Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
Диаметры окружности пересекаются под прямым угломОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Диаметры окружности пересекаются под прямым угломСвойства хорд и дуг окружности
Диаметры окружности пересекаются под прямым угломТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Диаметры окружности пересекаются под прямым угломДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Диаметры окружности пересекаются под прямым угломТеорема о бабочке

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Содержание
  1. Отрезки и прямые, связанные с окружностью
  2. Свойства хорд и дуг окружности
  3. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
  4. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
  5. Теорема о бабочке
  6. Диаметры окружности AC и BD пересекаются под углом 90°?
  7. Длина хорды окружности равна 26, а расстояние от центраокружности до этой хорды равно 5?
  8. Хорда окружности равна 6√2 дм и стягивает дугу 90°?
  9. Диаметры окружности AC и BD пересекаются под углом 90?
  10. Длина окружности равна длине дуги другой окружности, радиус которой в 8 раз больше радиуса первой окружности?
  11. Точки В (6 : 0) и Д (8 : 0) являются концами диаметра окружности?
  12. СРОЧНО НУЖНО?
  13. Найдите площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей ее хордой, если длина хорды равна 2 см, а диаметр окружности равен 4 см?
  14. Из точки на окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу окружности?
  15. Диаметр СD окружности с центром в точке О пересекается с хордой AB в точке К, OK = 5 см?
  16. Здравствуйте, помогите, пожалуйста?
  17. Диаметры окружности пересекаются под углом
  18. В окружности диаметры ac и bd пересекаются под углом 60 градусов?
  19. В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке о?
  20. Вершины четырёхугольника ABCD лежат на окружности, а его диагонали являются диаметрами этой окружности?
  21. Окружность, длина радиуса которой равна 2 см, касается всех сторон четырёхугольника ABCD?
  22. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 11 и CD = 41 вписан в окружность?
  23. Помогите?
  24. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 34 и CD = 22 вписан в окружность?
  25. Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 3 и CD = 5 вписан в окружность?
  26. Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с диаметром AD?
  27. О — центр окружности, AB — диаметр, СD — хорда?
  28. Четырёхугольник ABCD вписан в окружность?
  29. Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке
  30. Отрезки и прямые, связанные с окружностью
  31. Свойства хорд и дуг окружности
  32. Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих
  33. Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
  34. Теорема о бабочке
  35. Окружность и круг
  36. теория по математике 📈 планиметрия
  37. Определения
  38. Свойство хорд
  39. Длина окружности
  40. Дуга, касательная, круг, сектор, сегмент
  41. Свойства касательной

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьДиаметры окружности пересекаются под прямым углом
КругДиаметры окружности пересекаются под прямым углом
РадиусДиаметры окружности пересекаются под прямым углом
ХордаДиаметры окружности пересекаются под прямым углом
ДиаметрДиаметры окружности пересекаются под прямым углом
КасательнаяДиаметры окружности пересекаются под прямым углом
СекущаяДиаметры окружности пересекаются под прямым углом
Окружность
Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Видео:Угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Угол, опирающийся на диаметр окружности, прямой. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеДиаметры окружности пересекаются под прямым угломДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыДиаметры окружности пересекаются под прямым угломЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныДиаметры окружности пересекаются под прямым угломБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиДиаметры окружности пересекаются под прямым угломУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыДиаметры окружности пересекаются под прямым угломДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Видео:8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружностиСкачать

8 класс. ОГЭ. Найти диаметр окружности

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыДиаметры окружности пересекаются под прямым углом
Касательные, проведённые к окружности из одной точкиДиаметры окружности пересекаются под прямым углом
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиДиаметры окружности пересекаются под прямым углом
Секущие, проведённые из одной точки вне кругаДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Пересекающиеся хорды
Диаметры окружности пересекаются под прямым углом
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Диаметры окружности пересекаются под прямым углом
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Диаметры окружности пересекаются под прямым углом
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Диаметры окружности пересекаются под прямым углом
Пересекающиеся хорды
Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Видео:Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 классСкачать

Окружность, диаметр, хорда геометрия 7 класс

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Тогда справедливо равенство

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Видео:Любые два диаметра окружности пересекаются. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Любые два диаметра окружности пересекаются. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Видео:№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

Диаметры окружности AC и BD пересекаются под углом 90°?

Геометрия | 5 — 9 классы

Диаметры окружности AC и BD пересекаются под углом 90°.

Длина дуги BC равна 4п см.

Найдите a) радиус данной окружности ; в) длины хорд с концами в точках A, B, C, , D.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

длины хорд = 8v2.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Видео:Длина окружности. Математика 6 класс.Скачать

Длина окружности. Математика 6 класс.

Длина хорды окружности равна 26, а расстояние от центраокружности до этой хорды равно 5?

Длина хорды окружности равна 26, а расстояние от центра

окружности до этой хорды равно 5.

Найдите диаметр окружности.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Видео:№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°Скачать

№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°

Хорда окружности равна 6√2 дм и стягивает дугу 90°?

Хорда окружности равна 6√2 дм и стягивает дугу 90°.

Найдите длину окружности и длину дуги.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Видео:Радиус и диаметрСкачать

Радиус и диаметр

Диаметры окружности AC и BD пересекаются под углом 90?

Диаметры окружности AC и BD пересекаются под углом 90.

Длина дуги BC равна 4 [tex] pi [ / tex] см.

Найдите : а) радиус данной окружности ; б) длины хор с концами в точках A, B, C, D.

Прошу, решите, очень надо.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Видео:№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружностиСкачать

№145. Отрезок МК — диаметр окружности с центром О, а МР и РК — равные хорды этой окружности

Длина окружности равна длине дуги другой окружности, радиус которой в 8 раз больше радиуса первой окружности?

Длина окружности равна длине дуги другой окружности, радиус которой в 8 раз больше радиуса первой окружности.

Найдите градусную меру этой дуги.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Видео:2175 AC и BD диаметры окружности с центром О угол acb равен 35 Найдите угол aodСкачать

2175 AC и BD диаметры окружности с центром О угол acb равен 35 Найдите угол aod

Точки В (6 : 0) и Д (8 : 0) являются концами диаметра окружности?

Точки В (6 : 0) и Д (8 : 0) являются концами диаметра окружности.

Найдите координаты центра окружности, длину радиуса окружности, запишите уравнение данной окружности.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Видео:№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.Скачать

№662. Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°, ∪BC= 70°.

СРОЧНО НУЖНО?

РЕШИТЕ ПОЖАЛУЙСТА, ДАЮ 50 БАЛЛОВ!

1) Площадь круга равна 324П.

Вычислите длину окружности, радиус которой в 3 раза меньше радиуса круга.

2) Вычислите площадь фигуры, ограниченной дугой АВ и хордой АВ, если градусная мера дуги равна 30 градусов, а радиус окружности равен 6 см.

3) Площадь круга равна 256П.

Вычислите длину окружности, радиус которой в 2 раза больше радиуса круга.

4) Вычислите площадь фигуры, ограниченной дугой СD и хордой СD, если градусная мера дуги равна 150 градусов, а радиус окружности равен 12 см.

5) В окружности длиной 75П см проведена хорда, стягивающая дугу в 120 градусов.

Вычислите длину данных дуги и хорды.

6) Окружность с радиусом 12 см разогнута в дугу, центральный угол которой равен 135 градусов.

Найдите радиус этой дуги и длину хорды, стягиваемой этой дугой.

7) В окружности длиной 54П см проведена хорда, стягивающая дугу в 150 градусов.

Вычислите длину данных дуги и хорды.

8) Дуга, радиус окружности которой равен 6 см и центральный угол равен 120 градусов, свёрнута в окружность.

Найдите радиус окружности и хорду, стягиваемую этой дугой.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Видео:Один отрезок - диагональ четырёхугольника, диаметр окружности, высота ромбаСкачать

Один отрезок - диагональ четырёхугольника, диаметр окружности, высота ромба

Найдите площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей ее хордой, если длина хорды равна 2 см, а диаметр окружности равен 4 см?

Найдите площадь фигуры, ограниченной дугой окружности и стягивающей ее хордой, если длина хорды равна 2 см, а диаметр окружности равен 4 см.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Видео:Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Отрезки AC и BD – диаметры окружности с центром O ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 10 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Из точки на окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу окружности?

Из точки на окружности проведены диаметр и хорда, равная радиусу окружности.

Найдите косинус угла между хордой и диаметром.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Видео:№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиусСкачать

№705. Около прямоугольного треугольника ABC с прямым углом С описана окружность. Найдите радиус

Диаметр СD окружности с центром в точке О пересекается с хордой AB в точке К, OK = 5 см?

Диаметр СD окружности с центром в точке О пересекается с хордой AB в точке К, OK = 5 см.

Расстояние от центоа окружности до хорды равно 4см.

Найдите радиус окружности, если длина хорды равна 16 см.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Видео:Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность). Геометрия 8-9 классСкачать

Вписанный угол, опирающийся на диаметр (полуокружность). Геометрия 8-9 класс

Здравствуйте, помогите, пожалуйста?

Здравствуйте, помогите, пожалуйста.

Хорда длиной 6 см перпендикулярна к радиусу окружности.

Расстояние от точки пересечения хорды с радиусом до внешнего конца радиуса равно 2 см.

Найдите радиус окружности.

Вы перешли к вопросу Диаметры окружности AC и BD пересекаются под углом 90°?. Он относится к категории Геометрия, для 5 — 9 классов. Здесь размещен ответ по заданным параметрам. Если этот вариант ответа не полностью вас удовлетворяет, то с помощью автоматического умного поиска можно найти другие вопросы по этой же теме, в категории Геометрия. В случае если ответы на похожие вопросы не раскрывают в полном объеме необходимую информацию, то воспользуйтесь кнопкой в верхней части сайта и сформулируйте свой вопрос иначе. Также на этой странице вы сможете ознакомиться с вариантами ответов пользователей.

Видео:Сопряжение двух пересекающихся прямых. Урок 9. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Сопряжение двух пересекающихся прямых. Урок 9. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Диаметры окружности пересекаются под углом

Видео:Окружность. 7 класс.Скачать

Окружность. 7 класс.

В окружности диаметры ac и bd пересекаются под углом 60 градусов?

Геометрия | 10 — 11 классы

В окружности диаметры ac и bd пересекаются под углом 60 градусов.

Найдите сторону cd четырёхугольника abcd, если радиус окружности 6см.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Пусть ас и bd пересекаются в k, тогда угол dkc = 60 градусам ; мы знаем что

диаметр равен двум радиусам, поэтому dk = kc = 6,

отсюда следует что треугольник dkc – равнобедренный, тогда углы kdc и kcd — равны (180 — 60) : 2 = 60

градусов, значит треугольник dkc –равносторонний, тогда dc = 6.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Видео:Урок по геометрии ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИСкачать

Урок по геометрии ВЗАИМНОЕ РАСПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ

В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке о?

В ромбе ABCD диагонали пересекаются в точке о.

В ромб вписана окружность, касающаяся стороны AD в точке Е.

Найти отношение диаметра окружности к стороне ромба, если кут OAE = 75 градусов.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Видео:№589. Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса R так, что угол между диаметромСкачать

№589. Секущая плоскость проходит через конец диаметра сферы радиуса R так, что угол между диаметром

Вершины четырёхугольника ABCD лежат на окружности, а его диагонали являются диаметрами этой окружности?

Вершины четырёхугольника ABCD лежат на окружности, а его диагонали являются диаметрами этой окружности.

Сторона AB = 3 см, чему равна противолежащая ей сторона?

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Окружность, длина радиуса которой равна 2 см, касается всех сторон четырёхугольника ABCD?

Окружность, длина радиуса которой равна 2 см, касается всех сторон четырёхугольника ABCD.

Известно , что точки касания являются серединами сторон четырёхугольника.

Вычислите периметр четырёхугольника ABCD.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 11 и CD = 41 вписан в окружность?

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 11 и CD = 41 вписан в окружность.

Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём ∠AKB = 60∘ .

Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Помогите?

В четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 19 и CD = 28 вписан в окружность.

Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём ∠AKB = 60∘ .

Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 34 и CD = 22 вписан в окружность?

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 34 и CD = 22 вписан в окружность.

Диагонали AC и BD пересекаются в точке K , причём ∠AKB = 60° Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 3 и CD = 5 вписан в окружность?

Четырёхугольник ABCD со сторонами AB = 3 и CD = 5 вписан в окружность.

Диагонали AC и BD пересекаются в точке K, причём угол AKB = 60.

Найдите радиус окружности, описанной около этого четырёхугольника.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с диаметром AD?

Трапеция ABCD с основаниями AD и BC вписана в окружность с диаметром AD.

Найти углы трапеции, если ее диагонали пересекаются под углом 40 градусов.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

О — центр окружности, AB — диаметр, СD — хорда?

О — центр окружности, AB — диаметр, СD — хорда.

Диаметр пересекается с хордой под углом 90 градусов в точке E.

Радиус окружности равен 6 см, угол = 60 градусов.

Найдите ED ; OCD, угол OCD(желательно с чертежом).

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность?

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность.

Угол C меньше угла A на 140 градусов и в 3 раза меньше угла B.

Найдите углы четырёхугольника.

Вы зашли на страницу вопроса В окружности диаметры ac и bd пересекаются под углом 60 градусов?, который относится к категории Геометрия. По уровню сложности вопрос соответствует учебной программе для учащихся 10 — 11 классов. В этой же категории вы найдете ответ и на другие, похожие вопросы по теме, найти который можно с помощью автоматической системы «умный поиск». Интересную информацию можно найти в комментариях-ответах пользователей, с которыми есть обратная связь для обсуждения темы. Если предложенные варианты ответов не удовлетворяют, создайте свой вариант запроса в верхней строке.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

4 дня ждал, когда кто — нибудь, кому нужны баллы решит эту задачу. Терпелка лопнула. Привожу в двух приложениях два способа решения этой задачи.

Отрезки и прямые, связанные с окружностью. Теорема о бабочке

Диаметры окружности пересекаются под прямым угломОтрезки и прямые, связанные с окружностью
Диаметры окружности пересекаются под прямым угломСвойства хорд и дуг окружности
Диаметры окружности пересекаются под прямым угломТеоремы о длинах хорд, касательных и секущих
Диаметры окружности пересекаются под прямым угломДоказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих
Диаметры окружности пересекаются под прямым угломТеорема о бабочке

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Отрезки и прямые, связанные с окружностью

ФигураРисунокОпределение и свойства
ОкружностьДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Окружность
Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Множество точек плоскости, находящихся на одном и том же расстоянии от одной точки — центра окружности

КругДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Конечная часть плоскости, ограниченная окружностью

РадиусДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Отрезок, соединяющий центр окружности с любой точкой окружности

ХордаДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Отрезок, соединяющий две любые точки окружности

ДиаметрДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Хорда, проходящая через центр окружности.

Диаметр является самой длинной хордой окружности

КасательнаяДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку.

Касательная перпендикулярна к радиусу окружности, проведённому в точку касания

СекущаяДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Прямая, пересекающая окружность в двух точках

Свойства хорд и дуг окружности

ФигураРисунокСвойство
Диаметр, перпендикулярный к хордеДиаметры окружности пересекаются под прямым угломДиаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.
Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.
Равные хордыДиаметры окружности пересекаются под прямым угломЕсли хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.
Хорды, равноудалённые от центра окружностиЕсли хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.
Две хорды разной длиныДиаметры окружности пересекаются под прямым угломБольшая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.
Равные дугиДиаметры окружности пересекаются под прямым угломУ равных дуг равны и хорды.
Параллельные хордыДиаметры окружности пересекаются под прямым угломДуги, заключённые между параллельными хордами, равны.
Диаметр, перпендикулярный к хорде
Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметр, перпендикулярный к хорде, делит эту хорду и стягиваемые ею две дуги пополам.

Диаметр, проходящий через середину хордыДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметр, проходящий через середину хорды, перпендикулярен к этой хорде и делит стягиваемые ею две дуги пополам.

Равные хордыДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды равны, то они находятся на одном и том же расстоянии от центра окружности.

Хорды, равноудалённые от центра окружностиДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Если хорды равноудалены (находятся на одном и том же расстоянии) от центра окружности, то они равны.

Две хорды разной длиныДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Большая из двух хорд расположена ближе к центру окружности.

Равные дугиДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

У равных дуг равны и хорды.

Параллельные хордыДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Дуги, заключённые между параллельными хордами, равны.

Теоремы о длинах хорд, касательных и секущих

ФигураРисунокТеорема
Пересекающиеся хордыДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Касательные, проведённые к окружности из одной точкиДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точкиДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Секущие, проведённые из одной точки вне кругаДиаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Пересекающиеся хорды
Диаметры окружности пересекаются под прямым углом
Касательные, проведённые к окружности из одной точки
Диаметры окружности пересекаются под прямым углом
Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки
Диаметры окружности пересекаются под прямым углом
Секущие, проведённые из одной точки вне круга
Диаметры окружности пересекаются под прямым углом
Пересекающиеся хорды
Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Произведения длин отрезков, на которые разбита каждая из хорд, равны:

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Касательные, проведённые к окружности из одной точки

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Если к окружности из одной точки проведены две касательных, то длины отрезков касательных от этой точки до точек касания с окружностью равны.

Касательная и секущая, проведённые к окружности из одной точки

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Секущие, проведённые из одной точки вне круга

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Доказательства теорем о длинах хорд, касательных и секущих

Теорема 1 . Предположим, что хорды окружности AB и CD пересекаются в точке E (рис.1).

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Тогда справедливо равенство

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Доказательство . Заметим, что углы BCD и BAD равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Углы BEC и AED равны как вертикальные. Поэтому треугольники BEC и AED подобны. Следовательно, справедливо равенство

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 2 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены касательная AB и секущая AD (рис.2).

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Точка B – точка касания с окружностью, точка C – вторая точка пересечения прямой AD с окружностью. Тогда справедливо равенство

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Доказательство . Заметим, что угол ABC образован касательной AB и хордой BC , проходящей через точку касания B . Поэтому величина угла ABC равна половине угловой величины дуги BC . Поскольку угол BDC является вписанным углом, то величина угла BDC также равна половине угловой величины дуги BC . Следовательно, треугольники ABC и ABD подобны (угол A является общим, углы ABC и BDA равны). Поэтому справедливо равенство

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема 3 . Предположим, что из точки A , лежащей вне круга, к окружности проведены секущие AD и AF (рис.3).

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Точки C и E – вторые точки пересечения секущих с окружностью. Тогда справедливо равенство

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Доказательство . Проведём из точки A касательную AB к окружности (рис. 4).

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Точка B – точка касания. В силу теоремы 2 справедливы равенства

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

откуда и вытекает требуемое утверждение.

Теорема о бабочке

Теорема о бабочке . Через середину G хорды EF некоторой окружности проведены две произвольные хорды AB и CD этой окружности. Точки K и L – точки пересечения хорд AC и BD с хордой EF соответственно (рис.5). Тогда отрезки GK и GL равны.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Доказательство . Существует много доказательств этой теоремы. Изложим доказательство, основанное на теореме синусов, которое, на наш взгляд, является наиболее наглядным. Для этого заметим сначала, что вписанные углы A и D равны, поскольку опираются на одну и ту же дугу. По той же причине равны и вписанные углы C и B . Теперь введём следующие обозначения:

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику CKG , получим

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Воспользовавшись теоремой синусов, применённой к треугольнику AKG , получим

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Воспользовавшись теоремой 1, получим

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Воспользовавшись равенствами (1) и (2), получим

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Проводя совершенно аналогичные рассуждения для треугольников BGL и DGL , получим равенство

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

откуда вытекает равенство

что и завершает доказательство теоремы о бабочке.

Окружность и круг

теория по математике 📈 планиметрия

Определения

Окружность – множество всех точек плоскости, равноудаленных от одной данной точки (центра окружности). Другими словами – это замкнутая линия, длину которой можно измерить.

На рисунке центр окружности обозначен точкой О. Диаметры окружности пересекаются под прямым угломОпределения

Радиус – расстояние от центра до любой точки окружности. На рисунке радиус обозначен АО. Все радиусы одной окружности равны. Радиус можно обозначать латинскими буквами R или r.

Диаметр – отрезок, который соединяет две точки окружности и проходит через её центр. На рисунке диаметр обозначен АВ. Все диаметры одной окружности равны. В одном диаметре содержится два радиуса. Диаметр обозначается буквой d.

Хорда – отрезок, соединяющий две любые точки окружности. На рисунке это отрезок CD.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Свойство хорд

Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Так, на рисунке показаны две пересекающиеся хорды, одна состоит из отрезков a и b, вторая из отрезков d и с, следовательно, ab=dс.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Длина окружности

Длину окружности можно вычислить по формуле:

C=2πR, где π=3,14.

Дуга – часть окружности, которая соединяет две точки. На рисунке мы видим несколько дуг, например, дуги CD (малая и большая). Дуга АВ – называется полуокружностью, так как стягивает концы диаметра. Обозначается дуга значком ∪АВ.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Дуга, касательная, круг, сектор, сегмент

Из точки, не лежащей на окружности можно провести касательную – прямую, которая имеет с окружностью только одну общую точку (рисунок 4).

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Свойства касательной

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

На рисунке видно, что АХ=ВХ, угол АХО равен углу ВХО.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Угол АВС (образован касательной АВ и хордой ВС) равен половине дуги m.

Круг – часть плоскости, ограниченная окружностью. Другими словами, круг – это всё, что находится внутри окружности.

Площадь круга вычисляется по формуле:

S=πR 2 , где π=3,14.

Сектор и его площадь

Сектор – область круга, ограниченная двумя радиусами. На рисунке сектор выделен сиреневым цветом, он ограничен радиусами ОА и ОВ.

Диаметры окружности пересекаются под прямым углом

Площадь кругового сектора вычисляется по формуле:

S= π R 2 360 . . × α , где α – угол между радиусами.

Сегмент – это область круга, ограниченная хордой и дугой. На рисунке сегмент выделен сиреневым цветом. Также можно сказать, что это часть круга, отсекаемая от него хордой. На рисунке видно, как хорда АВ отсекает сегмент.

Поделиться или сохранить к себе: