Пирамида sabcd пересечена плоскостью klnm параллельной основанию как расположены прямые as и cd

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы решим несколько задач с помощью трех аксиом и двух теорем-следствий в пирамиде.
В начале урока мы повторим аксиомы, вспомним, что такое треугольная пирамида, и повторим теоремы-следствия из аксиом. Далее мы решим несколько задач на взаимное расположение точек, прямых и плоскостей в треугольной пирамиде, опираясь на повторенный теоретический материал.

Билет

1. Доказать признак параллельности прямой и плоскости (на обратной стороне листа).

2. Ответить на вопросы 1-17.

3. Задачи на построение сечений 1-4.

4. Докажите, что если прямая а пересекает плоскость , то она пересекает также любую плоскость, параллельную данной плоскости .

1. В основании пирамиды SABCD параллелограмм. Провести сечение через ребро AD и точку К ребра SC. Объяснить, какая фигура получилась в сечении.

2. Построить сечение AKM. Объяснить, какая фигура получилась в сечении.

3. Построить сечение, проходящее через точки M, N, K.

4. Построить сечение тетраэдра плоскостью АВС.

1. Доказать признак скрещивающихся прямых (на обратной стороне листа).

2. Ответить на вопросы 1-17.

3. Задачи на построение сечений 1-4.

4. Сторона АС АВС параллельна плоскости , а сторона АВ и ВС пересекаются этой плоскостью в точках М и N. Докажите, что .

1. Построить сечение, проходящее через точку К параллельно ребрам АВ и DC.

2. Построить сечение плоскостью NMP.

3. Построить сечение тетраэдра плоскостью АВС.

4. Построить сечение АСР, где Р – середина ребра. Объяснить, какая фигура получилась в сечении.

1. Доказать свойства параллельных плоскостей (на обратной стороне листа).

2. Ответить на вопросы 1-17.

3. Задачи на построение сечений 1-4.

4. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противоположных ребер тетраэдра пересекаются в одной точке.

1. Построить сечение тетраэдра плоскостью NKP.

2. Построить сечение плоскостью PTN, где точки Р и Т – середины ребер AS и BS. Объяснить, какая фигура получилась в сечении.

3. Провести сечение , где К – середина ребра АВ. Объяснить, какая фигура получилась в сечении.

4. Построить сечение плоскостью KPT.

1. Доказать признак параллельности плоскостей (на обратной стороне листа).

2. Ответить на вопросы 1-17.

3. Задачи на построение сечений 1-4.

4. Прямая b лежит в плоскости . Прямая а не лежит в плоскости и параллельна прямой b. Через точку М, лежащую в плоскости , проведена прямая с, параллельная а. Докажите, что с лежит в плоскости .

1. В основании пирамиды SABCD лежит параллелограмм. Провести сечение через ребро CD и точку N ребра AS. Объяснить, какая фигура получилась в сечении.

2. Построить сечение, проходящее через точки А, В, С.

3. Построить сечение АКМ. Объяснить, какая фигура получилась в сечении.

Задание 14 из ЕГЭ по математике 2016

В задании 14 ЕГЭ по математике выпускникам, сдающим экзамен, необходимо решить задачу по стереометрии. Именно поэтому научиться решать такие задачи должен каждый школьник, если он хочет получить положительную оценку на экзамене. В данной статье представлен разбор двух типов заданий 14 из ЕГЭ по математике 2016 года (профильный уровень) от репетитора по математике в Москве.

Доступен видеоразбор данного задания:

Рисунок к заданию будет выглядеть следующим образом:

а) Поскольку прямая MN параллельна прямой DA, которая принадлежит плоскости DAS, то прямая MN параллельна плоскости DAS. Следовательно, линия пересечения плоскости DAS и сечения KMN будет параллельна прямой MN. Пусть это линия KL. Тогда KMNL — искомое сечение.

Докажем, что плоскость сечения параллельна плоскости SBC. Прямая BC параллельна прямой MN, так как четырехугольник MNCB является прямоугольником (докажите сами). Теперь докажем подобие треугольников AKM и ASB. AC — диагональ квадрата. По теореме Пифагора для треугольника ADC находим:

AH — половина диагонали квадрата, поэтому . Тогда из теоремы Пифагора для прямоугольного треугольника находим:

Тогда имеют место соотношения:

Получается, что стороны, образующие угол A в треугольниках AKM и ASB, пропорциональны. Следовательно, треугольники подобны. Из этого следует равенство углов, в частности, равенство углов AMK и ABS. Так как эти углы соответственные при прямых KM, SB и секущей MB, то KM параллельна SB.

Итак, мы получили, что две пересекающиеся прямые одной плоскости (KM и NM) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (SB и BC). Следовательно, плоскости MNK и SBC параллельны.

б) Поскольку плоскости параллельны, расстояние от точки K до плоскости SBC равно расстоянию от точки S до плоскости KMN. Ищем это расстояние. Из точки S опускаем перпендикуляр SP к прямой DA. Плоскость SPH пересекается с плоскостью сечения по прямой OR. Искомое расстояние есть длин перпендикуляра из точки S к прямой OR.

Действительно, KL перпендикулярна плоскости OSR, так как она перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости (OR и OS). Перпендикулярность OR и KL следует из теоремы о трёх перпендикулярах. Следовательно, KL перпендикулярна высоте треугольника ORS, проведенной к стороне OR. То есть эта высота перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости KMN, а значит перпендикулярна этой плоскости.

Ищем стороны треугольника SOR. Сторону SR ищем по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника RSH: . Длину SP находим по теореме Пифагора из прямоугольного треугольника PSH: . Треугольники SOK и SPA подобны (докажите это сами) с коэффициентом подобия . Тогда и . Из прямоугольного треугольника SPH находим . Из теоремы косинусов для треугольника POR находим, что . Итак, нашли все стороны треугольника SOR.

Из теоремы косинусов для треугольника SOR находим , тогда из основного тригонометрического тождества находим . Тогда площадь треугольника OSR равна:

С другой стороны эта площадь равна , где h — искомая высота. Откуда находим .

Плоскости оснований призмы параллельны, поэтому сечение будет пересекать эти плоскости по прямым LS и DK, которые также параллельны. Пусть B₁M — высота треугольника A₁B₁C₁, а BE — высота треугольника ABC. Тогда рисунок будет выглядеть следующим образом:

Из прямоугольного треугольника B₁MA₁ находим по теореме Пифагора . Из прямоугольного треугольника B₁QS находим по теореме Пифагора . Тогда . Кроме того (половина высоты BE правильного треугольника ABC). Треугольники MQT и PTB подобны по двум углам (углы PTB и MTQ равны как вертикальные, углы TPB и MQT равны как накрест лежащие при параллельных прямых MQ, PB и секущей PQ). Их коэффициент подобия равен .

Далее из прямоугольного треугольника MBE находим . Используя доказанное подобие, находим . Аналогично, . Следовательно, .

Проверяем, является ли треугольник TPB прямоугольным. Для этого используем теорему, обратную теореме Пифагора. , , . Получаем:

Итак, треугольник TPB прямоугольный с прямым углом T. Доказано, что . По теореме о трёх перпендикулярах (разберитесь самостоятельно, почему это так). Получается, что MB перпендикулярен двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости DKS, а следовательно перпендикулярен этой плоскости.

б) Сечение DLSK — трапеция, площадь которой равна:

Тогда объём искомой пирамиды равен:

Материал подготовлен репетитором по математике, Сергеем Валерьевичем