Отрезки ab и cd параллельных прямых

Отрезки АВ и СД параллельных прямых заключены между параллельными плоскостями?

Геометрия | 10 — 11 классы

Отрезки АВ и СД параллельных прямых заключены между параллельными плоскостями.

Найдите АВ, если СД = 3см.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Соединим прямыми точки А и С на одной плоскости и В и Д на другой плоскости.

АС параллельна ВД, так как лежат в параллельных плоскостях и расстояние от А до плоскости b равно расстоянию от С до плоскостиb, соответственно по той же причине на таком же расстояние от плоскости а находятся и точки В и Д.

Четырехугольник АВСД — параллелограмм.

Так как в параллелограммеАВ = СД, а СД = 3см, то и АВ = 3см.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Содержание
  1. Прямая а параллельна плоскость альфа?
  2. Прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей?
  3. Отрезки AB и CD параллельных прямых заключены между параллельными плоскостями?
  4. Отрезки аб и сд параллельных прямых заключены между параллельными плоскостями найти аб если сд = з?
  5. Верно ли, что если плоскость параллельна одной из двух параллельных прямых, которые не лежат в этой плоскости, то она параллельна и другой прямой?
  6. Пожалуйстаааа, помогите?
  7. 1. Отрезки АВ и CD параллельных прямых заключены между параллельными плоскостями?
  8. Если 2 параллельные прямые плоскости β параллельны плоскости α , то почему плоскость β не параллельна плоскости α?
  9. Прямая а параллельна плоскости альфа?
  10. Верно ли следующее утверждение : «Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой лежащей в этой плоскости?
  11. Решение №2292 Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М.
  12. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  13. Определения параллельных прямых
  14. Признаки параллельности двух прямых
  15. Аксиома параллельных прямых
  16. Обратные теоремы
  17. Пример №1
  18. Параллельность прямых на плоскости
  19. Две прямые, перпендикулярные третьей
  20. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  21. Признаки параллельности прямых
  22. Пример №2
  23. Пример №3
  24. Пример №4
  25. Аксиома параллельных прямых
  26. Пример №5
  27. Пример №6
  28. Свойства параллельных прямых
  29. Пример №7
  30. Пример №8
  31. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  32. Расстояние между параллельными прямыми
  33. Пример №9
  34. Пример №10
  35. Справочный материал по параллельным прямым
  36. Перпендикулярные и параллельные прямые
  37. 📹 Видео

Видео:№188. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АССкачать

№188. Отрезки АВ и CD пересекаются в их общей середине. Докажите, что прямые АС

Прямая а параллельна плоскость альфа?

Прямая а параллельна плоскость альфа.

Как через прямую а провести плоскость, параллельную плоскости альфа?

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

Прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей?

Прямая а параллельна одной из двух параллельных плоскостей.

Докажите, что прямая а либо параллельна другой плоскости, либо лежит в ней.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Отрезки AB и CD параллельных прямых заключены между параллельными плоскостями?

Отрезки AB и CD параллельных прямых заключены между параллельными плоскостями.

Найдите AB, если CD = 3см.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Видео:ОГЭ 2022 Математика Задача №23 Вариант 5 Сборник под редакцией Ященко 36 вариантов.Скачать

ОГЭ 2022 Математика Задача №23 Вариант 5 Сборник под редакцией Ященко 36 вариантов.

Отрезки аб и сд параллельных прямых заключены между параллельными плоскостями найти аб если сд = з?

Отрезки аб и сд параллельных прямых заключены между параллельными плоскостями найти аб если сд = з.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Видео:№96. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между плоскостью и параллельнойСкачать

№96. Докажите, что отрезки параллельных прямых, заключенные между плоскостью и параллельной

Верно ли, что если плоскость параллельна одной из двух параллельных прямых, которые не лежат в этой плоскости, то она параллельна и другой прямой?

Верно ли, что если плоскость параллельна одной из двух параллельных прямых, которые не лежат в этой плоскости, то она параллельна и другой прямой?

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Видео:Параллельные прямые. 6 класс.Скачать

Параллельные прямые. 6 класс.

Пожалуйстаааа, помогите?

Выберите номера верных утверждений :

Если две прямые в пространстве параллельны третьей прямой, то эти прямые параллельны или совпадают.

2. Если две плоскости в пространстве параллельны третьей плоскости, то эти плоскости параллельны или совпадают.

3. Если две прямые в пространстве параллельны одной плоскости, то эти прямые параллельны или совпадают.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Видео:№204 Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину ОСкачать

№204 Концы отрезка АВ лежат на параллельных прямых а и b. Прямая, проходящая через середину О

1. Отрезки АВ и CD параллельных прямых заключены между параллельными плоскостями?

1. Отрезки АВ и CD параллельных прямых заключены между параллельными плоскостями.

Найдите АВ, если CD = 3 см.

2. Верно ли утверждение, что плоскости параллельны, если две прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум прямым другой плоскости?

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

Если 2 параллельные прямые плоскости β параллельны плоскости α , то почему плоскость β не параллельна плоскости α?

Если 2 параллельные прямые плоскости β параллельны плоскости α , то почему плоскость β не параллельна плоскости α?

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Видео:ОГЭ по математике Задача 24-3Скачать

ОГЭ по математике Задача 24-3

Прямая а параллельна плоскости альфа?

Прямая а параллельна плоскости альфа.

Существует ли на плоскости а прямая не параллельная прямой а?

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Видео:Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Верно ли следующее утверждение : «Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой лежащей в этой плоскости?

Верно ли следующее утверждение : «Прямая параллельна плоскости, если она параллельна прямой лежащей в этой плоскости?

На этой странице сайта вы найдете ответы на вопрос Отрезки АВ и СД параллельных прямых заключены между параллельными плоскостями?, относящийся к категории Геометрия. Сложность вопроса соответствует базовым знаниям учеников 10 — 11 классов. Для получения дополнительной информации найдите другие вопросы, относящимися к данной тематике, с помощью поисковой системы. Или сформулируйте новый вопрос: нажмите кнопку вверху страницы, и задайте нужный запрос с помощью ключевых слов, отвечающих вашим критериям. Общайтесь с посетителями страницы, обсуждайте тему. Возможно, их ответы помогут найти нужную информацию.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Теорема синусов АС / sinB = AB / sinC AB = AC * sinC / sinB = (30 * √2 / 2) / 1 / 2 = 30√2.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

5)FD = KD ; ∠FDC = ∠KDC ; CD — общая сторона⇒ тр. FDC = тр. KDC(по двум сторонам и углу между ними) 6) найдем cos угла треугольника образованного высотой и боковой стороной треугольника. Он равен отношению высоты к боковой стороне = 8 / 16 = 1 / 2..

Отрезки ab и cd параллельных прямых

АСВ и АВД прямоугольные. Сторона АВ — общая. Угол Д = 90. Угол С = 90 — по условию СВ = ВД — по условию.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Строишь высоту, она делит большее основание на два отрезка, одинн из которых — катет прямоугольного треугольника, прилежащий к углу 60 гр = противолежащий углу 30 гр = половине гипотенузы, т. Е боковой стороны, т. Е 10 см. Тогда второу отрезок бок..

Отрезки ab и cd параллельных прямых

АС⊥BD как диагонали квадрата. АС∩BD = О АО — проекция МО на плоскость квадрата ⇒ МО⊥BD по теореме о трех перпендикулярах. ⇒ МО — искомое расстояние. ΔАВМ : tg60° = AM / BA AM = BA·tg60° = 2√3 см АС = АВ√2 = 2√2 см как диагональ квадрата. ⇒АО = 1 ..

Отрезки ab и cd параллельных прямых

2)Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра : r = S / p площадь треугольника S = r * p = 6 * 36 = 216 м² a + b + c = 72 a² + b² = c² a * b / 2 = 216 a + b = 72 — c (a + b)² = (72 — c)² a² + b² ..

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Ответ : Решения в трёх приложениях. Объяснение .

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Есть треугольник STM с углами Т = 90 и М = 30. Катет ST находится напротив угла в 30 градусов, значит по свойству прямоугольного треугольника он равен половине гипотенузы. ST = 1 / 2 * SM = 5 ST = 5.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Смотри, угол В равен 90°, угол Д так же. Угол А, лежит напротив угла Е, эти углы равные как противоположные Если АВ = 25см, тогда и ЕД = 25 см.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Дано ABCD — четырёхугольник Окр (O ; R) вписана : ab + cd = 15 дм P = ? Решение Т. К. ABCD описанный четырехугольник следовательно. Ab + cd = ad + bc т. Е. ad + dc = 15см 2)p = ab + cd + bc + ad = 30 дм.

Видео:№556. Стороны угла О пересечены параллельными прямыми АВ и CD. Докажите, что отрезки ОАСкачать

№556. Стороны угла О пересечены параллельными прямыми АВ и CD. Докажите, что отрезки ОА

Решение №2292 Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М.

Отрезки АВ и DC лежат на параллельных прямых, а отрезки АС и BD пересекаются в точке М. Найдите МС, если АВ = 14, DC = 56, АС = 40.

Источник: ОГЭ Ященко 2022 (36 вар)

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Обозначим искомую сторону МС как х , тогда:

АМ = АС – МС = 40 – х

ΔАМВ ∼ ΔDCM подобны по двум равным углам: ∠АМВ = ∠DMC, как вертикальные, ∠MAB = ∠MCD, как накрест лежащие при параллельных прямых АВ||DC и секущей АС.
Соответствующие стороны треугольников пропорциональны:

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Ответ: 32.

Есть три секунды времени? Для меня важно твоё мнение!

Насколько понятно решение?

Средняя оценка: 4.2 / 5. Количество оценок: 5

Оценок пока нет. Поставь оценку первым.

Новости о решённых вариантах ЕГЭ и ОГЭ на сайте ↙️

Вступай в группу vk.com 😉

Расскажи, что не так? Я исправлю в ближайшее время

В отзыве оставляйте контакт для связи, если хотите, что бы я вам ответил.

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Отрезки ab и cd параллельных прямых). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Отрезки ab и cd параллельных прямых

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямыхСкачать

7 класс, 24 урок, Определение параллельных прямых

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Отрезки ab и cd параллельных прямыхимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Отрезки ab и cd параллельных прямых, но не принадлежит прямой Отрезки ab и cd параллельных прямых. Говорят, что прямые Отрезки ab и cd параллельных прямыхпересекаются в точке М.
Отрезки ab и cd параллельных прямых

Это можно записать так: Отрезки ab и cd параллельных прямых— знак принадлежности точки прямой, «Отрезки ab и cd параллельных прямых» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Отрезки ab и cd параллельных прямыхпараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Отрезки ab и cd параллельных прямых

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Отрезки ab и cd параллельных прямыхперпендикулярны (рис. 12), то пишут Отрезки ab и cd параллельных прямых

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аОтрезки ab и cd параллельных прямыхb.
  2. Если Отрезки ab и cd параллельных прямых1 = Отрезки ab и cd параллельных прямых2 = 90°, то а Отрезки ab и cd параллельных прямыхАВ и b Отрезки ab и cd параллельных прямыхАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аОтрезки ab и cd параллельных прямыхb.
  3. Если Отрезки ab и cd параллельных прямых1 = Отрезки ab и cd параллельных прямых2Отрезки ab и cd параллельных прямых90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Отрезки ab и cd параллельных прямыхa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Отрезки ab и cd параллельных прямыхОFА = Отрезки ab и cd параллельных прямыхОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Отрезки ab и cd параллельных прямых1 = Отрезки ab и cd параллельных прямых2). Из равенства этих треугольников следует, что Отрезки ab и cd параллельных прямыхЗ = Отрезки ab и cd параллельных прямых4 и Отрезки ab и cd параллельных прямых5 = Отрезки ab и cd параллельных прямых6.
  6. Так как Отрезки ab и cd параллельных прямых3 = Отрезки ab и cd параллельных прямых4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Отрезки ab и cd параллельных прямых5 = Отрезки ab и cd параллельных прямых6 следует, что Отрезки ab и cd параллельных прямых6 = 90°. Получаем, что а Отрезки ab и cd параллельных прямыхFF1 и b Отрезки ab и cd параллельных прямыхFF1, а аОтрезки ab и cd параллельных прямыхb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Отрезки ab и cd параллельных прямых1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Отрезки ab и cd параллельных прямых1 = Отрезки ab и cd параллельных прямых2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Отрезки ab и cd параллельных прямых
2) Заметим, что Отрезки ab и cd параллельных прямых2 = Отрезки ab и cd параллельных прямых3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Отрезки ab и cd параллельных прямых1 = Отрезки ab и cd параллельных прямых2 и Отрезки ab и cd параллельных прямых2 = Отрезки ab и cd параллельных прямых3 следует, что Отрезки ab и cd параллельных прямых1 = Отрезки ab и cd параллельных прямых3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аОтрезки ab и cd параллельных прямыхb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Отрезки ab и cd параллельных прямыхAOF = Отрезки ab и cd параллельных прямыхABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Отрезки ab и cd параллельных прямых1 + Отрезки ab и cd параллельных прямых2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Отрезки ab и cd параллельных прямых3 + Отрезки ab и cd параллельных прямых2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Отрезки ab и cd параллельных прямыхl + Отрезки ab и cd параллельных прямых2 = 180° и Отрезки ab и cd параллельных прямых3 + Отрезки ab и cd параллельных прямых2 = 180° следует, что Отрезки ab и cd параллельных прямых1 = Отрезки ab и cd параллельных прямых3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Отрезки ab и cd параллельных прямыхa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аОтрезки ab и cd параллельных прямыхb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Отрезки ab и cd параллельных прямых1 = Отрезки ab и cd параллельных прямыхF и Отрезки ab и cd параллельных прямых2 = Отрезки ab и cd параллельных прямыхF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аОтрезки ab и cd параллельных прямыхb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Отрезки ab и cd параллельных прямых2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Отрезки ab и cd параллельных прямых2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Отрезки ab и cd параллельных прямыхb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Отрезки ab и cd параллельных прямых1 = Отрезки ab и cd параллельных прямых2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Отрезки ab и cd параллельных прямых3 = Отрезки ab и cd параллельных прямыхB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Отрезки ab и cd параллельных прямых1 = Отрезки ab и cd параллельных прямых3. Кроме того, Отрезки ab и cd параллельных прямых2 = Отрезки ab и cd параллельных прямых3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Отрезки ab и cd параллельных прямых1 = Отрезки ab и cd параллельных прямых3 и Отрезки ab и cd параллельных прямых2 = Отрезки ab и cd параллельных прямых3 следует, что Отрезки ab и cd параллельных прямых1 = Отрезки ab и cd параллельных прямых2.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Отрезки ab и cd параллельных прямых4 = Отрезки ab и cd параллельных прямыхBAF. Действительно, Отрезки ab и cd параллельных прямых4 и Отрезки ab и cd параллельных прямыхFAC равны как соответственные углы, a Отрезки ab и cd параллельных прямыхFAC = Отрезки ab и cd параллельных прямыхBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Отрезки ab и cd параллельных прямых1 + Отрезки ab и cd параллельных прямых2 = 180° (рис. 97, а).

Отрезки ab и cd параллельных прямых

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Отрезки ab и cd параллельных прямых1 = Отрезки ab и cd параллельных прямых3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Отрезки ab и cd параллельных прямых2 + Отрезки ab и cd параллельных прямых3= 180°.

4) Из равенств Отрезки ab и cd параллельных прямых= Отрезки ab и cd параллельных прямых3 и Отрезки ab и cd параллельных прямых2 + Отрезки ab и cd параллельных прямых3 = 180° следует, что Отрезки ab и cd параллельных прямых1 + Отрезки ab и cd параллельных прямых2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Отрезки ab и cd параллельных прямыхBAF + Отрезки ab и cd параллельных прямыхTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сОтрезки ab и cd параллельных прямыха (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Так как Отрезки ab и cd параллельных прямых1 = 90°, то и Отрезки ab и cd параллельных прямых2 = Отрезки ab и cd параллельных прямых1 = 90°, а, значит, сОтрезки ab и cd параллельных прямыхb.

Что и требовалось доказать.

Видео:24. Определение параллельных прямыхСкачать

24. Определение параллельных прямых

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямыхпараллельны, то есть Отрезки ab и cd параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямых Отрезки ab и cd параллельных прямых(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Отрезки ab и cd параллельных прямых, лучи АВ и КМ.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Отрезки ab и cd параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямых, Отрезки ab и cd параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямых, то Отрезки ab и cd параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямых Отрезки ab и cd параллельных прямых(рис. 161).

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Отрезки ab и cd параллельных прямых(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Отрезки ab и cd параллельных прямых, перпендикулярную прямой Отрезки ab и cd параллельных прямых. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Отрезки ab и cd параллельных прямыхи строят другую перпендикулярную прямую Отрезки ab и cd параллельных прямых, затем — третью прямую Отрезки ab и cd параллельных прямыхи т. д. Поскольку прямые Отрезки ab и cd параллельных прямых, Отрезки ab и cd параллельных прямых, Отрезки ab и cd параллельных прямыхперпендикулярны одной прямой Отрезки ab и cd параллельных прямых, то из указанной теоремы следует, что Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямых, Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямых, Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямых.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Отрезки ab и cd параллельных прямых, параллельной прямой Отрезки ab и cd параллельных прямыхи проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Отрезки ab и cd параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямых Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямых, то Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямых. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямыхтретьей прямой Отрезки ab и cd параллельных прямых, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Отрезки ab и cd параллельных прямых3 иОтрезки ab и cd параллельных прямых5,Отрезки ab и cd параллельных прямых4 иОтрезки ab и cd параллельных прямых6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Отрезки ab и cd параллельных прямых2 иОтрезки ab и cd параллельных прямых8,Отрезки ab и cd параллельных прямых1 иОтрезки ab и cd параллельных прямых7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Отрезки ab и cd параллельных прямых2 иОтрезки ab и cd параллельных прямых6,Отрезки ab и cd параллельных прямых3 иОтрезки ab и cd параллельных прямых7,Отрезки ab и cd параллельных прямых1 иОтрезки ab и cd параллельных прямых5,Отрезки ab и cd параллельных прямых4 иОтрезки ab и cd параллельных прямых8 — соответственные углы;
  • Отрезки ab и cd параллельных прямых3 иОтрезки ab и cd параллельных прямых6,Отрезки ab и cd параллельных прямых4 иОтрезки ab и cd параллельных прямых5 — внутренние односторонние углы;
  • Отрезки ab и cd параллельных прямых2 иОтрезки ab и cd параллельных прямых7,Отрезки ab и cd параллельных прямых1 иОтрезки ab и cd параллельных прямых8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Отрезки ab и cd параллельных прямых

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямых— данные прямые, АВ — секущая, Отрезки ab и cd параллельных прямых1 =Отрезки ab и cd параллельных прямых2 (рис. 166).

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Доказать: Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямых.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Отрезки ab и cd параллельных прямыхи продлим его до пересечения с прямой Отрезки ab и cd параллельных прямыхв точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Отрезки ab и cd параллельных прямых1 = Отрезки ab и cd параллельных прямых2 по условию, Отрезки ab и cd параллельных прямыхBMK =Отрезки ab и cd параллельных прямыхAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Отрезки ab и cd параллельных прямыхANM =Отрезки ab и cd параллельных прямыхBKM = 90°. Тогда прямые Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямыхперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямых.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Отрезки ab и cd параллельных прямых1 =Отрезки ab и cd параллельных прямых2 (рис. 167).

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Доказать: Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямых.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямыхи секущей Отрезки ab и cd параллельных прямых. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямых. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Отрезки ab и cd параллельных прямыхl +Отрезки ab и cd параллельных прямых2 = 180° (рис. 168).

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Доказать: Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямых.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямыхи секущей Отрезки ab и cd параллельных прямых. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямых. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Отрезки ab и cd параллельных прямыхAOB = Отрезки ab и cd параллельных прямыхDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Отрезки ab и cd параллельных прямыхBAO=Отрезки ab и cd параллельных прямыхCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Отрезки ab и cd параллельных прямыхBAK = 26°, Отрезки ab и cd параллельных прямыхADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Отрезки ab и cd параллельных прямыхBAC = 2 •Отрезки ab и cd параллельных прямыхBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Отрезки ab и cd параллельных прямыхADK +Отрезки ab и cd параллельных прямыхBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Отрезки ab и cd параллельных прямых1=Отрезки ab и cd параллельных прямых2. Так как Отрезки ab и cd параллельных прямыхBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Отрезки ab и cd параллельных прямых1 =Отрезки ab и cd параллельных прямых3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Отрезки ab и cd параллельных прямых2 =Отрезки ab и cd параллельных прямых3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямыхи секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Отрезки ab и cd параллельных прямых||Отрезки ab и cd параллельных прямых.

Реальная геометрия

Отрезки ab и cd параллельных прямых

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Отрезки ab и cd параллельных прямыхпроходит через точку М и параллельна прямой Отрезки ab и cd параллельных прямых(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Отрезки ab и cd параллельных прямыхв некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Отрезки ab и cd параллельных прямых||Отрезки ab и cd параллельных прямых, Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямых(рис. 187).

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Доказать: Отрезки ab и cd параллельных прямых||Отрезки ab и cd параллельных прямых.

Доказательство:

Предположим, что прямые Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямыхне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямых, параллельные третьей прямой Отрезки ab и cd параллельных прямых. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Отрезки ab и cd параллельных прямых||Отрезки ab и cd параллельных прямых. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Отрезки ab и cd параллельных прямых1 =Отрезки ab и cd параллельных прямых2,Отрезки ab и cd параллельных прямых3 =Отрезки ab и cd параллельных прямых4. Доказать, что Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямых.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямыхпо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямых. Так как Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямых, то Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямыхпо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямых— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Отрезки ab и cd параллельных прямых, которая параллельна прямой Отрезки ab и cd параллельных прямыхпо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямыхне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямых, которые параллельны прямой Отрезки ab и cd параллельных прямых. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямыхпересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямых, АВ — секущая,Отрезки ab и cd параллельных прямых1 иОтрезки ab и cd параллельных прямых2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Доказать: Отрезки ab и cd параллельных прямых1 =Отрезки ab и cd параллельных прямых2.

Доказательство:

Предположим, чтоОтрезки ab и cd параллельных прямых1 Отрезки ab и cd параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямых2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямыхпо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямых, параллельные прямой Отрезки ab и cd параллельных прямых. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иОтрезки ab и cd параллельных прямых1 =Отрезки ab и cd параллельных прямых2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямых, Отрезки ab и cd параллельных прямых— секущая,Отрезки ab и cd параллельных прямых1 иОтрезки ab и cd параллельных прямых2 — соответственные (рис. 196).

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Доказать:Отрезки ab и cd параллельных прямых1 =Отрезки ab и cd параллельных прямых2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямых. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Отрезки ab и cd параллельных прямых1 =Отрезки ab и cd параллельных прямых2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямых, Отрезки ab и cd параллельных прямых— секущая,Отрезки ab и cd параллельных прямых1 иОтрезки ab и cd параллельных прямых2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Доказать:Отрезки ab и cd параллельных прямыхl +Отрезки ab и cd параллельных прямых2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Отрезки ab и cd параллельных прямых2 +Отрезки ab и cd параллельных прямых3 = 180°. По свойству параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямыхl =Отрезки ab и cd параллельных прямых3 как накрест лежащие. Следовательно,Отрезки ab и cd параллельных прямыхl +Отрезки ab и cd параллельных прямых2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямых, т. е.Отрезки ab и cd параллельных прямых1 = 90°. Согласно следствию Отрезки ab и cd параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямых, т. е.Отрезки ab и cd параллельных прямых2 = 90°.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Отрезки ab и cd параллельных прямыхАОВ =Отрезки ab и cd параллельных прямыхDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Отрезки ab и cd параллельных прямыхABD =Отрезки ab и cd параллельных прямыхCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Отрезки ab и cd параллельных прямыхADB =Отрезки ab и cd параллельных прямыхCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямыхпараллельны, то пишут: Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямых(рис. 211).

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Отрезки ab и cd параллельных прямых

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеОтрезки ab и cd параллельных прямых2 =Отрезки ab и cd параллельных прямых3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоОтрезки ab и cd параллельных прямых1 =Отрезки ab и cd параллельных прямых3. Значит,Отрезки ab и cd параллельных прямых1 =Отрезки ab и cd параллельных прямых2.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямыхи АВОтрезки ab и cd параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямых, то расстояние между прямыми Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямыхравно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Отрезки ab и cd параллельных прямых. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямых, А Отрезки ab и cd параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямых, С Отрезки ab и cd параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямых, АВОтрезки ab и cd параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямых, CDОтрезки ab и cd параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямых.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямыхи секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Отрезки ab и cd параллельных прямыхCAD =Отрезки ab и cd параллельных прямыхBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Отрезки ab и cd параллельных прямыхравны (см. рис. 285). Прямая Отрезки ab и cd параллельных прямых, проходящая через точку А параллельно прямой Отрезки ab и cd параллельных прямых, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Отрезки ab и cd параллельных прямых, которая параллельна прямой Отрезки ab и cd параллельных прямых. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Отрезки ab и cd параллельных прямыхбудет перпендикуляром и к прямой Отрезки ab и cd параллельных прямых(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Отрезки ab и cd параллельных прямыхADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Отрезки ab и cd параллельных прямыхBAD +Отрезки ab и cd параллельных прямыхADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Тогда Отрезки ab и cd параллельных прямыхBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Отрезки ab и cd параллельных прямыхАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямых— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Отрезки ab и cd параллельных прямых, параллельную прямой Отрезки ab и cd параллельных прямых.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Тогда Отрезки ab и cd параллельных прямых|| Отрезки ab и cd параллельных прямых. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Отрезки ab и cd параллельных прямыхравноудалены от прямых Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямыхна расстояние Отрезки ab и cd параллельных прямыхАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямых, то есть расстояние от точки М до прямой Отрезки ab и cd параллельных прямыхравно Отрезки ab и cd параллельных прямыхАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Отрезки ab и cd параллельных прямых. Но через точку К проходит единственная прямая Отрезки ab и cd параллельных прямых, параллельная Отрезки ab и cd параллельных прямых. Значит, точка М принадлежит прямой Отрезки ab и cd параллельных прямых.

Таким образом, все точки прямой Отрезки ab и cd параллельных прямыхравноудалены от прямых Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямых. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Отрезки ab и cd параллельных прямых. Прямая Отрезки ab и cd параллельных прямых, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямых, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Отрезки ab и cd параллельных прямыхОтрезки ab и cd параллельных прямых

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямых— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямых— параллельны.

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Отрезки ab и cd параллельных прямыхи Отрезки ab и cd параллельных прямыхесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Отрезки ab и cd параллельных прямых

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📹 Видео

Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.Скачать

Точка, прямая и отрезок. 1 часть. 7 класс.

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Пересекающиеся и параллельные прямые, лучи, отрезки. Задачи. Геометрия. Математика 2 класс.Скачать

Пересекающиеся и параллельные прямые, лучи, отрезки. Задачи. Геометрия. Математика 2 класс.

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямых

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямыеСкачать

6 .7 кл Построение параллельных прямых.Как построить параллельные прямые

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение
Поделиться или сохранить к себе: