Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Все формулы для площадей полной и боковой поверхности тел

Видео:КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ?Скачать

КАК НАЙТИ ПЛОЩАДЬ БОКОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ ПИРАМИДЫ?

1. Площадь полной поверхности куба

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

a сторона куба

Формула площади поверхности куба,(S):

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Видео:Задание №690 — ГДЗ по геометрии 11 класс (Атанасян Л.С.)Скачать

Задание №690 — ГДЗ по геометрии 11 класс (Атанасян Л.С.)

2. Найти площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

a , b , c стороны параллелепипеда

Формула площади поверхности параллелепипеда, (S):

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Видео:10 класс, 33 урок, Правильная пирамидаСкачать

10 класс, 33 урок, Правильная пирамида

3. Найти площадь поверхности шара, сферы

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

R — радиус сферы

Формула площади поверхности шара (S):

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Видео:🔴 Стороны основания правильной шестиугольной ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 Стороны основания правильной шестиугольной ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 16 | ШКОЛА ПИФАГОРА

4. Найти площадь боковой и полной поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

r — радиус основания

h — высота цилиндра

Формула площади боковой поверхности цилиндра, (S бок ):

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Формула площади всей поверхности цилиндра, (S):

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Видео:Площадь поверхности пирамиды | Геометрия 11 классСкачать

Площадь поверхности пирамиды | Геометрия 11 класс

5. Площадь поверхности прямого, кругового конуса

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

R — радиус основания конуса

H — высота

L — образующая конуса

Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус ( R ) и образующую ( L ), (S бок ):

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Формула площади боковой поверхности конуса, через радиус ( R ) и высоту ( H ), (S бок ):

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Формула площади полной поверхности конуса, через радиус ( R ) и образующую ( L ), (S):

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Формула площади полной поверхности конуса, через радиус ( R ) и высоту ( H ), (S):

Видео:ЕГЭ 2022 математика задача 4 вариант 2Скачать

ЕГЭ 2022 математика задача 4 вариант 2

Нахождение площади правильной пирамиды: формулы

В данной публикации мы рассмотрим, как можно вычислить площадь поверхности различных видов правильных пирамид: треугольной, четырехугольной и шестиугольной.

Правильная пирамида – это пирамида, вершина которой проецируется в центр основания, являющегося правильным многоугольником.

Видео:Пирамиды, в которых высота проходит через центр описанной около основания окружностиСкачать

Пирамиды,  в которых высота проходит через центр описанной около основания окружности

Формула площади правильной пирамиды

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

1. Общая формула

Площадь (S) полной поверхности пирамиды равняется сумме площади ее боковой поверхности и основания.

Боковой гранью правильной пирамиды является равнобедренный треугольник.

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь треугольника вычисляется по формулам:

1. Через длину основания (a) и высоту (h):

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

2. Через основание (a) и боковую сторону (b):

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Формула площади основания правильной пирамиды зависит от вида многогранника. Далее мы рассмотрим самые популярные варианты.

2. Площадь правильной треугольной пирамиды

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Основание: равносторонний треугольник.

Видео:Пирамиды, в которых высота проходит через центр вписанной в основание окружностиСкачать

Пирамиды,  в которых высота проходит через центр вписанной в основание окружности

Пирамиды. Правильные пирамиды. Теорема Эйлера. Формулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружностиПирамиды. Теорема Эйлера для пирамид
Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружностиПравильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды
Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружностиТетраэдры. Правильные тетраэдры
Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружностиФормулы для объема, площади боковой поверхности и площади полной поверхности пирамиды

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Видео:10 класс — Задачи на площади боковой и полной поверхности пирамидыСкачать

10 класс — Задачи на площади боковой и полной поверхности пирамиды

Пирамиды

Рассмотрим произвольную плоскость α , произвольный выпуклый n – угольник A1A2 . An , расположенный в этой плоскости, и точку S , не лежащую в плоскости α .

Определение 1. Пирамидой ( n — угольной пирамидой) называют фигуру, образованную отрезками, соединяющими точку S со всеми точками многоугольника A1A2 . An (рис. 1) .

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Точку S называют вершиной пирамиды.

Точки A1 , A2 , . , An , S часто называют просто вершинами пирамиды.

Боковые ребра и ребра основания пирамиды часто называют просто ребрами пирамиды.

Множество всех боковых граней пирамиды составляет боковую поверхность пирамиды.

Боковые грани и основание пирамиды часто называют просто гранями пирамиды.

Полная поверхность пирамиды состоит из основания пирамиды и ее боковой поверхности.

Теорема Эйлера. Для любой пирамиды справедливо равенство:

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности
Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности
Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности
Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности
Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности
Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности
Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности
Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности
Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности
Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности
Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности
Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности
число вершин
+
число граней
число ребер
=2
число
вершин
+
число
граней
число
ребер
=2
число
вершин
+
число
граней
число
ребер
=2

Доказательство. Заметим, что у n — угольной пирамиды (n + 1) вершина, n боковых граней, 1 основание, n ребер основания и n боковых ребер. Следовательно, у n — угольной пирамиды (n + 1) грань и 2n ребер.

то теорема Эйлера доказана.

Видео:#130. Задание 8: комбинация телСкачать

#130. Задание 8: комбинация тел

Правильные пирамиды. Свойства правильной пирамиды

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Замечание 2. Если центр основания A1A2 . An правильной пирамиды SA1A2 . An обозначить буквой O , то длина отрезка SO будет равняться высоте пирамиды. Часто и сам отрезок SO называют высотой пирамиды, опущенной из вершины S .

Определение 4. Высоту боковой грани правильной пирамиды, опущенную из вершины S , называют апофемой .

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

На рисунке 3 отрезок SB – апофема грани SAnAn-1 и отрезок SC – апофема грани SA2A1 .

Замечание 3 . У любой правильной n – угольной пирамиды можно провести n апофем.

Свойства правильной пирамиды:

Все боковые ребра правильной пирамиды равны.

Все боковые грани правильной пирамиды являются равными равнобедренными треугольниками.

У любой правильной пирамиды все апофемы равны.

Все боковые ребра правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные углы.

Все боковые грани правильной пирамиды образуют с плоскостью основания пирамиды равные двугранные углы.

Видео:Формулы площади боковой поверхности пирамиды 🙌🏻 #егэ #математика #профильСкачать

Формулы площади боковой поверхности пирамиды 🙌🏻          #егэ #математика #профиль

Тетраэдры. Правильные тетраэдры

Определение 5. Произвольную треугольную пирамиду называют тетраэдром.

Утверждение. У любой правильной треугольной пирамиды противоположные ребра попарно перпендикулярны.

Доказательство. Рассмотрим правильную треугольную пирамиду SABC и пару ее противоположных ребер, например, AC и BS . Обозначим буквой D середину ребра AC . Поскольку отрезки BD и SD являются медианами в равнобедренных треугольниках ABC и ASC , то BD и SD перпендикулярны ребру AC (рис. 4).

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

По признаку перпендикулярности прямой и плоскости заключаем, что прямая AC перпендикулярна плоскости BSD. Следовательно, прямая AC перпендикулярна прямой BS , что и требовалось доказать.

Определение 6. Правильную треугольную пирамиду, у которой все ребра равны, называют правильным тетраэдром (рис. 5).

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Задача. Найти высоту правильного тетраэдра с ребром a .

Решение. Рассмотрим правильный тетраэдр SABC . Пусть точка O – основание перпендикуляра, опущенного из вершины S на плоскость ABC. Поскольку SABC – правильная пирамида, то точка O является точкой пересечения медиан равностороннего треугольника ABC. Следовательно,

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

где буквой D обозначена середина ребра AC (рис. 6).

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности,

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности.

По теореме Пифагора из треугольника BSO находим

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Ответ. Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Видео:Усеченная пирамида. 11 класс.Скачать

Усеченная пирамида. 11 класс.

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды

Введем следующие обозначения

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности
Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности
Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности
Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности
Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности
Vобъем пирамиды
Sбокплощадь боковой поверхности пирамиды
Sполнплощадь полной поверхности пирамиды
Sоснплощадь основания пирамиды
Pоснпериметр основания пирамиды

Тогда справедливы следующие формулы для вычисления объема, площади боковой и полной поверхности пирамиды :

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности,

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

ПирамидаРисунокФормулы для объема, площади боковой и полной поверхности
Произвольная пирамидаПлощадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности
Правильная n – угольная пирамидаПлощадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности
Правильный тетраэдрПлощадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности,

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Площадь боковой поверхности пирамиды через радиус вписанной окружности

Формулы для объема, площади боковой и полной поверхности:

🌟 Видео

Правильная пирамида № 258Скачать

Правильная пирамида № 258

Радиус вписанной сферы. Задание 14Скачать

Радиус вписанной сферы. Задание 14

Призма и пирамида. Площадь и объем. Вебинар | Математика 10 классСкачать

Призма и пирамида. Площадь и объем.  Вебинар | Математика 10 класс

Площадь боковой поверхности треугольной пирамиды. #shortsСкачать

Площадь боковой поверхности треугольной пирамиды. #shorts

Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамидыСкачать

Найти площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды

06.04.23, 11 ЕГЭ профиль, геометрия, призма, пирамида, площадь боковой поверхности, цилиндрСкачать

06.04.23, 11 ЕГЭ профиль, геометрия, призма, пирамида, площадь боковой поверхности, цилиндр

Геометрия 10 класс Тест 16 Неправильная пирамида Усеченная пирамида Вариант 1 Задание В2Скачать

Геометрия 10 класс Тест 16 Неправильная пирамида  Усеченная пирамида Вариант 1 Задание В2

10 класс, 34 урок, Усеченная пирамидаСкачать

10 класс, 34 урок, Усеченная пирамида
Поделиться или сохранить к себе:
Произвольная пирамида