Почему сумма двух или нескольких векторов называется геометрической техническая механика

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.

Видео:10 класс, 41 урок, Сумма нескольких векторовСкачать

10 класс, 41 урок, Сумма нескольких векторов

Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор

В механике существуют два типа величин:

  • скалярные величины, задающие некоторое числовое значение — время, температура, масса и т.д.
  • векторные величины, которые вместе с некоторым числовым значением задают направление — скорость, сила и т.д..

Рассмотрим сначала алгебраический подход к сложению векторов.

Покоординатное сложение векторов.

Почему сумма двух или нескольких векторов называется геометрической техническая механика

Тогда координаты вектора, получившегося при сложении этих двух векторов вычисляются по формуле:

Почему сумма двух или нескольких векторов называется геометрической техническая механика

В двумерном случае все абсолютно анологично, просто отбрасываем третью координату.

Теперь перейдем к геометрическому смыслу сложения двух векторов:

При сложении векторов нужно учитывать и их числовые значения, и направления. Есть несколько широко используемых методов сложения:

  • правило параллелограмма
  • правило треугольника
  • тригонометрический способ

Правило параллелограмма. Сложение векторов по правилу параллелограмма.

Почему сумма двух или нескольких векторов называется геометрической техническая механика

Процедура сложения векторов по правилу параллелограмма заключается в следующем:

  • нарисовать первый вектор, учитывая его величину и направление
  • от начала первого вектора нарисовать второй вектор, также используя и его величину, и его направление
  • дополнить рисунок до параллелограмма, считая, что два нарисованных вектора — это его стороны
  • результирующим вектором будет диагональ параллелограмма, причем его начало будет совпадать с началом первого (а, значит, и второго) вектора.

Правило треугольника. Сложение векторов по правилу треугольника.

Почему сумма двух или нескольких векторов называется геометрической техническая механика

Сложение векторов по правилу треугольника заключается в следующем:

  • нарисовать первый вектор, используя данные о его длине ( числовой величине) и направлении
  • от конца первого вектора нарисовать второй вектор, также учитывая и его размер, и его направление
  • результирующим вектором будет вектор, начало которого совпадает с началом первого вектора, а конец — с концом второго.

Тригонометрический способ. Сложение векторов тригонометрическим способом.

Почему сумма двух или нескольких векторов называется геометрической техническая механикаРезультирующий вектор сложения двух компланарных векторов может быть вычислен с помощью теоремы косинусов:

  • Fрез. = [ F1 2 + F2 2 -2 F1 F2 cos(180 о -α) ] 1/2 (1)
    • где
      • F = числовое значение вектора
      • α = угол между векторами 1 и 2

Угол между результирующим вектором и одним из исходных векторов может быть вычислен по теореме синусов:

  • β = arcsin[ F2 *sin(180 o -α) / FR ] (2)
    • где
      • α = угол между исходными векторами

Пример — сложение векторов.

Сила 1 равна 5кН и воздействует на тело в направлении, на 80 o отличающемся от направления действия второй силы, равной 8 кН.

Результирующая сила вычисляется следующим образом:

Fрез = [ (5 кН) 2 + (8 кН) 2 — 2 (5 кН)(8 kН) cos(180 o — (80 o )) ] 1/2

Угол между результирующей силой и первой силой равен:

А угол между второй и результирующей силой можно посчитать следующим образом: as

α = arcsin [ (5 кН) sin(180 o — (80 o )) / (10,2 кН) ]

Он-лайн калькулятор сложения векторов.

Калькулятор ниже может быть использован для любвых векторных величин ( силы, скорости и т.д.) Точка начала вектора совпадает с началами обоих исходных векторов.

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Видео:8 класс, 43 урок, Сумма двух векторовСкачать

8 класс, 43 урок, Сумма двух векторов

Тема1.2. Плоская система сходящихся сил

§1. Геометрический способ сложения сил

Решение многих задач механики связано с известной из векторной алгебры операцией сложения векторов и, в частности, сил. Величину, равную геометрической сумме сил какой-нибудь системы, будем называть главным вектором этой системы сил. Понятие о геометрической сумме сил не следует смешивать с понятием о равнодействующей, для многих систем сил, как мы увидим в дальнейшем, равнодействующей вообще не существует, геометрическую же сумму (главный вектор) можно вычислить для любой системы сил.

Геометрическая сумма (главный вектор) любой системы сил определяется или последовательным сло­жением сил системы по правилу параллелограмма, или построением силового многоугольника. Второй способ является более простым и удобным. Для нахождения этим способом суммы сил

(рис. 1, a), откладываем от произвольной точки О (рис. 1, б) век­тор Oa, изображающий в выбранном масштабе cилу F1, от точки a откладываем вектор

, изображающий силу F2, от точки b откла­дываем вектор bc, изображающий силу F3 и т. д.; от конца m пред­последнего вектора откладываем вектор mn, изображающий силу Fn. Соединяя начало первого вектора с концом последнего, получаем вектор

, изображающий геометрическую сумму или главный вектор слагаемых сил:

От порядка, в котором будут откладываться векторы сил, модуль и направление не зависят. Легко видеть, что проделанное по­строение представляет собою результат последовательного приме­нения правила силового тре­угольника.

Почему сумма двух или нескольких векторов называется геометрической техническая механика

Рис.1. Система сил

Фигура, построенная на рис. 1,б, называется силовым (в общем случае векторным) многоугольником. Таким обра­зом, геометрическая сумма или главный вектор несколь­ких сил изображается замы­кающей стороной силового многоугольника, построенно­го из этих сил (правило сило­вого многоугольника). При построении векторного многоугольника следует помнить, что у всех слагаемых векторов стрелки должны быть направлены в одну сторону (по обводу многоугольника), а у вектора

— в сторону противоположную.

Сходящимися называются силы, линии дей­ствия которых пересекаются в одной точке, называемой центром системы (см. рис. 1, а).

По следствию из первых двух аксиом статики система сходящихся сил, действующих на абсолютно твердое тело, эквивалентна системе сил, приложенных в одной точке (на рис. 1, а в точке А).

Последовательно применяя аксиому параллелограмма сил, прихо­дим к выводу, что система сходящихся сил имеет равнодей­ствующую, равную геометрической сумме (главному вектору) этих сил и приложенную в точке их пересечения. Следовательно, если силы

сходятся в точке A (рис. 1, а), то сила, равная главному вектору , найденному построением силового мно­гоугольника, и приложенная в точке А, будет равнодействующей этой системы сил.

Примечания.

1. Результат графического определения равнодействующей не изменится, если силы суммировать в другой последовательности, хотя при этом мы получим другой силовой многоугольник — отличный от первого.

2. Фактически силовой многоугольник, составленный из векторов сил заданной системы, является ломаной линией, а не многоугольником в привычном смысле этого слова.

3. Отметим, что в общем случае этот многоугольник будет пространственной фигурой, поэтому графический метод определения равнодействующей удобен только для плоской системы сил.

§2.Равновесие системы сходящихся сил

Из законов меха­ники следует, что твердое тело, на которое действуют взаимно уравновешенные внешние силы, может не только находиться в покое, но и совершать движение, которое мы назовем движением «по инер­ции». Таким движением будет, например, поступательное равномерное и прямолинейное движение тела.

Отсюда получаем два важных вывода:

1) Условиям равновесия статики удовлетворяют силы, действующие как на покоящееся тело, так и на тело, движущееся «по инерции».

2) Уравно­вешенность сил, приложенных к свободному твердому телу, является необходимым, но не достаточным условием равновесия (покоя) самого тела; в покое тело будет при этом находиться лишь в том случае, если оно было в покое и до момента приложения к нему уравнове­шенных сил.

Для равновесия приложенной к твердому телу системы сходя­щихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю. Условия, которым при этом должны удовле­творять сами силы, можно выразить в геометрической или аналити­ческой форме.

1. Геометрическое условие равновесия. Так как равнодействующая сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника, построенного из этих сил, то

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№2 - Сумма двух векторов. Законы сложения векторов.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№2 - Сумма двух векторов. Законы сложения векторов.)

ПРОЕКЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ СУММЫ ВЕКТОРОВ НА ОСЬ

Теорема. Проекция геометрической суммы векторов на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций составляющих векторов на ту же ось.

Пусть дано несколько векторов, например Fv Fv F3 и F4 (рис. 1.2.6) (для упрощения чертежа взяты векторы, расположенные в одной плоскости, но теорема остается верной и в общем случае).

Почему сумма двух или нескольких векторов называется геометрической техническая механика

По правилу сложения векторов геометрическая сумма, т.е. равнодействующий вектор ЛЕ = F н, представляет собой замыкающую сторону векторного многоугольника ABCDE, сторонами которого служат составляющие векторы.

Проецируя векторы на ось х, получим F]x = ab, Еъ = Ьс,

Из чертежа видно, что ae = ab + be — cd + de, т.е. Почему сумма двух или нескольких векторов называется геометрической техническая механикачто и требовалось доказать.

Данная теорема справедлива для любых векторов и при любом их числе.

Видео:Вычитание векторов. 9 класс.Скачать

Вычитание векторов. 9 класс.

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ РАВНОДЕЙСТВУЮЩЕЙ ПЛОСКОСТИ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

Мы уже знаем, что равнодействующая системы сходящихся сил равна их геометрической сумме. Кроме того, нам известно, что проекция геометрической суммы векторов на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций составляющих векторов на эту же ось.

Так как это положение справедливо для любых векторов, следовательно, проекция равнодействующей системы сходящихся сил на какую-либо ось равна алгебраической сумме проекций составляющих сил на ту же ось.

Обозначая проекции равнодействующей ^равн на координатные оси хну через Fpamx и Fpamy, а проекции составляющих сил на те же оси, как это часто принято, Fx и Fy, получим

Почему сумма двух или нескольких векторов называется геометрической техническая механика

Если известны проекции какой-либо силы на две взаимно перпендикулярные оси, в плоскости которых лежит вектор данной силы, то для определения ее модуля и направления можно воспользоваться формулами (1.2.2), (1.2.3). Модуль равнодействующей плоской системы сходящихся сил определяется формулой

Почему сумма двух или нескольких векторов называется геометрической техническая механика

Видео:8 класс, 45 урок, Сумма нескольких векторовСкачать

8 класс, 45 урок, Сумма нескольких векторов

УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ ПЛОСКОЙ СИСТЕМЫ СХОДЯЩИХСЯ СИЛ

Любая система сходящихся сил может быть заменена равнодействующей. Ясно, что если такая система сходящихся сил находится в равновесии, т.е. эквивалентна нулю, то равнодействующая должна равняться нулю (FpaBH = 0). Это равенство является необходимым и достаточным условием равновесия системы сходящихся сил.

В зависимости от способа определения равнодействующей условие равновесия плоской системы сходящихся сил может быть выражено в двух формах: геометрической и аналитической.

Видео:Сложение векторов. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. 9 класс.

Условие равновесия в геометрической форме.

Геометрически равнодействующая сходящихся сил определяется как замыкающая сторона силового многоугольника. Если равнодействующая равна нулю, то нужно, чтобы равнялась нулю и замыкающая сторона, следовательно, силовой многоугольник замыкается сам на себе. Отсюда получается следующее условие: для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный для этой системы сил, был замкнутым.

На рис. 1.2.7 построен замкнутый силовой многоугольник для находящейся в равновесии плоской системы сходящихся сил Fv F2, F3 и F4. Заметим, что в замкнутом силовом многоугольнике конец вектора последней силы совпадает с началом вектора первой, а стрелки векторов всех сил направлены в одну и ту же сторону.

Почему сумма двух или нескольких векторов называется геометрической техническая механика

Видео:ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэСкачать

ВЫЧИТАНИЕ ВЕКТОРОВ ЧАСТЬ I #егэ #огэ #математика #геометрия #профильныйегэ

Условие равновесия в аналитической форме.

Аналитический модуль равнодействующей определяется по формуле (1.2.4). Но если ^вн = 0, то равно нулю и подкоренное выражение. Так как стоящие под корнем слагаемые как квадраты некоторых (безразлично, положительных или отрицательных) чисел всегда положительны, то Т’равн может равняться нулю только в том случае, если каждое из этих слагаемых равно нулю в отдельности:

Почему сумма двух или нескольких векторов называется геометрической техническая механика

Эти уравнения, выражающие собой в аналитической форме необходимые и достаточные условия равновесия сил, называются уравнениями равновесия.

Для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы порознь равнялись нулю суммы проекций всех сил на каждую из двух любых взаимно перпендикулярных осей, лежащих в плоскости действия сил.

🔥 Видео

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | МатематикаСкачать

Вектор. Сложение и вычитание. 9 класс | Математика

82. Сложение двух векторовСкачать

82. Сложение двух векторов

СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольникаСкачать

СУММА ВЕКТОРОВ правило треугольника

Что такое вектора? | Сущность Линейной Алгебры, глава 1Скачать

Что такое вектора? | Сущность Линейной Алгебры, глава 1

41. Сумма нескольких векторовСкачать

41. Сумма нескольких векторов

Сумма двух векторов | Геометрия 7-9 класс #79 | ИнфоурокСкачать

Сумма двух векторов | Геометрия 7-9 класс #79 | Инфоурок

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.Скачать

Сложение векторов. Правило параллелограмма. 9 класс.

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языкуСкачать

Реакция на результаты ЕГЭ 2022 по русскому языку

Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.Скачать

Сложение и вычитание векторов. Практическая часть. 11 класс.

сложение ВЕКТОРОВ вычитание ВЕКТОРОВ 9 класс геометрия АтанасянСкачать

сложение ВЕКТОРОВ вычитание ВЕКТОРОВ 9 класс геометрия Атанасян

8 класс, 44 урок, Законы сложения векторов. Правило параллелограммаСкачать

8 класс, 44 урок, Законы сложения векторов. Правило параллелограмма

10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторовСкачать

10 класс, 40 урок, Сложение и вычитание векторов
Поделиться или сохранить к себе: