Параллельные прямые лежащие в разных плоскостях (8 видео)

Параллельность прямых и плоскостей

Содержание

Параллельные прямые
Признак параллельности прямых
Параллельные прямая и плоскость
Признак параллельности прямой и плоскости
Свойство прямой, параллельной данной плоскости
Параллельные плоскости
Признаки параллельности плоскостей
Свойства параллельных плоскостей
Введение в стереометрию. Параллельность
Определение параллельных прямых в пространстве
Понятие о параллельных прямых
Теоремы о параллельности двух прямых
Свойства параллельных прямых в пространстве
Пример задачи о параллельных прямых
🌟 Видео

Видео:Геометрия 10 класс (Урок№4 - Параллельность прямых, прямой и плоскости.)Скачать

Параллельные прямые

Параллельные прямые – прямые, которые лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Признак параллельности прямых

Две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Видео:Параллельность прямых и плоскостей в пространстве. Практическая часть - решение задачи. 10 класс.Скачать

Параллельные прямая и плоскость

Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек.

Признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая, не принадлежащая данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.

Свойство прямой, параллельной данной плоскости

Если плоскость β проходит через прямую a , параллельную плоскости α , и пересекает эту плоскость по прямой b , то b || a .

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные плоскости

Параллельные плоскости – плоскости, которые не пересекаются.

Признаки параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости, то такие плоскости параллельны.

Если каждая из двух данных плоскостей параллельна третьей плоскости, то данные две плоскости параллельны между собой.

Свойства параллельных плоскостей

Если две параллельные плоскости пересекаются третьей плоскостью, то линии пересечения плоскостей параллельны.

Отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя параллельными плоскостями, равны.

Чтобы не потерять страничку, вы можете сохранить ее у себя:

Видео:10 класс, 10 урок, Параллельные плоскостиСкачать

Введение в стереометрию. Параллельность

Важные аксиомы стереометрии

1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна.
Таким образом, любая плоскость однозначно задается тремя точками, не лежащими на одной прямой: (pi=(ABC)) (рис. 1).

2. Если две точки прямой лежат в некоторой плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости: (ain pi) .
Говорят также, что плоскость содержит прямую: (pisubset a) (рис. 2).

3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют и общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.
Таким образом, если плоскости пересекаются, то они пересекаются по прямой: (picap mu=p) .
Данная прямая (p) называется линией пересечения плоскостей (рис. 3).

Заметим, что плоскость обычно изображают в виде внутренности параллелограмма. Почему? Посмотрите, например, сбоку на стол. В виде какой фигуры выглядит столешница?

Следствия из аксиом

1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна (рис. 4).

2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна (рис. 5).

Доказательство

1. Действительно, отметим на прямой (a) некоторые две точки (A) и (B) . Тогда мы получим три точки (A, B, C) , не лежащие на одной прямой. Через них можно провести единственную плоскость (pi) . А т.к. две выбранные точки (A) и (B) прямой лежат в этой плоскости, то и вся прямая лежит в этой плоскости.

2. Действительно, пусть (O) – точка пересечения данных прямых (p) и (q) . Отметим еще по одной точке (P) и (Q) на каждой прямой (отличающиеся от точки (O) ). Получили три точки (P, Q, O) , не лежащие на одной прямой. Через них проходит единственная плоскость (pi) . А т.к. две точки каждой прямой лежат в этой плоскости, то и все точки каждой прямой будут лежать в этой плоскости.

Определения

Две прямые в пространстве параллельны, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Следствие 1

Через две параллельные прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Теорема 1

Через любую точку (A) в пространстве, не лежащую на данной прямой (b) , проходит прямая (a) , параллельная данной, и притом только одна.

Доказательство

Через точку (A) и прямую (b) можно провести единственную плоскость (по аксиоме); пусть эта плоскость называется (pi) . Прямая (a) , параллельная прямой (b) , должна лежать с ней в одной плоскости, а также должна проходить через точку (A) , следовательно, должна лежать в плоскости (pi) . Но в плоскости через точку, не лежащую на прямой, можно провести ровно одну прямую, параллельную данной (теорема планиметрии), чтд.

Теорема 2

Если одна из двух параллельных прямых пересекает плоскость, то и другая прямая пересекает эту плоскость.

Доказательство

Пусть (aparallel b) и (acap pi=A) . Докажем, что и (b) пересечет плоскость (pi) (назовем их точку пересечения (B) ).

Проведем через прямые (a) и (b) плоскость (mu) (это возможно в силу определения параллельных прямых). Тогда плоскости (pi) и (mu) имеют общую точку (A) , следовательно, имеют и общую прямую (p) , на которой лежат все их общие точки. Но т.к. (bparallel a) и (acap p=A) , то прямая (b) тоже пересекает прямую (p) . Значит, прямая (b) пересекает и плоскость (mu) (это и есть точка (B) ).

Теорема 3: о параллельности трех прямых

Если прямая (a) параллельна прямой (b) , а та в свою очередь параллельна прямой (c) , то (aparallel c) .

Доказательство

1) Отметим некоторую точку (C) на прямой (c) и проведем плоскость (pi) через прямую (a) и точку (C) . Прямая (c) будет лежать в этой плоскости. Действительно, т.к. прямая (c) и плоскость (pi) имеют общую точку (C) , то в противном случае прямая (c) будет пересекать эту плоскость. Но т.к. (bparallel c) , то и прямая (b) будет пересекать (pi) ; а т.к. (aparallel b) , то и прямая (a) будет пересекать эту плоскость. А это противоречит нашему построению.

2) Теперь прямые (a) и (c) лежат в одной плоскости, значит, они могут либо пересекаться, либо быть параллельны. Предположим, что (c) пересекает (a) в точке (A) . Тогда получается, что через точку (A) проведены две прямые, параллельные прямой (b) , что противоречит теореме 1.

Определение

Существует три вида взаимного расположения прямой и плоскости:

1. прямая имеет с плоскостью две общие точки (то есть лежит в плоскости) — рис. 4;

2. прямая имеет с плоскостью ровно одну общую точку (то есть пересекает плоскость) — рис. 6;

3. прямая не имеет с плоскостью общих точек (то есть параллельна плоскости).

Теорема 4: признак параллельности прямой и плоскости

Если прямая (a) , не лежащая в плоскости (pi) , параллельна некоторой прямой (p) , лежащей в плоскости (pi) , то она параллельна данной плоскости (рис. 7).

Доказательство

Докажем, что прямая (a) не может пересекать плоскость (pi) (случай, что прямая лежит в плоскости, невозможен по условию). Предположим, что это не так. Во-первых, проведем плоскость (mu) через прямые (a) и (p) (значит, плоскости (pi) и (mu) пересекаются по прямой (p) ). Во-вторых, пусть (acappi=A) . Т.к. (aparallel p) , то точка (A) не может лежать на прямой (p) . Значит, плоскости (pi) и (mu) имеют еще одну общую точку (A) , не лежащую на их линии пересечения, что противоречит аксиоме 3. Чтд.

Следствие 2

Пусть прямая (p) параллельна плоскости (mu) . Если плоскость (pi) проходит через прямую (p) и пересекает плоскость (mu) , то линия пересечения плоскостей (pi) и (mu) — прямая (m) — параллельна прямой (p) (рис. 8).

Доказательство

Т.к. прямые (m) и (p) лежат в одной плоскости (pi) , то они могут быть либо параллельны, либо пересекаться, либо совпадать. Совпадать они не могут, потому что тогда (pin mu) , а это противоречит условию. Если (mcap p=O) , то (p) пересекает плоскость (mu) в точке (O) , что опять же противоречит условию. Значит, (mparallel p) .

Следствие 3

Если прямые (a) и (b) параллельны и прямая (a) также параллельна плоскости (alpha) , то и прямая (b) либо параллельна, либо лежит в плоскости (alpha) .

Определение

Существует три типа взаимного расположения плоскостей в пространстве: совпадают (имеют три общие точки, не лежащие на одной прямой), пересекаются (имеют общие точки, лежащие строго на одной прямой), и не имеют общих точек.

Если две плоскости не имеют общих точек, то они называются параллельными плоскостями.

Теорема 5: признак параллельности плоскостей

Если две пересекающиеся прямых из одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым из другой плоскости, то такие плоскости будут параллельны.

Доказательство

Рассмотрим две плоскости (pi) и (mu) и в них пересекающиеся прямые (a, b) и (a_1, b_1) соответственно, такие что (aparallel a_1, bparallel b_1) . Докажем, что плоскости не имеют общих точек.

Предположим, что это не так. Пусть плоскости имеют общую точку, значит они имеют и общую прямую (y) : (picap mu=y) . Данная прямая не может быть параллельна обеим прямым (a) и (b) (т.к. они все лежат в одной плоскости (pi) ), значит, хотя бы одну из этих прямых она пересекает. Пусть это будет прямая (a) , то есть (acap y=Y) . Т.к. прямая (y) лежит и в плоскости (mu) , то (Yin mu) , то есть прямая (a) имеет с плоскостью (mu) общую точку (Y) . Но это невозможно, т.к. по признаку параллельности прямой и плоскости прямая (a) параллельна плоскости (mu) . Чтд.

Следствие 4

Если две параллельные плоскости (alpha) и (beta) пересечены третьей плоскостью (gamma) , то линии пересечения плоскостей также параллельны:

[alphaparallel beta, alphacap gamma=a, betacapgamma=b Longrightarrow aparallel b]

Следствие 5

Отрезки параллельных прямых, заключенные между параллельными плоскостями, равны:

[alphaparallel beta, aparallel b Longrightarrow A_1B_1=A_2B_2]

Видео:Параллельность прямой и плоскости. 10 класс.Скачать

Определение параллельных прямых в пространстве

Видео:10 класс, 6 урок, Параллельность прямой и плоскостиСкачать

Понятие о параллельных прямых

Прямые (a) и (b) являются параллельными в трехмерном пространстве только в том случае, если они находятся в одной плоскости и не пересекаются.

Если рассмотреть примеры, то параллельные прямые мы можем наблюдать как противоположные края у прямоугольного или квадратного стола, железнодорожные рельсы и шпалы, провода линий электропередач, линии в тетради в полоску и прочее. Таких примеров из реального мира можно привести очень много.

Другими вариантами прямых, расположенных в 3D-пространстве, есть их скрещивание и пересечение. Пересекающимися есть прямые, имеющие общую точку, она же и есть точкой пересечения. Скрещивающимися есть прямые, расположенные в разных плоскостях и не параллельные между собой.

Есть ряд теорем, описывающих поведение параллельных прямых в пространстве. Рассмотрим их подробнее.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Теоремы о параллельности двух прямых

если две прямые в пространстве перпендикулярные к одной плоскости, то они параллельные между собой;
через точку в пространстве, что не расположена на заданной прямой, возможно провести лишь одну прямую, параллельную заданной.

Доказательство теоремы : Через прямую a и точку (M) , не находящуюся на данной прямой, проведем плоскость ∝. Эта плоскость определяется заданной прямой a и точкой (M) , то есть она однозначно определена.

Для доказательства этой теоремы применим евклидовую аксиому из планиметрии про параллельные прямые.
Таким образом, через точку (M) возможно проложить лишь одну прямую, параллельную прямой (a) , и ее существование доказано. Назовем эту прямую (b) .
Два отрезка будут параллельными при их расположении на параллельных прямых.

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Свойства параллельных прямых в пространстве

Некоторые свойства пересекаются с вышеизложенными теоремами, но все же рассмотрим их все:

имея две параллельных прямых, одна из которых параллельная третьей прямой, можно утверждать, что вторая тоже будет параллельна третьей;
если из двух параллельных прямых одна пересекает некую плоскость, то и вторая так же будет ее пересекать. Это свойство является леммой про две параллельные прямые в пространстве, ее применяют при обоснованиях различных геометрических теорем;
при помощи двух параллельных прямых можно изобразить однозначно заданную плоскость;
через любую точку, находящуюся в 3D-пространстве и не расположенную на заданной прямой, возможно провести лишь одну прямую, что параллельна заданной.

Рассмотрим подробнее лемму про параллельные прямые и докажем ее. К примеру, некая прямая (b) пересекает плоскость (∝) в точке (M) , что расположена на заданной плоскости. Параллельные прямые a и образуют некую плоскость (β) . Таким образом, если точка (M) общая для плоскостей (∝) и (β) , то эти плоскости пересекаются, линию пересечения обозначим c, на ней расположена точка (M) .
Все прямые (a) , (b) и (c) расположены в плоскости (β) .

Не нашли что искали?

Просто напиши и мы поможем

В соответствии с аксиомой планиметрии, при пересечении одной из параллельных прямых третьей прямой, вторая так же будет ее пересекать.

В нашем варианте прямая a пересекает прямую c в точке (K) .

Точка (K) расположена одновременно на прямой a и на плоскости (∝) , значит она есть общей для них. Таким образом, прямая a пересекает плоскость (∝) .

Видео:Стереометрия 10 класс. Часть 1 | МатематикаСкачать

Пример задачи о параллельных прямых

Заданы прямые (a) и (b) , описывающиеся уравнениями. Определить, параллельны ли заданные прямые.
(a: == ) ;

При совпадении прямых или если они параллельны их направляющие векторы (s_1) и ( s_2) будут коллинеарными, таким образом, их координаты будут иметь следующее соотношение:

Для того, чтобы найти направляющие вектора, воспользуемся каноническими уравнениями, таким образом для прямой a вектор (s_1) будет равен .

Для прямой b найдем направляющий вектор при помощи произведения нормальных векторов плоскостей, на которых он расположен:

Таким образом, соблюдается вышеуказанное условие, значит эти прямые либо параллельны, либо совпадают. Необходимо определить каковыми именно они являются: параллельны или совпадают. Возьмем некую точку (K) с координатами (1;2;-1), находящуюся на прямой a, и подставим ее координаты в уравнение прямой (b) :
1-2+1+1=0;1=0,

Равенство не выполняется, таким образом, точка (K) не расположена на прямой (b) , а это означает, что прямые (a) и (b) не совпадают, соответственно они параллельны.