Геометрия | 10 — 11 классы
Даны векторы а и b : a = 2, b = корень из 3, a ^ b = 150.
Отложим от одной точки вектор а и 2 вектора b, обозначим 2b = c, тогда длина c = 2b = 2√3
вектора а, с и а — с образуют треугольник, где нам известно
a = 2 ; c = 2√3 и (a ^ c) = 150 (b и с — сонаправлены)
по теореме косинусов находим |a — c| = √(а² + с² — 2 * а * с * cos150) = √(16 + 12) = √28 — это и есть наш ответ.
- В треугольнике ABC дано : АС(вектор) = (вектор) а, АB(вектор) = (вектор)b, AD — медиана?
- Даны векторы а и б, причем Вектор а = 4j(вектор) — 3k(вектор) Модуль вектора b = Корень 2 Вектор а ^ б = 45?
- Дан параллелограмм АВСД и вектор АВ = вектору а, вектор АД = вектору б?
- Даны вектора а и вектор b найдите координаты вектора вектор а + 2вектор b?
- Даны векторы a и b : |a| = 2, вектор| b| = корень из2, угол векторов(а, b) = 135 градусов?
- Даны векторы а( — 1 ; — 4) и в( — 2 ; 3) Найдите длину вектора — 2а + в?
- Дан параллелограмм авсд и вектор ав = а, ад = в найдите сумму векторов?
- Дан паралелограмм ABCD?
- Даны векторы а(3, 0, — 1) и b( — 5, КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ ИЗ 5, 0)?
- Дан параллелограмм ABCD?
- Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.
- Нахождение угла между векторами
- Нахождение угла между векторами
В треугольнике ABC дано : АС(вектор) = (вектор) а, АB(вектор) = (вектор)b, AD — медиана?
В треугольнике ABC дано : АС(вектор) = (вектор) а, АB(вектор) = (вектор)b, AD — медиана.
Найдите вектор 1 / 4 AD(вектор).
Даны векторы а и б, причем Вектор а = 4j(вектор) — 3k(вектор) Модуль вектора b = Корень 2 Вектор а ^ б = 45?
Даны векторы а и б, причем Вектор а = 4j(вектор) — 3k(вектор) Модуль вектора b = Корень 2 Вектор а ^ б = 45.
Дан параллелограмм АВСД и вектор АВ = вектору а, вектор АД = вектору б?
Дан параллелограмм АВСД и вектор АВ = вектору а, вектор АД = вектору б.
Найдите сумму векторов : а)вектор АВ и вектор АД ; б) вектор СД и ВС.
Даны вектора а и вектор b найдите координаты вектора вектор а + 2вектор b?
Даны вектора а и вектор b найдите координаты вектора вектор а + 2вектор b?
Даны векторы a и b : |a| = 2, вектор| b| = корень из2, угол векторов(а, b) = 135 градусов?
Даны векторы a и b : |a| = 2, вектор| b| = корень из2, угол векторов(а, b) = 135 градусов.
Найдите векторов |a — 2b|.
Даны векторы а( — 1 ; — 4) и в( — 2 ; 3) Найдите длину вектора — 2а + в?
Даны векторы а( — 1 ; — 4) и в( — 2 ; 3) Найдите длину вектора — 2а + в.
Дан параллелограмм авсд и вектор ав = а, ад = в найдите сумму векторов?
Дан параллелограмм авсд и вектор ав = а, ад = в найдите сумму векторов.
Дан паралелограмм ABCD?
Дан паралелограмм ABCD.
Найдите разность векторов : 1)Вектор АВ — вектор АС 2)Вектор ВС — вектор СD.
Даны векторы а(3, 0, — 1) и b( — 5, КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ ИЗ 5, 0)?
Даны векторы а(3, 0, — 1) и b( — 5, КОРЕНЬ КВАДРАТНЫЙ ИЗ 5, 0).
Найдите число k, при котором векторы а + kb и 2b перпендикулярны.
Дан параллелограмм ABCD?
Дан параллелограмм ABCD.
Найдите сумму ВЕКТОР АВ + ВЕКТОР СD.
На этой странице сайта вы найдете ответы на вопрос Даны векторы а и b : a = 2, b = корень из 3, a ^ b = 150?, относящийся к категории Геометрия. Сложность вопроса соответствует базовым знаниям учеников 10 — 11 классов. Для получения дополнительной информации найдите другие вопросы, относящимися к данной тематике, с помощью поисковой системы. Или сформулируйте новый вопрос: нажмите кнопку вверху страницы, и задайте нужный запрос с помощью ключевых слов, отвечающих вашим критериям. Общайтесь с посетителями страницы, обсуждайте тему. Возможно, их ответы помогут найти нужную информацию.
Надеюсь что понятно.
R = a / корень из 2 — формула нахождения радиуса описанной окружности. А — сторона квадрата R = 8 * корень из 2 / корень из 2 = 8 (сокращаем корни).
А)Около четырехугольника можно описать окружность, если суммы углов равны 180°. По теореме косинусов из треугольника АВС : АC2 = AB2 + CB2–2·AB·CB·cos∠B 49 = 9 + 25–30·cos∠B cos∠B = 15 / (–30) = –1 / 2 По теореме косинусов из треугольника АDС : АC2 ..
Решение : A = B 180 — (56 + 56) = 68.
Квадратный корень из 3 * 3 + 5 * 5 9 + 25 = 34 корень из 34 (клеток).
S = (8×11) / 2 = 44 Площадь равна полупроизведению двух катетов.
Трапеция прямоугольная, Углы А и В по 90 градДиагональ ВД является основанием равнобедренного тре — ка ВДС (по усл)Углы при основании будут равныПоскольку в трап основания параллельны, то диагональ ВД — секущая, углы СВД и ВДА противолежащие и равные..
АВС — рівнобедрений трикутник, у якого АВ = ВС = 50 ; ВК⊥АС. За умовою ВК = х ; АС = 1, 5х ; АК = 0, 75х. ΔАВК. АК² + ВК² = АВ² ; (0, 75х)² + х² = 2500 ; х² = 1600 ; х = 40 ; ВК = 40 см ; АС = 1, 5·40 = 60 см. S(АВС) = 0, 5ВК·АС = 0, 5·40·60 = 12..
В четырехугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке О. DO = BO, DM — медиана треугольника ADO, BN — медиана треугольника CBO ; MO = NO. Доказать, что треугольник AMD = треугольнику CNB * * * В ∆ ВОN и ∆ MOD стороны МО = ОN ; ВО = ОD (дано), ∠ВОN..
ВЕ — биссектриса угла АВD ромба ( дано на рисунке). Угол ВЕD = 150° Примем угол DBE равным х. Угол ВDЕ = ∠ABD, поэтому угол ВDE = 2х В треугольнике ВЕD сумма∠ВЕD + ∠DBE + EDB = 180° 150° + х + 2х = 180°⇒ 3х = 30 х = 10 Диагонали ромба являются бисс..
Вектор. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.
Скалярным произведением (или внутренним произведением) 2 векторов есть операция с двумя
векторами, итогом чего является число (скаляр), которое не зависит от системы координат и которое
характеризует длины векторов-сомножителей и угол между векторами.
Также скалярным произведением двух векторов называется число, которое
равно произведению модулей 2 векторов на косинус угла между векторами.
Скалярное произведение векторов формула:
Этой операции соответствует умножение длины вектора x на проекцию вектора y на вектор x. Эта
операция зачастую рассматривается как коммутативная и линейная по каждому из сомножителей.
Скалярное произведение векторов ,, обозначается так: (порядок записи сомножителей не имеет
значения, т.е. ).
Еще используются такие обозначения: , , .
В основном имеется ввиду, что скалярное произведение определено положительно, т.е.
при каждом . Если этого не иметь ввиду, то произведение зовется индефинитным
(неопределенным).
Если хотя бы один из 2 векторов или равен нулевому вектору (равен нулю), то .
Свойства скалярного произведения векторов.
1. — симметричность.
2. обозначается и зовется скалярный квадрат.
3. Если , то
4. Если и и и , то . Обратное утверждение тоже соответствует
5.
6.
7.
Если же векторы и заданы своими координатами: , , то: скалярное
произведение векторов, формула:
Формула для определения длины вектора:
Длина (модуль) вектора, с известными координатами, равен квадратному корню из суммы квадратов
Длина вектора , заданного своими координатами, равна:
Как определить угол между 2 векторами:
Как найти угол между двумя векторами , , формула:
Ежели угол меж двумя векторами острый, то их скалярное произведение имеет положительный знак; если
же угол между двумя векторами тупой, то их скалярное произведение имеет отрицательный знак.
Скалярное произведение двух ненулевых векторов равно нулю, тогда и только тогда, когда эти векторы
ортогональны.
Альтернативное определение скалярного произведения векторов (вычисление скалярного
произведения двух векторов, заданных своими координатами).
Вычислить координаты вектора, если заданы координаты его начала и его конца очень просто. Давайте
рассмотрим этот вопрос:
Пусть есть вектор AB, точка А – это начало вектора, а В — конец, и координаты этих точек приведены ниже:
Исходя из этого, координаты вектора АВ:
Точно так же и в двухмерном пространстве – разница в отсутствии третьих координат.
Итак, предположим, даны два вектора, которые заданы набором координат своих точек:
а) В двухмерном пространстве (плоскость):
Значит, скалярное произведение этих векторов вычислим по формуле:
б) В трехмерном пространстве:
Как и в двухмерном случае, скалярное произведение двух векторов вычисляем по формуле:
Нахождение угла между векторами
Длина вектора, угол между векторами – эти понятия являются естественно-применимыми и интуитивно понятными при определении вектора как отрезка определенного направления. Ниже научимся определять угол между векторами в трехмерном пространстве, его косинус и рассмотрим теорию на примерах.
Для рассмотрения понятия угла между векторами обратимся к графической иллюстрации: зададим на плоскости или в трехмерном пространстве два вектора a → и b → , являющиеся ненулевыми. Зададим также произвольную точку O и отложим от нее векторы O A → = b → и O B → = b →
Углом между векторами a → и b → называется угол между лучами О А и О В .
Полученный угол будем обозначать следующим образом: a → , b → ^
Очевидно, что угол имеет возможность принимать значения от 0 до π или от 0 до 180 градусов.
a → , b → ^ = 0 , когда векторы являются сонаправленными и a → , b → ^ = π , когда векторы противоположнонаправлены.
Векторы называются перпендикулярными, если угол между ними равен 90 градусов или π 2 радиан.
Если хотя бы один из векторов является нулевым, то угол a → , b → ^ не определен.
Нахождение угла между векторами
Косинус угла между двумя векторами, а значит и собственно угол, обычно может быть определен или при помощи скалярного произведения векторов, или посредством теоремы косинусов для треугольника, построенного на основе двух данных векторов.
Согласно определению скалярное произведение есть a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .
Если заданные векторы a → и b → ненулевые, то можем разделить правую и левую части равенства на произведение длин этих векторов, получая, таким образом, формулу для нахождения косинуса угла между ненулевыми векторами:
cos a → , b → ^ = a → , b → a → · b →
Данная формула используется, когда в числе исходных данных есть длины векторов и их скалярное произведение.
Исходные данные: векторы a → и b → . Длины их равны 3 и 6 соответственно, а их скалярное произведение равно — 9 . Необходимо вычислить косинус угла между векторами и найти сам угол.
Решение
Исходных данных достаточно, чтобы применить полученную выше формулу, тогда cos a → , b → ^ = — 9 3 · 6 = — 1 2 ,
Теперь определим угол между векторами: a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 2 ) = 3 π 4
Ответ: cos a → , b → ^ = — 1 2 , a → , b → ^ = 3 π 4
Чаще встречаются задачи, где векторы задаются координатами в прямоугольной системе координат. Для таких случаев необходимо вывести ту же формулу, но в координатной форме.
Длина вектора определяется как корень квадратный из суммы квадратов его координат, а скалярное произведение векторов равно сумме произведений соответствующих координат. Тогда формула для нахождения косинуса угла между векторами на плоскости a → = ( a x , a y ) , b → = ( b x , b y ) выглядит так:
cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y a x 2 + a y 2 · b x 2 + b y 2
А формула для нахождения косинуса угла между векторами в трехмерном пространстве a → = ( a x , a y , a z ) , b → = ( b x , b y , b z ) будет иметь вид: cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y + a z · b z a x 2 + a y 2 + a z 2 · b x 2 + b y 2 + b z 2
Исходные данные: векторы a → = ( 2 , 0 , — 1 ) , b → = ( 1 , 2 , 3 ) в прямоугольной системе координат. Необходимо определить угол между ними.
Решение
- Для решения задачи можем сразу применить формулу:
cos a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 · 1 2 + 2 2 + 3 2 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = a r c cos ( — 1 70 ) = — a r c cos 1 70
- Также можно определить угол по формуле:
cos a → , b → ^ = ( a → , b → ) a → · b → ,
но предварительно рассчитать длины векторов и скалярное произведение по координатам: a → = 2 2 + 0 2 + ( — 1 ) 2 = 5 b → = 1 2 + 2 2 + 3 2 = 14 a → , b → ^ = 2 · 1 + 0 · 2 + ( — 1 ) · 3 = — 1 cos a → , b → ^ = a → , b → ^ a → · b → = — 1 5 · 14 = — 1 70 ⇒ a → , b → ^ = — a r c cos 1 70
Ответ: a → , b → ^ = — a r c cos 1 70
Также распространены задачи, когда заданы координаты трех точек в прямоугольной системе координат и необходимо определить какой-нибудь угол. И тогда, для того, чтобы определить угол между векторами с заданными координатами точек, необходимо вычислить координаты векторов в виде разности соответствующих точек начала и конца вектора.
Исходные данные: на плоскости в прямоугольной системе координат заданы точки A ( 2 , — 1 ) , B ( 3 , 2 ) , C ( 7 , — 2 ) . Необходимо определить косинус угла между векторами A C → и B C → .
Решение
Найдем координаты векторов по координатам заданных точек A C → = ( 7 — 2 , — 2 — ( — 1 ) ) = ( 5 , — 1 ) B C → = ( 7 — 3 , — 2 — 2 ) = ( 4 , — 4 )
Теперь используем формулу для определения косинуса угла между векторами на плоскости в координатах: cos A C → , B C → ^ = ( A C → , B C → ) A C → · B C → = 5 · 4 + ( — 1 ) · ( — 4 ) 5 2 + ( — 1 ) 2 · 4 2 + ( — 4 ) 2 = 24 26 · 32 = 3 13
Ответ: cos A C → , B C → ^ = 3 13
Угол между векторами можно определить по теореме косинусов. Отложим от точки O векторы O A → = a → и O B → = b → , тогда, согласно теореме косинусов в треугольнике О А В , будет верным равенство:
A B 2 = O A 2 + O B 2 — 2 · O A · O B · cos ( ∠ A O B ) ,
b → — a → 2 = a → + b → — 2 · a → · b → · cos ( a → , b → ) ^
и отсюда выведем формулу косинуса угла:
cos ( a → , b → ) ^ = 1 2 · a → 2 + b → 2 — b → — a → 2 a → · b →
Для применения полученной формулы нам нужны длины векторов, которые несложно определяются по их координатам.
Хотя указанный способ имеет место быть, все же чаще применяют формулу: