Уравнение окружности в декартовых координатах

Декартовы координаты точек плоскости. Уравнение окружности
Уравнение окружности в декартовых координатахЧисловая ось
Уравнение окружности в декартовых координатахПрямоугольная декартова система координат на плоскости
Уравнение окружности в декартовых координатахФормула для расстояния между двумя точками координатной плоскости
Уравнение окружности в декартовых координатахУравнение окружности на координатной плоскости

Уравнение окружности в декартовых координатах

Видео:9 класс. Геометрия. Декартовы координаты. Уравнение окружности. Уравнение прямой. Урок #6Скачать

9 класс. Геометрия. Декартовы координаты. Уравнение окружности. Уравнение прямой. Урок #6

Числовая ось

Определение 1 . Числовой осью ( числовой прямой, координатной прямой ) Ox называют прямую линию, на которой точка O выбрана началом отсчёта (началом координат) (рис.1), направление

указано в качестве положительного направления и отмечен отрезок, длина которого принята за единицу длины.

Уравнение окружности в декартовых координатах

Уравнение окружности в декартовых координатах

Определение 2 . Отрезок, длина которого принята за единицу длины, называют масштабом .

Каждая точка числовой оси имеет координату , являющуюся вещественным числом. Координата точки O равна нулю. Координата произвольной точки A , лежащей на луче Ox , равна длине отрезка OA . Координата произвольной точки A числовой оси, не лежащей на луче Ox , отрицательна, а по абсолютной величине равна длине отрезка OA .

Видео:9 класс, 6 урок, Уравнение окружностиСкачать

9 класс, 6 урок, Уравнение окружности

Прямоугольная декартова система координат на плоскости

Определение 3 . Прямоугольной декартовой системой координат Oxy на плоскости называют две взаимно перпендикулярных числовых оси Ox и Oy с одинаковыми масштабами и общим началом отсчёта в точке O , причём таких, что поворот от луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении против хода часовой стрелки (рис.2).

Уравнение окружности в декартовых координатах

Уравнение окружности в декартовых координатах

Замечание . Прямоугольную декартову систему координат Oxy , изображённую на рисунке 2, называют правой системой координат , в отличие от левых систем координат , в которых поворот луча Ox на угол 90° до луча Oy осуществляется в направлении по ходу часовой стрелки. В данном справочнике мы рассматриваем только правые системы координат, не оговаривая этого особо.

Если на плоскости ввести какую-нибудь систему прямоугольных декартовых координат Oxy , то каждая точка плоскости приобретёт две координатыабсциссу и ординату, которые вычисляются следующим образом. Пусть A – произвольная точка плоскости. Опустим из точки A перпендикуляры AA1 и AA2 на прямые Ox и Oy соответственно (рис.3).

Уравнение окружности в декартовых координатах

Уравнение окружности в декартовых координатах

Определение 4 . Абсциссой точки A называют координату точки A1 на числовой оси Ox , ординатой точки A называют координату точки A2 на числовой оси Oy .

Обозначение . Координаты (абсциссу и ординату) точки A в прямоугольной декартовой системе координат Oxy (рис.4) принято обозначать A (x ; y) или A = (x ; y).

Уравнение окружности в декартовых координатах

Уравнение окружности в декартовых координатах

Замечание . Точка O , называемая началом координат , имеет координаты O (0 ; 0) .

Определение 5 . В прямоугольной декартовой системе координат Oxy числовую ось Ox называют осью абсцисс , а числовую ось Oy называют осью ординат (рис. 5).

Определение 6 . Каждая прямоугольная декартова система координат делит плоскость на 4 четверти ( квадранта ), нумерация которых показана на рисунке 5.

Уравнение окружности в декартовых координатах

Уравнение окружности в декартовых координатах

Определение 7 . Плоскость, на которой задана прямоугольная декартова система координат, называют координатной плоскостью .

Замечание . Ось абсцисс задаётся на координатной плоскости уравнением y = 0 , ось ординат задаётся на координатной плоскости уравнением x = 0.

Видео:Уравнение окружности в декартовых координатахСкачать

Уравнение окружности в декартовых координатах

Формула для расстояния между двумя точками координатной плоскости

Утверждение 1 . Расстояние между двумя точками координатной плоскости

вычисляется по формуле

Уравнение окружности в декартовых координатах

Доказательство . Рассмотрим рисунок 6.

Уравнение окружности в декартовых координатах

Уравнение окружности в декартовых координатах

| A1A2| 2 =
= ( x2x1) 2 + ( y2y1) 2 .
(1)

Уравнение окружности в декартовых координатах

что и требовалось доказать.

Видео:ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямойСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 9 класс: Уравнение окружности и прямой

Уравнение окружности на координатной плоскости

Уравнение окружности в декартовых координатах

Уравнение окружности в декартовых координатах

Поскольку расстояние от любой точки окружности до центра равно радиусу, то, в соответствии с формулой (1), получаем:

Уравнение (2) и есть искомое уравнение окружности радиуса R с центром в точке A0 (x0 ; y0) .

Следствие . Уравнение окружности радиуса R с центром в начале координат имеет вид

Видео:Уравнение окружности (1)Скачать

Уравнение окружности (1)

Окружность

Уравнение окружности в декартовых координатахОпределение: замкнутая плоская кривая, все точки которой одинаково удалены от данной точки (центра О), лежащей в той же плоскости, что и кривая.

Определения связанные с окружностью

Хорда: отрезок, соединяющий две точки окружности.

Диаметр: хорда, проходящая через центр окружности. Диаметром окружности также называют длину этой хорды.

Пи ( Уравнение окружности в декартовых координатах ): Число 3, 141 592 653 589 793 . , равное отношению длины окружности к диаметру.

Радиус: отрезок, соединяющий центр окружности с какой-либо ее точкой (а так же длина этого отрезка).

Сектор круга: фигура, ограниченная двумя радиусами и дугой, на которую они опираются.

Касательная к окружности: прямая, перпендикулярная радиусу окружности, проведенная в точку касания.

Диаметр = 2 x радиус окружности

Длина окружности = Уравнение окружности в декартовых координатах x диаметр = 2 Уравнение окружности в декартовых координатахx радиус

Площадь круга :
площадь = Уравнение окружности в декартовых координатахr 2 Уравнение окружности в декартовых координатах

Длина дуги окружности: (с центральным углом Уравнение окружности в декартовых координатах )
если Уравнение окружности в декартовых координатах выражен в градусах, то длина = Уравнение окружности в декартовых координатах x ( Уравнение окружности в декартовых координатах/180) x r
если Уравнение окружности в декартовых координатах выражен в радианах, то длина = r x Уравнение окружности в декартовых координатах

Площадь сектора окружности: (с центральным углом q )
если Уравнение окружности в декартовых координатах выражен в градусах, то площадь = ( Уравнение окружности в декартовых координатах /360) x Уравнение окружности в декартовых координатахr 2
если Уравнение окружности в декартовых координатах выражен в радианах, то площадь = ( Уравнение окружности в декартовых координатах /2) x Уравнение окружности в декартовых координатахr 2

Уравнение окружности: (в декартовых координатах)
Уравнение окружности в декартовых координатах
для окружности с центром в точке (x0, y 0 ) и радиусом ( r ):

Уравнение окружности в декартовых координатах

Уравнение окружности: (в полярных координатах)
для окружности с центром в точке (0, 0): r ( Уравнение окружности в декартовых координатах ) = радиус

для окружности с центром с полярными координатами: ( c , a ) и радиусом a :
r 2 — 2 cr cos ( Уравнение окружности в декартовых координатах a ) + c 2 = a 2

Видео:ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ. Контрольная № 3 Геометрия 9 класс.Скачать

ДЕКАРТОВЫ КООРДИНАТЫ. Контрольная № 3 Геометрия 9 класс.

Окружность в полярных координатах

Уравнение окружности в полярных координатах выглядит очень просто

Это уравнение показывает, что ρ вообще не зависит от угла φ.

Видео:Уравнение окружности | Геометрия 7-9 класс #90| ИнфоурокСкачать

Уравнение окружности | Геометрия 7-9 класс #90| Инфоурок

Построение окружности по простому уравнению в полярной системе координат

Уравнение окружности в декартовых координатах

Видео:УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИСкачать

УРАВНЕНИЕ ОКРУЖНОСТИ

Еще одно уравнение окружности в полярных координатах

Первый пример был очень простым, теперь возьмем окружность смещенную по оси X в декартовых координатах и получим ее полярное уравнение.

Известно, что окружность в декартовой прямоугольной системе координат описывается уравнением:

Используя эти формулы и подставив их в (1) мы получим:

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

Уравнение окружности в полярных координатах

Изначально после подстановки имеем

И этого уравнения получается система

Первое уравнение системы описывает полюс окружности.

Второе описывает саму окружность в полярной системе координат.

В итоге получаем:

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

10 класс, 11 урок, Числовая окружность

Построение окружности в полярной системе координат

Уравнение окружности в декартовых координатах

Видео:начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.Скачать

начертить окружность. Привести уравнение окружности к стандартному виду. Координаты центра и радиус.

Теперь сместим окружность по вверх, очередное уравнение окружности в полярных координатах

В данном варианте мы сместим окружность по оси Y в декартовых координатах и получим ее полярное уравнение.

При таком смещении окружность описывается уравнением:

И этого уравнения получается система

Первое уравнение системы описывает полюс окружности.

Второе описывает саму окружность в полярной системе координат.

🌟 Видео

Уравнение окружностиСкачать

Уравнение окружности

Уравнение окружности ? Окружность в системе координат / Функция окружностиСкачать

Уравнение окружности ? Окружность в системе координат / Функция окружности

Уравнение Окружности, Круга, Сферы и шара в Декартовой системе координат.Скачать

Уравнение Окружности, Круга, Сферы и шара в Декартовой системе координат.

Уравнение окружности. Практика. Урок 7. Геометрия 9 классСкачать

Уравнение окружности. Практика. Урок 7. Геометрия 9 класс

ПРОСТОЙ СЕКРЕТ ДЛЯ НАЧИНАЮЩИХ! Реши алгебру за 12 минут — Уравнение ОкружностиСкачать

ПРОСТОЙ СЕКРЕТ ДЛЯ НАЧИНАЮЩИХ! Реши алгебру за 12 минут — Уравнение Окружности

№967. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку В (-1; 3).Скачать

№967. Напишите уравнение окружности с центром в начале координат, проходящей через точку В (-1; 3).

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.Скачать

Математика Без Ху!ни. Полярные координаты. Построение графика функции.

Координаты на плоскости и в пространстве. Вебинар | МатематикаСкачать

Координаты на плоскости и в пространстве. Вебинар | Математика
Поделиться или сохранить к себе: