Олимпиадные задачи на окружность 9 класс (5 видео)

Вспомогательная окружность.
олимпиадные задания по геометрии (9 класс) на тему

В работе представлен материал для учителей математики. Рассказывается о решении задач с помощью вспомогательной окружности. Рассматриваются решения задач различной сложности. Работа интересна в плане подготовки к ЕГЭ и олимпиадам.

Содержание

Скачать:
Предварительный просмотр:
По теме: методические разработки, презентации и конспекты
Олимпиадные задания по математике 9 класс
«Снятие эмоционального напряжения у детей и подростков с помощью арт-практик и психологических упражнений»
Краткое описание документа:
Дистанционное обучение как современный формат преподавания
Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:
Материал подходит для УМК
Дистанционные курсы для педагогов
Другие материалы
Вам будут интересны эти курсы:
Оставьте свой комментарий
Автор материала
Дистанционные курсы для педагогов
Подарочные сертификаты
🌟 Видео

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Скачать:

Вложение	Размер
vspomogatelnaya_okruzhnost.docx	645.17 КБ

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Предварительный просмотр:

Муниципальное автономное общеобразовательное учреждение

«Лицей №14 имени заслуженного учителя Российской Федерации А.М.Кузьмина»

Решение задач с помощью вспомогательной окружности6

Использование дополнительных построений — один из основных способов решения геометрических задач. С помощью дополнительного построения можно значительно упростить даже трудную задачу.

Порой использовать дополнительное построение в задаче не составит проблем , но в задачах повышенной сложности ,его непросто нарисовать: требуется опыт, смекалка и интуиция, чтобы понять что и где нужно провести.

Часто в ЕГЭ в части «В» встречаются планиметрические задачи, которые решить без использования дополнительных построений очень трудно. И в этом очень сильно помогает – вспомогательная окружность. Изучать окружность начинают в 8 классе и продолжают вплоть до 11, и нередко метод вспомогательной окружности используется в высшей математике ,что говорит о важности этого метода в геометрии. Построение вспомогательной окружности помогает установить связь между данными и неизвестными углами или

По определению, окружность – это замкнутая плоская кривая, все точки которой равноудалены от точки (центр), и центр окружности лежит в той же плоскости, что и кривая.

Окружность называют вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри этого многоугольника, и касается всех его сторон.

Описанной окружностью многоугольника называют- окружность, содержащую все вершины многоугольника.

В геометрии существует множество теорем и аксиом связанных с окружностью, однако для того чтобы решить задачу с помощью окружность не обязательно знать их все: существует несколько основных утверждений с помощью которых можно решить практически любую задачу с проведением окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность
В любой треугольник можно вписать окружность
Если сумма противоположных углов в четырёхугольнике 180˚, то в четырёхугольник можно вписать окружность
Если сумма двух противоположных сторон равна сумме двух других противоположных сторон, то вокруг такого четырёхугольника можно описать окружность
Если точки B и C расположены по одну сторону от прямой AD и ABD= ACD, то точки A,B,C,D лежат на одной окружности (рис.1)
Если точки B и D расположены по разные стороны от прямой и притом ABC+ ADC=180˚, то точки A,B,C,D лежат на одной окружности (рис.2).

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ОКРУЖНОСТИ

Задача 1: В прямоугольном треугольнике ABC на катете BC взята произвольная точка F, так что FK перпендикулярна AC. Доказать, что FAK= FBK.

Рассмотрим четырёхугольник ABFK B= FKA=90˚, значит в четырёхугольнике ABFK сумма противоположных углов равна 180˚, а это необходимое и достаточное условие для того, чтобы вокруг четырёхугольника можно было описать окружность. Описав окружность, заметим что FAK и FBK опираются на одну дугу, следовательно они равны.

Задача 2: В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AF,BS,CK, которые пересекаются в точке O. Доказать, что ABS= AFK

Так как AFB и CKB- прямые, то около четырёхугольника OFBK можно описать окружность, взяв BO за периметр. Построив окружность, можно заметить, что ABS= AFK, так как они опираются на одну и ту же дугу.

Задача 3: Доказать, что квадрат биссектрисы треугольник равен разности между произведением заключающих её сторон и произведением отрезков третьей стороны, на которые она делится биссектрисой.

Опишем около треугольника ABC окружность, и продолжим биссектрису BM до пересечения с окружностью в точке D. Обозначим стороны буквами для упрощения вычислений: AB=a, BC=b, MD=s, AM=e, MC=k, BM=l.

По условию ABD= CBD, и ADB= ACB, так как опираются на одну и ту же дугу, из этого следует, что ΔABD

ΔBCM(по 1 признаку), тогда справедливо равенство: ,отсюда следует , а так как e k=l s, то .

Задача 4: В четырёхугольнике ABCD: DCB=100˚, DCA=55˚, ADB=45˚. Чему равен DBA?

BCD= DCB- DCA=45˚, тогда BCD= ADB. Тогда вокруг четырёхугольника ABCD можно описать окружность. И так как DCA и DBA опираются на одну и ту же дугу, то они равны и DBA=55˚.

Задача 5: В треугольнике ABC медиана BM делит B, так что MBC=45˚. Из точки M опущены перпендикуляры MS и MK на стороны AB и BC, MS=6, SK= . Найти площадь ΔSMK?

В четырёхугольнике MSBK MSB+ MKB=180˚ из этого следует что через вершины четырёхугольника MSBK можно описать окружность. Тогда MSB= MBK, так как эти углы опираются на дугу MK, и MSB=45˚ . И тогда площадь треугольника можно найти как половина произведения сторон на синус прилежащего угла. .

Задача 6: Нужно доказать, что 3 высоты в треугольнике пересекаются в одной точке.

Рассмотрим случай, когда треугольник остроугольный.

Проведём в треугольнике ABC две высоты- CK и AM, и прямую BH которая пересекает AC в точке F. Нам нужно доказать, что BFA=90˚.

Так как AKC= AMC=90˚, то точки A,K,M,C- лежат на окружности с диаметром AC.

BKH= BMH= (так как AK и AM перпендикуляры к AB и BC). MBH= HKM так как опираются на одну дугу. ΔCAM

ΔCBF(по 1 признаку): C-общий, MAC= FBC, из этого следует что BFA=90˚.

Если треугольник тупоугольный, к примеру B теперь стал тупым, то в этом случае точка пересечения высот будет находится за пределами треугольника. Рассуждения буду точно такими же, только грубо говоря точки B и H меняются местами.

Для прямоугольного треугольника точка пересечения высот- вершина прямого угла.

Задача 7: Расстояние между основаниями двух высот AK и AF ромба ABCD вдвое меньше диагонали AC. Найти углы ромба.

Так как AKC= AFC, то вокруг четырёхугольника AKCF можно описать окружность, где AC- диаметр, а O- центр окружности. 2KF=AC, из этого следует, что KF=R (где R-радиус окружности). ΔKOF- равносторонний (OK=OF=KF=R), отсюда KOF=60˚. KOF и KAF опираются на одну дугу, где KOF- центральный, а KAF-вписанный, тогда KAF=30˚, C=150˚, B=30˚.

Задача 8: Дан угол в 60˚ с вершиной в точке A и точка K внутри угла. B и C- основания перпендикуляров, опущенных из точки K на стороны угла. KB=5, KC=4,найти AK.

ABK+ ACK=180˚, тогда вокруг четырёхугольника ABKC можно описать окружность, где AK является диаметром (т.к. ABK=90˚). Соединим точки B и C, получим BKC=180˚-60˚=120˚. BC можно найти по теореме косинусов из ΔKBC:

Задача 9: В трапеции ABCD основание BC, диагональ AC и боковая сторона CD равны k. Боковая сторона AB равна q. Найти диагональ BD.

Продолжим BC на расстояние k, так что BE=2k. Тогда окружность с радиусом k и центром в точке C проходит через точки D, A, B. Если BE- диаметр окружности, то ABCD- равнобедренная трапеция и AB=ED=q. BDE=90˚(так как опирается на диаметр). ,тогда

Проанализировав результаты своей работы я пришёл к выводу, что проведение вспомогательной окружности в задачах значительно упрощает её решение. Нередко в B и C частях ЕГЭ встречаются задачи, которые без проведения дополнительных построений решить довольно сложно, и ученики подолгу ломают голову над такими задачами, исписывая при этом не один лист, хотя с помощью окружности решение может занять две строчки.

И.Ф.Шарыгин . Геометрия Дрофа М.: 2007.
И.Ф.Шарыгин . Решение задач. Просвещение. М.: 2007.
И.Г. Габович, Алгоритмический подход к решению геометрических задач, М., «Просвещение», 1996г.
Р.Г. Готман: «Задачи по планиметрии и методы их решения».

Видео:Олимпиадная физика, кинематика: решение задачи на движение по окружности с ускорением | 9–11 классСкачать

По теме: методические разработки, презентации и конспекты

Урок математики в 6-м классе по теме «Окружность. Круг. Длина окружности»

Урок математики в 6-м классе по теме «Окружность. Круг. Длина окружности» лучше проводить в виде практической работы.

Презентация «Длина окружности и длина дуги окружности»

Презентация для интерактивной доски по геометрии в 9 классе.

Урок по теме: «Окружность. Длина окружности».

Цель урока: повторить понятие окружности и круга; вычисление значения числа Пи; ввести понятие длины окружности и формул для вычисления длины окружности.

Презентация и конспект урока по математике в 6 классе «Окружность. Длина окружности»

Урок изучения нового материала. Цель урока формирование практико-ориентированной компетенции при выведении формул длины окружности и их применении при решении задач. Проблемная ситуация создает .

Взаимное расположение прямой и окружности. Касательная к окружности.

Цели и задачи:образовательные – добиться умения самостоятельно формулировать определения понятий: окружность, радиус, диаметр, хорда каждым учащимся, изучить возможности взаимного расположения п.

Метод вспомогательной окружности.

Метод вспомогательной окружности

Презентация содержит необходимые теоремы по теме и примеры использования данных теорем при решении задач.

Видео:Как решать олимпиадные задачи?Скачать

Олимпиадные задания по математике 9 класс

Обращаем Ваше внимание, что в соответствии с Федеральным законом N 273-ФЗ «Об образовании в Российской Федерации» в организациях, осуществляющих образовательную деятельность, организовывается обучение и воспитание обучающихся с ОВЗ как совместно с другими обучающимися, так и в отдельных классах или группах.

Видео:Информатика. Разбор олимпиадных задач. Задача "Окружность"Скачать

«Снятие эмоционального напряжения
у детей и подростков с помощью арт-практик
и психологических упражнений»

Сертификат и скидка на обучение каждому участнику

Олимпиадные задания по математике

Общее время выполнения работы – 3 урока, 135 минут.

Общее максимальное количество баллов — 35 (по 7 баллов за каждое задание).

При каких натуральных n частное выражений ( n +12- n ²) и ( n +3) является натуральным числом?

Автомобиль проехал 600 км. Первую половину пути он двигался со скоростью 100км/ч, а вторую-60км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля.

Докажите, что — целое число и найдите его.

Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Известно, что АВ=СН. Найдите угол АСВ.

В каждой клетке доски 7×7 сидит жук. В какой-то момент времени все жуки взлетают, и после этого каждый из жуков садится в клетку, соседнюю по стороне с той, из которой он взлетел. Докажите, что в какую-то клетку не сядет ни одного жука.

Критерии оценивания заданий

Общее максимальное количество баллов — 35 (по 7 баллов за каждое задание).

Задание №1. При каких натуральных n частное выражений ( n +12- n ²) и ( n +3) является натуральным числом?

Решение. Разложим на множители многочлен n +12- n ²=( n +3)(4- n ), сократим на ( n +3), получим выражение (4- n ). Оно будет являться натуральным числом при n равном 1, 2, 3.

Задание №2. Автомобиль проехал 600 км. Первую половину пути он двигался со скоростью 100км/ч, а вторую-60км/ч. Найдите среднюю скорость движения автомобиля.

Решение. Средняя скорость равна отношению общего расстояния на общее время. Каждая половина пути составляет 300 км.

300:100=3(ч)-время, затраченное на первую половину пути;

300:60=5(ч)-время, затраченное на вторую половину пути;

3+5=8(ч)-общее время движения;

600:8=75(км/ч)-средняя скорость движения автомобиля на всем участке.

Задание №3. Докажите, что — целое число и найдите его.

Решение. 1 способ . Возведём выражение в квадрат
) 2 = = 8 2 = 8 . Тогда = 2

2 способ . Представим подкоренные выражения в виде квадратов соответственно суммы и разности: 2

Задание №4. Высоты остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке Н. Известно, что АВ=СН. Найдите угол АСВ.

Решение. Пусть D – основание высоты , опущенной из вершины А на сторону ВС (рис.) Углы НСВ и D АВ равны как острые углы с взаимно перпендикулярными сторонами. Следовательно, ∆СН D =∆АВ D (по гипотенузе и острому углу). Поэтому С D =А D , т.е. треугольник АС D равнобедренный и прямоугольный, следовательно, угол АСВ равен 45 º.

Критерии оценивания задания №4

Приведено полное обоснованное решение и получен верный ответ.

Приведены верные рассуждения, являющиеся решением задачи. Имеются небольшие недочеты, в целом не влияющие на решение. Или полное верное решение, но не записан ответ.

Приведено решение задачи при отсутствии обоснований: указаны все промежуточные выводы без указания связей между ними (ссылок на признаки, свойства или определения), записан верный ответ

Приведено схематичное решение задачи при отсутствии обоснований: указаны все промежуточные выводы без указания связей между ними (ссылок на признаки, свойства или определения), ответ не записан.

Сделаны дополнительные построения и обозначения на чертеже, из которых ясен ход решения, дан верный ответ, но не приведены сами рассуждения.

Приведен только верный ответ.

Приведено неверное решение или оно отсутствует.

Задание №5. В каждой клетке доски 7×7 сидит жук. В какой-то момент времени все жуки взлетают, и после этого каждый из жуков садится в клетку, соседнюю по стороне с той, из которой он взлетел. Докажите, что в какую-то клетку не сядет ни одного жука.

Решение. Рассмотрим шахматную раскраску доски в черный и белый цвета.

Тогда у нас 25 клеток покрашены в черный цвет, а 24 – в белый. Заметим, что жук, взлетевший с белой клетки, сядет на черную клетку, а взлетевший с черной клетки – на белую. Но с белых клеток взлетело 24 жука, и они не смогут сесть на 25 клеток.

Краткое описание документа:

Задания для проведения олимпиады по математике предназначены для учащихся 9 класса средней общеобразовательной школы. Их можно использовать при проведении занятий как после уроков так и в качестве дополнительных заданий для учащихся интересующихся математикой. Очень полезными заданиями будут при проведении олимпиад различного уровня.

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

Сейчас обучается 934 человека из 79 регионов

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

Сейчас обучается 312 человек из 67 регионов

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

Сейчас обучается 688 человек из 75 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Найдите материал к любому уроку, указав свой предмет (категорию), класс, учебник и тему:

5 491 348 материалов в базе

Материал подходит для УМК

«Алгебра», Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г., Нешков К.И. и др. / Под ред. Теляковского С.А.

§ 4. Степенная функция. Корень n-й степени

Видео:Углы, вписанные в окружность. 9 класс.Скачать

Дистанционные курсы для педагогов

Другие материалы

30.08.2020
90

30.08.2020
105

30.08.2020
89

30.08.2020
216

30.08.2020
157

27.08.2020
112

27.08.2020
110

22.08.2020
220

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Добавить в избранное

03.09.2020 4562 —> —> —> —>
DOCX 337.2 кбайт —> —>
Рейтинг: 5 из 5
Оцените материал:

Настоящий материал опубликован пользователем Губина Ольга Алексеевна. Инфоурок является информационным посредником и предоставляет пользователям возможность размещать на сайте методические материалы. Всю ответственность за опубликованные материалы, содержащиеся в них сведения, а также за соблюдение авторских прав несут пользователи, загрузившие материал на сайт

Если Вы считаете, что материал нарушает авторские права либо по каким-то другим причинам должен быть удален с сайта, Вы можете оставить жалобу на материал.

Автор материала

На сайте: 6 лет и 1 месяц
Подписчики: 0
Всего просмотров: 34762
Всего материалов: 19

Московский институт профессиональной
переподготовки и повышения
квалификации педагогов

Видео:Длина окружности. 9 класс.Скачать

Дистанционные курсы
для педагогов

663 курса от 690 рублей

Выбрать курс со скидкой

Выдаём документы
установленного образца!

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Школы Сургута переведут на дистанционное обучение с 24 января

Время чтения: 1 минута

Более 800 вузов проведут прием через суперсервис

Время чтения: 1 минута

В Роспотребнадзоре заявили о широком распространении COVID-19 среди детей

Время чтения: 1 минута

«Учителя года» проведут открытые занятия для педагогов России

Время чтения: 1 минута

Минспорта утвердило программу подготовки киберспортсменов

Время чтения: 1 минута

В России утвердили новые правила аккредитации образовательных учреждений

Время чтения: 1 минута

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.