Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Окружность, описанная около треугольника

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Определение окружности, описанной около треугольника

Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .

Видео:№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружностьСерединный перпендикуляр к отрезку
Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружностьОкружность описанная около треугольника
Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружностьСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружностьДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Видео:Равносторонний треугольник в окружностиСкачать

Равносторонний треугольник в окружности

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружностьВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаОстроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружностьОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиОстроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружностьЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиОстроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружностьЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовОстроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность
Площадь треугольникаОстроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность
Радиус описанной окружностиОстроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаОстроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиОстроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиОстроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиОстроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовОстроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаОстроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиОстроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Для любого треугольника справедливо равенство:

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Геометрия Вершины равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) делят описанную около него окружностьСкачать

Геометрия Вершины равнобедренного треугольника ABC (AB = BC) делят описанную около него окружность

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника можно найти по одной из общих формул радиуса окружности, описанной около треугольника.

Используя свойства равнобедренного треугольника, можно также получить дополнительные формулы.

I. Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по формуле

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Площадь равнобедренного треугольника через длину основание a и боковую сторону b можно найти по формуле

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

соответственно, формула для нахождения радиуса описанной окружности для равнобедренного треугольника принимает вид:

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

верна и для равнобедренного треугольника.

Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности:

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

где a — основание, b — боковая сторона, α — угол при вершине, β — угол при основании.

III. Радиус описанной окружности в равнобедренном треугольнике можно найти непосредственно, без использования общих формул.

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Например, в прямоугольном треугольнике AOF AO=R, AF=b/2, ∠FAO=α/2. Отсюда

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

Остроугольный равнобедренный треугольник и описать около него окружность

IV. В равнобедренном тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника, напротив его вершины.

Радиус находят по тем же формулам, что и для остроугольного треугольника.

V. В равнобедренном прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, радиус равен половине гипотенузы (то есть половине основания треугольника).

🎦 Видео

Задача 6 №27922 ЕГЭ по математике. Урок 139Скачать

Задача 6 №27922 ЕГЭ по математике. Урок 139

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABCСкачать

2031 окружность центром в точке О описана около равнобедренного треугольника ABC

№703. В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС. Найдите углы треугольникаСкачать

№703. В окружность вписан равнобедренный треугольник ABC с основанием ВС. Найдите углы треугольника

Свойства равнобедренного треугольника #огэ #математика #shortsСкачать

Свойства равнобедренного треугольника #огэ #математика #shorts

Треугольник и окружность #shortsСкачать

Треугольник и окружность #shorts

Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружностьСкачать

Как разделить окружность на 3 равные части или как вписать равнобедренный треугольник в окружность

Равносторонний треугольник. Описанная окружностьСкачать

Равносторонний треугольник. Описанная окружность

Центр описанной окружности равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Центр описанной окружности равнобедренного треугольника ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Нахождение радиуса окружности, описанной около равнобедренного треугольника.Скачать

Нахождение радиуса окружности, описанной около равнобедренного треугольника.

Вершины треугольника делят окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11Скачать

Вершины треугольника делят  окружность на три дуги, длины которых относятся как 3:4:11
Поделиться или сохранить к себе: