 Отрезки и прямые, связанные с окружностью |
| Свойства хорд и дуг окружности |
| Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих |
| Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих |
| Теорема о бабочке |
- Отрезки и прямые, связанные с окружностью
- Свойства хорд и дуг окружности
- Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
- Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
- Теорема о бабочке
- Симметрия окружности
- Дополнительная хорда в левом желудочке сердца – аномалия, о которой должен знать каждый
- Хорда в левом желудочке сердца – патология или норма?
- Виды хорды
- Причины образования хорды левого желудочка
- Диагностика аномалии сердца
- Лечение и профилактика дополнительной хорды в левом желудочке сердца
Отрезки и прямые, связанные с окружностью
| Фигура | Рисунок | Определение и свойства | ||||||||||||||||||||||||||
| Окружность |  | |||||||||||||||||||||||||||
| Круг |  | |||||||||||||||||||||||||||
| Радиус |  | |||||||||||||||||||||||||||
| Хорда |  | |||||||||||||||||||||||||||
| Диаметр |  | |||||||||||||||||||||||||||
| Касательная |  | |||||||||||||||||||||||||||
| Секущая |  | |||||||||||||||||||||||||||
| Окружность |
|
Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности
Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью
Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности
Отрезок, соединяющий две любые точки окружности
Хорда, проходящая через центр окружности.
Диаметр является самой длинной хордой окружности
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.
Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания
Прямая, пересекающая окружность в двух точках
Свойства хорд и дуг окружности
| Фигура | Рисунок | Свойство |
| Диаметр, перпендикулярный к хорде |  | Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам. |
| Диаметр, проходящий через середину хорды | Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам. | |
| Равные хорды |  | Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности. |
| Хорды, равноудалённые от центра окружности | Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны. | |
| Две хорды разной длины |  | Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности. |
| Равные дуги |  | У равных дуг равны и хорды. |
| Параллельные хорды |  | Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны. |
| Диаметр, перпендикулярный к хорде |
|
Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
У равных дуг равны и хорды.
Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
| Фигура | Рисунок | Теорема | ||||||||||||||||
| Пересекающиеся хорды |  | |||||||||||||||||
| Касательные, проведённые к окружности из одной точки |  | |||||||||||||||||
| Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки |  | |||||||||||||||||
| Секущие, проведённые из одной точки вне круга |  | |||||||||||||||||
| Пересекающиеся хорды | ||
| ||
| Касательные, проведённые к окружности из одной точки | ||
| ||
| Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки | ||
| ||
| Секущие, проведённые из одной точки вне круга | ||
| ||
| Пересекающиеся хорды |
|
Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:
Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.
Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).
Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).
Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).
Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство
Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).
Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства
откуда и вытекает требуемое утверждение.
Теорема о бабочке
Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.
Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим
Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим
Воспользовавшись теоремой 1, получим
Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим
Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство
откуда вытекает равенство
что и завершает доказательство теоремы о бабочке.
Симметрия окружности
Есть ли симметрия в окружности? Сколько осей симметрии имеет окружность? Что является центром симметрии окружности?
Окружность имеет бесконечно много осей симметрии.
Осью симметрии окружности является любая прямая, содержащая диаметр окружности.
Проведём произвольный диаметр AB окружности.
Отметим на окружности произвольную точку X.
Из точки X проведём хорду, перпендикулярную диаметру.
Обозначим точки пересечения этой прямой с диаметром AB как P и X1.
Так как хорда перпендикулярна диаметру, то диаметр проходит через середину.
Следовательно, XP=X1P, а значит, точка X1 симметрична точке X относительно прямой, содержащей диаметр AB.
Имеем: точка, симметричная произвольной точке окружности относительно произвольного диаметра, также принадлежит окружности. Следовательно, любой диаметр окружности является её осью симметрии.
Что и требовалось доказать .
Окружность — центрально-симметричная фигура.
Осью симметрии окружности является её центр.
Отметим на окружности произвольную точку X.
Проведем через точку X диаметр XX1.
XO=X1O (как радиусы).
Таким образом, точка, симметричная произвольной точке окружности относительно её центра, также принадлежит окружности. Значит, окружность — центрально-симметричная фигура, а центр симметрии окружности — это центр окружности.
Дополнительная хорда в левом желудочке сердца – аномалия, о которой должен знать каждый
Зачастую в детей до 18 лет врачи находят в сердце небольшую нитеобразную соединительную ткань в левом желудочке, которая называется хорда. Услышав название этой «малой» аномалии сердца родители впадают в панику. Но делать этого не стоит, так как в точности эта патология диагностируется как дополнительная хорда и не является смертельным заболеванием. Однако она имеет и другую сторону – более опасную.
Хорда в левом желудочке сердца – патология или норма?
Дополнительная хорда – заболевание аутосомно – доминантного характера, которое возникает через сбой в развитии соединительной ткани в период беременности. Проще говоря, у ребенка, в период эмбрионального развития, в сердце возникают тоненькие ниточки.
Заболевание это не опасное. Его относят к группе малой аномалии сердца, поскольку оно не вызывает никаких существенных отклонений в работе органа. Более того, большинство врачей называют дополнительную хорду в левом желудочке нормой, а вот образование её в правой части сердца грозит серьезными заболеваниями. Поэтому дополнительная нить соединительной ткани должна лечиться, так как в будущем, с ростом и развитием сердца, могут возникнуть следующие проблемы:
- Дополнительная хорда влияет на кровоток и ритм сердца;
- Если нить короткая, в ходе развития сердца может возникнуть повреждение эндокарда;
- Наличие хорды вызывает фиброз;
- Короткая хорда препятствует расслаблению желудочка;
- Возникает нарушение биомеханики сердца.
- Развивается дисинергия миокарда.
Виды хорды
В научной медицинской литературе выделяют несколько видов хорд.
В зависимости от расположения в сердце:
- Правожелудочковая дополнительная хорда;
- Левожелудочковая дополнительная хорда.
В зависимости от гистологической структуры:
В зависимости от места крепления:
В зависимости от направления соединительной ткани:
В зависимости от количества нитей:
Причины образования хорды левого желудочка
В 92% случаев дополнительная хорда возникает из – за наследственной склонности к заболеванию. Передается оно по материнской линии, реже – по отцовской. Поэтому, если мать знает, что ранее в нее была обнаружена дополнительная хорда в левом желудочке сердца, стоит задуматься об обследовании своего ребенка, так как хорда длительно время не дает о себе знать, а это может стать причиной сложного заболевания в будущем.
Диагностика аномалии сердца
Для того чтобы точно поставить диагноз – дополнительная хорда в левом желудочке сердца, врач назначает ультразвуковое обследование. Благодаря УЗИ, доктор может быстро, безболезненно и точно диагностировать сердечное заболевание или патологию. Кроме того, эхокардиография позволяет изучить сердце в реальном времени и в движении.
Изучают проблемы дополнительной хорды и с помощью доплеровского метода, который помогает определить длину нити, её толщину, место крепления и скорость кровотока по ней.
Лечение и профилактика дополнительной хорды в левом желудочке сердца
Дополнительная хорда не лечится традиционными аптечными средствами. Единственное верное решение при её обнаружении – правильный режим, питание и запрет занятиям некоторыми видами спорта: подводным плаванием, парашютизмом, гимнастикой, некоторыми видами танцев.
Диагностировав хорду, врач специально назначает пациенту посещать индивидуальную или групповую лечебную физкультуру, которая состоит из следующего комплекса упражнений.
- Танцевальные па медленных видов танцев;
- Строевые упражнения;
- Занятие на шведской стенке, скамье, с обручем, скакалкой и мячом.
- Бег под присмотром на малую дистанцию, прыжки, упражнение с канатом.
- Кроме того, пациенту рекомендуют:
- Соблюдать режим дня.
- Правильно питаться;
- Избегать стрессовых ситуаций;
- Ходить на массаж;
- Ежегодно проходить диагностику.
- Сильные физические нагрузки. Труд должен чередоваться с отдыхом;
- Употребление препаратов без консультации врача;
- Психологические нагрузки;
- Профессиональное занятие спортом.
Невзирая на такие рекомендации врача, психологи советуют не ограждать ребенка от школы, развлечений с друзьями. Дети должны самостоятельно пройти все ступени социализации и не чувствовать себе одинокими или огражденными от мира. Поэтому, помимо домашних указаний, с детьми, имеющими дополнительную хорду в левом желудочке сердца, школьный психолог и врач должны проводить беседы и консультации, регулярно проверять состояние ребенка.
Диагностика дополнительной хорды в левом желудочке сердца: