.

Тело отсчета — тело (или группа тел), принимаемое в данном случае за неподвижное, относительно которого рассматривается движение других тел.

Система отсчета — это система координат, связанная с телом отсчета, и выбранный способ измерения времени (рис. 1).

Рис.1. Система отчета

Изображать систему отсчета будем в виде трех координатных осей (не показывая тело, с которым они связаны).

Движение тел совершается в пространстве с течением времени. Пространство в механике мы рассматриваем, как трехмерное евклидово пространство.

Время является скалярной, непрерывно изменяющейся величиной. В задачах кинематики время t принимают за независимое переменное (аргумент). Все другие переменные величины (расстояния, скорости и т. д.) рассматриваются как изменяющиеся с течением времени, т.е. как функции времени t.

Для решения задач кинематики надо, чтобы изучаемое движение было как-то задано (описано).

Кинематически задать движение или закон движения тела (точки) — значит задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени.

Основная задача кинематики точки твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих дан­ное движение.

Положение тела можно определить с помощью радиус-вектора или с помощью координат.

Радиус-вектор точки М — направленный отрезок прямой, соединяющий начало отсчета О с точкой М (рис. 2).

Координата х точки М — это проекция конца радиуса-вектора точки М на ось Ох. Обычно пользуются прямоугольной системой координат Декарта. В этом случае положение точки М на линии, плоскости и в пространстве определяют соответственно одним (х), двумя (х, у) и тремя (х, у, z) числами — координатами (рис. 3).

Рис.2. Радиус-вектор

Рис.3. Координаты точки М

Материальная точка — тело, размерами которого в данных условиях можно пренебречь.

Этой моделью пользуются в тех случаях, когда линейные размеры рассматриваемых тел много меньше всех прочих расстояний в данной задаче или когда тело движется поступательно.

Поступательным называется движение тела, при котором прямая, проходящая через любые две точки тела, перемещается, оставаясь параллельной самой себе. При поступательном движе­нии все точки тела описывают одинаковые траектории и в любой момент времени имеют одинаковые скорости и ускорения. Поэтому для описания такого движения тела достаточно описать движение его одной произвольной точки.

В дальнейшем под словом «тело» будем понимать «материальная точка».

Линия, которую описывает движущееся тело в определенной системе отсчета, называется траекторией. Вид траектории зависит от выбора системы отсчета.

В зависимости от вида траектории различают прямолинейное и криволинейное движение.

Путь s — скалярная физическая величина, определяемая длиной траектории, описанной телом за некоторый промежуток времени. Путь всегда положителен: s> 0.Единицы измерения в системе СИ: м (метр).

Перемещение тела за определенный промежуток времени — направленный отрезок прямой, соединяющий начальное (точка М₀) и конечное (точка М) положение тела (см. рис. 2):

где и — радиус-векторы тела в эти моменты времени.Единицы измерения в системе СИ: м (метр).

Проекция перемещения на ось Ох: ∆r_x =∆х = х-х₀, где x₀ и x — координаты тела в начальный и конечный моменты времени.

Модуль перемещения не может быть больше пути: ≤s.

Знак равенства относится к случаю прямолинейного движения, если направление движения не изменяется.

Зная перемещение и начальное положение тела, можно найти его положение в момент времени t:

Видео-урок «Механическое движение»

§2. Способы задания движения точки

Для задания движения точки можно применять один из следую­щих трех способов:

1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.

1. Векторный способ задания движения точки.

Пусть точка М движется по отношению к некоторой си­стеме отсчета Oxyz. Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор , проведенный из на­чала координат О в точку М (рис. 4).

Рис.4. Движение точки М

При движении точки М вектор будет с течением времени изме­няться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргу­мента t:

Равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.

Геометрическое место концов вектора , т.е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.

2. Координатный способ задания движе­ния точки.

Положение точки можно непосредственно опре­делять ее декартовыми координатами х, у, z (рис.4), которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон дви­жения точки, т.е. ее положение в пространстве в любой момент вре­мени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т.е. знать зависимости

Уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

3. Естественный способ задания движе­ния точки.

Рис.5. Движение точки М

Естественным способом задания движения удобно пользоваться в тех слу­чаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ явля­ется траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz (рис.5) Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О’, которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицатель­ное направления отсчета (как на координат­ной оси).

Тогда положение точки М на тра­ектории будет однозначно определяться криволинейной коорди­натой s, которая равна расстоянию от точки О’ до точки М, изме­ренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка М перемещается в положения M₁, М₂. . следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться.

Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость s=f(t).

§3. Вектор скорости точки

Одной из основных кинематических характеристик движе­ния точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Понятие скорости точки в равномерном прямолинейном движении относится к числу элементарных понятий.

Скорость — мера механического состояния тела. Она характеризует быстроту изменения положения тела относительно данной системы отсчета и является векторной физической величиной.

Единица измерения скорости – м/с. Часто используют и другие единицы, например, км/ч: 1 км/час=1/3,6 м/с.

Движение точки называется равномерным, если приращения радиуса-вектора точки за одинаковые промежутки времени равны между собой. Если при этом траекторией точки является прямая, то движение точки называется прямолинейным.

Для равномерно-прямолинейного движения ∆r=v∆t, где v – постоянный вектор скорости.

Из соотношения видно, что скорость прямолинейного и равномерного движения является физической величиной, определяющей перемещение точки за единицу времени.

🎥 Видео

Координаты точки и координаты вектора 1.Скачать

Как построить точки в системе координат OXYZСкачать

Кинематика материальной точки за 20 минут (кратко и доступно) Кинематика точкиСкачать

Лекция №1 "Кинематика материальной точки" (Булыгин В.С.)Скачать

Движение точки тела. Способы описания движения | Физика 10 класс #2 | ИнфоурокСкачать

Определение параметров движения по заданному радиус-вектору. Векторный способ задания движения.Скачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Траектория и уравнения движения точки. Задача 1Скачать

Векторы и действия над ними, проекция вектора на координатные оси. 9 класс.Скачать

Расстояние от точки до плоскости / Вывод формулыСкачать

Движение материальной точки по окружности | Физика ЕГЭ, ЦТСкачать

ЕГЭ по математике. Профильный уровень. Задание 7. Закон движения. ПроизводнаяСкачать

Движение тела, брошенного под углом к горизонтуСкачать

Кинематика точки Задание К1Скачать

Урок 18 (осн). Координаты тела. График движения. График скоростиСкачать

Лекция №01 "Кинематика материальной точки" (Попов П.В.)Скачать