Какие прямые переходят сами в себя при параллельном переносе на вектор а вектор нормали (7 видео)

Параллельный перенос. §Пусть вектор а — данный вектор. Параллельным переносом на вектор а называется отображение плоскости на себя, при котором каждая. — презентация

Презентация была опубликована 8 лет назад пользователемВасилий Стрюков

Содержание

Похожие презентации
Презентация на тему: » Параллельный перенос. §Пусть вектор а — данный вектор. Параллельным переносом на вектор а называется отображение плоскости на себя, при котором каждая.» — Транскрипт:
Какие прямые переходят сами в себя при параллельном переносе на вектор а вектор нормали
Геометрия. 9 класс
📽️ Видео

Презентация на тему: » Параллельный перенос. §Пусть вектор а — данный вектор. Параллельным переносом на вектор а называется отображение плоскости на себя, при котором каждая.» — Транскрипт:

3 Параллельный перенос. §Пусть вектор а — данный вектор. Параллельным переносом на вектор а называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М 1, что вектор ММ 1 равен вектору а. §Параллельный перенос является движением, т.е. отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние. ММ 1 = а; NN 1 = a, то ММ 1 = NN 1 => ММ 1 II NN 1 и MM 1 =NN 1, поэтому ММ 1 N 1 N —параллелограмм. ММ 1 II NN 1 и MM 1 =NN 1, поэтому ММ 1 N 1 N —параллелограмм.»>

8 Поворот. Отметим на плоскости точку О ( центр поворота) и зададим угол α ( угол поворота). Поворотом плоскости вокруг точки О на угол α называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М 1, что ОМ=ОМ 1 и угол МОМ 1 равен α. При этом точка О остаётся на месте т.е. отображается сама в себя, а все остальные точки поворачиваются вокруг точки О в одном и том же направлении — по часовой стрелке или против часовой стрелки. α

10 Поворот Поворот является движением т.е. Отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояния.

Видео:Направляющий и нормальный вектор прямой на плоскости | Векторная алгебраСкачать

Какие прямые переходят сами в себя при параллельном переносе на вектор а вектор нормали

Пусть — вектор пространства. Рассмотрим отображение пространства на себя, при котором образом любой точки M пространства является такая точка M ′ , что вектор ′ равен вектору : ′ = (рис. 23).

Можно доказать, что точка M имеет при данном отображении единственный образ — точку М ′ , а для точки М ′ существует единственный прообраз — точка М .

Таким образом, получаем биективное отображение пространства на себя, т. е. преобразование пространства, которое называют параллельным переносом на вектор .

Определение. Параллельным переносом на вектор называется такое преобразование пространства, при котором любая точка М отображается на такую точку M ′ , что выполняется векторное равенство: ′ = .

Иногда параллельный перенос называют коротко переносом. При этом вектор называют вектором переноса. Если при переносе на вектор точка М отображается на точку M ′ , то пишут: М ′ = ( М ) или ( M ) = M ′ .

Из определения следует, что параллельный перенос задаётся либо вектором, либо парой соответствующих точек ( М, М ′ ) .

Если при переносе на вектор точка М отображается на точку M ′ , то ′ = (рис. 24). Тогда = – . Значит, точка М ′ отображается на точку M переносом на вектор – , т. е. преобразование, обратное переносу на вектор , есть перенос на вектор – .

Перенос на нулевой вектор является тождественным преобразованием: ( М ) = М для любой точки М пространства.

5.2. Параллельный перенос в координатах

Пусть в прямоугольной системе координат Охyz задан вектор ( a ; b ; с ) . Найдём зависимость между координатами точки М ( x ; y ; z ) и её образа M ′ ( х ′ ; y ′ ; z ′ ) при переносе на вектор .

Так как M ′ = ( М ) , то ′ = (рис. 25). Вектор ′ имеет координаты: ′ ( x ′ – x ; y ′ – y ; z ′ – z ). Тогда векторное равенство ′ = равносильно системе трёх равенств x ′ – х = a, y ′ – у = b, z ′ – z = с, откуда

(1)

Соотношения (1) называются формулами параллельного переноса пространства на вектор ( a ; b ; c ) .

Докажем, что параллельный перенос пространства есть движение . Пусть: A ( x 1 ; y 1 ; z 1 ) и C ( x 2 ; y 2 ; z 2 ) — данные точки; A ′ ( ; ; ), C ′ ( ; ; ) — их образы при переносе на вектор ( a ; b ; с ). На основании (1) имеем

= x 1 + a, = y 1 + b, = z 1 + c,
= x 2 + a, = y 2 + b, = z 2 + c . (2)

Расстояние между точками А и C равно

Найдём расстояние между точками А ′ и C ′ .

Учитывая (2), получаем

| A ′ C ′ | = =
= = | AC| .

Таким образом, при параллельном переносе расстояние между точками сохраняется. Значит, параллельный перенос есть движение.

5.3. Свойства параллельного переноса

Можно доказать, что параллельный перенос отображает :

— прямую на параллельную ей прямую либо на себя;

— луч на сонаправленный с ним луч;

— вектор на равный ему вектор (на себя);

— плоскость на параллельную ей плоскость либо на себя.

Докажем, например, что параллельный перенос отображает плоскость на параллельную ей плоскость или на себя.

Действительно, параллельный перенос — движение, поэтому он отображает плоскость α на некоторую плоскость α′ . Докажем, что α′ || α или α′ совпадает с α .

На плоскости α выберем две пересекающиеся прямые a и b ; a ∩ b = O.

Пусть ( a ) = a ′ , ( b ) = b ′ (рис. 26). Тогда a || a ′ , b || b ′ .

Так как любое преобразование отображает пересечение фигур на пересечение их образов и прямые a и b пересекаются в точке O, то пересекаются и прямые a ′ и b ′ в такой точке O ′ , что O ′ = ( О ). Тогда либо плоскости α и α′ совпадают, либо по признаку параллельности плоскостей эти плоскости параллельны, что и требовалось доказать. ▼

Рассмотрим вопрос о неподвижных точках, неподвижных прямых и неподвижных плоскостях при параллельном переносе.

Неподвижных точек параллельный перенос на ненулевой вектор не имеет.

Неподвижной прямой при параллельном переносе на ненулевой вектор является любая прямая, параллельная вектору ; на каждой из этих прямых индуцируется параллельный перенос на вектор .

Неподвижной плоскостью при параллельном переносе на ненулевой вектор является любая плоскость, параллельная вектору ; на каждой из этих плоскостей индуцируется параллельный перенос на вектор .

Параллельный перенос, отображая любой вектор на себя, не меняет ориентацию пространства, следовательно, является движением первого рода.

Рассмотрим композицию двух переносов, заданных векторами и . Её обычно обозначают не ∘ , а + .

Пусть М — любая точка пространства. Перенос на вектор точку М отображает на такую точку М ′ , что ′ = (рис. 27). Последующий перенос на вектор точку М ′ отображает на такую точку M ″ , что ″ = . По правилу сложения векторов имеем ″ = ′ + ″ = + . Это означает, что ( + )( M ) = M ″ , т. e. перенoc на вектор ( + ) точку М отображает на точку М ″ .

Таким образом, композиция переносов на векторы и есть перенос на вектор + .

Так как + = + , то композиция переносов обладает свойством коммутативности: ( + )( M ) = ( + )( М ).

5 .4. Скользящая симметрия

Среди преобразований пространства важное место занимает «скользящая симметрия», представляющая собой композицию симметрии S α относительно плоскости α и параллельного переноса на вектор , который параллелен этой плоскости (рис. 28).

Отметим ряд характерных свойств скользящей симметрии:

— скользящая симметрия является движением (как композиция двух движений);

— скользящая симметрия не имеет неподвижных точек;

— любая прямая плоскости α , параллельная вектору переноса, является неподвижной прямой скользящей симметрии; на каждой из них индуцируется параллельный перенос;

— неподвижной плоскостью скользящей симметрии является не только плоскость симметрии α (на ней индуцируется параллельный перенос на вектор ) , а также любая плоскость, перпендикулярная плоскости α и параллельная вектору переноса (на каждой из таких плоскостей индуцируется скользящая симметрия, осью которой является прямая пересечения этой плоскости с плоскостью α , а вектором переноса — вектор );

— скользящая симметрия меняет ориентацию тетраэдра (значит, и ориентацию пространства), т. е. является движением второго рода;

— преобразованием, обратным скользящей симметрии, заданной плоскостью α и вектором , является скользящая симметрия, заданная той же плоскостью α и вектором – .

Попробуйте доказать самостоятельно, что композиция двух центральных симметрий есть параллельный перенос, причём Z B ∘ Z A = 2 . Наоборот, любой параллельный перенос может быть разложен (неоднозначно) в композицию двух центральных симметрий.

Видео:11 класс, 12 урок, Параллельный переносСкачать

Геометрия. 9 класс

Конспект
Отметим точки A, B и зададим некоторый вектор а. Отложим вектор а от каждой из точек. При этом точка А отображается в точку А₁, точка В отображается в точку В₁. Таким образом вектор АА₁ равен вектору ВВ₁ и равны вектору а. Этот вид отображения плоскости на себя называется параллельным переносом.

Проведем отрезок АВ. Отложим вектор р от точек А и В. При этом точка А отображается в точку А₁, точка В отображается в точку В₁. Проведем отрезок А₁В₁. Отрезок АВ отображается на отрезок А₁В₁ при параллельном переносе на вектор р.

Построим треугольник ABC и задаем некоторый вектор а. Отложим вектор р от каждой из точек А, В, С. При этом точка А отображается в точку А₁, точка В отображается в точку В₁, точка С отображается в точку С₁. Таким образом векторы АА₁ = ВВ₁ = СС₁ и равны вектору а. Соединим отрезками точки А₁, В₁, С₁. Треугольник АВС отображается на треугольник А₁В₁С₁ при параллельном переносе на вектор а.
Сформулируем определение. Параллельным переносом на вектор р называется отображение плоскости на себя, при котором каждая точка М отображается в такую точку М₁, что вектор ММ₁ = р. Является ли параллельный перенос движением – отображением плоскости на себя, сохраняющим расстояние?

Пусть при параллельном переносе на вектор а точки M и N отображаются в точки M₁ и N₁. Так как вектор MM₁ равен вектору a и вектор NN₁ равен вектору a, то векторы MM₁ и NN₁ равны, т.е. MM₁ = NN₁, MM₁ ║ NN₁ следовательно, четырехугольник – параллелограмм, т.е. MN = M₁N₁. Значит, расстояние не изменяется. Таким образом доказали, что параллельный перенос является движением. Отметим следующие свойства.
При параллельном переносе:
1) отрезок переходит в равный ему отрезок;