Описанная окружность теорема замечания

Описанная окружность

Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

Описанная окружность теорема замечания

Теорема

Около любого треугольника можно описать окружность.

Доказательство

Дано: произвольный Описанная окружность теорема замечанияАВС.

Доказать: около Описанная окружность теорема замечанияАВС можно описать окружность.

Доказательство:

1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Описанная окружность теорема замечанияАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

Описанная окружность теорема замечания

Точка О равноудалена от вершин Описанная окружность теорема замечанияАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Описанная окружность теорема замечанияАВС. Теорема доказана.

Замечание 1

Около треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство

Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

Замечание 2

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

Доказательство

Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

Описанная окружность теорема замечания

Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

Доказательство

Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

Описанная окружность теорема замечания

Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Описанная окружность теорема замечанияВ = Описанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияАDС, Описанная окружность теорема замечанияD = Описанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияАВС, откуда следует Описанная окружность теорема замечанияВ + Описанная окружность теорема замечанияD = Описанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияАDС + Описанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияАВС = Описанная окружность теорема замечания(Описанная окружность теорема замечанияАDС + Описанная окружность теорема замечанияАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Описанная окружность теорема замечанияАDС + Описанная окружность теорема замечанияАВС = 360 0 , тогда Описанная окружность теорема замечанияВ + Описанная окружность теорема замечанияD = Описанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечания360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

Верно и обратное утверждение:

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

Доказательство

Дано: четырехугольник АВСD, Описанная окружность теорема замечанияBАD + Описанная окружность теорема замечанияBСD = 180 0 .

Доказать: около АВСD можно описать окружность.

Доказательство:

Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

Описанная окружность теорема замечания

Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

Описанная окружность теорема замечания

Описанная окружность теорема замечанияВСDвнешний угол Описанная окружность теорема замечанияСFD, следовательно, Описанная окружность теорема замечанияBСD = Описанная окружность теорема замечанияВFD + Описанная окружность теорема замечанияFDE. (1)

Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Описанная окружность теорема замечанияВFD = Описанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияВАD и Описанная окружность теорема замечанияFDE = Описанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Описанная окружность теорема замечанияBСD = Описанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияВАD + Описанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияЕF = Описанная окружность теорема замечания(Описанная окружность теорема замечанияВАD + Описанная окружность теорема замечанияЕF), следовательно, Описанная окружность теорема замечанияВСDОписанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияВАD.

Описанная окружность теорема замечанияBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Описанная окружность теорема замечанияBАD = Описанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияВЕD, тогда Описанная окружность теорема замечанияBАD + Описанная окружность теорема замечанияBСDОписанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечания(Описанная окружность теорема замечанияВЕD + Описанная окружность теорема замечанияВАD).

Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Описанная окружность теорема замечанияВЕD + Описанная окружность теорема замечанияВАD = 360 0 , тогда Описанная окружность теорема замечанияBАD + Описанная окружность теорема замечанияBСDОписанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечания360 0 = 180 0 .

Итак, мы получили, что Описанная окружность теорема замечанияBАD + Описанная окружность теорема замечанияBСDОписанная окружность теорема замечания180 0 . Но это противоречит условию Описанная окружность теорема замечанияBАD + Описанная окружность теорема замечанияBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

Описанная окружность теорема замечания

По теореме о сумме углов треугольника в Описанная окружность теорема замечанияВСF: Описанная окружность теорема замечанияС + Описанная окружность теорема замечанияВ + Описанная окружность теорема замечанияF = 180 0 , откуда Описанная окружность теорема замечанияС = 180 0 — ( Описанная окружность теорема замечанияВ + Описанная окружность теорема замечанияF). (2)

Описанная окружность теорема замечанияВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Описанная окружность теорема замечанияВ = Описанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияЕF. (3)

Описанная окружность теорема замечанияF и Описанная окружность теорема замечанияВFD смежные, поэтому Описанная окружность теорема замечанияF + Описанная окружность теорема замечанияВFD = 180 0 , откуда Описанная окружность теорема замечанияF = 180 0 — Описанная окружность теорема замечанияВFD = 180 0 — Описанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияВАD. (4)

Подставим (3) и (4) в (2), получим:

Описанная окружность теорема замечанияС = 180 0 — (Описанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияЕF + 180 0 — Описанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияВАD) = 180 0 — Описанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияЕF — 180 0 + Описанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияВАD = Описанная окружность теорема замечания(Описанная окружность теорема замечанияВАDОписанная окружность теорема замечанияЕF), следовательно, Описанная окружность теорема замечанияСОписанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияВАD.

Описанная окружность теорема замечанияА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Описанная окружность теорема замечанияА = Описанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечанияВЕD, тогда Описанная окружность теорема замечанияА + Описанная окружность теорема замечанияСОписанная окружность теорема замечанияОписанная окружность теорема замечания(Описанная окружность теорема замечанияВЕD + Описанная окружность теорема замечанияВАD). Но это противоречит условию Описанная окружность теорема замечанияА + Описанная окружность теорема замечанияС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

Примечание:

Окружность всегда можно описать:

Поделись с друзьями в социальных сетях:

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Окружность, описанная около треугольника

Видео:8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Определение окружности, описанной около треугольника

Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).

Описанная окружность теорема замечания

При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.

Описанная окружность теорема замечания

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.Описанная окружность теорема замечания

Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Описанная окружность теорема замечания

Видео:110. Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

110. Окружность, описанная около правильного многоугольника

Вписанная и описанная окружности

Вы будете перенаправлены на Автор24

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Вписанная окружность

Если все стороны многоугольника являются касательными одной окружности, то такая окружность называется вписанной в многоугольник (рис 1).

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 1, называется описанным около окружности.

Описанная окружность теорема замечания

Рисунок 1. Вписанная окружность

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Теорема 1 (об окружности, вписанной в треугольник)

В любой треугольник можно вписать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем биссектрисы, которые пересекаются в точке $O$ и проведем из нее перпендикуляры на стороны треугольника (Рис. 2)

Описанная окружность теорема замечания

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

Существование: Проведем окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OK. $Так как точка $O$ лежит на трех биссектрисах, то она равноудалена от сторон треугольника $ABC$. То есть $OM=OK=OL$. Следовательно, построенная окружность также проходит через точки $M и L$. Так как $OM,OK и OL$ — перпендикуляры к сторонам треугольника, то по теореме о касательной к окружности, построенная окружность касается всех трех сторон треугольника. Следовательно, в силу произвольности треугольника, в любой треугольник можно вписать окружность.

Готовые работы на аналогичную тему

Единственность: Предположим, что в треугольник $ABC$ можно вписать еще одну окружность с центром в точке $O’$. Её центр равноудален от сторон треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OK$. Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр вписанной в треугольник окружности лежит в точке пересечения его биссектрис.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием вписанной окружности:

Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.

В любом описанном четырехугольнике суммы противоположных сторон равны.

Если суммы противоположных сторон выпуклого четырехугольника равны, то в него можно вписать окружность.

Видео:Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Описанная окружность

Если на окружности лежат все вершины многоугольника, то окружность называется описанной около многоугольника (Рис. 3).

Многоугольник, удовлетворяющий условию определения 2, называется вписанным в окружность.

Описанная окружность теорема замечания

Рисунок 3. Описанная окружность

Видео:9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольникаСкачать

9 класс, 22 урок, Окружность, описанная около правильного многоугольника

Теорема 2 (об окружности, описанной около треугольника)

Около любого треугольника можно описать окружность и притом только одну.

Доказательство.

Рассмотрим треугольник $ABC$. Проведем в нем серединные перпендикуляры, пересекающиеся в точке $O$, и соединим ее с вершинами треугольника (рис. 4)

Описанная окружность теорема замечания

Рисунок 4. Иллюстрация теоремы 2

Существование: Построим окружность с центром в точке $O$ и радиусом $OC$. Точка $O$ равноудалена от вершин треугольника, то есть $OA=OB=OC$. Следовательно, построенная окружность проходит через все вершины данного треугольника, значит, она является описанной около этого треугольника.

Единственность: Предположим, что около треугольника $ABC$ можно описать еще одну окружность с центром в точке $O’$. Её центр равноудален от вершин треугольника, а, следовательно, совпадает с точкой $O$ и имеет радиус, равный длине $OC.$ Но тогда эта окружность совпадет с первой.

Теорема доказана.

Следствие 1: Центр описанной около треугольника окружности совпадает с точкой пересечения его серединных перпендикуляров.

Приведем еще несколько фактов, связанных с понятием описанной окружности:

Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна $^0$.

Если сумма противоположных углов четырехугольника равна $^0$, то около него можно описать окружность.

Видео:Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Пример задачи на понятия вписанной и описанной окружности

В равнобедренном треугольнике основание равно 8 см, боковая сторона равна 5 см. Найти радиус вписанной окружности.

Решение.

Рассмотрим треугольник $ABC$. По следствию 1, мы знаем, что центр вписанной окружности лежит на пересечении биссектрис. Проведем биссектрисы $AK$ и $BM$, которые пересекаются в точке $O$. Проведем перпендикуляр $OH$ из точки $O$ на сторону $BC$. Изобразим рисунок:

Описанная окружность теорема замечания

Так как треугольник равнобедренный, то $BM$ и медиана и высота. По теореме Пифагора $^2=^2-^2, BM=sqrt<^2-frac<^2>>=sqrt=sqrt=3$. $OM=OH=r$ — искомый радиус вписанной окружности. Так как $MC$ и $CH$ отрезки пересекающихся касательных, то по теореме о пересекающихся касательных, имеем $CH=MC=4 см$. Следовательно, $BH=5-4=1 см$. $BO=3-r$. Из треугольника $OHB$, по теореме Пифагора, получим:

Ответ: $frac$.

Получи деньги за свои студенческие работы

Курсовые, рефераты или другие работы

Автор этой статьи Дата последнего обновления статьи: 29 03 2022

🌟 Видео

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 9 класс (Урок№21 - Правильный многоугольник. Описанная и вписанная окружность.)

Описанная окружностьСкачать

Описанная окружность

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Описанная окружность | Геометрия 7-9 класс #75 | ИнфоурокСкачать

Описанная окружность  | Геометрия 7-9 класс #75 | Инфоурок

8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Радиус описанной окружностиСкачать

Радиус описанной окружности

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Теорема об описанной окружностиСкачать

Теорема об описанной окружности

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Углы, вписанные в окружность. 9 класс.

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи
Поделиться или сохранить к себе: