1. Определение тригонометрических функций | ||
Через единичную окружность (R = 1) | Через произвольную окружность (R — радиус окружности) | Через прямоугольный треугольник (для острых углов) |
tg α = y/x = sin α / cos α |
ctg α = x/y = cos α / sin α |
sin (числа α) = sin (угла в α радиан)
cos (числа α) = cos (угла в α радиан)
tg (числа α) = tg (угла в α радиан)
ctg (числа α) = ctg (угла в α радиан)
* Это следует из того, что две концентрические окружности гомотетичны (центр гомотетии — точка О, а коэффициент гомотетии k — отношение радиусов этих окружностей), тогда и точки Pα на этих окружностях также будут гомотетичны. Таким образом, при переходе от одной окружности к другой в определениях тригонометрических функций числитель и знаменатель соответствующей дроби умножаются на k, а значение дроби не изменяется. |
Окружность радиуса 1 с центром в начале координат будем называть единичной окружностью.
Пусть при повороте на угол α точка P0 (1; 0) переходит в точку Pα (x; y)
(то есть при повороте на угол α радиус OP0 переходит в радиус OPα) (рис. 63).
Синусом угла α называется ордината точки Pα (x; y) единичной окружности:
Косинусом угла α называется абсцисса точки Pα (x; y) единичной окружности:
Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки Pα (x; y) единичной окружности к ее абсциссе, то есть отношение sin α / cos α.
Таким образом, tg α = sin α / cos α (где cos α ≠ 0).
Заметим, что при cos α = 0 значение функции tg α не определено, а значение функции ctg α не определено при sin α = 0.
Пример |
Пользуясь этими определениями, найдем синус, косинус, тангенс и котангенс угла 2π / 3 радиан.
♦ Рассмотрим единичную окружность (рис. 64). При повороте на угол 2π / 3 радиус OP0 переходит в радиус OP2π/3 (а точка P0 переходит в точку P2π/3). Координаты точки P2π/3 можно найти, используя свойства прямоугольного треугольника OAP2π/3 (с углами 60° и 30° и гипотенузой 1): x = — OA=−1/2; y = AP2π/3 = √3/2. Тогда: sin 2π/3 = y = √3/2; cos 2π/3 = x = -1/2; tg 2π/3 = sin 2π/3 / cos 2π/3 = — √3; ctg 2π/3 = — 1/√3.◊
Аналогично находятся значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса углов, градусные и радианные меры которых указаны в верхней строке таблицы 19 (с. 156).
Укажем, что таким образом можно найти тригонометрические функции только некоторых углов. Тригонометрические функции произвольного угла обычно находят с помощью калькулятора или таблиц.
2. Тригонометрические функции числового аргумента. Введенные определения позволяют рассматривать не только тригонометрические функции углов, но и тригонометрические функции числовых аргументов, если рассматривать тригонометрические функции числа α как соответствующие тригонометрические функции угла в α радиан. То есть:
синус числа α — это синус угла в α радиан;
косинус числа α — это косинус угла в α радиан.
Например: sin π/6 = sin (π/6 радиан) = sin 30° = 1/2 (см. также пункт 2 табл. 7).
α | градусы | 0 º | 30 º | 45 º | 60 º | 90 º | 180 º | 270 º | 360 º |
радианы | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | π | 3π/2 | 2π | |
sin α | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | 0 | -1 | 0 | |
cos α | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | -1 | 0 | 1 | |
tg α | 0 | √3/3 | 1 | √3 | — | 0 | — | 0 | |
ctg α | — | √3 | 1 | √3/3 | 0 | — | 0 | — |
3. Линии тангенсов и котангенсов. Для решения некоторых задач полезно иметь представление о линиях тангенсов и котангенсов.
♦ Проведем через точку P0 единичной окружности прямую AP0, параллельную оси Oy (рис. 65). Эта прямая называется линией тангенсов.
Пусть α — произвольное число (или угол), для которого cos α ≠ 0. Тогда точка Pα не лежит на оси Oy и прямая OPα пересекает линию тангенсов в точке A. Поскольку прямая OPα проходит через начало координат, то ее уравнение имеет вид y = kx. Но эта прямая проходит через точку Pα с координатами (cos α; sin α), значит, координаты точки Pα удовлетворяют уравнению прямой y = kx, то есть sin α = k cos α. Отсюда k = sin α / cos α = tg α. Следовательно, прямая OPα имеет уравнение
y = (tg α) x. Прямая AP0 имеет уравнение x = 1. Чтобы найти ординату точки A, достаточно в уравнение прямой OPα подставить x = 1. Получаем yA = tg α. Таким образом,
тангенс угла (числа) α — это ордината соответствующей точки на линии тангенсов.◊
Аналогично вводится и понятие линии котангенсов: это прямая CB (рис. 66), которая проходит через точку C (0; 1) единичной окружности параллельно оси Ox.
Если α — произвольное число (или угол), для которого sin α ≠ 0 (то есть точка Pα не лежит на оси Ox), то прямая OPα пересекает линию котангенсов в некоторой точке B (xB; 1).
Аналогично вышеизложенному обосновывается, что xB = ctg α, таким образом,
котангенс угла (числа) α — это абсцисса соответствующей точки на линии котангенсов.
Вопросы для контроля
1. Сформулируйте определения тригонометрических функций острого угла в прямоугольном треугольнике.
2. Сформулируйте определения тригонометрических функций произвольного угла:
а) используя окружность радиуса R с центром в начале координат;
б) используя единичную окружность.
3. Что имеют в виду, когда говорят о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе числа α?
Упражнения
1°. Постройте на единичной окружности точку Pα, в которую переходит точка P0 (1; 0) единичной окружности при повороте на угол α. В какой координатной четверти находится точка Pα в заданиях 3–6?
1) α = 3π; 2) α = –4π; 3) α=7π/6;
4) α=−3π/4; 5) α=4π/3; 6) α=7π/4.
2. Найдите значение sin α, cos α, tg α, ctg α (если они существуют) при:
1) α = 3π; 2) α = –4π; 3) α=−π/2;
4) α=5π/2; 5*) α=−5π/6; 6*) α=3π/4.
3°. Пользуясь определением синуса и косинуса, с помощью единичной окружности укажите знаки sin α и cos α, если:
1) α=6π/5; 2) α=−π/6; 3) α=5π/6;
4*. Пользуясь линией тангенсов, укажите знак tg α, если:
1) α=4π/3; 2) α=−3π/4; 3) α=11π/6;
5*. Пользуясь линией котангенсов, укажите знак сtg α, если:
1) α=−4π/3; 2) α=3π/4; 3) α=−11π/6;
Видео:Система координат · Ось абсцисс и ось ординат · Координатная плоскость Урок Математики для 6 классаСкачать
Отношение абсциссы к ординате точке единичной окружности это
Введем основные тригонометрические функции.
Пусть радиус-вектор $vec = bar$ точки $M$ образует угол $alpha$ с осью $Ox$ (рис.), причем $x$ и $y$ соответственно абсцисса и ордината конца $M$ вектора, $r$ — его модуль, а величина угла $alpha$ измеряется в градусах или в радианах.
1. Синусом угла $alpha$ (обозначение: $sin alpha$) называется отношение ординаты $y$ (см. рис.) к длине $r$ радиуса-вектора $bar $:
2. Косинусом угла $alpha$ (обозначение: $cos alpha$) называется отношение абсциссы $x$ к длине $r$ радиуса-вектора $bar $:
3. Тангенсом угла $alpha$ (обозначение: $tg alpha$) называется отношение синуса угла $alpha$ к косинусу этого угла:
4. Котангенсом угла $alpha$ (обозначение: $ctg alpha$) называется отношение косинуса угла $alpha$ к синусу этого угла:
5. Секансом угла $alpha$ (обозначение: $sec alpha$) называется величина, обратная $cos alpha$:
6. Косекансом угла $alpha$ (обозначение: $cosec alpha$) называется величина, обратная $sin alpha$:
Замечание 1. Тригонометрические функции (1) — (6) действительно являются функциями только угла $alpha$, т. е. не зависят от длины подвижного радиуса-вектора. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно доказать, что если подвижный радиус-вектор $vec$ образует с осью абсцисс данный угол $alpha$, то отношения $frac$ и $frac$ не зависят от длины радиуса-вектора.
Замечание 2. Из определения $tg alpha$ и $ctg alpha$ следует, что
$tg alpha = frac$, (7)
$ctg alpha = frac$. (8)
Соотношения (7) и (8) можно было бы принять в качестве определений для $tg alpha$ и $ctg alpha$.
Замечание 3. Аналогично получаем
$sec alpha = frac$,(9)
$cosec alpha = frac$ (10).
Соотношения (9) и (10) можно было бы также принять в качестве определений для $sec alpha$ и $cosec alpha$.
Замечание 4. Во всех определениях (1) — (6) предполагаем, что соответствующие отношения существуют (имеют смысл). Например, $tg alpha$ имеет смысл, если $cos alpha neq 0, ctg alpha$ имеет смысл, если $sin alpha neq 0$, и т.д. Поскольку (замечание 1) тригонометрические функции (1) — (6) угла $alpha$ не зависят от длины подвижного радиуса-вектора, то в качестве радиуса-вектора можно брать вектор с длиной, равной единице $(| vec| = r = 1)$. Такой вектор называют единичным радиусом-вектором. В случае единичного радиуса-вектора формулы для основных тригонометрических функций запишутся так (рис.):
$begin sin alpha = y, cos alpha = x \ tg alpha = frac, ctg alpha = frac \ sec alpha = frac, cosec alpha = frac end$. (11)
Формулы для $tg alpha$ и $ctg alpha$ остались прежними (см. (7) и (8)), а формулы для остальных основных тригонометрических функций приняли более простой вид (см. (1), (2), (9) и (10)). Следовательно, синус и косинус угла а равны соответственно ординате и абсциссе конца подвижного единичного радиуса-вектора. Конец этого единичного радиуса-вектора при изменении угла а от $0^$ до $360^$ опишет окружность, называемую единичной окружностью (рис.). Для геометрического истолкования тангенса и котангенса вводят понятия оси тангенсов и оси котангенсов. Осью тангенсов называется перпендикуляр, восставленный в точке $A$ к неподвижному радиусу-вектору $bar$. Положительное и отрицательное направления на оси тангенсов выбирают так, чтобы они совпадали с соответствующими направлениями оси ординат (рис.). Рассмотрим угол $alpha = angle AOM$ и введем понятие соответствующей точки оси тангенсов.
а) Если точка $M$ единичной окружности лежит справа от оси ординат, то соответствующей ей точкой оси тангенсов назовем точку $M_$ (точку пересечения продолжения $MO$ с осью тангенсов, рис а.
б) Если точка $M$ единичной окружности лежит слева от оси ординат, то соответствующей ей точкой сси тангенсов назовем точку $M_$ (точку пересечения продолжения $MO$ с ссыо тангенсов, рис. б.
Заметим, что тангенс угла а численно равен ординате $y_$ (рис.) соответствующей точки сси тангенсов, т. е. всегда $tg alpha — y_$. Докажем это для углов первых двух четвертей:
1) $0^ leq alpha < 90^$ (рис. a), $tg alpha = frac<y_> = y_ geq 0$, где $y_$ — ордината точки $M_$.
2) $90^ < alpha leq 180^$ (рис. б). $tg alpha = frac<y_><x_> leq 0$, где $x_$ и $y_$ — абсцисса и ордината точки $M$. Из подобия прямоугольных треугольников $OMM_$ и $OM_A$ имеем
Следовательно, $tg alpha = frac<y_><x_> = y_ leq 0$.
Заметим еще следующее:
а) если точка $M$ лежит на оси ординат (например, $alpha = 270^$), то соответствующей ей точки сси тангенсов не существует, но при этом и $tg alpha$ также не существует;
б) в рассмотренных случаях 1)-2) мы брали угол $alpha$ в пределах от $0^$ до $360^$, но в наших рассуждениях ничего не изменится, если мы будем предполагать угол $alpha$ любым.
Осью котангенсов называется перпендикуляр, восставленный в точке В (конец радиуса-вектора $bar $, образующего с осью $Ox$ угол, равный $90^$) к оси ординат. Положительное и отрицательное направления на оси котангенсов выбирают так, чтобы они совпадали с соответствующими направлениями оси абсцисс (рис.). Введем понятие соответствующей точки оси котангенсов.
а) Если точка $M$ единичной окружности лежит над осью абсцисс, то соответствующей ей точкой оси котангенсов назовем точку $M_$ (точку пересечения продолжения $OM$ с осью котангенсов, рис. а).
б) Если точка $M$ единичной окружности лежит под осью абсцисс, то соответствующей ей точкой сси котангенсов назовем точку (точку пересечения продолжения $MO$ с осью котангенсов, рис. б).
Аналогично предыдущему можно получить, что котангенс угла $alpha$ равен абсциссе $x_$ соответствующей точки оси котангенсов, т. е. $ctg alpha = x_$. Если точка $M$ лежит на оси абсцисс (например, $alpha — 180^$), то соответствующей ей точки оси котангенсов не существует, но при этом и $ctg alpha$ также не существует.
Видео:Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.Скачать
Единичная окружность
Что такое единичная окружность и как с ее помощью вводятся определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса?
Рассмотрим в прямоугольной декартовой системе координат окружность с центром в начале координат — точке O.
Отметим на окружности точку P, лежащую на оси абсцисс справа от точки O.
Осуществим поворот радиуса OP около точки O на угол α в верхнюю полуплоскость.
При этом радиус OP займет положение OA. Говорят, что при повороте на угол альфа радиус OP переходит в радиус OA, а точка P переходит в точку точку A(x;y).
Опустив перпендикуляр AB из точки A на ось Оx, получим прямоугольный треугольник OAB, в котором гипотенуза OA равна радиусу окружности, катеты AB и OB — ординате и абсциссе точки A: OA=R, AB=y, OB=x.
Катет AB — противолежащий углу AOB, равному α, катет OB — прилежащий.
По определению косинуса острого угла в прямоугольном треугольнике,
Таким образом, на окружности косинус угла α — это отношение абсциссы точки A окружности к радиусу этой окружности.
Аналогично, по определению синуса острого угла в прямоугольном треугольнике,
Значит, синус угла α — это отношение ординаты точки A окружности к радиусу этой окружности.
Для окружности любого радиуса отношения x/R и y/R не зависят от величины радиуса, а зависят только от угла альфа. Поэтому удобно взять R=1. Для окружности единичного радиуса определение синуса и косинуса упрощаются:
Окружность с центром в начале координат и радиусом, равным единице, называется единичной окружностью.
Отсюда получаем определения синуса и косинуса на единичной окружности.
Синусом угла α называется ордината точки A единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.
Косинусом угла α называется абсцисса точки A единичной окружности, полученной при повороте точки P(1;0) на угол α.
Применив определения тангенса и котангенса острого угла в прямоугольном треугольнике в ∆AOB, получаем:
Приходим к определению тангенса и котангенса на единичной окружности.
Тангенсом угла α называется отношение ординаты точки A единичной окружности к абсциссе этой точки.
Котангенсом угла α называется отношение абсциссы точки A единичной окружности к ординате этой точки.
Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать
One Comment
Искала везде. Нигде нет такого подробного и понятного объяснения. Огромное Вам спасибо!
🎦 Видео
Изобразить на единичной окружности точку.Скачать
Синус, косинус, тангенс, котангенс за 5 МИНУТСкачать
ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать
9 класс, 9 урок, Синус, косинус, тангенс, котангенсСкачать
Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать
Алгебра 10 класс (Урок№30 - Определение синуса, косинуса и тангенса угла.)Скачать
Алгебра 10 класс Определение синуса, косинуса, тангенса угла ЛекцияСкачать
9 класс. Геометрия. Тригонометрические функции угла от 0° до 180°. Единичная окружность. Урок #1Скачать
Алгебра 10 класс (Урок№31 - Знаки синуса, косинуса и тангенса.)Скачать
Алгебра 10 класс (Урок№33 - Синус, косинус и тангенс аргументов а и -а.)Скачать
Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать
Как видеть тангенс? Тангенс угла с помощью единичного круга.Скачать
6 Линия тангенсов и линия котангенсовСкачать
Тригонометрические функции углового аргумента | Алгебра 10 класс #15 | ИнфоурокСкачать
Определение синуса косинуса тангенса котангенса на единичной окружности. Шпаргалка по тригонометрииСкачать
Знаки тригонометрических функций на единичной окружности. Тригонометрия 8-11 класс.Скачать
Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать