Доказательство что треугольник 180

Сумма углов треугольника — определение и вычисление с доказательствами и примерами решения

Сумма углов треугольника:

Великий французский ученый XVII в. Блез Паскаль (1623—1662) еще в детстве любил изучать геометрические фигуры, открывать их свойства, измерять углы транспортиром.

Доказательство что треугольник 180

Юный исследователь заметил, что у любого треугольника сумма углов одна и та Ж6 180°. «Как же это объяснить?» — думал Паскаль. Тогда он отрезал у треугольника два уголка и приложил их к третьему (рис. 219). Получился развернутый угол, который, как известно, равен 180°. Это было его первое собственное открытие! Дальнейшая судьба мальчика была предопределена.

Доказательство что треугольник 180

Теорема. Сумма углов треугольника равна 180°.

Дано: Доказательство что треугольник 180АВС (рис. 220).

Доказательство что треугольник 180

Доказать: Доказательство что треугольник 180A+Доказательство что треугольник 180B +Доказательство что треугольник 180C = 180°.

Доказательство:

Через вершину В треугольника ABC проведем прямую КМ, параллельную стороне АС. Тогда Доказательство что треугольник 180KBA =Доказательство что треугольник 180A как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей АВ, aДоказательство что треугольник 180MBC =Доказательство что треугольник 180C как внутренние накрест лежащие углы при параллельных прямых КМ и АС и секущей ВС. Так как углы КВА, ABC и МВС образуют развернутый угол, то

Доказательство что треугольник 180KBA +Доказательство что треугольник 180ABC +Доказательство что треугольник 180MBC = 180°. ОтсюдаДоказательство что треугольник 180A +Доказательство что треугольник 180B +Доказательство что треугольник 180C = 180°. Теорема доказана.

Следствия.

1. Каждый угол равностороннего треугольника равен 60°. (рис. 221).

Доказательство что треугольник 180

2. Сумма острых углов прямоугольного треугольника равна 90° (рис. 222).

Доказательство что треугольник 180

В прямоугольном треугольнике стороны, заключающие прямой угол, называются катетами, сторона, противолежащая прямому углу, — гипотенузой (см. рис. 222).

Проведем в прямоугольном треугольнике ABC высоту СН к гипотенузе АВ (рис. 223). Так как в треугольнике ABC угол 1 дополняет угол В до 90°, а в треугольнике СНВ угол 2 также дополняет угол В до 90°, тоДоказательство что треугольник 1801 =Доказательство что треугольник 1802.

Доказательство что треугольник 180

Доказано свойство: «Угол между высотой прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе, и катетом равен углу между другим катетом и гипотенузой».

Пример:

В треугольнике ABC градусные меры углов А, В и С относятся соответственно как 5:7:3. Найти углы треугольника (рис. 224).

Доказательство что треугольник 180

Решение:

Пусть Доказательство что треугольник 180( Доказательство что треугольник 180— градусная мера одной части).

Так как сумма углов треугольника равна 180°, то

Доказательство что треугольник 180

Тогда Доказательство что треугольник 180

Доказательство что треугольник 180

Ответ: Доказательство что треугольник 180

Пример:

В треугольнике ABC (рис. 225) угол В равен 70°, АК и СМ — биссектрисы, О — точка их пересечения. Найти угол АОС между биссектрисами.

Доказательство что треугольник 180

Решение:

Сумма углов А и С треугольника ABC равна 180° — 70° = 110°. Так как биссектриса делит угол пополам, то

Доказательство что треугольник 180Доказательство что треугольник 180

Из треугольника АОС находим: Доказательство что треугольник 180

Замечание. Если Доказательство что треугольник 180то, рассуждая аналогично, получим формулу: Доказательство что треугольник 180Если, например, Доказательство что треугольник 180

Пример:

Доказать, что если медиана треугольника равна половине стороны, к которой она проведена, то данный треугольник — прямоугольный.

Доказательство:

Пусть СМ — медиана, Доказательство что треугольник 180(рис. 226).

Доказательство что треугольник 180

Докажем, чтоДоказательство что треугольник 180ACB = 90°. Обозначим Доказательство что треугольник 180A = Доказательство что треугольник 180,Доказательство что треугольник 180В = Доказательство что треугольник 180. Так как медиана делит сторону пополам, то AM = MB = Доказательство что треугольник 180АВ. Тогда СМ=АМ=МВ. Так как Доказательство что треугольник 180АМС — равнобедренный, тоДоказательство что треугольник 180A =Доказательство что треугольник 180ACM = Доказательство что треугольник 180как углы при основании равнобедренного треугольника. Аналогично, Доказательство что треугольник 180СМВ — равнобедренный и Доказательство что треугольник 180B =Доказательство что треугольник 180BCM = Доказательство что треугольник 180. Сумма углов треугольника ABC, с одной стороны, равна 2 Доказательство что треугольник 180+ 2Доказательство что треугольник 180, с другой — равна 180°. Отсюда 2 Доказательство что треугольник 180+ 2 Доказательство что треугольник 180= 180°, 2( Доказательство что треугольник 180+ Доказательство что треугольник 180) = 180°, Доказательство что треугольник 180+ Доказательство что треугольник 180= 90°. НоДоказательство что треугольник 180ACB = Доказательство что треугольник 180+ Доказательство что треугольник 180, поэтому

Доказательство что треугольник 180ACB = 90°.

Замечание. Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным. На рисунке 227 это угол АСВ. Из задачи 3 следует свойство: «Вписанный угол, опирающийся на диаметр, — прямой».

Доказательство что треугольник 180

Пример:

Доказать, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы.

Доказательство:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 228) Доказательство что треугольник 180C=90°,Доказательство что треугольник 180A=Доказательство что треугольник 180,Доказательство что треугольник 180B=Доказательство что треугольник 180.

Доказательство что треугольник 180

Проведем отрезок СМ так, чтоДоказательство что треугольник 180ACM=Доказательство что треугольник 180, и докажем, что СМ — медиана и что СМ=Доказательство что треугольник 180АВ. Угол В дополняет угол А до 90°, aДоказательство что треугольник 180BCM дополняетДоказательство что треугольник 180ACM до 90°. Поскольку Доказательство что треугольник 180ACM =Доказательство что треугольник 180A = Доказательство что треугольник 180, тоДоказательство что треугольник 180BCM =Доказательство что треугольник 180. Треугольники АМС и ВМС — равнобедренные по признаку равнобедренного треугольника. Тогда AM = МС и МВ = МС. Отсюда СМ — медиана и СМ = Доказательство что треугольник 180АВ.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Внешний угол треугольника
  • Свойство точек биссектрисы угла
  • Свойство катета прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30°
  • Четырехугольник и его элементы
  • Перпендикулярные прямые в геометрии
  • Признаки равенства треугольников
  • Признаки равенства прямоугольных треугольников
  • Соотношения в прямоугольном треугольнике

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | МатематикаСкачать

Сумма углов треугольника. Геометрия 7 класс | Математика

Чему равна сумма углов треугольника

Чему равна сумма углов треугольника? На этот вопрос дает ответ теорема о сумме углов треугольника.

Теорема (о сумме углов треугольника)

Сумма углов треугольника равна 180 º.

Доказательство что треугольник 180Дано: ∆АВС

Доказать: ∠А+∠В+∠С=180 º .

Доказательство что треугольник 180

1) Через точку В проведем прямую BF, параллельную прямой AC: BF∥AC.

Доказательство что треугольник 180

2) ∠ACB=∠FBC (как внутренние накрест лежащие при BF∥AC и секущей BC).

Доказательство что треугольник 180

4) ∠ABF+∠CAB=180 º (как внутренние односторонние при BF∥AC и секущей AB).

5) В последнее равенство заменяем ∠ABF на сумму ∠ABC+∠FBC:

∠FBC заменяем на ∠ACB:

Теорема о сумме углов треугольника доказана.

Видео:Сумма углов 180 градусовСкачать

Сумма углов 180 градусов

3 Comments

Очень хороший сайт,очень помогает

Можно еще проще доказать через описаную окружность. В треугольнике все углы вписаны в описаную окружность (каждый равен 1/2 градусной мере дуги, на которую опирается). В треугольнике все 3 угла (в сумме) опираются на все 360 градусов окружности, итого их сумма — 180 — что и требовалось доказать (ЧТД).

Можно. Если уже изучили углы, вписанные в окружность.

Видео:7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольникаСкачать

7 класс, 31 урок, Теорема о сумме углов треугольника

Сумма углов треугольника

Доказательство что треугольник 180

Сумма углов треугольника — это сумма
всех внутренних углов треугольника.

Так, как углы измеряются в градусах, соответственно значение
суммы углов треугольника также измеряется в градусах.

Сумма углов треугольника есть величина постоянная,
неизменяемая, она равна 180 градусам, вне зависимости
от вида рассматриваемого треугольника.

Доказательство что треугольник 180

На рисунке 1 изображены равносторонний,
разносторонний и прямоугольный треугольники,
их суммы внутренних углов равны 180 градусам.

Также, существует теорема, которая доказывает
утверждение о том, что сумма углов треугольника
180 градусов, она называется теоремой
о сумме углов треугольника.

Теорема о сумме углов треугольника — это теорема в
геометрии о сумме углов произвольного треугольника на плоскости.

💥 Видео

Почему сумма углов треугольника 180 градусов?Скачать

Почему сумма углов треугольника 180 градусов?

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№23 - Сумма углов треугольника.)

Сумма углов треугольника равна 180Скачать

Сумма углов треугольника равна 180

Сумма углов треугольника. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника. Геометрия 7 класс.Скачать

Сумма углов треугольника. Доказательство теоремы о сумме углов треугольника. Геометрия 7 класс.

Почему сумма углов треугольника 180? #parta #Базоваяматематика #shortsСкачать

Почему сумма углов треугольника 180? #parta #Базоваяматематика #shorts

Почему сумма углов в треугольнике равна 180°?Скачать

Почему сумма углов в треугольнике равна 180°?

Сумма углов треугольникаСкачать

Сумма углов треугольника

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА 180 градусовСкачать

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА   180 градусов

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольникаСкачать

Чему равна сумма углов выпуклого многоугольника

Сумма углов треугольника. ДоказательствоСкачать

Сумма углов треугольника.  Доказательство

Сумма углов треугольника (доказательство). Внешний угол треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Сумма углов треугольника (доказательство). Внешний угол треугольника - 7 класс геометрия

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА доказательство 7 класс геометрия АтанасянСкачать

СУММА УГЛОВ ТРЕУГОЛЬНИКА доказательство 7 класс геометрия Атанасян

Доказываем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Наглядно😉 на пробное занятие⬇️Скачать

Доказываем, что сумма углов треугольника равна 180 градусам. Наглядно😉 на пробное занятие⬇️

Почему сумма углов в треугольнике равна 180 градусовСкачать

Почему сумма углов в треугольнике равна 180 градусов

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

№225. Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.Скачать

№225. Докажите, что каждый угол равностороннего треугольника равен 60°.

Почему сумма углов в треугольнике 180 градусов? #умскул #егэпрофиль #математикаегэ #математикаСкачать

Почему сумма углов в треугольнике 180 градусов? #умскул #егэпрофиль #математикаегэ #математика
Поделиться или сохранить к себе: