Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметры АВ i CD круга с центром О перпендикулярны. На диаметре АВ по разные стороны от центра О обозначено точки Е и F так, что CE = DF. Докажите, что OE = OF

Видео:№146. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, еслиСкачать

№146. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности с центром О. Найдите периметр треугольника AOD, если

Ваш ответ

Видео:🔴 В окружности с центром O отрезки AC и BD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

🔴 В окружности с центром O отрезки AC и BD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРА

решение вопроса

Видео:Геометрия Хорда AB окружности с центром O перпендикулярна радиусу OC и делит его пополам. НайдитеСкачать

Геометрия Хорда AB окружности с центром O перпендикулярна радиусу OC и делит его пополам. Найдите

Похожие вопросы

  • Все категории
  • экономические 43,279
  • гуманитарные 33,618
  • юридические 17,900
  • школьный раздел 606,962
  • разное 16,829

Популярное на сайте:

Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.

Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.

Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.

Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.

Видео:На окружности с центром O отмечены точки A и B так ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

На окружности с центром O отмечены точки A и B так ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Умоляяююю помогите. ПОЖАЛУЙСТА.

в окружности с центром в точке о cd — хорда, ab — диаметр, ab перпендикулярна cd, cd = 8 см, cbd = 120. Найдите расстояние от точки a до прямой bd.

То есть надо найти длину перпендикуляра от точки а до прямой.

ПОМОГИТЕ. Сегодня надо!((((

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Информация

Посетители, находящиеся в группе Гости, не могут оставлять комментарии к данной публикации.

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Диаметр ab окружности с центром o перпендикуляренОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Диаметр ab окружности с центром o перпендикуляренСвойства хорд и дуг окружности
Диаметр ab окружности с центром o перпендикуляренТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Диаметр ab окружности с центром o перпендикуляренДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Диаметр ab окружности с центром o перпендикуляренТеорема о бабочке

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Видео:На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен
КругДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен
РадиусДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен
ХордаДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен
ДиаметрДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен
КасательнаяДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен
СекущаяДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен
Окружность
Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Касательные к окружности с центром O в точках A и B ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеДиаметр ab окружности с центром o перпендикуляренДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыДиаметр ab окружности с центром o перпендикуляренЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныДиаметр ab окружности с центром o перпендикуляренБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиДиаметр ab окружности с центром o перпендикуляренУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыДиаметр ab окружности с центром o перпендикуляренДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Геометрия В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорда AC. Докажите, что угол BOC = 2 угламСкачать

Геометрия В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорда AC. Докажите, что угол BOC = 2 углам

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаДиаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Пересекающиеся хорды
Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен
Пересекающиеся хорды
Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Видео:№638. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВСкачать

№638. Прямая АВ касается окружности с центром О радиуса r в точке В. Найдите АВ

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Тогда справедливо равенство

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:№650. Радиус окружности с центром О равен 16. Найдите хорду АВ, если: a) ∠AOB = 60Скачать

№650. Радиус окружности с центром О равен 16. Найдите хорду АВ, если: a) ∠AOB = 60

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Диаметр ab окружности с центром o перпендикулярен

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

🌟 Видео

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

№204. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр ОСкачать

№204. Прямая ОМ перпендикулярна к плоскости правильного треугольника ABC и проходит через центр О

№ 145 - Геометрия 7-9 класс АтанасянСкачать

№ 145 - Геометрия 7-9 класс Атанасян

К окружности с центром в точке O проведены ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

К окружности с центром в точке O проведены ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Задача на нахождение длины хорды окружностиСкачать

Задача на нахождение длины хорды окружности

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычислениеСкачать

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление

Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэСкачать

Как найти диаметр окружности, зная длину хорды и расстояние от центра окружности до неё? #огэ #егэ

№645. Из концов диаметра АВ данной окружности проведены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к касательнойСкачать

№645. Из концов диаметра АВ данной окружности проведены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к касательной

ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ ДЛИНЫ ХОРДЫ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ДИАМЕТРУ ОКРУЖНОСТИ. Задачи | ГЕОМЕТРИЯ 7 классСкачать

ЗАДАЧА НА НАХОЖДЕНИЕ ДЛИНЫ ХОРДЫ, ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ ДИАМЕТРУ ОКРУЖНОСТИ. Задачи | ГЕОМЕТРИЯ 7 класс

ОГЭ Задание 26 Подобные треугольникиСкачать

ОГЭ Задание 26 Подобные треугольники
Поделиться или сохранить к себе: