Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Видео:Задание 7 ЕГЭ по математикеСкачать

Задание 7 ЕГЭ по математике

Прямые на координатной плоскости

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссЛинейная функция
Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссГрафик линейной функции
Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссПрямые, параллельные оси ординат
Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссУравнения вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Видео:Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.Скачать

Точки пересечения графика линейной функции с координатными осями. 7 класс.

Линейная функция

Линейной функцией называют функцию, заданную формулой

y = kx + b,(1)

где k и b – произвольные (вещественные) числа.

При любых значениях k и b графиком линейной функции является прямая линия .

Число k называют угловым коэффициентом прямой линии (1), а число b – свободным членом .

Видео:Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.Скачать

Записать уравнение прямой параллельной или перпендикулярной данной.

График линейной функции

При k > 0 линейная функция (1) возрастает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 1, 2 и 3.

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс
Рис.1
Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс
Рис.2
Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс
Рис.3

При k = 0 линейная функция (1) принимает одно и тоже значение y = b при всех значениях x , а её график представляет собой прямую линию, параллельную оси абсцисс, и изображен на рис. 4, 5 и 6.

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс
Рис.4
Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс
Рис.5
Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс
Рис.6

При k линейная функция (1) убывает на всей числовой прямой, а её график ( прямая линия ) имеет вид, изображенный на рис. 7, 8 и 9.

k y = kx + b1 и y = kx + b2 ,

имеющие одинаковые угловые коэффициенты и разные свободные члены Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, параллельны .

имеющие разные угловые коэффициенты Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, пересекаются при любых значениях свободных членов.

y = kx + b1 и Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

перпендикулярны при любых значениях свободных членов.

Угловой коэффициент прямой линии

y = kx(2)

равен тангенсу угла φ , образованному (рис. 10) при повороте положительной полуоси абсцисс против часовой стрелки вокруг начала координат до прямой (2).

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс
Рис.10
Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс
Рис.11
Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс
Рис.12

Прямая (1) пересекает ось Oy в точке, ордината которой (рис. 11) равна b .

При Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисспрямая (1) пересекает ось Ox в точке, абсцисса которой (рис. 12) вычисляется по формуле

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Видео:Дан график производной Найти абсциссу точки в которой касательная к графику функции парал-на оси ХСкачать

Дан график производной Найти абсциссу точки в которой касательная к графику функции парал-на оси Х

Прямые, параллельные оси ординат

Прямые, параллельные оси Oy , задаются формулой

x = c ,(3)

где c – произвольное число, и изображены на рис. 13, 14, 15.

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс
Рис.13
Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс
Рис.14
Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс
Рис.15

Замечание 1 . Из рис. 13, 14, 15 вытекает, что зависимость, заданная формулой (3), функцией не является, поскольку значению аргумента x = c соответствует бесконечное множество значений y .;

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнения прямой. Часть 2. Каноническое, общее и в отрезках.

Уравнение вида px + qy = r . Параллельные прямые. Перпендикулярные прямые

px + qy = r ,(4)

где p, q, r – произвольные числа.

В случае, когда Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссуравнение (4) можно переписать в виде (1), откуда вытекает, что оно задаёт прямую линию .

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

что и требовалось.

В случае, когда Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссполучаем:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

откуда вытекает, что уравнение (4) задает прямую линию вида (3).

В случае, когда q = 0, p = 0, уравнение (4) имеет вид

0 = r ,(5)

и при r = 0 его решением являются точки всей плоскости:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

В случае, когда Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссуравнение (5) решений вообще не имеет.

Замечание 2 . При любом значении r1 , не совпадающем с r прямая линия, заданная уравнением

px + qy = r1 ,(6)

параллельна прямой, заданной уравнением (4) .

Замечание 3 . При любом значении r2 прямая линия, заданная уравнением

qx + py = r2 ,(7)

перпендикулярна прямой, заданной уравнением (4) .

Пример . Составить уравнение прямой, проходящей через точку с координатами (2; – 3) и

  1. параллельной к прямой
    4x + 5y = 7 ;(8)
  2. перпендикулярной к прямой (8).

В соответствии с формулой (6), будем искать уравнение прямой, параллельной прямой (8), в виде

4x + 5y = r1 ,(9)

где r1 – некоторое число. Поскольку прямая (9) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Итак, уравнение прямой, параллельной к прямой

В соответствии с формулой (7), будем искать уравнение прямой, перпендикулярной прямой (8), в виде

– 5x + 4y = r2 ,(10)

где r2 – некоторое число. Поскольку прямая (10) проходит через точку с координатами (2; – 3), то справедливо равенство

Видео:Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямойСкачать

Аналитическая геометрия, 6 урок, Уравнение прямой

Прямая линия на плоскости и в пространстве с примерами решения

Содержание:

Общее уравнение прямой:

Пусть на плоскости дана декартова система координат. Движение точки с произвольными координатами х и у по этой плоскости порождает линию.

Определение: Любое соотношение Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Определение: Порядок линии определяется по высшему показателю степени переменных х и у или по сумме показателей степени в произведении этих величин.

Пример:

а) 2х + Зу-5 = 0 — линия первого порядка; точка A(l; 1) удовлетворяет этому соотношению, а точка, например, В(1; 0) — ему не удовлетворяет;

б) Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

в) Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс— линии второго порядка.

Рассмотрим другое определение линии:

Определение: Геометрическое место точек, координаты которых удовлетворяют уравнению F(x; у)=0, называется линией, а само уравнение F(x; у) = 0 — уравнением линии.

Определение: Общим уравнением прямой называется уравнение первого порядка вида Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Рассмотрим частные случаи этого уравнения:

а) С = 0; Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс— прямая проходит начало системы координат (Рис. 20):

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Рис. 20. Прямая, проходящая через начало координат.

б) 5 = 0; Ах+С=0 — прямая проходит параллельно оси ординат Оу (Рис. 21):

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Рис. 21. Прямая, проходящая параллельно оси ординат Оу.

в) А = 0; Ву+С=0 — прямая проходит параллельно оси абсцисс Ох (Рис. 22):

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Рис. 22. Прямая, проходящая параллельно оси абсцисс Ох.

Видео:10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функцииСкачать

10 класс, 43 урок, Уравнение касательной к графику функции

Виды уравнений прямой

1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом. Пусть дано общее уравнение прямой Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссв котором коэффициент Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссРазрешим общее уравнение прямой относительно переменной Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссОбозначим через Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисстогда уравнение примет вид Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисскоторое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом. Выясним геометрический смысл параметров Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссПри х = 0, у = b, т.е. параметр b показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета. При Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисст.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок к Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс(Рис. 23, для определенности принято, что Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс):

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Рис. 23. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

Из рисунка видно, что Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисст.е. угловой коэффициент k определяет тангенс угла наклона прямой к положительному направлению оси абсцисс Ох.

2. Уравнение прямой в отрезках.

Пусть в общем уравнении прямой параметр Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссВыполним следующие преобразования Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Обозначим через Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисстогда последнее равенство перепишется в виде Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс. которое называется уравнением прямой в отрезках. Выясним геометрический смысл величин m и n (Рис. 24). При х=0, у=n, т.е. параметр n показывает, какой величины отрезок отсекает прямая на оси ординат, считая от начала отсчета.

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Рис. 24. Отрезки, отсекаемые прямой на координатных осях.

При у=о, х=m, т.е. прямая отсекает на оси абсцисс отрезок m. Следовательно, прямая проходит через 2 точки: Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

3. Уравнение прямой, проходящей через две заданные точки. Пусть дано общее уравнение прямой Ах + Ву + С = 0, которая проходит через две известные точки Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссТак как точки Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисслежат на прямой, то их координаты удовлетворяют общему уравнению прямой, т.е. выполняются равенства Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссВычтем первое из этих равенств из общего уравнения прямой и из второго равенства:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Пусть Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисстогда полученные равенства можно преобразовать к виду Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссОтсюда находим, что Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссили Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссПолученное уравнение называется уравнением прямой, проходящей через две заданные точки Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисси Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

4. Уравнение прямой, проходящей через заданную точку Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисспараллельно заданному вектору Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс(каноническое уравнение прямой). Пусть прямая проходит через заданную точку Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисспараллельно вектору Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Определение: Вектор Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссназывается направляющим вектором прямой. Возьмем на прямой произвольную точку Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисси создадим вектор Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс(Рис. 25):

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Рис. 25. Прямая, проходящая через данную точку параллельно направляющему вектору.

В силу того, что вектора Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссколлинеарны, то воспользуемся первым условием коллинеарности: отношения соответствующих проекций равны между собой Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Определение: Полученное уравнение называется либо уравнением, проходящим через заданную точку параллельно направляющему вектору, либо каноническим уравнением прямой.

5. Параметрическое уравнение прямой. Если каждую дробь в каноническом уравнении прямой приравнять некоторому параметру t, то получим параметрическое уравнение прямой Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Основные задачи о прямой на плоскости

1. Координаты точки пересечения двух прямых. Пусть две прямые заданы общими уравнениями Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссТребуется найти координаты точки пересечения этих прямых. Для того чтобы вычислить координаты точки пересечения М(х; у), необходимо решить вышеприведенную систему линейных алгебраических уравнений, так как координаты точки М(х; у) должны одновременно удовлетворять уравнениям прямых Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

2. Угол между двумя пересекающимися прямыми. Пусть даны две пересекающиеся прямые, заданные уравнениями с угловыми коэффициентами

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Требуется найти угол между этими прямыми (Рис. 26):

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Рис. 26. Угол между двумя прямыми.

Из рисунка видно, что Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссВычислимОпределить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Наименьший угол между пересекающимися прямыми определим формулой Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссИз полученной формулы видно:

  • а) если прямые Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисспараллельны или совпадаютОпределить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссто Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссОтсюда следует условие параллельности прямых: угловые коэффициенты прямых равны между собой Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс
  • б) если прямые Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссперпендикулярныОпределить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссто Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссне существует.

Отсюда следует условие перпендикулярности прямых: угловые коэффициенты прямых связаны между собой соотношением Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Пример:

Определить угол между прямыми Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Решение:

В силу того, что Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссчто прямые параллельны, следовательно, Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Пример:

Выяснить взаимное расположение прямых Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Решение:

Так как угловые коэффициенты Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисси связаны между собой соотношением Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссто прямые взаимно перпендикулярны.

3. Расстояние от точки до прямой. Расстояние от точки до прямой определятся вдоль перпендикуляра, опущенного из точки Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссна прямую Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссЕсли прямая Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссзадана общим уравнением, то расстояние от точки до прямой определяется формулой: Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Если прямая Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссзадана уравнением прямой с угловым коэффициентом, то расстояние от точки до прямой определяется формулой: Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Видео:Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnlineСкачать

Линейная функция: краткие ответы на важные вопросы | Математика | TutorOnline

Прямая линия на плоскости и в пространстве. Системы координат на плоскости

Рассмотрим произвольную прямую. Выберем на этой прямой начальную точку, обозначаемую буквой О, определим положительное направление, выберем некоторый отрезок в качестве линейной единицы, благодаря чему прямая станет осью. После этого условимся называть координатой любой точки М на этой оси величину отрезка Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс. Точку О будем называть началом координат; ее собственная координата равна нулю. Так вводятся координаты на прямой.

Декартова прямоугольная система координат определяется заданием линейной единицы для измерения длин и двух взаимно перпендикулярных осей, занумерованных в каком-нибудь порядке, т.е. указано, какая из них считается первой, а какая — второй. Точка пересечения осей называется началом координат и обозначается через О, а сами оси — координатными осями, причем первую из них называют также осью абсцисс и обозначают через Ох, а вторую — осью ординат, обозначаемую Оу.

Пусть М- произвольная точка плоскости. Спроектируем точку M на координатные оси, т.е., проведем через М перпендикуляры к осям Ох и Оу; основания этих перпендикуляров обозначим соответственно Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс.

Координатами точки М в заданной системе называются числа Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, обозначающие величину отрезка Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссоси абсцисс и величину отрезка Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссоси ординат, где х — первая координата, а у- вторая координата точки М (рис.7.1). Символически это записывается в виде М(х, у). Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Если задана декартова прямоугольная система координат, то каждая точка М плоскости в этой системе имеет одну вполне определенную пару координат х, у — М(х, у). И обратно, для любых х и у на плоскости найдется одна вполне определенная точка с абсциссой х и ординатой у.

На рис. 7.2 положение точки Р полностью определяется ее координатами (2;3). Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Две координатные оси разделяют всю плоскость на четыре части, называемыми координатными плоскостями, определяемыми соответственно:

  • первая координатная четверть: х>0, у>0;
  • вторая координатная четверть: хОпределить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс0, у>0;
  • третья координатная четверть: хОпределить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс0, уОпределить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс0;
  • четвертая координатная четверть: х>0, уОпределить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс0.

Декартова прямоугольная система координат является наиболее употребительной. Однако, в отдельных случаях могут оказаться более удобными или косоугольная декартова или полярная системы координат.

Косоугольная система координат от прямоугольной декартовой системы координат отличается только произвольным углом между осями координат.

Полярная система координат определяется заданием некоторой точки О, называемой полюсом, исходящего из этой точки луча OA, называемого полярной осью, масштаба для измерения длин и направления- вращения в плоскости, считаемого положительным (рис. 7.3). Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Каждая точка М в полярной системе координат задается парой координат Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс.

Декартова прямоугольная система координат связана с полярной системой формулами: Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Основным инструментом аналитической геометрии служит формула для вычисления расстояния между двумя точкамиОпределить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисси Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс. Числа Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссмогут быть любыми действительными числами, положительными, отрицательными или 0. На рис. 7.4 все числа выбраны положительными. Проведем через точку Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссгоризонтальную прямую, а через точку Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс— вертикальную. Пусть R -точка их пересечения. Тогда по теореме Пифагора

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссили Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс(7.1.1)

Это и есть формула для вычисления расстояния между двумя точками. Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Важно иметь в виду, что эта формула остается в силе независимо от того, как расположены точки Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс. Например, если точка Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссрасположена ниже точки Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисси справа от нес, как на рис. 7.5, то отрезок Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссможно считать равныму Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс.

Расстояние между точками, вычисляемое по формуле (7.1.1), от этого не изменится, так как Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс. Заметим, что, так как величина Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссв этом случае отрицательна, то разность Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссбольше, чемОпределить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Если обозначить через Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссугол, образованный положительным направлением оси абсцисс и отрезком Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, то формулы

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

выражают проекции произвольного отрезка на координатные оси через его длину и полярный угол. Из формул (7.1.2) получаем формулы:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

позволяющие определить полярный угол отрезка по координатам его конца и начала. Кроме того, если u — произвольная ось, а Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс— угол наклона отрезка Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисск этой оси, то проекция отрезка на ось равна его длине, умноженной на косинус угла наклона к этой оси:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс.

Пусть на плоскости даны две произвольные точки, из которых одна считается первой, другая — второй. Обозначим их в заданном порядке через Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс. Проведем через данные точки ось u. Пусть М- еще одна точка оси и, расположенная на ней как угодно, но не совпадает с точкой Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс.

Определение 7.1.1. Число Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссопределяемое равенством Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссгде Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс— величины направленных отрезков Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссоси u, называется отношением, в котором точка М делит направленный отрезок Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс.

Число Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссне зависит от направления оси и от масштаба, т.к. при изменении этих параметров будут одновременно меняться величины Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс. Кроме того, Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссбудет положительно, если Мнаходится между точками Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссесли же М вне отрезка Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, то Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс-отрицательное.

Задача о делении отрезка в данном отношении формулируется следующим образом:

Считая известными координаты двух точек Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисси Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисси отношение Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссв котором некоторая неизвестная точка М делит отрезок Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, найти координаты точки М.

Решение задачи определяется следующей теоремой.

Теорема 7.1.1. Если точка М(х, у) делит направленный отрезок Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссв отношении Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссто координаты этой точки выражаются формулами:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Доказательство:

Спроектируем точки Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссна ось Ох и обозначим их проекции соответственно через Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс(рис. 7.6). На основании теоремы о пропорциональности отрезков прямых, заключенных между параллельными прямыми (Если две прямые пересечь тремя параллельными прямыми, то отношение двух отрезков, получившихся на одной прямой, равно отношению двух соответствующих отрезков другой прямой), имеем:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Подставив в (7.1.4) величины отрезков Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисси

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, получимОпределить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Разрешая это уравнение относительно х, находим: Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Вторая формула (7.1.3) получается аналогично. Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Если Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс— две произвольные точки и М(х,y) —

середина отрезка Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, то Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс. Эти формулы

получаются из (7.1.3) при Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс.

Основная теорема о прямой линии на плоскости

Предположим, что в данной плоскости задана прямоугольная система координат и некоторая прямая l.

Всякий ненулевой вектор, коллинеарный данной прямой, называется её направляющим вектором. Всякие два направляющих вектора Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссодной и той же прямой коллинеарны между собой, т.е.

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, .

Для всех направляющих векторов Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссданной прямой, не параллельной оси ординат, отношение Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссординаты вектора к его абсциссе имеет одно и то же постоянное значение k, называемое угловым коэффициентом данной прямой.

Действительно, если Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс— два направляющих вектора данной прямой /, то векторы коллинеарны, т.е.

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссих координаты пропорциональны: Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисса значит Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Угловой коэффициент прямой можно определить и по-другому: как тангенс угла, образованного положительным направлением оси абсцисс и заданной прямой.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 7.3,1. Всякая прямая на плоскости определяется уравнением первой степени с двумя переменными х и у; и обратно, всякое уравнение первой степени с двумя переменными х и у определяет некоторую прямую на плоскости.

Доказательство: Пусть В = (О,b>- точка пересечения прямой L с осью у, а Р = (х,у) — любая другая точка на этой прямой. Проведем через точку В прямую, параллельную оси х, а через точку Р — прямую, параллельную оси у; проведем также прямую х = 1. Пусть k -угловой коэффициент прямой L (см. рис. 7.7). Случай к =0 не исключается.

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Так как треугольники BSQ и BRP подобны, то Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссили после упрощения

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Следовательно, если точка Р принадлежит прямой L, то ее координаты удовлетворяют уравнению (7.2.1). Обратно, нетрудно показать, что если х и у связаны уравнением (7.2.1), то точка Р принадлежит прямой L, проходящей через точку (0;b) и имеющей угловой коэффициент k.

Таким образом, уравнение любой прямой можно записать в виде:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс(не вертикальная прямая) Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, (7.2.2), х = а (вертикальная прямая) (7.2.3).

В обоих случаях мы получаем уравнение первой степени. Кроме того, каждое уравнение первой степени ио х и у можно привести к виду (7.2.2) либо (7.2.3).

Докажем обратное утверждение. Предположим, что задано произвольное уравнение первой степени:

Если Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, мы можем записать уравнение (7.2.4) в виде

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

т.е. в виде (7.2.2). При В = 0 уравнение (7.2.3) сводится к уравнению

или Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, т.е. к уравнению вида (7.2.3).

Таким образом, любая прямая описывается уравнением первой степени с неизвестными х и у, и обратно, каждое уравнение первой степени с неизвестными х и v определяет некоторую прямую. Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Уравнение (7.2.4) называется общим уравнением прямой. Так

как Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, то вектор Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссявляется направляющим вектором прямой (7.2.4). Вектор Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссперпендикулярен прямой (7.2.4) и называется нормальным вектором. Возможны частные случаи:

1. Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссили у =b, где Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, -это уравнсние прямой, параллельной оси Ох.

2. Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссили х = а, где Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, — это уравнение прямой, параллельной оси Оу.

3. Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс— это уравнение прямой, проходящей через начало координат.

4. А=0; С=0; Ву-0 или у = 0 — это уравнение оси абсцисс Ох.

5. В=0;С=0; Ах=0 или х = 0 — это уравнение оси ординат Оу.

Различные виды уравнений прямой на плоскости

Положение прямой на плоскости относительно системы координат можно задать различными способами. Например, прямая однозначно определяется: двумя различными точками; точкой и направляющим вектором; отрезками, отсекаемыми прямой на осях координат и др. Однако, обязательно, должна быть точка, лежащая на этой прямой.

Пусть в уравнении (7.2.4) ни один из коэффициентов А, В, С не равен нулю. Перенесем свободные члены вправо и разделим на (-С). Получим уравнение прямой в отрезках:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

где Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс-длины отрезков, отсекаемых прямой l на осях координат, взятые с соответствующими знаками (в зависимости от того, положительные или отрицательные полуоси координат пересекает прямая l).

Рассмотрим прямую l на плоскости и выберем на этой прямой какие-нибудь точки Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс. Тогда вектор Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссявляется направляющим вектором этой прямой l.

Геометрическое место концов всевозможных векторов вида Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссгде Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисспробегает все вещественные числовые значения, определяет прямую l. Уравнение (7.3.2) называется уравнением прямой в векторной форме (векторным уравнением прямой). Записав векторное уравнение (7.3.2) в координатной форме Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисси воспользовавшись определением равенства векторов, получим параметрические уравнения прямой:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

где Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс— координаты направляющего вектора.

Система (7.3.3) равносильна уравнению

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

называемым каноническим уравнением прямой на плоскости. Из системы (7.3.3) можно получить уравнение

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисскоторое называется уравнением прямой, проходящей через две данные точки Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Если абсциссы точек Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссодинаковы, т. е. Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссто прямая Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисспараллельна оси ординат и ее уравнение имеет вид: х=а.

Если ординаты точек Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссодинаковы, т. е. Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, то прямая Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисспараллельна оси абсцисс и ее уравнение имеет вид: у=b. Уравнение (7.3.5) можно преобразовать к виду:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

угловой коэффициент прямой.

Уравнение (7.3.6) называется уравнением прямой, проходящей через точку Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисси имеющей угловой коэффициент k.

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две точки Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Решение:

I способ. Воспользуемся уравнением (7.3.5). Подставив известные координаты точек Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, получим искомое уравнение прямой:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

II способ. Зная координаты точек Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисспо формуле (7.3.7) можно найти угловой коэффициент искомой прямой:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Тогда, воспользовавшись уравнением (7.3.6), найдём искомое уравнение прямой: Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс.

Заметим, что составленное уравнение можно записать как уравнение прямой в отрезках, разделив все члены уравнения

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс.

Взаимное расположение двух прямых на плоскости

Пусть на плоскости заданы две прямые общими уравнениями Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс. Угол между ними можно вычислить как угол между направляющими векторами

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссэтих прямых:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Если прямые параллельныОпределить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, то их нормальные векторы Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссколлинеарны, а это значит, что их соответствующих координаты пропорциональны:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

И обратно, если координаты при неизвестных х и у пропорциональны, то прямые параллельны. Следовательно, можно сформулировать следующую теорему:

Теорема 7.4.1. Две прямые Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисспараллельны тогда и только тогда, когда в их уравнениях коэффициенты при соответствующих переменных х и у пропорциональны.

Например, прямые Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисспараллельны,

т. к.Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс.

Если прямые перпендикулярны Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, то их нормальные векторы Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисстоже перпендикулярны, а это значит, что скалярное произведение этих векторов равно нулю: Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, или в координатной форме

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Справедливо и обратное утверждение: если скалярное произведение нормальных векторов равно нулю, то прямые /, и /2 перпендикулярны.

Теорема 7.4.2. Две прямые Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссперпендикулярны тогда и только тогда, когда коэффициенты при переменных х и у удовлетворяют равенству Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс.

Например, прямые Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссперпендикулярны, так как

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс.

Если прямые заданы уравнениями вида Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисси Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, то угол между ними находится по формуле:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Для того чтобы прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс(7.4.5)

а для их перпендикулярности необходимо и достаточно, чтобы

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс(7.4.6)

Пример:

Найти проекцию точки Р (2, 3) на прямую, проходящую через точки А (4, 3) и В (6, 5).

Решение:

Проекция точки Р на прямую АВ — это точка пересечения перпендикуляра, проведенного к этой прямой из точки Р.

Вначале составим уравнение прямой АВ. Воспользовавшись уравнением (7.3.5), последовательно получаем:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Для того, чтобы составить уравнение перпендикуляра, проведенного из точки Р на прямую АВ, воспользуемся уравнением (7.3.6). Угловой коэффициент k определим из условия перпендикулярности двух прямых, т. е. из формулы (7.4.6). Поскольку Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс,то из равенства Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисснаходим угловой коэффициент перпендикуляра Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс. Подставляя найденное значение углового коэффициента Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисси координаты точки Р (2, 3) в уравнение (7.3.6), получаем:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс.

Решая систему уравнений, составленную из уравнений прямой АВ и перпендикуляра

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

найдём координаты проекции точки Р на прямую АВ: х=3 у=2, т.е.

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Пример:

Издержки на производство шести автомобилей составляют 1000 млн. ден. ед., а на производство двадцати автомобилей- 15000 млн. ден. ед. Определить издержки на производство 22 автомобилей при условии, что функция К(х) издержек производства линейна, т.е. имеет вид у = ах + b .

Решение:

Обозначим через х количество автомобилей, а через y- издержки производства. Тогда из условия задачи следует, что заданы координаты двух точек- А(6; 1000) и В(20; 15000), принадлежащих линейной функции у = ах +b. Воспользовавшись уравнением (7.3.6 ), найдём искомое уравнение:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Подставив в найденную функцию х = 22, определим издержки на производство 22 автомобилей:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс(млн. дсн. ед)

Пример:

Фирма продаёт свои изделия по 10 ден. ед. за единицу. Затраты на изготовление одного изделия составляют 6 ден. ед. Непроизводственные расходы фирмы равны 300 ден. ед. в год. Определить годовой выпуск продукции, необходимой для того, чтобы фирма работала с прибылью.

Решение:

Обозначим через х объём произведенной продукции. Тогда доход фирмы равен D = 10x. Затраты на производство определяются уравнением: Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс. Найдём точку безубыточности. т.е. значение x, при котором доход фирмы равен затратам: D=K, т.е. 10x = 6x + 300. Решив это уравнение, получим значение объёма производства, при котором фирма работает без убытка: х=75. Следовательно, если объём производства Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссто фирма будет работать с прибылью.

Прямая линия в пространстве

Системы координат в пространстве

В трехмерном пространстве система координат определяется тремя взаимно перпендикулярными осями, проходящими через начало координат О. Снабдив каждую ось единицей измерения длин, можно задать тремя упорядоченными числами (называемыми координатами) положение точки в пространстве. Например, точка Р задается упорядоченной тройкой чисел Р( 1,2,3).

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Пусть задано пространствоОпределить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс. Важнейшим понятием пространственной аналитической геометрии является понятие уравнения поверхности. Всякая же линия рассматривается как пересечение двух поверхностей. Мы остановимся на изучении поверхности первого порядка — плоскости и прямой линии.

Положение прямой в пространстве вполне определяется заданием какой-либо сё фиксированной точки Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисси вектора Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисспараллельного этой прямой.

Вектор Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, параллельный прямой, называется направляющим вектором этой прямой.

Итак, пусть прямая L проходит через точку Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, лежащую на прямой, параллельно вектору Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссОпределить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс(см. рис. 7.9).

Рассмотрим произвольную точку M(x,y,z) на этой прямой. Из рисунка видно, что вектор Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисспараллельный (коллинеарный) вектору Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс. Поскольку векторы Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссколлинеарны, то найдётся такое число t, что Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, где множитель t может принимать любое числовое значение в зависимости от положения точки М на прямой.

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Уравнение Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс(7.5.1) называется векторным уравнением прямой. Оно показывает, что каждому значению параметра t соответствует радиус-вектор некоторой точки M, лежащей на прямой. Это уравнение можно записать в виде: Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс(см. рис. 7.9). Запишем это уравнение в координатной форме. Подставив координаты векторов Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссв уравнение (7.5.1) и воспользовавшись определением алгебраических операций над векторами и равенством векторов, получим уравнения:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Полученные уравнения называются параметрическими уравнениями прямой.

При изменении параметра t изменяются координаты х, у и z и точка М перемещается по прямой.

Разрешив уравнения (7.5.2) относительно t

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

и приравняв найденные значенияt получим канонические уравнения прямой:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Если прямая L в пространстве задается двумя своими точками Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс,то вектор

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

можно взять в качестве направляющего вектора и тогда уравнения (7.5.3) преобразуются в уравнения

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

где Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс. (7.5.4)- это уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Пример:

Составить параметрические уравнения прямой, проходящей через точкуОпределить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, перпендикулярно плоскости Oxz.

Решение:

В качестве направляющего вектора Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссискомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс• Подставив значения координат точки Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисси значения координат направляющего вектора в уравнения (7.5.2), получаем: Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс.

Пример:

Записать уравнения прямой Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссв параметрическом виде.

ОбозначимОпределить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс. Тогда Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс,

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, откуда следует, что Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс.

Замечание. Пусть прямая перпендикулярна одной из координатных осей, например, оси Ох. Тогда направляющий вектор Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

прямой перпендикулярный оси Ох, имеет координаты (о; n; р) и параметрические уравнения прямой примут вид Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Исключая из уравнений параметр t, получим уравнения прямой в виде

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Однако и в этом случае формально можно записывать канонические уравнения прямой в виде Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс. Таким образом, если в знаменателе одной из дробей стоит нуль, то это означает, что прямая перпендикулярна соответствующей координатной оси.

Аналогично, канонические уравнения

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссопределяют прямую перпендикулярную осям О х и О у или параллельную оси О z.

Пример:

Составить канонические и параметрические уравнения прямой, проходящей через точку Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисспараллельно вектору Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Решение:

Подставив координаты точки Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, и вектора Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссв (7.5.2) и (7.5.3), находим искомые канонические уравнения:

.Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисси параметрические уравнения:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Пример:

Составить канонические уравнения прямой, проходящей через точку М(2, -1,4) параллельно

а) прямой Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс;

Решение:

а) Поскольку направляющий вектор заданной прямой

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссявляется направляющим вектором искомой прямой, то

подставив координаты точки М(2; -1; 4) и вектора Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссв (7.5.3) получим уравнение искомой прямой: Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

б) Поскольку единичный вектор оси О х: Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссбудет направляющим вектором искомой прямой, то подставив в уравнение

(7.5.3) координаты точки М(2; -1; 4 ) и вектора Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, получаем:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

в) В качестве направляющего вектора Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссискомой прямой можно взять единичный вектор оси Оу: Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс. В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссили Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс.

г) Единичный вектор оси Oz : Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссбудет направляющим вектором искомой прямой. В соответствии с уравнением (7.5.3), получаем

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через две заданные точки Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Решение:

Подставив координаты точек Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссв уравнение

(7.5.4), получим:Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Взаимное расположение двух прямых в пространстве

Углом между прямыми в пространстве будем называть любой из смежных углов, образованных двумя прямыми, проведенными через произвольную точку параллельно данным. Пусть в пространстве заданы две прямые:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Очевидно, что за угол Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссмежду прямыми можно принять угол между их направляющими векторами Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисси

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, косинус которого находится по формуле:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых равносильны условиям параллельности и перпендикулярности их направляющих векторовОпределить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс:

Две прямые параллельны тогда и только тогда, когда пропорциональны соответствующие координаты направляющих векторов:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

т.е. Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисспараллельна Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисстогда и только тогда, когда Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисспараллелен

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс.

Две прямые перпендикулярны тогда и только тогда, когда сумма произведений соответствующих координат направляющих векторов равна нулю: Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Пример:

Найти угол между прямыми Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисси

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Решение:

Воспользуемся формулой (7.6.1), в которую подставим координаты направляющих векторов Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисси

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс. Тогда Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, откуда Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсциссилиОпределить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс.

Видео:Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.Скачать

Математика без Ху!ни. Кривые второго порядка. Эллипс.

Вычисление уравнения прямой

Пусть PQ — некоторая прямая на плоскости Оху (рис. 22). Через произвольную точку М0 (х0, у0) этой прямой (условно называемую «начальной точкой») проведем прямую М0х параллельную оси Ох и имеющую с ней одинаковое направление. Тогда наименьший неотрицательный угол Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс, образованный полупрямой M0Q, лежащей выше оси М0х’ или совпадающей с ней, называется углом между данной прямой и осью Ох.

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Очевидно, этот угол не зависит от выбора точки М0. Если прямая PQ пересекает ось Ох в некоторой точке А (а, 0), то ф есть обычный угол между направленными прямыми. Если PQ || Ох, то, очевидно, Ф = 0. Начальная точка М0 прямой и угол ф («направление прямой») однозначно определяют положение этой прямой на плоскости.

1) Пусть сначала Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс. Тогда прямая PQ пересекает ось Оу в некоторой точке В (0, b), которую можно принять за начальную.

Ордината у = NM текущей точки М (х, у) прямой (рис. 23) состоит из двух частей:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

из них первая постоянна, а вторая переменна. Введя угловой коэффициент tg ф = k9 из рис. 23 будем иметь

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Нетрудно проверить, что формула (3) остается справедливой также и при х

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:9 класс, 7 урок, Уравнение прямойСкачать

9 класс, 7 урок, Уравнение прямой

График линейной функции, его свойства и формулы

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

О чем эта статья:

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Видео:Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.Скачать

Математика без Ху!ни. Уравнение касательной.

Понятие функции

Функция — это зависимость «y» от «x», где «x» является переменной или аргументом функции, а «y» — зависимой переменной или значением функции.

Задать функцию значит определить правило, в соответствии с которым по значениям независимой переменной можно найти соответствующие ее значения. Вот, какими способами ее можно задать:

  • Табличный способ — помогает быстро определить конкретные значения без дополнительных измерений или вычислений.
  • Графический способ — наглядно.
  • Аналитический способ — через формулы. Компактно, и можно посчитать функцию при произвольном значении аргумента из области определения.
  • Словесный способ.

График функции — это объединение всех точек, когда вместо «x» можно подставить произвольные значения и найти координаты этих точек.

Видео:Уравнение параллельной прямойСкачать

Уравнение параллельной прямой

Понятие линейной функции

Линейная функция — это функция вида y = kx + b, где х — независимая переменная, k, b — некоторые числа. При этом k — угловой коэффициент, b — свободный коэффициент.

Геометрический смысл коэффициента b — длина отрезка, который отсекает прямая по оси OY, считая от начала координат.

Геометрический смысл коэффициента k — угол наклона прямой к положительному направлению оси OX, считается против часовой стрелки.

Если известно конкретное значение х, можно вычислить соответствующее значение у.

Нам дана функция: у = 0,5х — 2. Значит:

  • если х = 0, то у = -2;
  • если х = 2, то у = -1;
  • если х = 4, то у = 0;
  • и т. д.

Для удобства результаты можно оформлять в виде таблицы:

х024
y-2-10

Графиком линейной функции является прямая линия. Для его построения достаточно двух точек, координаты которых удовлетворяют уравнению функции.

Угловой коэффициент отвечает за угол наклона прямой, свободный коэффициент — за точку пересечения графика с осью ординат.

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Буквенные множители «k» и «b» — это числовые коэффициенты функции. На их месте могут стоять любые числа: положительные, отрицательные или дроби.

Давайте потренируемся и определим для каждой функций, чему равны числовые коэффициенты «k» и «b».

ФункцияКоэффициент «k»Коэффициент «b»
y = 2x + 8k = 2b = 8
y = −x + 3k = −1b = 3
y = 1/8x − 1k = 1/8b = −1
y = 0,2xk = 0,2b = 0

Может показаться, что в функции «y = 0,2x» нет числового коэффициента «b», но это не так. В данном случае он равен нулю. Чтобы не поддаваться сомнениям, нужно запомнить: в каждой функции типа «y = kx + b» есть коэффициенты «k» и «b».

Еще не устали? Изучать математику веселее с опытным преподавателем на курсах по математике в Skysmart!

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Свойства линейной функции

  1. Область определения функции — множество всех действительных чисел.
  2. Множеством значений функции является множество всех действительных чисел.
  3. График линейной функции — прямая. Для построения прямой достаточно знать две точки. Положение прямой на координатной плоскости зависит от значений коэффициентов k и b.
    Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс
  4. Функция не имеет ни наибольшего, ни наименьшего значений.
  5. Четность и нечетность линейной функции зависят от значений коэффициентов k и b:
    b ≠ 0, k = 0, значит y = b — четная;
    b = 0, k ≠ 0, значит y = kx — нечетная;
    b ≠ 0, k ≠ 0, значит y = kx + b — функция общего вида;
    b = 0, k = 0, значит y = 0 — как четная, так и нечетная функция.
  6. Свойством периодичности линейная функция не обладает, потому что ее спектр непрерывен.
  7. График функции пересекает оси координат:
    ось абсцисс ОХ — в точке (-b/k, 0);
    ось ординат OY — в точке (0; b).
  8. x=-b/k — является нулем функции.
  9. Если b = 0 и k = 0, то функция y = 0 обращается в ноль при любом значении переменной х.
    Если b ≠ 0 и k = 0, то функция y = b не обращается в нуль ни при каких значениях переменной х.
  10. Функция монотонно возрастает на области определения при k > 0 и монотонно убывает при k 0: функция принимает отрицательные значения на промежутке (-∞, — b /k) и положительные значения на промежутке (- b /k, +∞)
    При k b /k, +∞) и положительные значения на промежутке (-∞, — b /k).
  11. Коэффициент k характеризует угол, который образует прямая с положительным направлением Ох. Поэтому k называют угловым коэффициентом.
    Если k > 0, то этот угол острый, если k

Видео:7 класс. Задайте формулой линейную функцию, параллельную данной и проходящую через точку NСкачать

7 класс. Задайте формулой линейную функцию, параллельную данной и проходящую через точку N

Построение линейной функции

В геометрии есть аксиома: через любые две точки можно провести прямую и притом только одну. Исходя из этой аксиомы следует: чтобы построить график функции вида «у = kx + b», достаточно найти всего две точки. А для этого нужно определить два значения х, подставить их в уравнение функции и вычислить соответствующие значения y.

Например, чтобы построить график функции y = 1 /3x + 2, можно взять х = 0 и х = 3, тогда ординаты этих точек будут равны у = 2 и у = 3. Получим точки А (0; 2) и В (3; 3). Соединим их и получим такой график:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

В уравнении функции y = kx + b коэффициент k отвечает за наклон графика функции:

  • если k > 0, то график наклонен вправо;
  • если k 0, то график функции y = kx + b получается из y = kx со сдвигом на b единиц вверх вдоль оси OY;
  • если b 1 /2x + 3, y = x + 3.

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Проанализируем рисунок. Все графики наклонены вправо, потому что во всех функциях коэффициент k больше нуля. Причем, чем больше значение k, тем круче идет прямая.

В каждой функции b = 3, поэтому все графики пересекают ось OY в точке (0; 3).

Теперь рассмотрим графики функций y = -2x + 3, y = — 1 /2x + 3, y = -x + 3.

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

В этот раз во всех функциях коэффициент k меньше нуля, и графики функций наклонены влево. Чем больше k, тем круче идет прямая.

Коэффициент b равен трем, и графики также пересекают ось OY в точке (0; 3).

Рассмотрим графики функций y = 2x + 3, y = 2x, y = 2x — 2.

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Теперь во всех уравнениях функций коэффициенты k равны. Получили три параллельные прямые.

При этом коэффициенты b различны, и эти графики пересекают ось OY в различных точках:

  • график функции y = 2x + 3 (b = 3) пересекает ось OY в точке (0; 3);
  • график функции y = 2x (b = 0) пересекает ось OY в точке начала координат (0; 0);
  • график функции y = 2x — 2 (b = -2) пересекает ось OY в точке (0; -2).

Прямые будут параллельными тогда, когда у них совпадают угловые коэффициенты.

Подытожим. Если мы знаем знаки коэффициентов k и b, то можем представить, как выглядит график функции y = kx + b.

Если k 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc1049363f94987951092.png» style=»height: 600px;»>

Если k > 0 и b > 0, то график функции y = kx + b выглядит так:

0 и b > 0″ src=»https://user84060.clients-cdnnow.ru/uploads/5fc104b2640e6151326286.png» style=»height: 600px;»>

Точки пересечения графика функции y = kx + b с осями координат:

  • С осью ОY. Абсцисса любой точки, которая принадлежит оси ОY равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОY, нужно в уравнение функции вместо х подставить ноль. Тогда получим y = b.
    Координаты точки пересечения с осью OY: (0; b).
  • С осью ОХ. Ордината любой точки, которая принадлежит оси ОХ равна нулю. Поэтому, чтобы найти точку пересечения с осью ОХ, нужно в уравнение функции вместо y подставить ноль. И получим 0 = kx + b. Значит x = — b /k.
    Координаты точки пересечения с осью OX: (- b /k; 0)

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Видео:10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задачСкачать

10. Параллельность и перпендикулярность плоскостей Решение задач

Решение задач на линейную функцию

Чтобы решать задачи и строить графики линейных функций, нужно рассуждать и использовать свойства и правила выше. Давайте потренируемся!

Пример 1. Построить график функции y = kx + b, если известно, что он проходит через точку А (-3; 2) и параллелен прямой y = -4x.

  • В уравнении функции y = kx + b два неизвестных параметра: k и b. Поэтому в тексте задачи нужно найти два условия, которые характеризуют график функции.
    Из того, что график функции y = kx + b параллелен прямой y = -4x, следует, что k = -4. То есть уравнение функции имеет вид y = -4x + b.
    Осталось найти b. Известно, что график функции y = -4x + b проходит через точку А (-3; 2). Подставим координаты точки в уравнение функции и мы получим верное равенство:
    2 = -4(-3) + b
    b = -10
  • Таким образом, нам надо построить график функции y = -4x — 10
    Мы уже знаем точку А (-3; 2), возьмем точку B (0; -10).
    Поставим эти точки в координатной плоскости и соединим прямой:

Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс

Пример 2. Написать уравнение прямой, которая проходит через точки A (1; 1); B (2; 4).

  1. Если прямая проходит через точки с заданными координатами, значит координаты точек удовлетворяют уравнению прямой y = kx + b.
    Следовательно, если координаты точек подставить в уравнение прямой, то получим верное равенство.
  2. Подставим координаты каждой точки в уравнение y = kx + b и получим систему линейных уравнений. Определить параллельна ли прямая оси ординат либо оси абсцисс
  3. Вычтем из второго уравнения системы первое, и получим k = 3.
    Подставим значение k в первое уравнение системы, и получим b = -2.

📹 Видео

Формула линейной функции по ее графикуСкачать

Формула линейной функции  по ее графику

Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно OX, OY или через начало координат. Урок 5. 8 клСкачать

Уравнение прямой, проходящей через точку параллельно OX, OY или через начало координат. Урок 5. 8 кл

Параллельный перенос вдоль оси ординат квадратичной функцииСкачать

Параллельный перенос вдоль оси ординат квадратичной функции

Прямая и уравнение прямойСкачать

Прямая и уравнение прямой

Параллельный перенос вдоль оси ОХСкачать

Параллельный перенос вдоль оси ОХ
Поделиться или сохранить к себе: