Секущей окружности справедливо суждение 2

Касательная к окружности

Секущей окружности справедливо суждение 2

О чем эта статья:

Содержание
  1. Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
  2. Свойства касательной к окружности
  3. Задача
  4. Задача 1
  5. Задача 2
  6. Задача 1
  7. Задача 2
  8. Задача 1
  9. Задача 2
  10. Докажи, что для касательной CB и секущей CA окружности справедливо суждение : CB2 = CA⋅CD?
  11. Из точки С проведена касательная СК и секущая, проходящия через центр окружности?
  12. Из точки А, лежащей на окружности с центром в точке О, проведена касательная АS и секущая AR?
  13. К окружности с центром в точке О прозвидены касательная АВ и секущиеся АО?
  14. 1) из одной точки проведены две касательные к окружности?
  15. Справедливы ли данные суждения?
  16. К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO?
  17. Справедливы ли данные суждения?
  18. Из одной точки, взятой вне окружности проведена секущая и касательная, сумма их равна 84 см, внешний отрезок секущей на 9 см меньше касательной?
  19. Из точки А к окружности проведены касательная АВ и секущая АС, проходящая через центр окружности?
  20. Хорда окружности равна 10?
  21. Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
  22. Отрезки и прямые, связанные с окружностью
  23. Свойства хорд и дуг окружности
  24. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
  25. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
  26. Теорема о бабочке
  27. 🔍 Видео

Видео:Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1Скачать

Теорема о секущей и касательной, о секущих, о пересекающихся хордах | Теоремы об окружностях - 1

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Секущая и касательная. 9 класс.Скачать

Секущая и касательная. 9 класс.

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Секущей окружности справедливо суждение 2

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Секущей окружности справедливо суждение 2

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Секущей окружности справедливо суждение 2

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Секущей окружности справедливо суждение 2

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:Секретная теорема из учебника геометрииСкачать

Секретная теорема из учебника геометрии

Докажи, что для касательной CB и секущей CA окружности справедливо суждение : CB2 = CA⋅CD?

Геометрия | 5 — 9 классы

Докажи, что для касательной CB и секущей CA окружности справедливо суждение : CB2 = CA⋅CD.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Вот просто подобие главное не запутаться какая сторона какой подобна.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Видео:Теорема о двух секущих. 9 класс.Скачать

Теорема о двух секущих. 9 класс.

Из точки С проведена касательная СК и секущая, проходящия через центр окружности?

Из точки С проведена касательная СК и секущая, проходящия через центр окружности.

Если радиус окружности равен 4 см, а касательная 5 см, то найдите секущую.

Можно с рисунком.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Видео:Окружность, касательная, секущая и хорда | МатематикаСкачать

Окружность, касательная, секущая и хорда | Математика

Из точки А, лежащей на окружности с центром в точке О, проведена касательная АS и секущая AR?

Из точки А, лежащей на окружности с центром в точке О, проведена касательная АS и секущая AR.

Найдите острый угол между касательной и секущей, если секущая равна радиусу окружности.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

К окружности с центром в точке О прозвидены касательная АВ и секущиеся АО?

К окружности с центром в точке О прозвидены касательная АВ и секущиеся АО.

Найдите радиус окружности, если АВ = 12см , АО = 13см.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

1) из одной точки проведены две касательные к окружности?

1) из одной точки проведены две касательные к окружности.

Докажите, что отрезки касательных АВ и АС равны.

Здесь В и С — точки касания.

2) докажите, что через одну не может проходить больше двух касательных к окружности.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Видео:Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и ОкружностьСкачать

Пойми Этот Урок Геометрии и получай 5-ки — Касательная и Окружность

Справедливы ли данные суждения?

Справедливы ли данные суждения?

1. Если прямая касательная окружности, то она имеет две общие точки с окружностью.

Если прямая и окружность имеют общую точку, то прямая является касательной окружности.

Прямая и окружность могут иметь только две общие точки.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Видео:Теорема об отрезках хорд и секущихСкачать

Теорема об отрезках хорд и секущих

К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO?

К окружности с центром в точке О проведены касательная AB и секущая AO.

Найдите радиус окружности, если AB = 65 , AO = 97.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Видео:8 класс, 32 урок, Касательная к окружностиСкачать

8 класс, 32 урок, Касательная к окружности

Справедливы ли данные суждения?

Справедливы ли данные суждения?

1. Если прямая касательная окружности, то она имеет хотя бы одну общую точку с окружностью.

Если прямая и окружность имеют общую точку, то прямая является касательной окружности.

Прямая и окружность могут иметь одну или две общие точки.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Из одной точки, взятой вне окружности проведена секущая и касательная, сумма их равна 84 см, внешний отрезок секущей на 9 см меньше касательной?

Из одной точки, взятой вне окружности проведена секущая и касательная, сумма их равна 84 см, внешний отрезок секущей на 9 см меньше касательной.

Вычислить длину касательной.

Пожалуйста с рисунком.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Видео:Линия пересечения двух поверхностей конус и цилиндр (Метод секущих плоскостей)Скачать

Линия пересечения двух поверхностей конус и цилиндр (Метод секущих плоскостей)

Из точки А к окружности проведены касательная АВ и секущая АС, проходящая через центр окружности?

Из точки А к окружности проведены касательная АВ и секущая АС, проходящая через центр окружности.

Расстояние от А до окружности равно 4см, а диаметр окружности равен 12 см.

Какова длина касательной?

Секущей окружности справедливо суждение 2

Видео:Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1Скачать

Свойства хорд, касательных, секущих окружности I Для решения задач из ОГЭ И ЕГЭ I Часть 1

Хорда окружности равна 10?

Хорда окружности равна 10.

Через один конец хорды проведена касательная к окружности, а через другой — секущая, параллельная касательной.

Найдите радиус окружности, если внутренний отрезок секущей равен 12.

На этой странице находится ответ на вопрос Докажи, что для касательной CB и секущей CA окружности справедливо суждение : CB2 = CA⋅CD?, из категории Геометрия, соответствующий программе для 5 — 9 классов. Чтобы посмотреть другие ответы воспользуйтесь «умным поиском»: с помощью ключевых слов подберите похожие вопросы и ответы в категории Геометрия. Ответ, полностью соответствующий критериям вашего поиска, можно найти с помощью простого интерфейса: нажмите кнопку вверху страницы и сформулируйте вопрос иначе. Обратите внимание на варианты ответов других пользователей, которые можно не только просмотреть, но и прокомментировать.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Что простите ? ( — _ — ).

Секущей окружности справедливо суждение 2

Ответы : 9. 90°, 75°, 15° 10. 60°, 60°, 120°, 120°.

Секущей окружности справедливо суждение 2

9. Тупой угол ромба 150°, а диагонали ромба — биссектрисы его углов, значит, 150° : 2 = 75°, α + β = 90°, β = 90° — α, β = 90° — 75° = 15°. Все треугольники прямоугольные и равны, поэтому ответ : 15° и 75°. 10. АВСД — ромб. АС = АВ. Следовательно..

Секущей окружности справедливо суждение 2

Дано a + b = 12 см а : b = a)1 : 2 b)3 : 2 Найти Sпарал. Решение 1)представим часть 1 как х , то получится а) 1х + 2х б) 3х + 2х 2) а) 1х + 2х = 12 3х = 12 х = 4 а = 1×4 = 4 б = 2×4 = 8 S = 1 / 2 × 4 ×8 = 18см ^ 2 б) 3х + 2х = 12 5х = 12 х = 2. 4 а..

Секущей окружности справедливо суждение 2

Все углы равны 90 градусов, все стороны равны.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Рассмотрим треугольник АВО угол АВО = 30, значит угол ВАО равен 30 так как по свойству диагоналей треугольника, точкой пересечения они делятся пополам, получаем ВО = АО. За угол между диагоналями принимают меньший из углов, снова рассмотрим треуголь..

Секущей окружности справедливо суждение 2

(7396 / 100) ^ 2 (1849 / 25) ^ 2.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Площадь трапеции равна произведению средней линии на высоту. Средняя линия равна (4 + 8) / 2 = 6 Высота равна (8 — 4) / 2 = 2 т. К. угол 45° Площадь равна 6 * 2 = 12.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Этот треугольник является не только равносторонним, но и равнобедренным. От сюда следует высота проведённая является и медианой и делит сторону попалам. Воспользуемся теоремой Пифагора. 10корень3 ^ 2 = 5корень3 ^ 2 + высота ^ 2. Высота ^ 2 = 300 ..

Секущей окружности справедливо суждение 2

Из точки М провести прямую, параллельную ближней стороне угла до пересечения с биссектрисой. Этот отрезок разделить пополам и опустить из его середины перпендикуляр на сторону угла — это будет точка В. Из точки В через точку на биссектрисе проводим..

Видео:Теорема о касательной и секущейСкачать

Теорема о касательной и секущей

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Секущей окружности справедливо суждение 2Отрезки и прямые, связанные с окружностью
Секущей окружности справедливо суждение 2Свойства хорд и дуг окружности
Секущей окружности справедливо суждение 2Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Секущей окружности справедливо суждение 2Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Секущей окружности справедливо суждение 2Теорема о бабочке

Секущей окружности справедливо суждение 2

Видео:8 класс Геометрия Угол между касательной и секущейСкачать

8 класс  Геометрия  Угол между касательной и секущей

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьСекущей окружности справедливо суждение 2
КругСекущей окружности справедливо суждение 2
РадиусСекущей окружности справедливо суждение 2
ХордаСекущей окружности справедливо суждение 2
ДиаметрСекущей окружности справедливо суждение 2
КасательнаяСекущей окружности справедливо суждение 2
СекущаяСекущей окружности справедливо суждение 2
Окружность
Секущей окружности справедливо суждение 2

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругСекущей окружности справедливо суждение 2

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусСекущей окружности справедливо суждение 2

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаСекущей окружности справедливо суждение 2

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрСекущей окружности справедливо суждение 2

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяСекущей окружности справедливо суждение 2

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяСекущей окружности справедливо суждение 2

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Теоремы о хордах, касательной и секущей окружностиСкачать

Теоремы о хордах, касательной и секущей окружности

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеСекущей окружности справедливо суждение 2Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыСекущей окружности справедливо суждение 2Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныСекущей окружности справедливо суждение 2Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиСекущей окружности справедливо суждение 2У равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыСекущей окружности справедливо суждение 2Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Секущей окружности справедливо суждение 2

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыСекущей окружности справедливо суждение 2

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыСекущей окружности справедливо суждение 2

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиСекущей окружности справедливо суждение 2

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныСекущей окружности справедливо суждение 2

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиСекущей окружности справедливо суждение 2

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыСекущей окружности справедливо суждение 2

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Свойства хорд, касательных, секущих.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Секущей окружности справедливо суждение 2

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыСекущей окружности справедливо суждение 2
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиСекущей окружности справедливо суждение 2
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиСекущей окружности справедливо суждение 2
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаСекущей окружности справедливо суждение 2

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Секущей окружности справедливо суждение 2

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Пересекающиеся хорды
Секущей окружности справедливо суждение 2
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Секущей окружности справедливо суждение 2
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Секущей окружности справедливо суждение 2
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Секущей окружности справедливо суждение 2
Пересекающиеся хорды
Секущей окружности справедливо суждение 2

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Секущей окружности справедливо суждение 2

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Видео:Свойство секущей и касательной, проведённых из одной точки.Скачать

Свойство секущей и касательной, проведённых из одной точки.

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Тогда справедливо равенство

Секущей окружности справедливо суждение 2

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Секущей окружности справедливо суждение 2

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Секущей окружности справедливо суждение 2

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Секущей окружности справедливо суждение 2

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Секущей окружности справедливо суждение 2

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Секущей окружности справедливо суждение 2

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:#59. Олимпиадная задача о касательной к окружности!Скачать

#59. Олимпиадная задача о касательной к окружности!

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Секущей окружности справедливо суждение 2

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Секущей окружности справедливо суждение 2

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

🔍 Видео

Касательная и секущая к окружности. Задача 2.Скачать

Касательная и секущая к окружности. Задача 2.
Поделиться или сохранить к себе: