Пересечение двух окружностей теоремы

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Пересечение двух окружностей теоремыОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Пересечение двух окружностей теоремыСвойства хорд и дуг окружности
Пересечение двух окружностей теоремыТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Пересечение двух окружностей теоремыДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Пересечение двух окружностей теоремыТеорема о бабочке

Пересечение двух окружностей теоремы

Видео:Теорема о числе точек пересечения двух окружностейСкачать

Теорема о числе точек пересечения двух окружностей

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьПересечение двух окружностей теоремы
КругПересечение двух окружностей теоремы
РадиусПересечение двух окружностей теоремы
ХордаПересечение двух окружностей теоремы
ДиаметрПересечение двух окружностей теоремы
КасательнаяПересечение двух окружностей теоремы
СекущаяПересечение двух окружностей теоремы
Окружность
Пересечение двух окружностей теоремы

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругПересечение двух окружностей теоремы

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусПересечение двух окружностей теоремы

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаПересечение двух окружностей теоремы

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрПересечение двух окружностей теоремы

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяПересечение двух окружностей теоремы

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяПересечение двух окружностей теоремы

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностей

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеПересечение двух окружностей теоремыДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыПересечение двух окружностей теоремыЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныПересечение двух окружностей теоремыБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиПересечение двух окружностей теоремыУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыПересечение двух окружностей теоремыДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Пересечение двух окружностей теоремы

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыПересечение двух окружностей теоремы

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыПересечение двух окружностей теоремы

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиПересечение двух окружностей теоремы

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныПересечение двух окружностей теоремы

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиПересечение двух окружностей теоремы

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыПересечение двух окружностей теоремы

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Пересечение двух окружностейСкачать

Пересечение двух окружностей

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Пересечение двух окружностей теоремы

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересечение двух окружностей теоремы

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыПересечение двух окружностей теоремы
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиПересечение двух окружностей теоремы
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиПересечение двух окружностей теоремы
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаПересечение двух окружностей теоремы

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Пересечение двух окружностей теоремы

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересекающиеся хорды
Пересечение двух окружностей теоремы
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Пересечение двух окружностей теоремы
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Пересечение двух окружностей теоремы
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Пересечение двух окружностей теоремы
Пересекающиеся хорды
Пересечение двух окружностей теоремы

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Пересечение двух окружностей теоремы

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересечение двух окружностей теоремы

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересечение двух окружностей теоремы

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересечение двух окружностей теоремы

Видео:Пересечение двух окружностейСкачать

Пересечение двух окружностей

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересечение двух окружностей теоремы

Тогда справедливо равенство

Пересечение двух окружностей теоремы

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Пересечение двух окружностей теоремы

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересечение двух окружностей теоремы

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Пересечение двух окружностей теоремы

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Пересечение двух окружностей теоремы

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересечение двух окружностей теоремы

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Пересечение двух окружностей теоремы

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересечение двух окружностей теоремы

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Пересечение двух окружностей теоремы

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Алгоритмы. Пересечение окружностейСкачать

Алгоритмы. Пересечение окружностей

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересечение двух окружностей теоремы

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересечение двух окружностей теоремы

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересечение двух окружностей теоремы

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересечение двух окружностей теоремы

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересечение двух окружностей теоремы

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересечение двух окружностей теоремы

Пересечение двух окружностей теоремы

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Пересечение двух окружностей теоремы

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:Геометрия 9 класс (Урок№10 - Взаимное расположение двух окружностей.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№10 - Взаимное расположение двух окружностей.)

Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO1).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O1 имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO1.

Опустим из A на прямую OO1 перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA1, равное AB. Докажем теперь, что точка A1 принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O1 лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA1 через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A1. То же можно сказать и о точке O1. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A1.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A1 (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA1) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O1, радиусами R и R1 и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

Пересечение двух окружностей теоремы

1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R1 .

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R1, так как точка касания лежит на линии центров O O1.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R1, потому что в треугольнике OAO1 сторона OO1 меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R1, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO1.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R1, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R1, то окружности касаются извне.

3. Если d R — R1, то окружности пересекаются.

4. Если d = R — R1, то окружности касаются изнутри.

5. Если d R Е R1. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

Видео:Пересечение двух окружностейСкачать

Пересечение двух окружностей

Основные теоремы, связанные с окружностями

Радикальная ось — прямая, проходящая через точки пересечения двух окружностей.
Линия центров окружностей — прямая, проходящая через центры двух окружностей.

Теорема 1.

1) Радикальная ось перпендикулярна линии центров окружностей.
2) Отрезки касательных, проведенных из любой точки радикальной оси к этим окружностям, равны.

Пересечение двух окружностей теоремы

Доказательство:

1) Рассмотрим (triangle BMN) и (triangle AMN) : они равны по трем сторонам ( (BM=AM=R_1, BN=AN=R_2) — радиусы первой и второй окружностей соответственно). Таким образом, (angle BNM=angle ANM) , следовательно, (MN) — биссектриса в равнобедренном (triangle ANB) , следовательно, (MNperp AB) .

2) Отметим произвольную точку (O) на радикальной оси и проведем касательные (OK_1, OK_3) к первой окружности и (OK_2, OK_4) ко второй окружности. Т.к. квадрат отрезка касательной равен произведению секущей на ее внешнюю часть, то (OK_1^2=OK_2^2=OK_3^2=OK_4^2=OBcdot OA) .

Теорема 2.

Пусть две окружности с центрами (M) и (N) касаются внешним образом в точке (A) . Две общие касательные (внутренняя и внешняя) (a) и (b) этих окружностей пересекаются в точке (B) . Точки касания — точки (A, K_1, K_2) (как показано на рисунке). Тогда [(1) <large>] [(2) <large>]

Пересечение двух окружностей теоремы

Доказательство:

1) Т.к. (BA) и (BK_1) — две касательные, проведенные к первой окружности из одной точки, то отрезки касательных равны: (BA=BK_1) . Аналогично, (BA=BK_2) . Таким образом, (BA=BK_1=BK_2) .

2) Значит, (BA) — медиана в (triangle K_1AK_2) , равная половине стороны, к которой она проведена. Значит, (angle A=90^circ) .

Теорема 3.

Пусть две окружности касаются внешним образом в точке (A) . Через точку (A) проведены две прямые (B_1B_2) и (C_1C_2) , пересекающие каждую окружность в двух точках, как показано на рисунке. Тогда: [(1) <large>] [(2) <large>]

Пересечение двух окружностей теоремы

Доказательство:

1) Проведем через точку (A) общую касательную этих окружностей (OQ) . (angle OAC_2=angle QAC_1=alpha) как вертикальные. Т.к. угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен половине дуги, заключенной между ними, то (angle OAC_2=frac12buildrelsmileover) , (angle QAC_1=frac12buildrelsmileover) . Следовательно, (buildrelsmileover=buildrelsmileover=2alpha) . Таким образом, (angle AB_1C_1=angle AB_2C_2=alpha) . Значит, по двум углам (triangle AB_1C_1sim triangle AB_2C_2) .

2) Т.к. (angle AB_1C_1=angle AB_2C_2) , то прямые (B_1C_1parallel B_2C_2) по накрест лежащим углам при секущей (B_1B_2) .

Теорема Птолемея

Во вписанном четырехугольнике произведение диагоналей равно сумме произведений противоположных сторон: [ACcdot BD=ABcdot CD+BCcdot AD]

Доказательство

Пусть для определенности (angle ABD . Проведем отрезок (BO) так, чтобы (O) лежала на (AC) и (angle ABD=angle CBO) :

Пересечение двух окружностей теоремы

Т.к. (angle ACB=angle ADB) (опираются на одну и ту же дугу), то по двум углам (triangle OBCsim triangle ABD) . Значит: [dfrac=dfrac Rightarrow ADcdot BC=OCcdot BDphantom (1)]

Т.к. (angle BAC=angle BDC) (опираются на одну и ту же дугу), (angle ABO=angle CBD) (состоят из равных по построению (оранжевых) углов и общего угла (angle DBO) ), то по двум углам (triangle ABOsim triangle BDC) . Значит: [dfrac=dfrac Rightarrow ABcdot CD=AOcdot BD phantom (2)]

Сложим равенства ((1)) и ((2)) : (ADcdot BC+ABcdot CD=OCcdot BD+AOcdot BD=ACcdot BD) , чтд.

Формула Эйлера:

Пусть (R) — радиус описанной около треугольника (ABC) окружности, (r) — радиус вписанной окружности. Тогда расстояние (d) между центрами этих окружностей вычисляется по формуле: [<large>]
Пересечение двух окружностей теоремы

Доказательство:

а) Предположим, что (dne 0) . Пусть (O, Q) — центры описанной и вписанной окружности соответственно. Проведем диаметр описанной окружности (PS) через точку (Q) . Проведем также биссектрисы углов (angle A, angle B) — (AA_1, BB_1) соответственно (заметим, что они пересекутся в точке (Q) , т.к. центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис). Хорды (PS) и (BB_1) пересекаются, следовательно, отрезки этих хорд равны: (PQcdot QS=BQcdot QB_1) .

Т.к. (OP=OS=R, OQ=d) , то последнее равенство можно переписать в виде ((R-d)(R+d)=BQcdot QB_1 (*)) .

Заметим, что т.к. (AA_1, BB_1) — биссектрисы, то (buildrelsmileover=buildrelsmileover=x, buildrelsmileover=buildrelsmileover=y) . Т.к. угол между хордами равен полусумме дуг, заключенных между ними, то:
(angle AQB_1=frac12(x+y)) .

С другой стороны, (angle B_1AA_1=frac12big(buildrelsmileover+buildrelsmileoverbig)=frac12(x+y))

Таким образом, (angle AQB_1=angle B_1AA_1) . Следовательно, (triangle QB_1A) — равнобедренный и (B_1Q=B_1A) . Значит, равенство ((*)) можно переписать как:
(R^2-d^2=BQcdot AB_1 (**)) .

Проведем еще один диаметр описанной окружности (B_1B_2) . Тогда (triangle B_1AB_2) — прямоугольный ( (angle A) опирается на диаметр). Пусть также вписанная окружность касается стороны (AB) в точке (K) . Тогда (triangle BKQ) — прямоугольный.
Заметим также, что (angle KBQ=angle AB_2B_1) (т.к. они опираются на одну и ту же дугу).
Значит, (triangle B_1AB_2sim triangle BKQ) по двум углам, следовательно:

(dfrac=dfrac Rightarrow dfrac=dfrac Rightarrow BQcdot AB_1=2Rr) .

Подставим это в ((**)) и получим:

(R^2-d^2=2Rr Rightarrow d^2=R^2-2Rr) .

б) Если (d=0) , т.е. центры вписанной и описанной окружностей совпадают, то (AK=BK=sqrt Rightarrow AB=2sqrt) . Аналогично (AC=BC=AB=sqrt) , т.е. треугольник равносторонний. Следовательно, (angle A=60^circ Rightarrow angle KAO=30^circ Rightarrow r=frac12R Rightarrow R=2r) или (0=R^2-2Rr) (т.е. в этом случае формула также верна).

Теорема о бабочке:

Пусть через середину хорды (AB) — точку (O) , проведены две хорды (MN) и (KP) . Пусть (MPcap AB=X, KNcap AB=Y) . Тогда [<large>]

Пересечение двух окружностей теоремы

Доказательство:

Проведем перпендикуляры (XX_1, YY_2perp MN, XX_2, YY_1perp KP) .
Следующие углы равны, т.к. опираются на одну и ту же дугу: (angle PMO=angle NKO, angle MPO=angle KNO) .
Следующие углы равны, т.к. вертикальные: (angle XOX_1=angle YOY_2, angle XOX_2=angle YOY_1) .

Следующие прямоугольные треугольники подобны:

1) (triangle XX_1Osim triangle YY_2O Rightarrow dfrac=dfrac)

2) (triangle XX_2Osim triangle YY_1O Rightarrow dfrac=dfrac)

3) (triangle MXX_1sim triangle KYY_1 Rightarrow dfrac=dfrac)

4) (triangle PXX_2sim triangle NYY_2 Rightarrow dfrac=dfrac)

Из 1) и 2) следует, что

Из 3) и 4) следует, что

Совместив последние два равенства, получим:

Заметим, что для пересекающихся хорд (AB) и (MP) : (AXcdot XB=MXcdot PX) . Аналогично (AYcdot YB=KYcdot NY) . Значит:

Обозначим (OX=x, OY=y, OA=OB=t Rightarrow)

🌟 Видео

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Точка пересечения двух окружностей равноудалена ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Точка пересечения двух окружностей равноудалена ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

Взаимное расположение двух окружностейСкачать

Взаимное расположение двух окружностей

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.Скачать

Взаимное расположение окружностей. 7 класс.

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Теорема о числе точек пересечения окружности и прямойСкачать

Теорема о числе точек пересечения окружности и прямой

Общая хорда двух окружностейСкачать

Общая хорда двух окружностей

Взаимное расположение окружностей. Точки пересечения окружностейСкачать

Взаимное расположение окружностей. Точки пересечения окружностей

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

Геометрия В точках пересечения двух окружностей с радиусами 4 и 8 см касательные к ним взаимноСкачать

Геометрия В точках пересечения двух окружностей с радиусами 4 и 8 см касательные к ним взаимно
Поделиться или сохранить к себе: