- Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор
- Покоординатное сложение векторов.
- Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма.
- Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.
- Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом.
- Тема1.2. Плоская система сходящихся сил
- ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СУММЫ ВЕКТОРОВ НА ОСЬ
- АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТИ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
- УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
- Условие равновесия в геометрической форме.
- Условие равновесия в аналитической форме.
- 🔥 Видео
Видео:10 класс, 41 урок, Сумма нескольких векторовСкачать
Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор
- скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д.
- векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д..
Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.
Покоординатное сложение векторов.
Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:
В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.
Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов:
При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:
- правило параллелограмма
- правило треугольника
- тригонометрический способ
Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:
|
Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:
|
Результирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:
Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:
|
Пример — сложение векторов.
Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80 o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.
Результирующая сила вычисляется следующим образом:
Fрез = [ (5 кН) 2 + (8 кН) 2 — 2 (5 кН)(8 kН) cos(180 o — (80 o )) ] 1/2
Угол между результирующей силой и первой силой равен:
А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as
α = arcsin [ (5 кН) sin(180 o — (80 o )) / (10,2 кН) ]
Он-лайн калькулятор сложения векторов.
Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.
Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team
Видео:8 класс, 43 урок, Сумма двух векторовСкачать
Тема1.2. Плоская система сходящихся сил
§1. Геометрический способ сложения сил
Решение многих задач механики связано с известной из векторной алгебры операцией сложения векторов и, в частности, сил. Величину, равную геометрической сумме сил какой-нибудь системы, будем называть главным вектором этой системы сил. Понятие о геометрической сумме сил не следует смешивать с понятием о равнодействующей, для многих систем сил, как мы увидим в дальнейшем, равнодействующей вообще не существует, геометрическую же сумму (главный вектор) можно вычислить для любой системы сил.
Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется или последовательным сложением сил системы по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника. Второй способ является более простым и удобным. Для нахождения этим способом суммы сил
(рис. 1, a), откладываем от произвольной точки О (рис. 1, б) вектор Oa, изображающий в выбранном масштабе cилу F1, от точки a откладываем вектор
, изображающий силу F2, от точки b откладываем вектор bc, изображающий силу F3 и т. д.; от конца m предпоследнего вектора откладываем вектор mn, изображающий силу Fn. Соединяя начало первого вектора с концом последнего, получаем вектор
, изображающий геометрическую сумму или главный вектор слагаемых сил:
От порядка, в котором будут откладываться векторы сил, модуль и направление не зависят. Легко видеть, что проделанное построение представляет собою результат последовательного применения правила силового треугольника.
Рис.1. Система сил
Фигура, построенная на рис. 1,б, называется силовым (в общем случае векторным) многоугольником. Таким образом, геометрическая сумма или главный вектор нескольких сил изображается замыкающей стороной силового многоугольника, построенного из этих сил (правило силового многоугольника). При построении векторного многоугольника следует помнить, что у всех слагаемых векторов стрелки должны быть направлены в одну сторону (по обводу многоугольника), а у вектора
— в сторону противоположную.
Сходящимися называются силы, линии действия которых пересекаются в одной точке, называемой центром системы (см. рис. 1, а).
По следствию из первых двух аксиом статики система сходящихся сил, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна системе сил, приложенных в одной точке (на рис. 1, а в точке А).
Последовательно применяя аксиому параллелограмма сил, приходим к выводу, что система сходящихся сил имеет равнодействующую, равную геометрической сумме (главному вектору) этих сил и приложенную в точке их пересечения. Следовательно, если силы
сходятся в точке A (рис. 1, а), то сила, равная главному вектору , найденному построением силового многоугольника, и приложенная в точке А, будет равнодействующей этой системы сил.
Примечания.
1. Результат графического определения равнодействующей не изменится, если силы суммировать в другой последовательности, хотя при этом мы получим другой силовой многоугольник — отличный от первого.
2. Фактически силовой многоугольник, составленный из векторов сил заданной системы, является ломаной линией, а не многоугольником в привычном смысле этого слова.
3. Отметим, что в общем случае этот многоугольник будет пространственной фигурой, поэтому графический метод определения равнодействующей удобен только для плоской системы сил.
§2.Равновесие системы сходящихся сил
Из законов механики следует, что твердое тело, на которое действуют взаимно уравновешенные внешние силы, может не только находиться в покое, но и совершать движение, которое мы назовем движением «по инерции». Таким движением будет, например, поступательное равномерное и прямолинейное движение тела.
Отсюда получаем два важных вывода:
1) Условиям равновесия статики удовлетворяют силы, действующие как на покоящееся тело, так и на тело, движущееся «по инерции».
2) Уравновешенность сил, приложенных к свободному твердому телу, является необходимым, но не достаточным условием равновесия (покоя) самого тела; в покое тело будет при этом находиться лишь в том случае, если оно было в покое и до момента приложения к нему уравновешенных сил.
Для равновесия приложенной к твердому телу системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю. Условия, которым при этом должны удовлетворять сами силы, можно выразить в геометрической или аналитической форме.
1. Геометрическое условие равновесия. Так как равнодействующая сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил, то
Видео:Геометрия 9 класс (Урок№2 - Сумма двух векторов. Законы сложения векторов.)Скачать
ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СУММЫ ВЕКТОРОВ НА ОСЬ
Теорема. Проекция геометрической суммы векторов на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций составляющих векторов на ту же ось.
Пусть дано несколько векторов, например Fv Fv F3 и F4 (рис. 1.2.6) (для упрощения чертежа взяты векторы, расположенные в одной плоскости, но теорема остается верной и в общем случае).
По правилу сложения векторов геометрическая сумма, т.е. равнодействующий вектор ЛЕ = F н, представляет собой замыкающую сторону векторного многоугольника ABCDE, сторонами которого служат составляющие векторы.
Проецируя векторы на ось х, получим F]x = ab, Еъ = Ьс,
Из чертежа видно, что ae = ab + be — cd + de, т.е. что и требовалось доказать.
Данная теорема справедлива для любых векторов и при любом их числе.
Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТИ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
Мы уже знаем, что равнодействующая системы сходящихся сил равна их геометрической сумме. Кроме того, нам известно, что проекция геометрической суммы векторов на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций составляющих векторов на эту же ось.
Так как это положение справедливо для любых векторов, следовательно, проекция равнодействующей системы сходящихся сил на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось.
Обозначая проекции равнодействующей ^равн на координатные оси хну через Fpamx и Fpamy, а проекции составляющих сил на те же оси, как это часто принято, Fx и Fy, получим
Если известны проекции какой-либо силы на две взаимно перпендикулярные оси, в плоскости которых лежит вектор данной силы, то для определения ее модуля и направления можно воспользоваться формулами (1.2.2), (1.2.3). Модуль равнодействующей плоской системы сходящихся сил определяется формулой
Видео:8 класс, 45 урок, Сумма нескольких векторовСкачать
УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ
Любая система сходящихся сил может быть заменена равнодействующей. Ясно, что если такая система сходящихся сил находится в равновесии, т.е. эквивалентна нулю, то равнодействующая должна равняться нулю (FpaBH = 0). Это равенство является необходимым и достаточным условием равновесия системы сходящихся сил.
В зависимости от способа определения равнодействующей условие равновесия плоской системы сходящихся сил может быть выражено в двух формах: геометрической и аналитической.
Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать
Условие равновесия в геометрической форме.
Геометрически равнодействующая сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника. Если равнодействующая равна нулю, то нужно, чтобы равнялась нулю и замыкающая сторона, следовательно, силовой многоугольник замыкается сам на себе. Отсюда получается следующее условие: для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный для этой системы сил, был замкнутым.
На рис. 1.2.7 построен замкнутый силовой многоугольник для находящейся в равновесии плоской системы сходящихся сил Fv F2, F3 и F4. Заметим, что в замкнутом силовом многоугольнике конец вектора последней силы совпадает с началом вектора первой, а стрелки векторов всех сил направлены в одну и ту же сторону.
Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать
Условие равновесия в аналитической форме.
Аналитический модуль равнодействующей определяется по формуле (1.2.4). Но если ^вн = 0, то равно нулю и подкоренное выражение. Так как стоящие под корнем слагаемые как квадраты некоторых (безразлично, положительных или отрицательных) чисел всегда положительны, то Т’равн может равняться нулю только в том случае, если каждое из этих слагаемых равно нулю в отдельности:
Эти уравнения, выражающие собой в аналитической форме необходимые и достаточные условия равновесия сил, называются уравнениями равновесия.
Для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю суммы проекций всех сил на каждую из двух любых взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости действия сил.
🔥 Видео
Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать
82. Сложение двух векторовСкачать
СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать
Что такое вектора? | Сущность Линейной Алгебры, глава 1Скачать
41. Сумма нескольких векторовСкачать
Сумма двух векторов | Геометрия 7-9 класс #79 | ИнфоурокСкачать
18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать
Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать
Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать
Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.Скачать
сложение ВЕКТОРОВ вычитание ВЕКТОРОВ 9 класс геометрия АтанасянСкачать
8 класс, 44 урок, Законы сложения векторов. Правило параллелограммаСкачать
10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторовСкачать