Пересечение прямой и окружности геометрия

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Свойства хорд и дуг окружности

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема о бабочке

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Фигура	Рисунок	Определение и свойства
Окружность
Круг
Радиус
Хорда
Диаметр
Касательная
Секущая

Окружность

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Круг

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Радиус

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Хорда

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Диаметр

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Касательная

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Секущая

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

Фигура	Рисунок	Свойство
Диаметр, перпендикулярный к хорде		Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды		Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хорды		Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружности		Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длины		Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дуги		У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хорды		Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Диаметр, перпендикулярный к хорде

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хорды

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хорды

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружности

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длины

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дуги

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хорды

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Фигура	Рисунок	Теорема
Пересекающиеся хорды
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Пересекающиеся хорды

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Пересекающиеся хорды

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Конспект урока «Пересечение прямой с окружностью»

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

Тегинская средняя общеобразовательная школа

Урок геометрии по теме

«Пересечение прямой с окружностью»

Учитель математики Вениаминова Л.В.

Тема урока: « Пересечение прямой с окружностью»

Цели урока: Предметные:

1. Исследовать взаимное расположение прямой и окружности.

2. Выработать умения применять знания при решении задач.

1.Создание условий для анализа, обобщения результатов исследования.

2.Развитие умения выделять существенные признаки для решения учебных задач.

Место урока в учебном плане : данный урок является уроком изучения нового материала в курсе геометрии 8 класса, на изучение этой темы отводится два урока

Тип урока : урок изучения нового материала.

Оборудование урока : презентация , учебник Геометрии 7-9 под редакцией А.В.Погорелова, тетрадь на печатной основе по геометрии для 8 класса, раздаточный материал: тест , справочный материал , карточка для игры «Верю, не верю».

Актуализация опорных знаний и их коррекция

Подготовка таблицы самооценки

Игра «Верю, не верю»

Изучение нового материала и способов действий

Работа с тестом

Подведение итогов урока, выставление оценки за урок

«Высшее проявление духа – это разум.

Высшее проявление разума – это геометрия.

Клетка геометрии – треугольник.

Он так же неисчерпаем, как вселенная.

Окружность – душа геометрии.

Познайте окружность, и вы не только

познаете душу геометрии,

но и возвысите свою душу».

Актуализация опорных знаний и их коррекция Сегодня вам предстоит самим поставить себе оценку за урок, поможет вам в этом таблица самооценки. В конце урока, пользуясь ключом, вы поставите себе оценку.

Выполните тест №1. Ответы запишите в таблицу самооценки.

1.Сколько общих точек могут иметь две прямые?

А бесконечно много, Б 1 или 2, В 2 или 0, Г 0 или1.

2. С помощью каких инструментов строят перпендикулярные прямые?

А линейка, Б прямоугольный треугольник, В транспортир.

3.Чему равен радиус окружности, если ее диаметр равен 36см?

А 72см, Б 18см, В 9см, Г 36 см.

4.Расстояние от центра окружности, радиус которой равен 10см, до любой ее точки равно:

А 5см, Б 10см, В 20см, Г 1дм.

5.Прямая а не пересекает окружность. Расстояние от центра окружности до прямой а

А равно радиусу, Б меньше радиуса, В больше радиуса.

3 .Игра «Верю, не верю». А сейчас давайте поиграем в игру «Верю, не верю». Вам необходимо внимательно прочитать высказывание и если вы с ним согласны, то в клеточке рядом с высказываем, ставите «+», если не согласны, то «-». Помогут вам в игре выдержки из книг Г. Глейзера «История математики в школе» и С. Акимова «Занимательная математика».

. Верите ли вы, что самая простая из кривых линий – окружность?

. Верите ли вы, что древние индийцы считали самым важным элементом окружности радиус, хотя не знали такого слова?

. Верите ли вы, что впервые термин “радиус” встречается лишь в 16 веке?

-Верите ли вы, что в переводе с латинского радиус означает “луч”?

. Верите ли вы, что при заданном периметре именно окружность ограничивает наибольшую площадь?

. Верите ли вы, что в русском языке слово “круглый” означает высшую степень чего-либо?

-Верите ли вы, что выражение “ходить по кругу” когда-то означало “прогресс”?

Верите ли вы, что хорда в переводе с греческого означает “струна”?

. Верите ли вы, что определение “касательной” уже есть в первом учебнике геометрии — “Начала” Евклида?

Текст для игры «Верю, не верю»

Самая простая из кривых линий – окружность. Это одна из древнейших геометрических фигур. Ещё вавилоняне и древние индийцы считали самым важным элементом окружности – радиус. Слово это латинское и означает “луч”. В древности не было этого термина: Евклид и другие учёные говорили просто “прямая из центра”, Ф. Виет писал что “радиус” — это “элегантное слово”. Общепринятым термин “радиус” становится лишь в конце XVII в. Впервые термин “радиус” встречается в “Геометрии” французского ученого Рамса, изданной в 1569 году.

В Древней Греции круг и окружность считались венцом совершенства. Действительно в каждой своей точке окружность “устроена” одинаково, что позволяет ей как бы двигаться “по себе”. На плоскости этим свойством обладает еще лишь прямая. Одно из интереснейших свойств круга состоит в том, что он при заданном периметре ограничивает максимальную площадь.

В русском языке слово “круглый” тоже стало означать высокую степень чего-либо: “круглый отличник”, “круглый сирота” и даже “круглый дурак”.

Если вы когда-либо пробовали получить информацию от бюрократической организации, вас, скорее всего “погоняли по кругу”. Фраза “ходить по кругу” обычно не ассоциируется с прогрессом. Но в период индустриальной революции, выражение “ходить по кругу” очень точно отражало прогресс. Шкивы и механизмы давали машинам возможность увеличить производительность и значит сократить рабочую неделю.

Без понятия круга и окружности было бы трудно говорить о круговращении жизни. Круги повсюду вокруг нас. Окружности и циклы идут, взявшись за руки. Циклы получаются при движении по кругу. Мы изучаем циклы земли, они помогают нам разобраться, когда надо сажать растения и когда мы должны вставать.

Представление об окружности даёт линия движения модели самолёта, прикреплённого шнуром к руке человека, также обод колеса, спицы которого соответствуют радиусам окружности.

Термин “хорда” (от греческого “струна”) был введён в современном смысле европейскими учёными в XII-XIII веках.

Определение касательной как прямой, имеющей с окружностью только одну общую точку, встречается впервые в учебнике “Элементы геометрии” французского математика Лежандра (1752-1833 гг.). В “Началах” Евклида даётся следующее определение: прямая касается круга, если она встречает круг, но при продолжении не пересекает его

По материалам книг: Г. Глейзер “История математики в школе”, С Акимова “Занимательная математика”.

Оцените результаты игры,если все верно, то в таблицу самооценки ставите 2 балла, если верно выполнено 7 заданий – 1 балл, иначе 0 баллов.

4. Изучение нового материала. Сейчас вам предстоит решить основную задачу сегодняшнего урока: Даны окружность радиуса r и прямая а, не проходящая через центр О окружности. Расстояние от точки О до прямой а равно d . Сколько общих точек пересечения могут иметь данные окружность и прямая? Ваши предложения по решению задачи. Работаем в парах. (Возьмите заготовленные вами модели окружности, карандаш, который будет служить моделью прямой, и, прикладывая карандаш к окружности, рассмотрите все возможные случаи их расположения. Сколько возможных вариантов вы заметили? Теперь результаты своих исследований зарисуйте в листах наблюдений, которые лежат у вас на партах.

ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ(Пересечение прямой с окружностью

Рассмотрите все возможные варианты.

Сколько общих точек у окружности и прямой?

Найдите расстояние от центра окружно-

сти до прямой и сравните его с радиусом.

Сделайте вывод о взаимном расположении прямой и окружности, в зависимости от радиуса и расстояния от центра до прямой.

Докажем теперь наши предположения.

Учитель: значит, вы утверждаете, что если d r , то прямая и окружность пересекаются 2 раза, не меньше и не больше. Докажем это.

Пусть r – радиус окружности

d – расстояние от точки О до прямой а

а) как найти расстояние от точки О до прямой а ? ОН  а ОН = d

б) на прямой а отложить отрезки НА = НВ =

ОА 2 = ОН 2 + НА 2 = d 2 + r 2 — d 2 = r 2 , ОА = r  точка А лежит на окружности.

ОВ=ОА= r  точка В лежит на окружности.

Таким образом, прямая а и окружность имеют 2 общие точки.

Доказательство того, что прямая а и окружность не имеют других общих точек вы разберете дома самостоятельно

Утверждение, что если d = r , то окружность и прямая имеют одну общую точку докажет ученик.

ОН= r  точка Н лежит на окружности.

Единственность общей точки доказывается с помощью вывода.

Для любой точки М прямой а : ОН – перпендикуляр, ОМ — наклонная к прямой а  ОМ > ОН  ОМ > r  точка М не лежит на окружности

Третий случай вы докажете самостоятельно дома, что если d > r , то прямая и окружность не пересекаются

В таблице даны радиус окружности и расстояние от центра этой окружности до некоторой прямой. Что можно сказать о взаимном расположении прямой и окружности в каждом случае? Проверьте себя, выполнив построения.

Условие задачи в виде таблицы записано на доске.

6. Работа с тестом. Тесты выданы заранее. В течении 3-х минут учащиеся отвечают на вопросы теста и заносят ответы в тетрадь. Проверим правильность выполнения теста, – если все верно, то в таблицу самооценки ставите 2 балла, если допущена одна, две ошибки – 1 балл, иначе 0 баллов.

Б. Самостоятельная работа по карточкам

Проведите прямые через каждые две точки. Сколько общих точек имеет каждая из прямых с окружностью.

Прямая ______ и окружность не имеют общих точек.

Прямая ______ и окружность имеют только одну ___________ точку.

Прямые ______, _______, ________, _______ и окружность имеют две общие точки.

7. Подведение итогов урока . Какие открытия вы сделали сегодня на уроке? Чему вы научились на уроке?

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ

ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

Скачать всю книгу Ж. АДАМАР «ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ» в хорошем качестве
Ниже посмотрите текст для быстрого ознакомления(формулы отображаются не корректно):

57. Теорема. Через три точки, не лежащие на одной прямой
можно провести окружность и притом только одну.
Иначе говоря, окружность определяется тремя точками, не
лежащими на одной прямой.
Пусть, в самом деле, А, В, С (черт. 58) — три точки, не лежащие
на одной прямой линии. Мы уже доказали (п. 52), что перпендикуляры

восставленные в серединах отрезков
ВС, СА и АВ, проходят через одну
и ту же точку О, равноудалённую от точек
А, В и С. Окружность, описанная из
точки О, как из центра, радиусом О А, проходит
через три данные точки. Эта окружность—
единственная окружность, удовлетворяющая
поставленному условию, так как
центр окружности, которая пройдёт через
точки А, В и С, должен обязательно принадлежать трём перпендикулярам,
о которых мы говорили.
Следствие. Мы видим, что окружность не может иметь двух
различных центров, а следовательно, не может иметь и двух неравных
радиусов.
58. Теорема. Прямая не может пересекать окружность
более чем в двух точках.
Если расстояние от центра до прямой больше радиуса, прямая
не пересекает окружности. Если это расстояние меньше радиуса,
Р /1 И В Р’ прямая пересекает окружность
п двух точках.Наконец, если расстояние
равно радиусу, прямая имеет
с окружностью одну общую точку.
В последнем случае прямая назы-
q вается касательной к окружности.
Пусть дана окружность с центром
О и прямая D. Из центра О
(черт. 59) опустим на прямую D перпендикуляр ОН.
1°. Окружность не может иметь более двух общих точек с прямой
D. Это сводится к тому, что из точки О нельзя провести
к прямой D более двух наклонных, равных радиусу R (п. 30, следствие).

67 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

2°. Если расстояние ОН больше радиуса, то расстояние от центра
любой точки прямой и подавно (п. 29) будет больше радиуса;
следовательно, все точки прямой являются внешними по отношению
к кругу.
3°. Если, напротив, ОН меньше радиуса, точка Я находится внутри
окружности, но по обе стороны от Н есть точки, расположенные
вне окружности. Чтобы в этом убедиться, отложим на прямой D от
точки Н два отрезка HP и HP, равные радиусу; расстояния ОР
и ОР будут непременно больше радиуса. Следовательно,
будем иметь две точки пересечения
с окружностью: одну между Н и Р и другую —
между Н и Р это будут единственные точки
пересечения (1°).
4°. Если, наконец, ОН равно радиусу
(черт. 60), то точка Н будет общей точкой
прямой и окружности, но, так же как в 2°,
убедимся, что всякая другая точка прямой
находится вне окружности.

Следствие. Через точку, взятую на
окружности, можно провести к ней касательную
и только одну, причём эта касательная перпендикулярна
к радиусу, проведённому в эту точку.
59. Предыдущее определение касательной не годится в качестве
определения касательной к произвольной кривой.
Касательной к какой-либо кривой в точке М этой кривой (черт. 61)
называется предельное положение, к которому стремится прямая ММ
когда точка М описывая кривую, безгранично
приближается к М. Иначе
говоря:

Прямая МТназывается касательной
в точке Му если для всякого данного
угла е можно выбрать по обе стороны
от точки М две дуги ММХ и ММ2 такие,
чтобы для всякого положения точки
М взятой на одной из этих дуг, прямая ММ’ образовала бы
с прямой МТ или с её продолжением угол, меньший е *).
Покажем, что для случая окружности это определение сводится
к тому, которое мы дали выше.
Проведём в точке М окружности О перпендикуляр МТ к радиусу
ОМ и на хорду ММГ (черт. 62) опустим из центра перпендикуляр ОН.
Эта прямая является высотой равнобедренного треугольника ОММг
и в то же время биссектрисой угла при О. Угол ТММГ равен углу
МОН (как углы с перпендикулярными сторонами) и, следовательно, —
половине угла МОМ!. Но этот последний можно сделать меньше вся-
*) Можно доказать, как это вообще доказывается в теории пределов,
что если такая прямая существует, то она единственная,

68 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

кого данного угла, если выбрать точку М! достаточно близко
к точке М.
60. Нормалью к кривой в данной точке называется перпендикуляр
к касательной в этой точке. Следовательно, нормаль к окружности
в данной точке есть не что иное,
как радиус, проведённый в эту
точку.

На любой данной окружности имеются две (и только две) такие
точки, что нормали в этих точках проходят через данную точку Р
плоскости (отличную от центра): этими точками будут концы диаметра,
проходящего через точку Р.
60а. Углом между двумя кривыми в точке их пересечения
называется угол, образованный их касательными в этой точке (черт. 63).
Следовательно, угол между двумя пересекающимися окружностями
равен углу между радиусами, проведёнными в их общую точку, или
углу, ему пополнительному.
УПРАЖНЕНИЯ.
47. Из всех точек окружности проведены отрезки, равные и параллельные
одному и тому же данному отрезку.
Найти геометрическое место концов этих отрезков.
48. Найти геометрическое место середин отрезков, соединяющих данную
точку с различными точками окружности.
49. АВ — диаметр окружности О, С — точка, взятая на продолжении
этого диаметра за точку В, CDE— секущая из точки С, которая пересёкает
окружность в точках D и Е. Если внешняя часть CD равна радиусу, то
угол ЕОА в три раза больше угла DOB (доказать).

69 ПЕРЕСЕЧЕНИЕ ПРЯМОЙ С ОКРУЖНОСТЬЮ ЭЛЕМЕНТАРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ Ж. АДАМАР

🎦 Видео