Ортогональность векторов в матрице

В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.

Видео:Как разложить вектор по базису - bezbotvyСкачать

Ортогональные векторы: определение и условие

Ортогональные векторы — это векторы a ¯ и b ¯ , угол между которыми равен 90 0 .

Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора a ¯ и b ¯ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.

Видео:Ортогональность. ТемаСкачать

Примеры решения задач на ортогональность векторов

Плоские задачи на ортогональность векторов

Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов a ¯ = и b ¯ = записывают следующим образом:

a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y = 0

Задача 1. Докажем, что векторы a ¯ = и b ¯ = ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) = 2 — 2 = 0

Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.

Задача 2. Докажем, что векторы a ¯ = и b ¯ = ортогональны.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 3 × 7 + ( — 1 ) × 5 = 21 — 5 = 16

Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.

Задача 3. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = и b ¯ = будут ортогональными.

Как решить?

Найдем скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 = 2 n + 4 2 n + 4 = 0 2 n = — 4 n = — 2

Ответ: векторы являются ортогональными при значении n = 2 .

Видео:2 42 Ортогональность векторовСкачать

Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

При решении пространственной задачи на ортогональность векторов a ¯ = и b ¯ = условие записывается следующим образом: a ¯ × b ¯ = a x × b x + a y × b y + a z × b z = 0 .

Задача 4. Докажем, что векторы a ¯ = и b ¯ = являются ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 1 × 2 + 2 × ( — 1 ) + 0 × 10 = 2 — 2 = 0

Ответ: поскольку произведение векторов равняется нулю, то они являются ортогональными.

Задача 5. Найдем значение числа n , при котором векторы a ¯ = и b ¯ = будут являться ортогональными.

Как решить?

Находим скалярное произведение данных векторов:

a ¯ × b ¯ = 2 × n + 4 × 1 + 1 × ( — 8 ) = 2 n + 4 — 8 = 2 n — 4 2 n — 4 = 0 2 n = 4 n = 2

Ответ: векторы a ¯ и b ¯ будут ортогональными при значении n = 2 .

Видео:Компланарны ли векторы: a=(2;5;8), b=(1;-3;-7) и c=(0;5;10)?Скачать

Приложение И Ортогональные векторы и матрицы

П.10. Ортогональные векторы и матрицы

Два вектора а и b размеров nx1 ортогональны между собой, если их произведение

Заметим, что термин ортогональны относится к двум векторам, а не к одному вектору.

Геометрически два ортогональных вектора перпендикулярны друг к другу. Это показано на рисунке П.10.1 для векторов x₁ T =[4, 2] и x₂ T =[–1, 2]. Заметим, что

Рис. П.10.1. Два ортогональных (перпендикулярных) вектора.

Видео:Доказать, что векторы a, b, c образуют базис и найти координаты вектора d в этом базисеСкачать

Рекомендуемые файлы

Рис. П.10.2. Векторы а и b в 3-х мерном пространстве.

Чтобы показать, что два ортогональных вектора перпендикулярны, пусть угол между векторами а и b на рисунке П.10.2 будет q. В векторной алгебре произведение векторов а Т b является их скалярным произведением. Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению их длин на косинус угла между ними [Беклемишев (2006) стр.24]

а Т b=cosq (П.10.2)

Если q =90º, то a Т b=0, так как cos(90º) =0. Поэтому а и b перпендикулярны, если a Т b=0.

Если а Т а=1, то вектор а называется нормированным. Вектор b может быть нормирован путём деления его на свою длину . Таким образом, вектор

m=b/ (П.10.3)

нормирован, так что m Т m=1.

Совокупность векторов m₁, m₂. m_р, которые нормированы (m_i Т m_i=1 для всех i) и взаимно ортогональны (m_i Т m_j=0 для всех i≠j; i, j=1, 2, . р), является ортонормированной совокупностью векторов. Если матрица M= [m₁, m₂. m_р] размеров рхр имеет ортонормированные столбцы, то эта матрица называется ортогональной. Поскольку элементы матрицы M Т M являются произведениями столбцов M [см. пункт 1 теоремы П.2.3], то ортогональная матрица M обладает следующим свойством

Можно показать, что для ортогональной матрицы M также справедливо выражение

Таким образом, ортогональная матрица M имеет как ортонормированные строки, так и ортонормированные столбцы. Из (П.10.4) и (П.10.5) также ясно, что если матрица M ортогональная, то M Т =M –1 .

Пример П.10. Для знакомства с ортогональной матрицей, начнём с матрицы

А=,

столбцы которой взаимно ортогональны, но не ортонормированы. Для нормирования столбцов матрицы необходимо элементы столбцов поделить на соответствующие длины столбцов, то есть, на , и , чтобы получить ортогональную матрицу

M=,

столбцы которой ортонормированы. Заметим, что строки её также ортонормированы, так что M удовлетворяет уравнениям (П.10.4) и (П.10.5).

Умножение вектора на ортогональную матрицу имеет эффект вращения осей. Так, если вектор х преобразуется в вектор у=Mx умножением на ортогональная матрицу M, то длина вектора у равна длине вектора х

Следовательно, преобразование х в у является поворотом.

В лекции «5. Экономическое построение системы» также много полезной информации.

Некоторые свойства ортогональных матриц даны в следующей теореме.

Теорема П.10. Если матрица M=M_рр ортогональная, а матрица А=А_рр любая квадратная, то

3. значение любого элемента m_ij матрицы M находится в интервале –1 Т M)=det(M Т )det(M)=det(M)det(M)=[det(M)] 2 . Поэтому [det(M)] 2 =1 и det(M)=±1.

Так как m_i Т m_i=1 для всех i, то имеем m_i Т m_i==1, а максимальное значение любого m_ij 2 равно 1.

Видео:[work] ортогональность векторовСкачать

Ортогональная матрица: свойства, доказательство, примеры

Видео:A.7.4 Ортогонализация набора векторов. Процесс Грама-Шмидта.Скачать

Содержание:

Оно имеет ортогональная матрица когда указанная матрица умножается на ее транспонирование, в результате получается единичная матрица. Если обратная матрица равна транспонированной, то исходная матрица ортогональна.

Ортогональные матрицы обладают тем свойством, что количество строк равно количеству столбцов. Кроме того, векторы-строки являются единичными ортогональными векторами, а транспонированные векторы-строки также являются.

Когда ортогональная матрица умножается на векторы векторного пространства, она дает изометрическое преобразование, то есть преобразование, которое не изменяет расстояния и сохраняет углы.

Типичным представителем ортогональных матриц являются матрицы вращения. Преобразования ортогональных матриц в векторном пространстве называются ортогональные преобразования.

Геометрические преобразования вращения и отражения точек, представленных их декартовыми векторами, выполняются путем применения ортогональных матриц к исходным векторам для получения координат преобразованных векторов. По этой причине ортогональные матрицы широко используются в обработке компьютерной графики.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

Свойства

Массив M ортогонален, если умножить на его транспонирование M Т возвращает единичную матрицу я. Точно так же произведение транспонированной ортогональной матрицы на исходную матрицу приводит к единичной матрице:

М М Т = M Т M = I

Как следствие предыдущего утверждения, мы имеем, что транспонированная ортогональная матрица равна ее обратной матрице:

M Т = M -1 .

Набор ортогональных матриц размерности п х п образуют группу ортогональных О (п). И подмножество О (п) ортогональных матриц с определителем +1 образуют Группа унитарных специальных матриц SU (n). Групповые матрицы Солнце) матрицы, которые производят линейные преобразования вращения, также известные как группа вращений.

Видео:Собственные значения и собственные векторы матрицы (4)Скачать

Демонстрация

Мы хотим показать, что матрица ортогональна тогда и только тогда, когда векторы-строки (или векторы-столбцы) ортогональны друг другу и имеют норму 1.

Предположим, что строки ортогональной матрицы n x n являются n ортонормированными векторами размерности n. Если обозначить v1, v2,…., Vп удовлетворяются n векторов:

Где очевидно, что действительно набор векторов-строк представляет собой набор ортогональных векторов с нормой один.

Видео:Ортогональные системы векторов. Процесс ортогонализации (задача 1357)Скачать

Примеры

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Пример 1

Покажите, что матрица 2 x 2, в первой строке которой есть вектор v1= (-1 0) и во второй строке вектор v2= (0 1) — ортогональная матрица.

Решение: Матрица построена M и его транспонирование рассчитывается M Т :

В этом примере массив M он самотранспонирован, то есть матрица и ее транспонирование идентичны. Умножается M путем транспонирования M Т :

Подтверждено, что MM Т равна единичной матрице:

Когда матрица M умноженные на координаты вектора или точки, получаются новые координаты, соответствующие преобразованию, которое матрица выполняет для вектора или точки.

На рисунке 1 показано, как M вектор преобразования или в или’а также как M преобразовать синий многоугольник в красный многоугольник. Как M ортогонален, то это ортогональное преобразование, сохраняющее расстояния и углы.

Видео:Лекция 5.7. Ортогонализация Грама-Шмидта: примерСкачать

Пример 2

Предположим, у вас есть матрица 2 x 2, определенная в вещественных числах, заданных следующим выражением:

Найдите реальные значения к, б, c Y d такая, что матрица M — ортогональная матрица.

Решение: По определению матрица ортогональна, если при умножении на ее транспонирование получается единичная матрица. Помня, что транспонированная матрица получается из оригинала, заменяя строки на столбцы, получаем следующее равенство:

Выполняя матричное умножение, имеем:

Приравнивая элементы левой матрицы к элементам единичной матрицы справа, мы получаем систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными a, b, c и d.

Мы предлагаем следующие выражения для a, b, c и d в терминах тригонометрических соотношений синуса и косинуса:

Благодаря этому предложению и благодаря фундаментальному тригонометрическому тождеству первое и третье уравнения автоматически удовлетворяются в равенстве матричных элементов. Третье и четвертое уравнения одинаковы и в матричном равенстве после подстановки предложенных значений они выглядят так:

что приводит к следующему решению:

В итоге для ортогональной матрицы M получены следующие решения:

Обратите внимание, что первое из решений имеет определитель +1, поэтому оно принадлежит группе SU (2), а второе решение имеет определитель -1 и, следовательно, не принадлежит к этой группе.

Видео:9 4 Ортогональные матрицыСкачать

Пример 3

Учитывая следующую матрицу, найдите значения a и b так, чтобы у нас была ортогональная матрица.

Решение: Чтобы данная матрица была ортогональной, произведение с ее транспонированием должно быть единичной матрицей. Затем производится матричное произведение данной матрицы на ее транспонированную матрицу, дающую следующий результат:

Затем результат приравнивается к единичной матрице 3 x 3:

Во второй строке третьего столбца мы имеем (а б = 0), но к он не может быть нулевым, потому что в этом случае равенство элементов второй строки и второго столбца не будет выполнено. Тогда обязательно б = 0. Подстановка б для значения 0 имеем:

Затем решается уравнение: 2а ^ 2 = 1, решениями которого являются: + ½√2 и -½√2.

Принимая положительное решение для к Получается следующая ортогональная матрица:

Читатель может легко убедиться, что векторы-строки (а также векторы-столбцы) ортогональны и унитарны, то есть ортонормированы.

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Векторное произведение.Скачать

Пример 4

Докажите, что матрица К чьи векторы-строки v1 = (0, -1 0), v2 = (1, 0, 0) Y v3 = (0 0 -1) является ортогональной матрицей. Дополнительно узнайте, как преобразуются канонические базовые векторы I J K к векторам u1, u2 Y u3.

Решение: Следует помнить, что элемент (i, j) матрицы, умноженный на его транспонирование, является скалярным произведением вектора строки (i) на вектор столбца (j) транспонирования. Кроме того, это произведение равно дельте Кронекера в случае, если матрица ортогональна:

В нашем случае это выглядит так:

v1 • v1 = 0x0 + (-1) x (-1) + 0x0 = 1

v2 • v2 = 1 × 1 + 0x0 + 0x0 = 1

v3 • v3 = 0x0 + 0x0 + (-1) x (-1) = 1

v1 • v2 = 0x1 + (-1) x0 + 0x0 = 0

v2 • v1 = 1 × 0 + 0x (-1) + 0x0 = 0

v2 • v3 = 1 × 0 + 0x (0) + 0x (-1) = 0

v3 • v2 = 0x1 + 0x (0) + (-1) x0 = 0

v1 • v3 = 0x0 + (-1) x (0) + 0x (-1) = 0

v3 • v1 = 0x0 + 0x (-1) + (-1) x0 = 0

При этом показано, что это ортогональная матрица.

В дальнейшем u1 = A i = (0, 1, 0); u2 = A j = (-1, 0, 0) и, наконец, u3 = A k = (0, 0, -1)

Видео:Высшая математика. Линейные пространства. Векторы. БазисСкачать

Ссылки

1. Энтони Николаидес (1994) Детерминанты и матрицы. Пройти публикацию.
2. Биркгоф и Маклейн. (1980). Современная алгебра, под ред. Висенс-Вивес, Мадрид.
3. Кастелейро Вильяльба М. (2004) Введение в линейную алгебру. Редакция ESIC.
4. Дэйв Киркби (2004) Maths Connect. Heinemann.
5. Дженни Олив (1998) Математика: Руководство по выживанию для студентов. Издательство Кембриджского университета.
6. Ричард Дж. Браун (2012) 30-секундная математика: 50 наиболее расширяющих разум теорий в математике. Айви Пресс Лимитед.
7. Википедия. Ортогональная матрица. Получено с: es.wikipedia.com
8. Википедия. Ортогональная матрица. Получено с: en.wikipedia.com

Что такое гомоплазия? (С примерами)

Типичный костюм Гуанахуато: история и описание

💡 Видео

§48 Ортонормированный базис евклидова пространстваСкачать

Лекция 16. Понятие вектора и векторного пространства. Базис векторного пространства.Скачать

Ортогональные матрицыСкачать

10 класс, 43 урок, Компланарные векторыСкачать

Векторное произведение векторов | Высшая математикаСкачать