Задание 26. В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС. Окружность проходит через точки С и D и касается прямой АВ в точке Е. Найдите расстояние от точки Е до прямой CD, если AD = 6, ВС = 5.
Продлим стороны AB и CD так, чтобы они пересеклись в точке T. Пусть 
. По условию задания BC=5, AD=6, следовательно,
QD = AD-BC = 6-5 = 1
Из прямоугольного треугольника QCD, имеем:
Тот же самый угол можно выразить и так:
А, учитывая, что 
, можно записать отношение:
Далее, так как TE – касательная к окружности (по условию задания), а TD – секущая, то по теореме о касательной и секущей, имеем:
Треугольники TPE и TAD подобны по двум углам: 
, угол T – общий. Значит, 
. Следовательно,
Видео:№438. В трапеции ABCD с большим основанием AD диагональ АС перпендикулярна к боковой стороне CDСкачать
В трапеции ABCD боковая сторона АВ перпендикулярна основанию ВС Окружность проходит через точки С и D и касается прямой АВ
Видео:Геометрия В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. Окружность проходит черезСкачать
Ваш ответ
Видео:В трапеции ABCD боковая сторона AB перпендикулярна основанию BC. окружность проходит через точки C,DСкачать
решение вопроса
Видео:На окружности по разные стороны от диаметра AB ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Похожие вопросы
- Все категории
- экономические 43,279
- гуманитарные 33,618
- юридические 17,900
- школьный раздел 606,962
- разное 16,829
Популярное на сайте:
Как быстро выучить стихотворение наизусть? Запоминание стихов является стандартным заданием во многих школах.
Как научится читать по диагонали? Скорость чтения зависит от скорости восприятия каждого отдельного слова в тексте.
Как быстро и эффективно исправить почерк? Люди часто предполагают, что каллиграфия и почерк являются синонимами, но это не так.
Как научится говорить грамотно и правильно? Общение на хорошем, уверенном и естественном русском языке является достижимой целью.
Видео:🔴 В трапеции ABCD известно, что AB=CD ... | ЕГЭ БАЗА 2018 | ЗАДАНИЕ 15 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
Задача 16 геометрия на ЕГЭ-2021 по математике
На этой странице — обзор разных типов заданий № 16 ЕГЭ-2021 по математике, то есть задач по геометрии.
Все они имеют нечто общее: во-первых, это стандартный уровень сложности, то есть вполне решаемые задачи. Пункт (а) в них вообще простой.
Во-вторых, в каждой из них применяются свойства четырехугольников, вписанных в окружности.
В первой задаче такая окружность находится почти сразу, причем она – вспомогательная, и ее можно даже не изображать на чертеже. Главное – найти равные вписанные углы, опирающиеся на равные дуги или на одну дугу.
Также здесь использована формула синуса тройного угла. Если вы ее забыли – не беда. Ведь а формулу синуса суммы вы знаете.
1. Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой меньшее основание ВС равно боковой стороне. Точка Е такова, что ВЕ перпендикулярно AD и СЕ перпендикулярно BD.
а) Доказать, что угол АЕВ равен углу BDA.
б) Найти площадь трапеции ABCD, если АВ = 32, косинус угла АDВ равен
– равнобедренный, CM – высота, проведенная к основанию, значит, M – середина BD.
Докажем, что точки A, B, C, D, E лежат на одной окружности.
ABCD – равнобедренная трапеция, ее можно вписать в окружность.
В – медиана и высота, значит, равнобедренный, BE = ED.
Тогда по трем сторонам, четырехугольник BCDE можно вписать в окружность, т.к.
Так как вокруг можно описать только одну окружность и вокруг четырехугольников ABCD и BCDE тоже можно описать окружность, точки A, B, C, D, E лежат на одной окружности, так как опираются на одну и ту же дугу AB (точки E и D лежат по одну сторону от прямой AD).
б) Так как AB = BC = CD, то дуги AB, BC и CD также равны.
Четырехугольник ABDE вписан в окружность, тогда
По формуле синуса тройного угла,
тогда по теореме синусов
Проведем в трапеции ABCD высоту CK, тогда
BH и CK – высоты трапеции, а так как трапеция равнобедренная, то
Во второй задаче мы увидим ту же идею: вспомогательную окружность. Это один из методов, помогающих решать задачи ЕГЭ по геометрии. Есть здесь и другой мощный прием – использование двух пар подобных треугольников. И еще свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Если вы в восьмом и девятом классе учили геометрию – вы должны владеть этими приемами.
2. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Из вершины С на гипотенузу опущена высота СН, на АС и ВС соответственно отмечены точки М и N так, что угол MHN – прямой.
а) Докажите, что треугольники МNH и АВС подобны.
б) Найдите СN, если АС = 5, СМ = 2, ВС = 3.
а) Рассмотрим четырехугольник CMHN.
по условию, значит, CMHN можно вписать в окружность; вписанные, опираются на дугу HN.
Запишем соотношение сходственных сторон.
По условию, AM = 3, найдем CH — высоту
по теореме Пифагора,
AH — проекция катета AC на гипотенузу, по свойствам прямоугольного треугольника, отсюда
В следующей задаче мы снова видим окружность и вписанную в нее трапецию. И наверное, вы уже заметили: пункт (а) задач по геометрии на ЕГЭ часто оказывается подсказкой для решения пункта (б). То, что мы доказали в (а), мы используем в пункте (б).
3. Даны 5 точек на окружности: A, B, C, D, E, причем АЕ = ED = CD, ВЕ перпендикулярен АС.
Точка Т – точка пересечения АС и BD.
а) Докажите, что отрезок ЕС делит отрезок ТD пополам.
б) Найдите площадь треугольника АВТ, если BD = 10, АЕ =
Докажем, что M — середина TD.
Если AE = ED = DC, то дуги AE, ED, DC, также равны;
— накрест лежащие, при пересечении AC и DE секущей CE, значит, AEDC — равнобедренная трапеция. значит, BD — диаметр окружности.
(опирается на диаметр), по катету и гипотенузе, тогда DM — биссектриса равнобедренного т.к. — равнобедренный, то DM — медиана M — середина CE, кроме того, DM — высота
В — медиана и высота, значит, — равнобедренный, а так как — накрест лежащие, при параллельных прямых AC и DE и секущей CE, то по боковой стороне и углу при основании, тогда
CDET — ромб, M — точка пересечения его диагоналей, M — середина TD.
Мы нашли, что AE = ED = CD = CT = ET.
BD = 10 — диаметр окружности.
— равнобедренный, AE = ET, — высота и медиана
Тогда BN — медиана и высота — равнобедренный, AB = BT.
Обозначим тогда — опираются на дугу AE,
Из по теореме синусов:
И еще одна трапеция, вписанная в окружность. Теперь вы точно выучите ее свойства наизусть! Также здесь применяется теорема о пересекающихся хордах. Все эти полезные теоремы, свойства и признаки можно найти в нашей универсальной шпаргалке – Справочнике Анны Малковой для подготовки к ЕГЭ по математике. Скачать Справочник бесплатно можно здесь.
4. Трапеция с большим основанием AD и высотой ВН вписана в окружность. Прямая BH пересекает окружность в точке К.
б) Найдите AD, если: радиус окружности равен шести, СК пересекается с AD в точке N и площадь четырехугольника BHNC в 24 раза больше, чем плошать треугольника KHN.
а) Трапеция ABCD вписана в окружность, следовательно, AB = CD (трапеция равнобокая)
Тогда — вписанные, опираются одну и ту же на дугу AK;
следовательно, CK — диаметр окружности, так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой; — опирается на диаметр CK, значит,
(опираются на дугу BC), тогда
Обозначим так как HE = BC,
Из подобия треугольников KNH и KCB следует, что тогда
По теореме о пересекающихся хордах,
Представив левую часть уравнения как разность квадратов, получим:
По смыслу задачи тогда и значит
Задача по геометрии на ЕГЭ по математике оценивается в 3 балла. Как видите, в 2021 году эти 3 балла за геометрию можно было получить без особенных трудностей. На нашем Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ мы решаем и такие задачи по геометрии, и более сложные. Если ты сейчас в 10-м или в 11-м классе – попробуй бесплатно Демо-доступ к Онлайн-курсу.
5. (Резервный день) Окружность с центром О, построенная на катете АС прямоугольного треугольника АВС, как на диаметре, пересекает гипотенузу АВ в точках А и D. Касательная, проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет ВС в точке М.
А) Докажите, что ВМ = СМ
Б) Прямая DM пересекает прямую АС в точке Р, прямая ОМ пересекает прямую ВР в точке К.
Найдите ВК : КР, если
а) Так как – радиус окружности, – равнобедренный, так как (касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания), тогда
– угол между касательной и хордой,
Тогда т.е. – высота – прямоугольный, – равнобедренный, отсюда
Найдем BK : KP, если тогда
Значит, (вертикальные), — равнобедренный, тогда так как MK – биссектриса
📽️ Видео
Геометрия В трапеции ABCD с основаниями ВС и AD углы ABD и ACD прямые. а) Докажите, что АВ = CDСкачать
ОГЭ. Математика. Задание 26 | Прямоугольная трапеция и окружность | Борис Трушин |Скачать
Геометрия В трапеции ABCD известно, что BC ll AD, AB перпендикулярно AD, BC = CD, угол ABD = 80Скачать
Окружность и трапеция | ЕГЭ-2018. Задание 16. Математика. Профильный уровень | Борис Трушин +Скачать
ОГЭ без рекламы математика 17 вариант задача 25Скачать
Геометрия Боковые стороны AB и CD трапеции ABCD равны соответственно 28 и 35, а основание BC равно 7Скачать
ОГЭ без рекламы математика задача 25 7 и 8 вариантСкачать
ОГЭ без рекламы математика вариант 21 задача 25Скачать
ОГЭ по математике. Задание 26Скачать
Задание 26 из Варианта Ларина №227 обычная версия ОГЭ-2020.Скачать
Математика ОГЭ. Задание №25. Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию.Скачать
Задание 26 Свойство касательной и секущей Подобные треугольникиСкачать
ОГЭ, ЗАДАНИЕ 25. СЛОЖНАЯ задача по геометрии из ОГЭСкачать
В трапеции ABCD основания АD и BC равны равны соответственно 34 и 2 смСкачать
Где центр окружности? ТрапецияСкачать
