Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметруОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметруСвойства хорд и дуг окружности
Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметруТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметруДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметруТеорема о бабочке

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру
КругСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру
РадиусСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру
ХордаСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру
ДиаметрСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру
КасательнаяСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру
СекущаяСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру
Окружность
Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Длина хорды окружности равна 72 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметруДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметруЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметруБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметруУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметруДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаСимметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Пересекающиеся хорды
Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру
Пересекающиеся хорды
Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Тогда справедливо равенство

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5Скачать

ОГЭ ЗАДАНИЕ 16 НАЙДИТЕ ДЛИНУ ХОРДЫ ОКРУЖНОСТИ ЕСЛИ РАДИУС 13 РАССТОЯНИЕ ДО ХОРДЫ 5

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

Симметрия окружности

Есть ли симметрия в окружности? Сколько осей симметрии имеет окружность? Что является центром симметрии окружности?

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметруОкружность имеет бесконечно много осей симметрии.

Осью симметрии окружности является любая прямая, содержащая диаметр окружности.

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметруПроведём произвольный диаметр AB окружности.

Отметим на окружности произвольную точку X.

Из точки X проведём хорду, перпендикулярную диаметру.

Обозначим точки пересечения этой прямой с диаметром AB как P и X1.

Так как хорда перпендикулярна диаметру, то диаметр проходит через середину.

Следовательно, XP=X1P, а значит, точка X1 симметрична точке X относительно прямой, содержащей диаметр AB.

Имеем: точка, симметричная произвольной точке окружности относительно произвольного диаметра, также принадлежит окружности. Следовательно, любой диаметр окружности является её осью симметрии.

Что и требовалось доказать .

Окружность — центрально-симметричная фигура.

Осью симметрии окружности является её центр.

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметруОтметим на окружности произвольную точку X.

Проведем через точку X диаметр XX1.

XO=X1O (как радиусы).

Таким образом, точка, симметричная произвольной точке окружности относительно её центра, также принадлежит окружности. Значит, окружность — центрально-симметричная фигура, а центр симметрии окружности — это центр окружности.

Видео:Осевая симметрия. 6 класс.Скачать

Осевая симметрия. 6 класс.

Дополнительная хорда в левом желудочке сердца – аномалия, о которой должен знать каждый

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Зачастую в детей до 18 лет врачи находят в сердце небольшую нитеобразную соединительную ткань в левом желудочке, которая называется хорда. Услышав название этой «малой» аномалии сердца родители впадают в панику. Но делать этого не стоит, так как в точности эта патология диагностируется как дополнительная хорда и не является смертельным заболеванием. Однако она имеет и другую сторону – более опасную.

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Хорда в левом желудочке сердца – патология или норма?

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Дополнительная хорда – заболевание аутосомно – доминантного характера, которое возникает через сбой в развитии соединительной ткани в период беременности. Проще говоря, у ребенка, в период эмбрионального развития, в сердце возникают тоненькие ниточки.
Заболевание это не опасное. Его относят к группе малой аномалии сердца, поскольку оно не вызывает никаких существенных отклонений в работе органа. Более того, большинство врачей называют дополнительную хорду в левом желудочке нормой, а вот образование её в правой части сердца грозит серьезными заболеваниями. Поэтому дополнительная нить соединительной ткани должна лечиться, так как в будущем, с ростом и развитием сердца, могут возникнуть следующие проблемы:

  1. Дополнительная хорда влияет на кровоток и ритм сердца;
  2. Если нить короткая, в ходе развития сердца может возникнуть повреждение эндокарда;
  3. Наличие хорды вызывает фиброз;
  4. Короткая хорда препятствует расслаблению желудочка;
  5. Возникает нарушение биомеханики сердца.
  6. Развивается дисинергия миокарда.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Виды хорды

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

В научной медицинской литературе выделяют несколько видов хорд.

В зависимости от расположения в сердце:

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

  • Правожелудочковая дополнительная хорда;
  • Левожелудочковая дополнительная хорда.

В зависимости от гистологической структуры:

В зависимости от места крепления:

В зависимости от направления соединительной ткани:

В зависимости от количества нитей:

Видео:Центральная симметрия. 6 класс.Скачать

Центральная симметрия. 6 класс.

Причины образования хорды левого желудочка

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

В 92% случаев дополнительная хорда возникает из – за наследственной склонности к заболеванию. Передается оно по материнской линии, реже – по отцовской. Поэтому, если мать знает, что ранее в нее была обнаружена дополнительная хорда в левом желудочке сердца, стоит задуматься об обследовании своего ребенка, так как хорда длительно время не дает о себе знать, а это может стать причиной сложного заболевания в будущем.

Видео:№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружностиСкачать

№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности

Диагностика аномалии сердца

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Для того чтобы точно поставить диагноз – дополнительная хорда в левом желудочке сердца, врач назначает ультразвуковое обследование. Благодаря УЗИ, доктор может быстро, безболезненно и точно диагностировать сердечное заболевание или патологию. Кроме того, эхокардиография позволяет изучить сердце в реальном времени и в движении.
Изучают проблемы дополнительной хорды и с помощью доплеровского метода, который помогает определить длину нити, её толщину, место крепления и скорость кровотока по ней.

Видео:ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хордыСкачать

ЕГЭ-2022 ||Задание №6 || Найти длину хорды

Лечение и профилактика дополнительной хорды в левом желудочке сердца

Симметрична ли окружность относительно хорды не равной ее диаметру

Дополнительная хорда не лечится традиционными аптечными средствами. Единственное верное решение при её обнаружении – правильный режим, питание и запрет занятиям некоторыми видами спорта: подводным плаванием, парашютизмом, гимнастикой, некоторыми видами танцев.
Диагностировав хорду, врач специально назначает пациенту посещать индивидуальную или групповую лечебную физкультуру, которая состоит из следующего комплекса упражнений.

  1. Танцевальные па медленных видов танцев;
  2. Строевые упражнения;
  3. Занятие на шведской стенке, скамье, с обручем, скакалкой и мячом.
  4. Бег под присмотром на малую дистанцию, прыжки, упражнение с канатом.
  5. Кроме того, пациенту рекомендуют:
  6. Соблюдать режим дня.
  7. Правильно питаться;
  8. Избегать стрессовых ситуаций;
  9. Ходить на массаж;
  10. Ежегодно проходить диагностику.
  1. Сильные физические нагрузки. Труд должен чередоваться с отдыхом;
  2. Употребление препаратов без консультации врача;
  3. Психологические нагрузки;
  4. Профессиональное занятие спортом.

Невзирая на такие рекомендации врача, психологи советуют не ограждать ребенка от школы, развлечений с друзьями. Дети должны самостоятельно пройти все ступени социализации и не чувствовать себе одинокими или огражденными от мира. Поэтому, помимо домашних указаний, с детьми, имеющими дополнительную хорду в левом желудочке сердца, школьный психолог и врач должны проводить беседы и консультации, регулярно проверять состояние ребенка.
Диагностика дополнительной хорды в левом желудочке сердца:

🔍 Видео

✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис ТрушинСкачать

✓ Всё, что нужно знать про окружность | ЕГЭ. Задания 1 и 16. Профильный уровень | Борис Трушин

Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)Скачать

Расчет сегмента окружности по хорде и длине цилиндрической поверхности (трансцендентное уравнение)

Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Ось симметрииСкачать

Ось симметрии

КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 классСкачать

КАК НАЙТИ ДИАМЕТР ОКРУЖНОСТИ, ЕСЛИ ИЗВЕСТНА ДЛИНА ОКРУЖНОСТИ? Примеры | МАТЕМАТИКА 6 класс

Стрим с Борисом Надеждиным, Екатериной Дунцовой и Дмитрием КисиевымСкачать

Стрим с Борисом Надеждиным, Екатериной Дунцовой и Дмитрием Кисиевым

Окружность. Как найти Радиус и ДиаметрСкачать

Окружность. Как найти Радиус и Диаметр

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.Скачать

Окружнось. Зависимость длины хорды, от длины дуги.
Поделиться или сохранить к себе: