Перпендикуляры проведенные к одной прямой параллельны (3 видео)

Перпендикулярные прямые

Содержание

Содержание
Определение перпендикулярных прямых
Перпендикуляр к прямой
Единственность перпендикуляра
Связь между параллельностью и перпендикулярностью
Геометрия. 7 класс
Перпендикуляр к прямой
🔥 Видео

Содержание

Начертим две произвольно пересекающиеся прямые $a$ и $b$ под углом $alpha$. Вообще, как мы знаем, две прямые при пересечении образуют четыре угла. Значит, любой из оставшихся углов будет образовывать с углом $alpha$ либо смежный угол, либо вертикальный.

Из этого мы можем сделать вывод, что если при пересечении двух прямых один угол прямой, то остальные углы также являются прямыми. Перед вами — частный случай пересечения прямых, которые в данном контексте будут называться перпендикулярными.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Определение перпендикулярных прямых

Дадим этому случаю определение:

Перпендикулярные прямые — две прямые, пересекающиеся под прямым углом.

Чтобы строго доказать, что каждый из образуемых углов будет прямым, разметим на нашем чертеже оставшиеся углы — углы $beta$, $gamma$ и $delta$. Применим к ним доказанные нами ранее теоремы о вертикальных и смежных углах, при условии, что угол $alpha$ задан определением и равняется $90^$.

1. Угол $beta$ — смежный с углом $alpha$. Известно, что сумма смежных углов равняется $180^$. Если $alpha=90^$, то $beta=180^-90^=90^$.

2. Вертикальные углы равны. Угол $beta$ вертикален углу $delta$, следовательно угол $delta$ так же, как и $beta$, равняется $90^$. Аналогичное применимо и к другой паре вертикальных углов — $alpha$ и $gamma$.

Итого: $alpha=90^$, $beta=90^$, $gamma=90^$, $delta=90^$. Все углы — прямые.

Видео:Теорема о двух перпендикулярах к одной прямойСкачать

Перпендикуляр к прямой

Пусть на плоскости лежат прямая $a$ и точка $A$. Так, из точки $A$ к прямой $a$ можно опустить перпендикуляр.

Он представляет собой отрезок прямой, перпендикулярной к заданной, с концом в точке пересечения. Отметим точку пересечения как $B$. Получившийся отрезок $AB$ и есть перпендикуляр к прямой $a$. Однако если говорить грамотно, точка пересечения обычно называется основанием перпендикуляра.

Перпендикулярность в геометрической нотации обозначается значком «$perp$». К примеру, если прямые $a$ и $b$ перпендикулярны, кратко записывается это следующим образом: $aperp$. В случае отрезка-перпендикуляра $AB$, что мы разобрали выше, можно было бы записать: $ABperp$.

Легко запомнить! Значок визуально напоминает мини-версию чертежа перпендикуляра к прямой.

Единственность перпендикуляра

Важно понимать: одна точка — один перпендикуляр. Вы не можете провести через одну точку прямой более одного перпендикуляра к ней. Это — теорема о единственности перпендикуляра, и формально она звучит так:

Через каждую точку прямой можно провести перпендикулярную ей прямую, и только одну.

Далее мы воспользуемся крайне сподручным математическим инструментом — доказательством от противного . Подобный вид доказательства заключается в отрицании тезиса доказательства. В математике вам еще не раз придется прибегать к данному способу заключения истинности утверждений.

Предположим, что это неправда, и через одну точку прямой проходят сразу два перпендикуляра. На данном чертеже «основной» перпендикуляр отмечен прямой $b$, «альтернативный» —прямой $c$. Угол $(ab)$ по определению прямой. Но по определению прямым является и угол $(ac)$. Мы знаем, что от прямой можно отложить только один угол заданной градусной меры, а у нас их два. Явно возникшее противоречие сообщает о единственности перпендикуляра к точке прямой.

Осторожно, строительные работы

Решили вы, значит, прикрепить навесную полку к стене. Установка прошла прекрасно, только… Кажется, висит полка криво. Или нет? Своего рода иллюзия обмана? Глаз может подвести, необходимо достать-таки объективное доказательство. Поможет вам решить спорный вопрос бесхитростное приспособление, применяемое строителями еще со времен Древнего Египта. А то и раньше. Называется оно отвес.

Отвес представляет собой грузик, прикрепленный к гибкой нити. Грузик хоть и небольшой, но увесистый, а еще имеет специальную форму — заостренного конуса, что позволяет нитке, натянутой грузиком, показывать идеальную вертикальную линию. Если прикрепить отвес к ровному потолку, по углу, образованному прямыми, будет понятно, действительно ли полка весит криво. Прямой угол — «прямая» полка.

Интересный поворот в истории: древние римляне отвес нарекли словом ‘perpendiculum’ — от глагольной формы ‘perpendō’, в переводе примерно — «я точно измеряю». Так что существительное «перпендикуляр» и его производные восходят к тому, как Populus Romanus называли отвес.

Видео:7 класс, 16 урок, Перпендикуляр к прямойСкачать

Связь между параллельностью и перпендикулярностью

Если наша полка в итоге висит идеально ровно по отношению к потолку, то с точки зрения планиметрии прямые, образованные полкой и потолком, будут называться параллельными. Параллельный — то есть непересекающийся: иными словами, такие прямые лежат в одной плоскости и при этом не пересекаются. Подробнее свойства параллельности мы разберем в курсе геометрии далее.

Пока просто дадим определение:

Параллельные прямые — прямые, что находятся в одной плоскости и не имеют точек пересечения.

Разберем ситуацию, когда помимо двух параллельных прямых имеется перпендикулярная к одной из них. Начертим параллельные прямые $a$ и $b$. К прямой $a$ проведем перпендикуляр $c$ и достроим его до прямой $b$.

Если $c$ перпендикулярна к $a$, то она также перпендикулярна и к $b$, при условии, что $a$ и $b$ — параллельны. Доказать это можно классическим наложением прямых или вновь, через метод доказательства от противного.

Подумайте, как применить доказательство от противного, чтобы прийти к выводу, что перпендикулярность и параллельность связаны друг с другом. Делитесь своими идеями в комментариях под уроком!

Связь между параллельностью и перпендикулярностью записать можно и «в обратном порядке»: если две (или более, — количество прямых может быть бесконечным) прямые перпендикулярны к третьей, то эти две прямые — параллельны.

Видео:Перпендикулярность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Геометрия. 7 класс

Конспект урока

Перпендикуляр к прямой

Перечень рассматриваемых вопросов:

Понятие перпендикуляра к прямой.
Основание перпендикуляра.
Теорема о перпендикуляре к прямой.
Понятие теоремы.
Метод доказательства от противного.

Теорема – утверждение, справедливость которого устанавливается путём рассуждений.

Отрезок – часть прямой, ограниченная двумя точками.

Перпендикуляр к прямой – это отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения.

Атанасян Л. С. Геометрия: 7–9 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. – М.: Просвещение, 2017. – 384 с.
Погорелов А. В. Геометрия: 7–9 класс. // Погорелов А. В. – М.: Просвещение, 2017. – 224 с.

Атанасян Л. С. Геометрия: Методические рекомендации 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А. и др. – М.: Просвещение, 2019. – 95 с.
Зив Б. Г. Геометрия: Дидактические материалы 7 класс. // Зив Б. Г., Мейлер В. М. – М.: Просвещение, 2019. – 127 с.
Мищенко Т. М. Дидактические материалы и методические рекомендации для учителя по геометрии 7 класс. // Мищенко Т. М., – М.: Просвещение, 2019. – 160 с.
Атанасян Л. С. Геометрия: Рабочая тетрадь 7 класс. // Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Глазков Ю. А., Юдина И. И. – М.: Просвещение, 2019. – 158 с.
Иченская М. А. Геометрия: Самостоятельные и контрольные работы 7–9классы. // Иченская М. А. – М.: Просвещение, 2019. – 144 с.

Теоретический материал для самостоятельного изучения.

Пешеходный переход, так называемая «зебра», расположен под углом 90 градусов к улице. Выбор такого угла сделан не случайно. Ведь перейти дорогу пешеходам необходимо как можно быстрее. Такой путь оказывается самым коротким. Чтобы быстрее добраться от метро Площадь Восстания в Санкт-Петербурге до Набережной реки Фонтанки, необходимо идти по Невскому проспекту, перпендикулярно реке.

Ножки стола крепятся перпендикулярно столешнице. Маятник часов расположен перпендикулярно верхней стенке часов.

Если считать улицу, набережную реки Фонтанки, ребро столешницы, ребро стенки часов моделями прямых, то можно говорить, что на каждой картинке построены перпендикуляры к прямой.

Примеры с картой и пешеходным переходом иллюстрируют тот факт, что перпендикуляр к прямой – это кратчайший путь от точки до прямой. Такой путь называется расстоянием.

Пример с часами поможет нам запомнить происхождение слова перпендикуляр. В переводе с французского перпендикуляр означает висеть. То есть, перпендикуляр – это отвес.

Дадим определение перпендикуляра к прямой.

Мы знаем, что перпендикулярными прямыми называются две пересекающиеся прямые, которые образуют при пересечении четыре прямых угла.

Часть одной из этих прямых является перпендикуляром к прямой.

Выделенная часть прямой ограничена двумя точками, значит, по определению, – это отрезок. Один из концов этого отрезка является точкой пересечения перпендикуляра и прямой, к которой он проведен.

перпендикуляр к прямой – это отрезок прямой, перпендикулярной к данной, который имеет одним из своих концов их точку пересечения.

Н – основание перпендикуляра.

Предположим, что вы купаетесь в море недалеко от берега. Вдруг появилась акула, необходимо срочно плыть к берегу. Конечно, вы выберите самый короткий путь. А мы уже знаем, что в геометрии этот путь называют перпендикуляром к прямой.

Всегда ли можно найти кратчайший путь? Сколько существует способов построения кратчайшего пути?

Если на пути нет препятствий, например, здания, ямы, в данном примере – других пловцов, то самый короткий путь проделать можно. И такой путь единственный.

В геометрии любое утверждение требует доказательства. Сформулируем теорему о перпендикуляре к прямой.

Теорема: из точки, не лежащей на прямой, можно провести перпендикуляр к этой прямой, и притом только один.

По условию теоремы нам даны прямая и точка.

Заключение теоремы состоит из двух частей – существование перпендикуляра и его единственность.

1.Через точку А можно провести перпендикуляр к прямой BC.

2.Данный перпендикуляр единственный.

Разбор заданий тренировочного модуля.

Задание 1. Построить перпендикуляр к прямой.

Для этого можно использовать чертёжный угольник, одну сторону которого от угла в 90 градусов прикладываем к прямой, к которой проведём перпендикуляр из точки, не лежащей на этой прямой, а вторую сторону угольника совместим с точкой, от которой проведём перпендикуляр к прямой.

Задание 2. На рисунке изображены два перпендикуляра АB и СD к прямой а, при этом АB = СD.

Докажем, что треугольники ABD и CDВ равны.

По условию в треугольниках ABD и CDВ, сторона АBравна стороне СD.

AB ⊥ а =>∠ABD = 90° (по определению перпендикулярных прямых).

СD ⊥ а => ∠CDВ = 90° (по определению перпендикулярных прямых).

Следовательно, ∠ABD = ∠CDВ.

Сторона BD – общая,

Следовательно, ∆ABD = ∆CDВ

(по первому признаку равенства треугольников: по двум сторонам и углу между ними).

Видео:Перпендикуляр и наклонная в пространстве. 10 класс.Скачать

Перпендикуляр к прямой

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы подробно рассмотрим понятие перпендикуляра к прямой и докажем важную теорему.

Вначале вспомним определение перпендикулярных прямых. Далее сформулируем и докажем теорему о двух прямых, перпендикулярных к третьей. Далее дадим определение перпендикуляра к прямой, сформулируем и докажем важную теорему о том, что из любой произвольной точки можно провести единственный перпендикуляр к заданной прямой.

В конце решим несколько задач на пройденную тему.

Если у вас возникнет сложность в понимании темы, рекомендуем посмотреть урок «Основы геометрии»