Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Окружность, описанная около треугольника.
Треугольник, вписанный в окружность. Теорема синусов
Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойстваСерединный перпендикуляр к отрезку
Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойстваОкружность описанная около треугольника
Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойстваСвойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов
Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойстваДоказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Видео:Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.Скачать

Свойства прямоугольного треугольника. 7 класс.

Серединный перпендикуляр к отрезку

Определение 1 . Серединным перпендикуляром к отрезку называют, прямую, перпендикулярную к этому отрезку и проходящую через его середину (рис. 1).

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Теорема 1 . Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку находится на одном и том же расстоянии от концов этого отрезка.

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на серединном перпендикуляре к отрезку AB (рис.2), и докажем, что треугольники ADC и BDC равны.

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Действительно, эти треугольники являются прямоугольными треугольниками, у которых катеты AC и BC равны, а катет DC является общим. Из равенства треугольников ADC и BDC вытекает равенство отрезков AD и DB . Теорема 1 доказана.

Теорема 2 (Обратная к теореме 1) . Если точка находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, то она лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку.

Доказательство . Докажем теорему 2 методом «от противного». С этой целью предположим, что некоторая точка E находится на одном и том же расстоянии от концов отрезка, но не лежит на серединном перпендикуляре к этому отрезку. Приведём это предположение к противоречию. Рассмотрим сначала случай, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра (рис.3). В этом случае отрезок EA пересекает серединный перпендикуляр в некоторой точке, которую мы обозначим буквой D .

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Докажем, что отрезок AE длиннее отрезка EB . Действительно,

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Таким образом, в случае, когда точки E и A лежат по разные стороны от серединного перпендикуляра, мы получили противоречие.

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Теперь рассмотрим случай, когда точки E и A лежат по одну сторону от серединного перпендикуляра (рис.4). Докажем, что отрезок EB длиннее отрезка AE . Действительно,

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Полученное противоречие и завершает доказательство теоремы 2

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Окружность, описанная около треугольника

Определение 2 . Окружностью, описанной около треугольника , называют окружность, проходящую через все три вершины треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, вписанным в окружность, или вписанным треугольником .

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Видео:Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

Свойство окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Свойства описанной около треугольника окружности. Теорема синусов

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Для любого треугольника справедливо равенство:

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

ФигураРисунокСвойство
Серединные перпендикуляры
к сторонам треугольника
Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойстваВсе серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.
Посмотреть доказательство
Окружность, описанная около треугольникаОписанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойстваОколо любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиЦентр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.
Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиОписанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойстваЦентром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.
Посмотреть доказательство
Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиОписанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойстваЦентр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.
Теорема синусовОписанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства
Площадь треугольникаОписанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства
Радиус описанной окружностиОписанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства
Серединные перпендикуляры к сторонам треугольника
Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Окружность, описанная около треугольникаОписанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Центр описанной около остроугольного треугольника окружностиОписанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Центр описанной около остроугольного треугольника окружности лежит внутри треугольника.

Центр описанной около прямоугольного треугольника окружностиОписанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Центром описанной около прямоугольного треугольника окружности является середина гипотенузы.

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружностиОписанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Центр описанной около тупоугольного треугольника окружности лежит вне треугольника.

Теорема синусовОписанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Для любого треугольника справедливы равенства (теорема синусов):

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства,

где a , b , c – стороны треугольника, A , B , С – углы треугольника, R – радиус описанной окружности.

Площадь треугольникаОписанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Для любого треугольника справедливо равенство:

где A , B , С – углы треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Радиус описанной окружностиОписанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Для любого треугольника справедливо равенство:

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

где a , b , c – стороны треугольника, S – площадь треугольника, R – радиус описанной окружности.

Видео:7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольникаСкачать

7 класс, 18 урок, Свойства равнобедренного треугольника

Доказательства теорем о свойствах описанной около треугольника окружности

Теорема 3 . Все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам произвольного треугольника, пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим два серединных перпендикуляра, проведённых к сторонам AC и AB треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 6).

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC. Таким образом, все три серединных перпендикуляра проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать.

Следствие . Около любого треугольника можно описать окружность. Центром описанной около треугольника окружности является точка, в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника.

Доказательство . Рассмотрим точку O , в которой пересекаются все серединные перпендикуляры, проведённые к сторонам треугольника ABC (рис. 6).

При доказательстве теоремы 3 было получено равенство:

из которого вытекает, что окружность с центром в точке O и радиусами OA , OB , OC проходит через все три вершины треугольника ABC , что и требовалось доказать.

Теорема 4 (теорема синусов) . Для любого треугольника (рис. 7)

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства.

Доказательство . Докажем сначала, что длина хорды окружности радиуса R хорды окружности радиуса R , на которую опирается вписанный угол величины φ , вычисляется по формуле:

l = 2Rsin φ .(1)

Рассмотрим сначала случай, когда одна из сторон вписанного угла является диаметром окружности (рис.8).

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Поскольку все вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны, то для произвольного вписанного угла всегда найдется равный ему вписанный угол, у которого одна из сторон является диаметром окружности.

Формула (1) доказана.

Из формулы (1) для вписанного треугольника ABC получаем (рис.7):

Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника

Радиус описанной окружности равнобедренного треугольника можно найти по одной из общих формул радиуса окружности, описанной около треугольника.

Используя свойства равнобедренного треугольника, можно также получить дополнительные формулы.

I. Радиус описанной около треугольника окружности можно найти по формуле

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Площадь равнобедренного треугольника через длину основание a и боковую сторону b можно найти по формуле

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

соответственно, формула для нахождения радиуса описанной окружности для равнобедренного треугольника принимает вид:

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

верна и для равнобедренного треугольника.

Радиус описанной около равнобедренного треугольника окружности:

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

где a — основание, b — боковая сторона, α — угол при вершине, β — угол при основании.

III. Радиус описанной окружности в равнобедренном треугольнике можно найти непосредственно, без использования общих формул.

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Например, в прямоугольном треугольнике AOF AO=R, AF=b/2, ∠FAO=α/2. Отсюда

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

IV. В равнобедренном тупоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит вне треугольника, напротив его вершины.

Радиус находят по тем же формулам, что и для остроугольного треугольника.

V. В равнобедренном прямоугольном треугольнике центр описанной окружности лежит на середине гипотенузы, радиус равен половине гипотенузы (то есть половине основания треугольника).

Видео:Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnlineСкачать

Равнобедренный треугольник. Свойства равнобедренного треугольника | Математика | TutorOnline

Окружность, описанная около треугольника

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Определение окружности, описанной около треугольника

Определение 1. Окружностью, описанной около треугольника называется окружность, проходящей через все три вершины треугольника (Рис.1).

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

При этом треугольник называется треугольником вписанным в окружность .

Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать

Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математике

Теорема об окружности, описанной около треугольника

Теорема 1. Около любого треугольника можно описать окружность.

Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам. Проведем отрезки OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от точек A, B и C, то OA=OB=OC. Тогда окружность с центром O и радиусом OA проходит через все три вершины треугольника ABC и, следовательно, является окружностью, описанной около треугольника ABC.Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

Из теоремы 1 следует, что центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника.

Замечание 1. Около любого треугольника можно описать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от вершин треугольника и совпадает с точкой O пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до вершин треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Описанная окружность около равнобедренного прямоугольного треугольника свойства

🎦 Видео

Как найти диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольникаСкачать

Как найти диаметр окружности, описанной около равнобедренного треугольника

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

8 класс, 39 урок, Описанная окружность

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать

Задача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146

№254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.Скачать

№254. Найдите углы равнобедренного прямоугольного треугольника.

ТЕОРИЯ: ОКРУЖНОСТЬ ОПИСАННАЯ ОКОЛО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА (Кратко)Скачать

ТЕОРИЯ: ОКРУЖНОСТЬ ОПИСАННАЯ ОКОЛО ПРЯМОУГОЛЬНОГО ТРЕУГОЛЬНИКА (Кратко)

Построить описанную окружность (Задача 1)Скачать

Построить описанную окружность (Задача 1)

Геометрия Найдите радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 смСкачать

Геометрия Найдите радиус окружности описанной около равнобедренного треугольника с основанием 16 см

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружностиСкачать

№706. Найдите сторону равностороннего треугольника, если радиус описанной около него окружности

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать

Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 класс

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.Скачать

ГЕОМЕТРИЯ 7 класс. Медиана прямоугольного треугольника. Свойство. Доказательство для 7 класса.

ОГЭ. Задача на описанную окружность № 16. Как легко решить задачуСкачать

ОГЭ. Задача на описанную окружность № 16. Как легко решить задачу
Поделиться или сохранить к себе: