Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

Решение задач на применение аксиом и их следствий (в пирамиде)
Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

На этом уроке мы решим несколько задач с помощью трех аксиом и двух теорем-следствий в пирамиде.
В начале урока мы повторим аксиомы, вспомним, что такое треугольная пирамида, и повторим теоремы-следствия из аксиом. Далее мы решим несколько задач на взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в треугольной пирамиде, опираясь на повторенный теоретический материал.

Видео:10 класс, 33 урок, Правильная пирамидаСкачать

10 класс, 33 урок, Правильная пирамида

Билет

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

1. Доказать признак параллельности прямой и плоскости (на обратной стороне листа).

2. Ответить на вопросы 1-17.

3. Задачи на построение сечений 1-4.

4. Докажите, что если прямая а пересекает плоскость Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd, то она пересекает также любую плоскость, параллельную данной плоскости Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd.

1. В основании пирамиды SABCD параллелограмм. Провести сечение через ребро AD и точку К ребра SC. Объяснить, какая фигура получилась в сечении.

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

2. Построить сечение AKM. Объяснить, какая фигура получилась в сечении.

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

3. Построить сечение, проходящее через точки M, N, K.

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

4. Построить сечение тетраэдра плоскостью АВС.

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

1. Доказать признак скрещивающихся прямых (на обратной стороне листа).

2. Ответить на вопросы 1-17.

3. Задачи на построение сечений 1-4.

4. Сторона АС Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cdАВС параллельна плоскости Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd, а сторона АВ и ВС пересекаются этой плоскостью в точках М и N. Докажите, что Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd.

1. Построить сечение, проходящее через точку К параллельно ребрам АВ и DC.

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

2. Построить сечение плоскостью NMP.

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

3. Построить сечение тетраэдра плоскостью АВС.

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

4. Построить сечение АСР, где Р – середина ребра. Объяснить, какая фигура получилась в сечении.

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

1. Доказать свойства параллельных плоскостей (на обратной стороне листа).

2. Ответить на вопросы 1-17.

3. Задачи на построение сечений 1-4.

4. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра пересекаются в одной точке.

1. Построить сечение тетраэдра плоскостью NKP.

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

2. Построить сечение плоскостью PTN, где точки Р и Т – середины ребер AS и BS. Объяснить, какая фигура получилась в сечении.

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

3. Провести сечение Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd, где К – середина ребра АВ. Объяснить, какая фигура получилась в сечении.

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

4. Построить сечение плоскостью KPT.

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

1. Доказать признак параллельности плоскостей (на обратной стороне листа).

2. Ответить на вопросы 1-17.

3. Задачи на построение сечений 1-4.

4. Прямая b лежит в плоскости Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd. Прямая а не лежит в плоскости Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cdи параллельна прямой b. Через точку М, лежащую в плоскости Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cdПирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd, проведена прямая с, параллельная а. Докажите, что с лежит в плоскости Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd.

1. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм. Провести сечение через ребро CD и точку N ребра AS. Объяснить, какая фигура получилась в сечении.

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

2. Построить сечение, проходящее через точки А, В, С.

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

3. Построить сечение АКМ. Объяснить, какая фигура получилась в сечении.

Видео:Построение проекции пирамиды. Метод прямого треугольника.Скачать

Построение проекции пирамиды. Метод прямого треугольника.

Задание 14 из ЕГЭ по математике 2016

В задании 14 ЕГЭ по математике выпускникам, сдающим экзамен, необходимо решить задачу по стереометрии. Именно поэтому научиться решать такие задачи должен каждый школьник, если он хочет получить положительную оценку на экзамене. В данной статье представлен разбор двух типов заданий 14 из ЕГЭ по математике 2016 года (профильный уровень) от репетитора по математике в Москве.

В правильной четырехугольной пирамиде SABCD сторона основания АВ равна 16, а высота равна 4. На ребрах АВ, CD и AS отмечены точки M, N и К соответственно, причем AM = DN = 4 и АК = 3.

а) Докажите, что плоскости MNK и SBC параллельны.

б) Найдите расстояние от точки К до плоскости SBC.

Доступен видеоразбор данного задания:

Рисунок к заданию будет выглядеть следующим образом:

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

а) Поскольку прямая MN параллельна прямой DA, которая принадлежит плоскости DAS, то прямая MN параллельна плоскости DAS. Следовательно, линия пересечения плоскости DAS и сечения KMN будет параллельна прямой MN. Пусть это линия KL. Тогда KMNL — искомое сечение.

Докажем, что плоскость сечения параллельна плоскости SBC. Прямая BC параллельна прямой MN, так как четырехугольник MNCB является прямоугольником (докажите сами). Теперь докажем подобие треугольников AKM и ASB. AC — диагональ квадрата. По теореме Пифагора для треугольника ADC находим:

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

AH — половина диагонали квадрата, поэтому Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd. Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cdнаходим:

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

Тогда имеют место соотношения:

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

Получается, что стороны, образующие угол A в треугольниках AKM и ASB, пропорциональны. Следовательно, треугольники подобны. Из этого следует равенство углов, в частности, равенство углов AMK и ABS. Так как эти углы соответственные при прямых KM, SB и секущей MB, то KM параллельна SB.

Итак, мы получили, что две пересекающиеся прямые одной плоскости (KM и NM) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (SB и BC). Следовательно, плоскости MNK и SBC параллельны.

б) Поскольку плоскости параллельны, расстояние от точки K до плоскости SBC равно расстоянию от точки S до плоскости KMN. Ищем это расстояние. Из точки S опускаем перпендикуляр SP к прямой DA. Плоскость SPH пересекается с плоскостью сечения по прямой OR. Искомое расстояние есть длин перпендикуляра из точки S к прямой OR.

Действительно, KL перпендикулярна плоскости OSR, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости (OR и OS). Перпендикулярность OR и KL следует из теоремы о трёх перпендикулярах. Следовательно, KL перпендикулярна высоте треугольника ORS, проведенной к стороне OR. То есть эта высота перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости KMN, а значит перпендикулярна этой плоскости.

Ищем стороны треугольника SOR. Сторону SR ищем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника RSH: Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd. Длину SP находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника PSH: Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd. Треугольники SOK и SPA подобны (докажите это сами) с коэффициентом подобия Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd. Тогда Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cdи Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd. Из прямоугольного треугольника SPH находим Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd. Из теоремы косинусов для треугольника POR находим, что Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd. Итак, нашли все стороны треугольника SOR.

Из теоремы косинусов для треугольника SOR находим Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd, тогда из основного тригонометрического тождества находим Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd. Тогда площадь треугольника OSR равна:

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

С другой стороны эта площадь равна Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd, где h — искомая высота. Откуда находим Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd.

В правильной треугольной призме АВСА1В1С1 сторона основания АВ равна 6, а боковое ребро АА1 равно 3 . На ребре В1С1 отмечена точка L так, что B1L = 1. Точки К и М – середины ребер АВ и А1С1 соответственно. Плоскость γ параллельна прямой АС и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая ВМ перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите объем пирамиды, вершина которой – точка М, а основание – сечение данной призмы плоскостью γ.

Плоскости оснований призмы параллельны, поэтому сечение будет пересекать эти плоскости по прямым LS и DK, которые также параллельны. Пусть B1M — высота треугольника A1B1C1, а BE — высота треугольника ABC. Тогда рисунок будет выглядеть следующим образом:

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

Из прямоугольного треугольника B1MA1 находим по теореме Пифагора Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd. Из прямоугольного треугольника B1QS находим по теореме Пифагора Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd. Тогда Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd. Кроме того Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd(половина высоты BE правильного треугольника ABC). Треугольники MQT и PTB подобны по двум углам (углы PTB и MTQ равны как вертикальные, углы TPB и MQT равны как накрест лежащие при параллельных прямых MQ, PB и секущей PQ). Их коэффициент подобия равен Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd.

Далее из прямоугольного треугольника MBE находим Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd. Используя доказанное подобие, находим Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd. Аналогично, Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd. Следовательно, Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd.

Проверяем, является ли треугольник TPB прямоугольным. Для этого используем теорему, обратную теореме Пифагора. Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd, Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd, Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd. Получаем:

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

Итак, треугольник TPB прямоугольный с прямым углом T. Доказано, что Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd. По теореме о трёх перпендикулярах Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd(разберитесь самостоятельно, почему это так). Получается, что MB перпендикулярен двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости DKS, а следовательно перпендикулярен этой плоскости.

б) Сечение DLSK — трапеция, площадь которой равна:

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

Тогда объём искомой пирамиды равен:

Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

Материал подготовлен репетитором по математике, Сергеем Валерьевичем

📸 Видео

Пирамида. 11 класс.Скачать

Пирамида. 11 класс.

Усеченная пирамида. 11 класс.Скачать

Усеченная пирамида. 11 класс.

№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1Скачать

№14 из профильного ЕГЭ по математике. Как строить сечения на изи. Серия-1

10 класс, 32 урок, ПирамидаСкачать

10 класс, 32 урок, Пирамида

Построение сечений (часть 1). Пирамиды. сечениеСкачать

Построение сечений (часть 1). Пирамиды. сечение

Лекция 5 Задача 4Скачать

Лекция 5 Задача 4

ЕГЭ Задание 14 Пирамида вписана в сферуСкачать

ЕГЭ Задание 14 Пирамида вписана в сферу

№3. Как строить сечения пирамидСкачать

№3. Как строить сечения пирамид

№259. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковойСкачать

№259. В правильной четырехугольной пирамиде сторона основания равна 6 см, а угол наклона боковой

Построение сечения пирамиды по трем точкамСкачать

Построение сечения пирамиды по трем точкам

№55,б Пересечение пирамиды плоскостью общего положенияСкачать

№55,б Пересечение пирамиды плоскостью общего положения

Семестровая работа "Сечение пирамиды плоскостью"Скачать

Семестровая работа "Сечение пирамиды плоскостью"

Построение проекции пирамиды в трех плоскостях и построение точек 1 и 2, свободно расположенных в ееСкачать

Построение проекции пирамиды в трех плоскостях и построение точек 1 и 2, свободно расположенных в ее

Определение точек встречи прямой с многогранником (пирамида, призма)Скачать

Определение точек встречи прямой с многогранником (пирамида, призма)

Начертательная геометрия. 14 урок. Пересечение пирамиды плоскостью общего положенияСкачать

Начертательная геометрия. 14 урок. Пересечение пирамиды плоскостью общего положения

Как правильно построить сечение пирамиды плоскостью.Скачать

Как правильно построить сечение пирамиды плоскостью.

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основанияСкачать

Основанием пирамиды служит прямоугольник, одна боковая грань перпендикулярна плоскости основания

Построение усеченной пирамидыСкачать

Построение усеченной пирамиды
Поделиться или сохранить к себе: