Ординатой точки единичной окружности является следующая функция

Видео:Как искать точки на тригонометрической окружности.Скачать

Ординатой точки единичной окружности является следующая функция

Введем основные тригонометрические функции.

Пусть радиус-вектор $vec = bar$ точки $M$ образует угол $alpha$ с осью $Ox$ (рис.), причем $x$ и $y$ соответственно абсцисса и ордината конца $M$ вектора, $r$ — его модуль, а величина угла $alpha$ измеряется в градусах или в радианах.

1. Синусом угла $alpha$ (обозначение: $sin alpha$) называется отношение ординаты $y$ (см. рис.) к длине $r$ радиуса-вектора $bar $:

2. Косинусом угла $alpha$ (обозначение: $cos alpha$) называется отношение абсциссы $x$ к длине $r$ радиуса-вектора $bar $:

3. Тангенсом угла $alpha$ (обозначение: $tg alpha$) называется отношение синуса угла $alpha$ к косинусу этого угла:

4. Котангенсом угла $alpha$ (обозначение: $ctg alpha$) называется отношение косинуса угла $alpha$ к синусу этого угла:

5. Секансом угла $alpha$ (обозначение: $sec alpha$) называется величина, обратная $cos alpha$:

6. Косекансом угла $alpha$ (обозначение: $cosec alpha$) называется величина, обратная $sin alpha$:

Замечание 1. Тригонометрические функции (1) — (6) действительно являются функциями только угла $alpha$, т. е. не зависят от длины подвижного радиуса-вектора. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно доказать, что если подвижный радиус-вектор $vec$ образует с осью абсцисс данный угол $alpha$, то отношения $frac$ и $frac$ не зависят от длины радиуса-вектора.

Замечание 2. Из определения $tg alpha$ и $ctg alpha$ следует, что

$tg alpha = frac$, (7)
$ctg alpha = frac$. (8)

Соотношения (7) и (8) можно было бы принять в качестве определений для $tg alpha$ и $ctg alpha$.

Замечание 3. Аналогично получаем

$sec alpha = frac$,(9)
$cosec alpha = frac$ (10).

Соотношения (9) и (10) можно было бы также принять в качестве определений для $sec alpha$ и $cosec alpha$.

Замечание 4. Во всех определениях (1) — (6) предполагаем, что соответствующие отношения существуют (имеют смысл). Например, $tg alpha$ имеет смысл, если $cos alpha neq 0, ctg alpha$ имеет смысл, если $sin alpha neq 0$, и т.д. Поскольку (замечание 1) тригонометрические функции (1) — (6) угла $alpha$ не зависят от длины подвижного радиуса-вектора, то в качестве радиуса-вектора можно брать вектор с длиной, равной единице $(| vec| = r = 1)$. Такой вектор называют единичным радиусом-вектором. В случае единичного радиуса-вектора формулы для основных тригонометрических функций запишутся так (рис.):

$begin sin alpha = y, cos alpha = x \ tg alpha = frac, ctg alpha = frac \ sec alpha = frac, cosec alpha = frac end$. (11)

Формулы для $tg alpha$ и $ctg alpha$ остались прежними (см. (7) и (8)), а формулы для остальных основных тригонометрических функций приняли более простой вид (см. (1), (2), (9) и (10)). Следовательно, синус и косинус угла а равны соответственно ординате и абсциссе конца подвижного единичного радиуса-вектора. Конец этого единичного радиуса-вектора при изменении угла а от $0^$ до $360^$ опишет окружность, называемую единичной окружностью (рис.). Для геометрического истолкования тангенса и котангенса вводят понятия оси тангенсов и оси котангенсов. Осью тангенсов называется перпендикуляр, восставленный в точке $A$ к неподвижному радиусу-вектору $bar$. Положительное и отрицательное направления на оси тангенсов выбирают так, чтобы они совпадали с соответствующими направлениями оси ординат (рис.). Рассмотрим угол $alpha = angle AOM$ и введем понятие соответствующей точки оси тангенсов.

а) Если точка $M$ единичной окружности лежит справа от оси ординат, то соответствующей ей точкой оси тангенсов назовем точку $M_$ (точку пересечения продолжения $MO$ с осью тангенсов, рис а.

б) Если точка $M$ единичной окружности лежит слева от оси ординат, то соответствующей ей точкой сси тангенсов назовем точку $M_$ (точку пересечения продолжения $MO$ с ссыо тангенсов, рис. б.

Заметим, что тангенс угла а численно равен ординате $y_$ (рис.) соответствующей точки сси тангенсов, т. е. всегда $tg alpha — y_$. Докажем это для углов первых двух четвертей:

1) $0^ leq alpha < 90^$ (рис. a), $tg alpha = frac<y_> = y_ geq 0$, где $y_$ — ордината точки $M_$.
2) $90^ < alpha leq 180^$ (рис. б). $tg alpha = frac<y_><x_> leq 0$, где $x_$ и $y_$ — абсцисса и ордината точки $M$. Из подобия прямоугольных треугольников $OMM_$ и $OM_A$ имеем

Следовательно, $tg alpha = frac<y_><x_> = y_ leq 0$.

Заметим еще следующее:
а) если точка $M$ лежит на оси ординат (например, $alpha = 270^$), то соответствующей ей точки сси тангенсов не существует, но при этом и $tg alpha$ также не существует;
б) в рассмотренных случаях 1)-2) мы брали угол $alpha$ в пределах от $0^$ до $360^$, но в наших рассуждениях ничего не изменится, если мы будем предполагать угол $alpha$ любым.

Осью котангенсов называется перпендикуляр, восставленный в точке В (конец радиуса-вектора $bar $, образующего с осью $Ox$ угол, равный $90^$) к оси ординат. Положительное и отрицательное направления на оси котангенсов выбирают так, чтобы они совпадали с соответствующими направлениями оси абсцисс (рис.). Введем понятие соответствующей точки оси котангенсов.

а) Если точка $M$ единичной окружности лежит над осью абсцисс, то соответствующей ей точкой оси котангенсов назовем точку $M_$ (точку пересечения продолжения $OM$ с осью котангенсов, рис. а).

б) Если точка $M$ единичной окружности лежит под осью абсцисс, то соответствующей ей точкой сси котангенсов назовем точку (точку пересечения продолжения $MO$ с осью котангенсов, рис. б).

Аналогично предыдущему можно получить, что котангенс угла $alpha$ равен абсциссе $x_$ соответствующей точки оси котангенсов, т. е. $ctg alpha = x_$. Если точка $M$ лежит на оси абсцисс (например, $alpha — 180^$), то соответствующей ей точки оси котангенсов не существует, но при этом и $ctg alpha$ также не существует.

Видео:10 класс, 11 урок, Числовая окружностьСкачать

14. Свойства функций синуса, косинуса, тангенса

и котангенса и их графики

14.1. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = sin x И ЕЕ ГРАФИК

Т а б л и ц а 21

График функции y = sin x (синусоида)

Свойства функции y = sin x

Объяснение и обоснование

Описывая свойства функций, мы будем чаще всего выделять такие их характеристики:

1) область определения; 2) область значений; 3) четность или нечетность; 4) периодичность; 5) точки пересечения с осями

координат; 6) промежутки знакопостоянства; 7) промежутки возрастания и убывания * ;8) наибольшее и наименьшее

З а м е ч а н и е. Абсциссы точек пересечения графика функции с осью Ох

(то есть те значения аргумента, при которых функция равна нулю) называют нулями функции.

Напомним, что значение синуса — это ордина-

та соответствующей точки единичной окружности

(рис. 79). Поскольку ординату можно найти для

любой точки единичной окружности (в силу того,

что через любую точку окружности всегда можно

провести единственную прямую, перпендикуляр-

ную оси ординат), то область определения функции

y = sin x — все действительные числа. Это можно за-

писать так: D (sin x) = R.

Для точек единичной окружности ординаты нахо-

дятся в промежутке [–1; 1] и принимают все значения

от –1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [–1; 1]

оси ординат (который является диаметром единичной

окружности) всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси орди-

нат, и получить точку окружности, которая имеет рассматриваемую орди-

нату. Таким образом, для функции y = sin x область значений: y ∈ [–1; 1].

Это можно записать так: E (sin x) = [–1; 1].

Как видим, наибольшее значение функции sin x равно единице. Это значение достигается только тогда, когда

соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при

Наименьшее значение функции sin x равно минус единице. Это значение

достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка B, то есть

при

Как было показано в § 13, синус — нечетная функция: sin(-x)= — sin x,

поэтому ее график симметричен относительно начала координат.

В § 13 было обосновано также, что синус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом

T = 2π: sin (x + 2π) = sin x , таким образом, через промежутки длиной 2π вид графика функции sin x повторя-

ется. Поэтому при построении графика этой функции достаточно построить график на любом промежутке длиной 2 π , а

потом полученную линию парал лельно перенести вправо и влево вдоль оси Ox на расстояние kT = 2πk , где

k — любое натуральное число.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат,

напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда соответствующее значение

y = sin 0 = 0, то есть график функции y = sin x проходит через начало координат.

На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при

которых sin x, то есть ордината соответствующей точки единичной окруж­

ности, равна нулю. Это будет тогда и только тогда, когда на единичной окруж-

ности будут выбраны точки C или D, то есть при x = πk, k ∈ Z (см. рис. 79).

Промежутки знакопостоянства . Как было обосновано в § 13, значения

функции синус положительны (то есть ордината соответствующей точки

единичной окружности положительна) в I и II четвертях (рис. 80). Таким

образом, sin x > 0 при всех x ∈ (0; π), а также, учитывая период, при всех

x ∈ (2πk; π + 2πk), k ∈ Z.

Значения функции синус отрицательны (то есть ордината соответствую-

щей точки единичной окружности отрицательна) в III и IV четвертях, поэто-

Промежутки возрастания и убывания

Учитывая периодичность функции sin x с периодом T = 2π, достаточно

исследовать ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной

2π, например на промежутке

то при увеличении аргумента x (x ₂ > x ₁ ) ордината соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то есть

sin x ₂ > sin x ₁ ), следовательно, на этом промежутке функция sin x возрастает. Учитывая периодичность функции sin x,

делаем вывод, что она такж е возрастает на каждом из промежутков

Если x ∈ (рис. 81, б), то при увеличении аргумента x (x ₂ > x ₁ ) ордината соответствующей точки единичной

окружности уменьшается (то есть sin x _{2 1} ), таким образом, на этом промежутке функция sin x убывает. Учитывая

периодичность функции sin x, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков

Проведенное исследование позволяет обоснованно построить график функции y = sin x. Учитывая периодичность этой

функции (с периодом 2π), д о статочно сначала построить график на любом промежутке длиной 2π, на пример на

промежутке [–π; π]. Для более точного построения точек графика воспользуемся тем, что значение синуса — это ордината

соответствующей точки единичной окружности. На рисунке 82 показано построение графика функции y = sin x на

промежутке [0; π]. Учитывая нечетность функции sin x (ее график симметричен относительно начала координат), для

построения графика на промежутке [–π; 0] отображаем полученную кривую симметрич но относительно начала координат

Поскольку мы построили график на

промежутке длиной 2π, то, учитывая

периодичность синуса (с периодом 2π),

повторяем вид графика на каждом про-

межутке длиной 2π (то есть переносим па-

раллельно график вдоль оси Ох на 2πk,

где k — целое число).

Получаем график, который называется

З а м е ч а н и е. Тригонометрические функции широко применяются в ма тематике, физике и технике. Например,

множество процессов, таких как колебания струны, маятника, напряжения в цепи переменного тока и т. п.,

описываются функцией, которая задается формулой y = A sin (ωх + φ). Та кие процессы называют гармоническими

колебаниями. График функции y = A sin (ωx + φ) можно получить из синусоиды y = sin х сжатием или растяжением ее вдоль

координатных осей и параллельным пере носом вдоль оси Ох. Чаще всего гармоническое колебание является функцией

времени t. Тогда оно задается формулой y = A sin (ωt + φ), где А — амплитуда колебания, ω — частота, φ — начальная

фаза,

14.2. СВОЙСТВА ФУНКЦИИ y = cos x И ЕЕ ГРАФИК

Объяснение и обоснование

Напомним, что значение косинуса — это абсцис-

са соответствующей точки единичной окружности

(рис. 85). Поскольку абсциссу можно найти для лю-

бой точки единичной окружности (в силу того, что

через любую точку окружности, всегда можно про-

вести единственную прямую, перпендикулярную оси

абсцисс), то область определения функции y = cos x —

все действительные числа. Это можно записать так:

D (cos x) = R.

Для точек единичной окружности абсциссы нахо-

дятся в промежутке [–1; 1] и принимают все значе-

ния от –1 до 1, поскольку через любую точку отрезка [–1; 1] оси абсцисс (который является диаметром единичной

всегда можно провести прямую, перпендикулярную оси абсцисс, и получить

точку окружности, которая имеет рассматриваемую абсциссу. Следователь но, область значений функции y = cos x:

y ∈ [–1; 1]. Это можно записать так: E (cos x) = [–1; 1]. Как видим, наибольшее значение функции cos x равно единице. Это

зна чение достигается только тогда, когда соответствующей точкой единичной окружности является точка A, то есть при

x = 2πk, k ∈ Z. Наименьшее значение функции cos x равно минус единице. Это значение достигается только тогда, когда

соответствующей точкой единичной окруж ности является точка B, то есть при x = π + 2πk, k ∈ Z.

Как было показано в § 13, косинус — четная функция : cos (–x) = cos x, поэтому ее график симметричен относительно оси

Оу. В § 13 было обосновано также, что косинус — периодическая функция с наименьшим положительным периодом

T = 2π: cos (x + 2π) = cos x. Таким об разом, через промежутки длиной 2π вид графика функции cos x повторяется.

Чтобы найти точки пересечения графика функции с осями координат , напомним, что на оси Oy значение x = 0. Тогда

соответствующее значение y = cos 0 = 1. На оси Ox значение y = 0. Поэтому необходимо найти такие значения x, при

которых cos x, то есть абсцисса соответствующей точки единичной окружности будет равна нулю. Это будет тогда и только

тогда, когда на единичной окружности будут выбраны точки C или D, то есть при

Промежутки знакопостоянства. Как было обосновано в § 13, значения

функции косинус положительны (то есть абсцисса соответствующей точки

единичной окружности положительна) в I и IV четвертях (рис. 86). Следова-

тельно, cos x > 0 при x ∈ (-П/2; П/2) а также, учитывая период, при всех

Значения функции косинус отрицательны (то есть абсцисса соответству-

ющей точки единичной окружности отрицательна) во ІІ и ІІІ четвертях,

поэтому cos x

Промежутки возрастания и убывания

Учитывая периодичность функции cos x (T = 2π), достаточно исследовать

ее на возрастание и убывание на любом промежутке длиной 2π, например

на промежутке [0; 2π].

Если x ∈ [0; π] (рис. 87, а), то при увеличении аргумента x (x ₂ > x ₁ ) абсцисса соответствующей точки единичной

окружности уменьшается (то есть cos x _{2 1} ), следовательно, на этом промежутке функция cos x убывает. Учитывая

периодичность функции cos x, делаем вывод, что она также убывает на каждом из промежутков [2πk; π + 2πk], k ∈ Z.

Если x ∈ [π; 2π] (рис. 87, б), то при увеличении аргумента x (x ₂ > x ₁ ) аб-

сцисса соответствующей точки единичной окружности увеличивается (то

есть cos x ₂ >cos x ₁ ), таким образом, на этом промежутке функция cos x

возрастает. Учитывая периодичность функции cos x, делаем вывод, что

она возрастает также на каждом из промежутков [π + 2πk; 2π + 2πk], k ∈ Z.

Проведенное исследование позволяет построить график функции y = cos x

аналогично тому, как был построен график функ-

ции y = sin x. Но график функции у = cos x можно

также получить с помощью геометрических преоб-

разований графика функции у = sin х, используя

Эту формулу можно обосновать, например, так.

Рассмотрим единичную окружность (рис. 88), отметим на ней точки

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ С НУЛЯ - Единичная Окружность // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Синус это х или у в окружности

Математика – это очень просто, даже проще, чем мы можем себе представить. Сложной математику делают сами математики.

Видео:9 класс. Геометрия. Тригонометрические функции угла от 0° до 180°. Единичная окружность. Урок #1Скачать

Страницы

Видео:Как найти координаты точек на тригонометрической окружностиСкачать

среда, 7 ноября 2012 г.

Тригонометрический круг синус и косинус

Тригонометрический круг представляет значения тригонометрических функций синус (sin) и косинус (cos) в виде координат точек единичной окружности при различных значениях угла альфа в градусах и радианах.

Поскольку я сам вечно путаюсь при переводе координат точек окружности в синусы и косинусы, для простоты все значения косинусов (cos) для углов от 0 до 360 градусов (от 0 пи до 2 пи) подчеркнуты зеленой черточкой. Даже при распечатке этого рисунка тригонометрического круга на черно-белом принтере все значения косинуса будут подчеркнуты, а значения синуса будут без подчеркивания. Если вам интересно, то можете посмотреть отдельные тригонометрические круги для синуса и косинуса.

Напротив указанных углов на окружности расположены точки, а в круглых скобках указаны координаты этих точек. Первой записана координата Х (косинус)

Давайте проведем обзорную экскурсию по этому уголку математического зоопарка. Прежде всего, нужно отметить, что здесь присутствует декартова система координат – одна черная горизонтальная линия с буковкой Х возле стрелочки, вторая – вертикальная линия с буковкой У. На оси Х, которую еще называют ось абсцисс (это умное слово математики придумали специально, что бы запутать блондинок) живут косинусы – cos. На оси У, которую называют ось ординат (еще одно умное слово, которое в устах блондинки может стать убийственным оружием), живут синусы – sin. Если посмотреть на семейную жизнь этих тригонометрических функций, то не трудно заметить, что синусы всегда на кухне у плиты по вертикали, а косинусы – на диване перед телевизором по горизонтали.

В этой системе координат нарисована окружность радиусом, равным единице. Центр окружности находится в начале системы координат – там, где в центе рисунка пересекаются оси абсцисс (ось Х) и ординат (ось У).

Из центра окружности проведены тоненькие черточки, которые показывают углы 30, 45, 60, 120, 135, 150, 210, 225, 240, 300, 315, 330 градусов. В радианной мере углов это пи деленное на 6, пи на 4, пи на 3, 2 пи на 3, 3 пи на 4, 5 пи на 6, 7 пи на 6, 5 пи на 4, 4 пи на 3, 3 пи на 2, 5 пи на 3, 7 пи на 4, 11 пи деленное на 6. С осями координат совпадают такие значения углов: 0, 90, 180, 270 градусов или 0 пи, пи деленное на 2, пи, 3 пи деленное на 2. Пользуясь картинкой, очень просто переводить углы из градусов в радианы и из радиан в градусы. Одинаковые значения в разных системах измерения углов написаны на одной линии, изображающей этот угол.

Линии углов заканчиваются точками на единичной окружности. Возле каждой точки, в круглых скобках, записаны координаты этой точки. Первой записана координата Х, которая соответствует косинусу угла, образовавшего эту точку. Второй записана координата У этой точки, что соответствует значению синуса угла. По картинке довольно легко находить синус и косинус заданного угла и наоборот, по заданному значению синуса или косинуса, можно легко найти значение угла. Главное, не перепутать синус с косинусом.

Обращаю особое внимание на тот факт, что если вы по значению синуса или косинуса ищите угол, обязательно нужно дописывать период угла. Математики очень трепетно относятся к этому аппендициту тригонометрических функций и при его отсутствии могут влепить двойку за, казалось бы, правильный ответ. Что такое период при нахождении угла по значению тригонометрической функции? Это такая штучка, которая придумана математиками специально для того, чтобы запутываться самим и запутывать других. Особенно блондинок. Но об этом мы поговорим как-нибудь в другой раз.

Всё, что собрано в кучку на рисунке тригонометрического круга синуса и косинуса, можно внимательно рассмотреть на отдельных картинках с портретами синуса 0, 30, 45 градусов (ссылки на отдельные странички я буду добавлять по мере увеличения фотогалереи синусов и косинусов).

Синусы и косинусы круг – здесь картинка во всей своей тригонометрической красе.

Угол 120 градусов в радианах – равен 2/3 пи или 2 пи деленное на 3, на картинке очень красиво нарисовано.

Значения синусов косинусов углов в радианах – на картинке есть такие, надеюсь, именно те углы, которые вы ищете.

Значение косинуса угла в 45 градусов – равно корню из двух деленному на два, можете проверить по рисунку.

Тригонометрическая окружность – я не совсем уверен, что представленная на картинке окружность является тригонометрической, но что-то от тригонометрии в этой окружности определенно есть, например, синусы и косинусы на окружности – вылитая тригонометрия.

Тригонометрический круг рисунок – есть здесь такой. Правда, не самый красивый рисунок, можно нарисовать гораздо красивее и понятнее. Мне минус в репутацию – почему я до сих пор не нарисовал его для блондинок? Представляете ситуацию в картинной галерее будущего: экскурсовод объясняет группе школьников «Перед вами всемирно известное полотно «Тригонометрическая мадонна с единичным отрезком на руках» – картина гениального художника эпохи Раннего Математического Возрождения . » Дальше она называет имя этого самого художника (или художницы). Это имя может быть вашим!

Круг синусов и косинусов – именно такой круг совершенно случайно оказался здесь на картинке.

Угол 9 градусов сколько это в пи – в пи это 1/20 или пи/20.
Решение: для перевода градусов в пи радиан, нужно имеющиеся у нас градусы разделить на 180 градусов (это 1 пи радиан). У нас получается 9/180 = 1/20

Ответ: 9 градусов = 1/20 пи.

Синус это вверх или в сторону – синус – это вверх, в сторону – это косинус.

Комментарии к этой статье запрещены. Из-за огромного их количества мои ответы на ваши вопросы о тригонометрическом круге уже не публикуются. Вопросы можете задавать в комментариях к другим страницам. Постараюсь решить проблему за счет удаления части комментариев, тем самым освобожу место для новых.

Тригонометрия – раздел математической науки, в котором изучаются тригонометрические функции и их использование в геометрии. Развитие тригонометрии началось еще во времена античной Греции. Во времена средневековья важный вклад в развитие этой науки внесли ученые Ближнего Востока и Индии.

Данная статья посвящена базовым понятиям и дефинициям тригонометрии. В ней рассмотрены определения основных тригонометрических функций: синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Разъяснен и проиллюстрирован их смысл в контексте геометрии.

Видео:ТРИГОНОМЕТРИЯ ЗА 10 МИНУТ — Синус, Косинус, Тангенс, Котангенс // Подготовка к ЕГЭ по МатематикеСкачать

Синус, косинус, тангенс и котангенс. Определения

Изначально определения тригонометрических функций, аргументом которых является угол, выражались через соотношения сторон прямоугольного треугольника.

Определения тригонометрических функций

Синус угла ( sin α ) – отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

Косинус угла ( cos α ) – отношение прилежащего катета к гипотенузе.

Тангенс угла ( t g α ) – отношение противолежащего катета к прилежащему.

Котангенс угла ( c t g α ) – отношение прилежащего катета к противолежащему.

Данные определения даны для острого угла прямоугольного треугольника!

В треугольнике ABC с прямым углом С синус угла А равен отношению катета BC к гипотенузе AB.

Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса позволяют вычислять значения этих функций по известным длинам сторон треугольника.

Область значений синуса и косинуса: от -1 до 1. Иными словами синус и косинус принимают значения от -1 до 1. Область значений тангенса и котангенса – вся числовая прямая, то есть эти функции могут принимать любые значения.

Видео:Изобразить на единичной окружности точку.Скачать

Угол поворота

Определения, данные выше, относятся к острым углам. В тригонометрии вводится понятие угла поворота, величина которого, в отличие от острого угла, не ограничена рамками от 0 до 90 градусов.Угол поворота в градусах или радианах выражается любым действительным числом от – ∞ до + ∞ .

В данном контексте можно дать определение синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла произвольной величины. Представим единичную окружность с центром в начале декартовой системы координат.

Начальная точка A с координатами ( 1 , 0 ) поворачивается вокруг центра единичной окружности на некоторый угол α и переходит в точку A 1 . Определение дается через координаты точки A 1 ( x , y ).

Синус (sin) угла поворота

Синус угла поворота α – это ордината точки A 1 ( x , y ). sin α = y

Косинус угла поворота α – это абсцисса точки A 1 ( x , y ). cos α = х

Тангенс угла поворота α – это отношение ординаты точки A 1 ( x , y ) к ее абсциссе. t g α = y x

Котангенс угла поворота α – это отношение абсциссы точки A 1 ( x , y ) к ее ординате. c t g α = x y

Синус и косинус определены для любого угла поворота. Это логично, ведь абсциссу и ординату точки после поворота можно определить при любом угле. Иначе обстоит дело с тангенсом и котангенсом. Тангенс не определен, когда точка после поворота переходит в точку с нулевой абсциссой ( 0 , 1 ) и ( 0 , – 1 ). В таких случаях выражение для тангенса t g α = y x просто не имеет смысла, так как в нем присутствует деление на ноль. Аналогично ситуация с котангенсом. Отличием состоит в том, что котангенс не определен в тех случаях, когда в ноль обращается ордината точки.

Синус и косинус определены для любых углов α .

Тангенс определен для всех углов, кроме α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z )

Котангенс определен для всех углов, кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z )

При решении практических примеров не говорят «синус угла поворота α «. Слова «угол поворота» просто опускают, подразумевая, что из контекста и так понятно, о чем идет речь.

Видео:Тригонометрическая окружность. Как выучить?Скачать

Числа

Как быть с определением синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа, а не угла поворота?

Синус, косинус, тангенс, котангенс числа

Синусом, косинусом, тангенсом и котангенсом числа t называется число, которое соответственно равно синусу, косинусу, тангенсу и котангенсу в t радиан.

Например, синус числа 10 π равен синусу угла поворота величиной 10 π рад.

Существует и другой подход к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса числа. Рассмотрим его подробнее.

Любому действительному числу t ставится в соответствие точка на единичной окружности с центром в начале прямоугольной декартовой системы координат. Синус, косинус, тангенс и котангенс определяются через координаты этой точки.

Начальная точка на окружности – точка A c координатами ( 1 , 0 ).

Положительному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Отрицательному числу t соответствует точка, в которую перейдет начальная точка, если будет двигаться по окружности против часовой стрелки и пройдет путь t .

Теперь, когда связь числа и точки на окружности установлена, переходим к определению синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

Синус (sin) числа t

Синус числа t – ордината точки единичной окружности, соответствующей числу t. sin t = y

Косинус числа t – абсцисса точки единичной окружности, соответствующей числу t. cos t = x

Тангенс числа t – отношение ординаты к абсциссе точки единичной окружности, соответствующей числу t. t g t = y x = sin t cos t

Последние определения находятся в соответствии и не противоречат определению, данному в начале это пункта. Точка на окружности, соответствующая числу t, совпадает с точкой, в которую переходит начальная точка после поворота на угол t радиан.

Видео:Алгебра 10 класс (Урок№30 - Определение синуса, косинуса и тангенса угла.)Скачать

Тригонометрические функции углового и числового аргумента

Каждому значению угла α соответствует определенное значение синуса и косинуса этого угла. Также, как всем углам α , отличным от α = 90 ° + 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π 2 + π · k , k ∈ Z ) соответствует определенное значение тангенса. Котангенс, как сказано выше, определен для всех α , кроме α = 180 ° · k , k ∈ Z ( α = π · k , k ∈ Z ).

Можно сказать, что sin α , cos α , t g α , c t g α – это функции угла альфа, или функции углового аргумента.

Аналогично можно говорить о синусе, косинусе, тангенсе и котангенсе, как о функциях числового аргумента. Каждому действительному числу t соответствует определенное значение синуса или косинуса числа t. Всем числам, отличным от π 2 + π · k , k ∈ Z соответствует значение тангенса. Котангенс, аналогично, определен для всех чисел, кроме π · k , k ∈ Z.

Основные функции тригонометрии

Синус, косинус, тангенс и котангенс – основные тригонометрические функции.

Из контекста обычно понятно, с каким аргументом тригонометрической функции (угловой аргумент или числовой аргумент) мы имеем дело.

Видео:Синус, косинус произвольного угла. 9 класс.Скачать

Связь определений sin, cos, tg и ctg из геометрии и тригонометрии

Вернемся к данным в самом начале определениям и углу альфа, лежащему в пределах от 0 до 90 градусов. Тригонометрические определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса полностью согласуются с геометрическими определениями, данными с помощью соотношений сторон прямоугольного треугольника. Покажем это.

Возьмем единичную окружность с центром в прямоугольной декартовой системе координат. Повернем начальную точку A ( 1 , 0 ) на угол величиной до 90 градусов и проведем из полученной точки A 1 ( x , y ) перпендикуляр к оси абсцисс. В полученном прямоугольном треугольнике угол A 1 O H равен углу поворота α , длина катета O H равна абсциссе точки A 1 ( x , y ) . Длина катета, противолежащего углу, равна ординате точки A 1 ( x , y ) , а длина гипотенузы равна единице, так как она является радиусом единичной окружности.

В соответствии с определением из геометрии, синус угла α равен отношению противолежащего катета к гипотенузе.

sin α = A 1 H O A 1 = y 1 = y

Значит, определение синуса острого угла в прямоугольном треугольнике через соотношение сторон эквивалентно определению синуса угла поворота α , при альфа лежащем в пределах от 0 до 90 градусов.

Аналогично соответствие определений можно показать для косинуса, тангенса и котангенса.

Видео:Найти координаты точки единичной окружности полученной при повороте точки Ро(1;0) на угол π, 450°...Скачать

Геометрическое определение синуса и косинуса

α – угол, выраженный в радианах.

Видео:9 класс, 9 урок, Синус, косинус, тангенс, котангенсСкачать

Свойства синуса и косинуса

Видео:43 Координаты точки единичной окружностиСкачать

Принятые обозначения

( sin^2 x equiv (sin x)^2; ) ( quad sin^3 x equiv (sin x)^3; ) ( quad sin^n x equiv (sin x)^n ) ( sin^ x equiv arcsin x ) ( (sin x )^ equiv dfrac1 equiv cosec x ) .

( cos^2 x equiv (cos x)^2; ) ( quad cos^3 x equiv (cos x)^3; ) ( quad cos^n x equiv (cos x)^n ) ( cos^ x equiv arccos x ) ( (cos x )^ equiv dfrac1 equiv sec x ) .

Периодичность

Функции y = sin x и y = cos x периодичны с периодом 2π.

( sin(x + 2pi) = sin x; quad ) ( cos(x + 2pi) = cos x )

Четность

Функция синус – нечетная. Функция косинус – четная.

( sin( -x ) = – sin x; quad ) ( cos( -x ) = cos x )

Области определения и значений, экстремумы, возрастание, убывание

Основные свойства синуса и косинуса представлены в таблице (n – целое).

Видео:Тригонометрические функции на единичной окружности. ЗадачаСкачать

Основные формулы, содержащие синус и косинус

Сумма квадратов

( sin^2 x + cos^2 x = 1 )

Формулы синуса и косинуса суммы и разности

( sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y )
( sin(x – y) = sin x cos y – cos x sin y )
( cos(x + y) = cos x cos y – sin x sin y )
( cos(x – y) = cos x cos y + sin x sin y )

( sin( 2x ) = 2 sin x cos x )
( cos( 2x ) = cos^2 x – sin^2 x = ) ( 2 cos^2 x – 1 = 1 – 2 sin^2 x )
( cosleft( dfrac

2 – x
ight) = sin x ) ; ( sinleft( dfrac

2 – x
ight) = cos x )
( cos( x + pi ) = – cos x ) ; ( sin( x + pi ) = – sin x )

Формулы произведения синусов и косинусов

( sin x cos y = ) ( dfrac12 sin( x – y ) + sin( x + y ) )
( sin x sin y = ) ( dfrac12 cos( x – y ) – cos( x + y ) )
( cos x cos y = ) ( dfrac12 cos( x – y ) + cos( x + y ) )

( sin x cos y = dfrac12 sin 2x )
( sin^2 x = dfrac12 1 – cos 2x )
( cos^2 x = dfrac12 1 + cos 2x )

Формулы суммы и разности

( sin x + sin y = 2 , sin dfrac2 , cos dfrac2 )
( sin x – sin y = 2 , sin dfrac2 , cos dfrac2 )
( cos x + cos y = 2 , cos dfrac2 , cos dfrac2 )
( cos x – cos y = 2 , sin dfrac2 , sin dfrac2 )

Выражение синуса через косинус

Далее мы полагаем, что ( n ) – целое число.

Выражение косинуса через синус

Выражение через тангенс

Видео:Точки на числовой окружностиСкачать

Таблица синусов и косинусов, тангенсов и котангенсов

В данной таблице представлены значения синусов и косинусов при некоторых значениях аргумента.
[ img style=»max-w ]

Видео:Алгебра 10 класс. 2 октября. Тангенс и котангенс на окружностиСкачать

Выражения через комплексные переменные

Формула Эйлера

( e^ = cos z + i sin z )

Видео:Тригонометрические функции углового аргумента | Алгебра 10 класс #15 | ИнфоурокСкачать

Выражения через гиперболические функции

( sin iz = i sh z ) ( cos iz = ch z )
( sh iz = i sin z ) ( ch iz = cos z )

Видео:Алгебра 10 класс Поворот точки вокруг начала координат ЛекцияСкачать

Производные

( ( sin x )’ = cos x ) ( ( cos x )’ = – sin x ) . Вывод формул > > >

Производные n-го порядка:
( left( sin x
ight)^ = sinleft( x + ndfrac

2
ight) ) ( left( cos x
ight)^ = cosleft( x + ndfrac

Видео:ЗНАЧЕНИЯ СИНУСА И КОСИНУСА НА ОКРУЖНОСТИСкачать

Интегралы

( int sin x , dx = – cos x + C ) ( int cos x , dx = sin x + C )
См. также раздел Таблица неопределенных интегралов >>>

Видео:10 класс. Косинусы и синусы вершин тригонометрической окружностиСкачать

Разложения в ряды

Секанс, косеканс

( sec x = dfrac1 ; ) ( cosec x = dfrac1 )

Обратные функции

Обратными функциями к синусу и косинусу являются арксинус и арккосинус, соответственно.

Арксинус, arcsin

( y = arcsin x ) ( left )
( sin( arcsin x ) = x ) ( )
( arcsin( sin x ) = x ) ( left )

Арккосинус, arccos

Использованная литература:
И.Н. Бронштейн, К.А. Семендяев, Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов, «Лань», 2009.

Тригонометрическое определение

С помощью формул, указанных выше, можно найти синус и косинус острого угла. Но нужно научиться вычислять синус и косинус угла произвольной величины. Прямоугольный треугольник не даёт такой возможности (тупого угла, например, в нём быть не может); следовательно, нужно более общее определение синуса и косинуса, содержащее указанные формулы как частный случай.

На помощь приходит тригонометрическая окружность. Пусть дан некоторый угол; ему отвечает одноимённая точка на тригонометрической окружности.

Рис. 2. Тригонометрическое определение синуса и косинуса

Косинус угла – это абсцисса точки. Синус угла – это ордината точки.

На рис. 2 угол взят острым, и легко понять, что данное определение совпадает с общим геометрическим определением. В самом деле, мы видим прямоугольный треугольник с единичной гипотенузой O и острым углом. Прилежащий катет этого треугольника есть cos (сравните с рис. 1) и одновременно абсцисса точки ; противолежащий катет есть sin (как на рис. 1) и одновременно ордината точки.

Но теперь мы уже не стеснены первой четвертью и получаем возможность распространить данное определение на любой угол . На рис. 3 показано, что такое синус и косинус угла во второй, третьей и четвёртой четвертях.

Рис. 3. Синус и косинус во II, III и IV четвертях

Табличные значения синуса и косинуса

Абсцисса точки 0 равна 1 , ордината точки 0 равна 0 . Следовательно,