Отношение в котором центр вписанной окружности делит биссектрису угла

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

.

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Фигура	Рисунок	Формула	Обозначения
Произвольный треугольник
		Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Прямоугольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Произвольный треугольник
	Равнобедренный треугольник
Равносторонний треугольник
Прямоугольный треугольник

Произвольный треугольник

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
.

Равнобедренный треугольник

Равносторонний треугольник

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольник

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, – полупериметр (рис. 6).

с помощью формулы Герона получаем:

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

то, в случае равностороннего треугольника, когда

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Свойство биссектрисы угла треугольника

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Развитие управляющих функций мозга ребёнка: полезные советы и упражнения для педагогов

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Свойство биссектрисы треугольника и способы

Нахождение длины биссектрисы (формулы) ………………………7

Соотношения, связанные с биссектрисой………………………..…. 13

Показать многообразие способов доказательства свойства биссектрисы треугольника.

Ознакомиться с литературой по данной теме, повторить ряд геометрических фактов, необходимых для проекта

Систематизировать теоретический материал, используемый для доказательства теоремы

Выяснить практическое применение формул для вычисления биссектрисы треугольника

Создание презентации к работе

Что мы знаем о биссектрисе угла треугольника? Наверное не так уж и много – определение биссектрисы; факт, что точка пересечения биссектрис является центром вписанной в треугольник окружности и свойство деления стороны биссектрисой на отрезки пропорциональные прилежащим сторонам.

В своей работе я постаралась систематизировать сведения и найти дополнительную информацию, которая углубляет знания об этом понятии в теории треугольников. С помощью научной литературы по теме и работы с научным руководителем, мы привели несколько способов доказательства свойства биссектрисы треугольника. При этом использовали следующие теоремы и понятия:

1.Теорему Фалеса о пропорциональных отрезках

2. Подобие треугольников

3. Применение формул площадей треугольника

4. Теорема синусов

Доказательство теоремы разными способами позволят повторить широкий спектр геометрических фактов, совершенствовать навыки применения разных методов и приемов решения задач, способствует более глубокому и прочному пониманию и запоминанию материала.

В работе значительно расширены сведения о биссектрисах треугольника:

приводятся 4 вида формул для вычисления биссектрисы треугольника, эти формулы имеют практическое применение;

выводятся формулы радиуса окружности, вписанной в треугольник;

формулируются свойства точки пересечения продолжения биссектрисы треугольника с описанной окружностью;

устанавливается взаимное расположение высоты, медианы и биссектрисы треугольника, проведенных из одной вершины ( 3 способа).

Свойство биссектрисы треугольника и способы его доказательства.

Биссектриса делит сторону треугольника на отрезки пропорциональные двум другим сторонам .

Дано: ∆ АВС, BD – его биссектриса.

Доказать:

Рис. 1.1

1. Применим к доказательству теорему Фалеса

Проведем прямую CK|| BD и продолжим сторону AB до пересечения с этой прямой. 2 = 3 как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых BD и KC и секущей BC . 1 = 4 как соответственные углы при CK|| BD и секущей BC .

∆ BCK – равнобедренный.

Тогда по теореме Фалеса:

Т.е , что и требовалось доказать

Применим подобие треугольников (рис. 1.2)

Проведем перпендикуляры из вершин А и С на биссектрису и ее продолжение, тогда имеем:

∆ CMD (по двум углам). Из определения подобия треугольников следует пропорциональность соответствующих сторон:

, (*)

∆ CBM , тогда ; (**)

В равенствах (*) и (**) равны правые части, а значит :

Применим формулы площади треугольника (рис. 1.3)

Точка D лежит на биссектрисе угла ABC , значит она равноудалена от его сторон, то есть

Тогда:

Получили, что

4. Применим теорему синусов

Рис. 1.4

Из ∆ ABD по теореме синусов: , или упростив, имеем: (*)

Из ∆ BD С по теореме синусов: (**)

Разделим равенство (*) на (**), получим

. 5. Докажем теорему, используя формулы площади треугольника (рис. 1.4)

Получили

Формулы для вычисления длины биссектрисы

В разделе выводятся четыре формулы для вычисления длины биссектрисы треугольника [3].

2.1. Длина биссектрисы через пропорциональные стороны и отрезки

2.1.1.Доказательство. I способ — через вписанные углы (рис. 2.1.1).

Опишем вокруг ∆ ABC окружность и продолжим биссектрису CD = l до

пересечения с окружностью, F – точка пересечения. Пусть DF = x .

Вписанные углы BFC и CAB равны, так как опираются на одну и ту же дугу BC . Тогда ∆ FCB

∆ ACD по двум углам. У подобных треугольников соответствующие стороны пропорциональны:

или

Тогда (1).

По свойству пересекающихся хорд

или .

Подставим последнее равенств в формулу (1), получим

2.1.2.Доказательство. II способ – через теорему косинусов (рис.2.1.2)

Рис 2.1.2

Из пропорции следует, что , (2).

Из ∆ BCD из теоремы косинусов.

Из ∆ DCA .
Получим равенство .

После умножения на 2 abl получим:

Перегруппировка слагаемых

. Подставим формулы (2) в равенство вместо m и n

В случае, если делим на ( b – a ) и получаем

2.2. Длина биссектрисы через две стороны и угол между ними (рис. 2.2)

Доказательство через площадь треугольника.

Равенство умножим на 2, а заменим по формулам двойного угла

Так как разделим на него и найдём l . ;

Следствие. В прямоугольном треугольнике угол , поэтому биссектриса опущенная на гипотенузу равна , где a и b – катеты.

Длина биссектрисы через стороны треугольника (рис. 2.3)

Рис. 2.3

Выразим отрезки m и n через стороны треугольника, решив систему.

; ; ; = c ; .

Аналогично .

Подставим найденные выражения в формулу биссектрисы

Тогда .

Угол между высотой и биссектрисой треугольника , проведенными

из одной вершины [1]

Рис. 2.4

Пусть CM= h – высота, а CD= l биссектриса треугольника, проведенная из той же вершины. Найдем угол MCD между высотой и биссектрисой треугольника.

Из

Из ∆ BCM ( ) BCM =

MCD = BCD — BCM = .

2.5. Длина биссектрисы через высоту (рис. 2.4)

Из ∆ CMD ( ) .

Соотношения, связанные с биссектрисой

В разделе будет получено отношение, в котором биссектрисы треугольника делятся точкой пересечения; найден угол, образованный при пересечении биссектрис; установлена связь между сторонами треугольника и отрезками касательных ко вписанной в треугольник окружности.

3.1. Отношение , в котором биссектрисы треугольника делятся точкой пересечения (рис. 3.1)

Известно, что медианы треугольника точкой пересечения делятся в отношении 2:1, считая от вершины. Найдём, в каком отношении делятся биссектрисы точкой пересечении.

Дано: биссектрисы CD и AM _∆АВС пересекаются в точке I (инцентр)

Пусть CI = x , а ID = y . Найдём отношение .

Из ∆ CDB по свойству биссектрис . Учитывая что , находим .

Получили соотношение

Угол , образованный при пересечении биссектрис,

Из :

3.3 . Связь между сторонами треугольника и отрезками касательных к вписанной в треугольник окружности (рис. 3.3)

В _∆АВС вписана окружность. Пусть М,К, N – точки касания окружности сторон треугольника. По свойству отрезков касательных, проведенных из одной точки, AM = AK = x , CM = CN = y , NB = KB = z . Тогда

.

Сложив уравнения системы, получим

, где р – полупериметр.

Вычитая из последнего равенства уравнения системы, получим

Формулы, выражающие отрезки касательных через стороны треугольника.

Привожу без доказательства утверждения о свойстве точки пересечения продолжения биссектрисы треугольника с описанной около него окружностью, о расположении биссектрисы треугольника. Эта часть работы будет продолжена.

1. Точка пересечения продолжения биссектрисы треугольника с описанной около него окружностью, равноудалена от двух других вершин и инцентра

2. В неравнобедренном треугольнике биссектриса всегда расположена между высотой и медианой, проведенными из одной вершины.

1. Дан треугольник ABC, в котором угол В = 30°, АВ = 4, ВС = 6. Биссектриса угла В пересекает сторону АС в точке D. Определите площадь треугольника ABD (рис. 1).

Решение. По свойству биссектрисы AD/DC = AB/BC = 4/6 = 2/3.

Пусть AD = 2х; DC = Зх.

Стороны треугольника равны 10 см, 11 см и 12 см. Найти отрезки, на которые делит биссектриса треугольника среднюю сторону.

Дано: AC=10 см, BC=11 см, AB=12 см, AP = биссектриса.

По свойству биссектрисы треугольника:

Пусть CP=x см, тогда BP=11-x см:

откуда по основному свойству пропорции

Ответ: 5 см, 6 см.

Найти биссектрису угла B треугольника ABC и определить, в каком отношении центр вписанной в треугольник окружности делит эту биссектрису, если AB = 4 , BC = 5 и AC = 6.

Пусть BD и AK – биссектрисы углов B и A треугольника ABC и O – центр вписанной окружности.
Так как AB = 4 и BC = 5 , то по теореме о биссектрисе AD = 4t и CD = 5t , поэтому AC = 6 = 4t + 5t , т.е. , и тогда .

и

, т.е. .

И, наконец, определим по теореме о биссектрисе из треугольника BAD , в каком отношении точка O делит отрезок BD :

.

Ответ: и .

Найти биссектрисы острых углов в прямоугольном треугольнике, катеты которого равны 6 и 8 см.

Пусть ABC – прямоугольный треугольник, у которого AB = 6 , BC = 8 , B = 90 °, P и H – основания биссектрис углов C и A соответственно. Тогда по теореме Пифагора .
По теореме о биссектрисе BP = 8t и Pa = 10t , откуда AB = AB = 6 = 8t + 10t и .
Поэтому , и по теореме Пифагора . Аналогично находим .

Ответ: см, см.

Как связаны биссектриса и окружность

В геометрии могут объединиться даже очень различные на первый взгляд фигуры, такие как окружность и треугольник. У каждой есть свои особенности, которые позволяют отличать их от прочих фигур, даже если они очень похожи: например, круг и окружность – это совсем не одно и тоже.

Разница между кругом и окружностью состоит в отношении к плоскости. Если упрощенно, то под плоскостью понимают поверхность, на которой и строятся фигуры. Саму плоскость тоже можно считать фигурой. Окружность – это совокупность всех точек на плоскости, которые образуют фигуру, а круг – это часть плоскости, которую ограничивает окружность. Поэтому может быть сектор или сегмент круга – но понятие дуги относится только к окружности.

Одним из важнейших понятий, связанных с окружностью, является радиус – расстояние от центра окружности до любой её точки. Чтобы произвести вычисление радиуса, нужно знать длину окружности, её площадь или диаметр. Проще всего посчитать радиус через диаметр – просто разделить длину диаметра на два.

Зная длину, тоже можно вычислить радиус – если формула длины – это L=2πR, то радиус вычисляется по формуле R= L/2π.

Окружность можно как вписать в любой треугольник, так и начертить вокруг любого треугольника так, чтобы все вершины треугольника касались окружности. Чтобы описать окружность вокруг треугольника, надо найти точку пересечения всех углов треугольника – она будет центром описываемой окружности. Чтобы, напротив, вписать круг в треугольник, надо к середине каждой стороны провести перпендикулярную прямую. Точка их пересечения и будет центром вписанного круга.

Основное свойство вписанного в окружность треугольника состоит в том, что вычислить его площадь очень просто – для этого надо знать радиус окружности и длины сторон треугольника. Для этого используется формула: P/2*R, где P – периметр, а R – радиус окружности.

Значение биссектрисы – луча, исходящего из вершины угла и делящего его напополам, – не ограничивается тем, что с её помощью можно вписать круг в треугольник. Назовем основные свойства биссектрисы треугольника, которые существенно облегчают процесс решения геометрических задач.

Во-первых, биссектриса делит противоположную сторону на части, пропорциональные прилегающим сторонам. Во-вторых, в правильном треугольнике биссектриса является медианой и высотой, а в равнобедренном треугольнике совпадает с медианой и с высотой только в том случае, если проведена от вершины к основанию. В-третьих, как уже упоминалось, биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке, которая является центром окружности, вписанной в этот треугольник.

При решении задач, связанных с треугольниками или окружностями, важно отличать биссектрису от медианы или высоты, а радиус или диаметр – от хорды.

🎬 Видео