Окружности касаются внутренним образом третья окружность (6 видео)

Задача 10508 Две окружности касаются внутренним.

Содержание

Условие
Решение
Окружности касаются внутренним образом третья окружность
Окружности касаются внутренним образом третья окружность
💡 Видео

Условие

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 3 и 2.

Решение

Обозначим центр большой окружности О, её радиус R. Центр окружности, касающейся большой окружности внутренним образом Q, радиус r,центр третьей окружности, касающейся этих двух Р, радиус х.
См. рисунок.
а)Рассмотрим треугольник POQ.
Прямая, соединяющая центры касающихся окружностей проходит через точку касания.
АВ- линия центров окружностей, касающихся внутренним образом, проходит через точки О и Q.
AB=2R; CD=2r ⇒ OQ=R-r.
РО=R-x
PQ=x+r.
Р(Δ PQO)=PQ+QO+PO=R-x+R-r+x+r=2R

б)Рассматриваем два прямоугольных треугольника.
МРО и МРQ.
М- точка касания третьей окружности с линией центров первых двух.
Значит РМ⊥АВ.
Находим МО по теореме Пифагора из Δ МРО:
МО^2=PO^2-PM^2=(R-x)^2-x^2 ⇒
МО= sqrt((R-x)^2-x^2)
Находим МО по теореме Пифагора из Δ МРО:
МQ^2=PQ^2-PM^2=(r+x)^2-x^2 ⇒
МQ= sqrt((r+x)^2-x^2)
Так как MQ=MO+OQ, приравнивая получаем иррациональное уравнение:
sqrt((r+x)^2-x^2)=sqrt((R-x)^2-x^2)+ (R-r).
При R=3; r=2
sqrt((2+x)^2-x^2)=sqrt((3-x)^2-x^2)+ 1.
Возводим в квадрат.
(2+x)^2-x^2=(3-x)^2-x^2+2sqrt((3-x)^2-x^2)+1;
2sqrt((3-x)^2-x^2)=10х-6;
sqrt((3-x)^2-x^2)=5х-3.
Возводим в квадрат.
(3-х)^2-x^2=25x^2-30x+9;
25x^2-24x=0
x=0,96 или х=0- не удовл. условию задачи
О т в е т. 0,96

Видео:Геометрия Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причем меньшая окружность проходитСкачать

Окружности касаются внутренним образом третья окружность

2021-11-23
Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.
а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трёх окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.
б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.

а) Пусть $AB$ — диаметр большей из трёх окружностей (рис.1), $O$ — её центр, $O_$ — центр окружности радиуса $r$, касающейся окружности с диаметром $AB$ в точке $A$, $O_$ — центр окружности радиуса $R$, касающейся окружности с диаметром $AB$ в точке $C$, окружности с центром $O_$ — в точке $D$, отрезка $AB$ — в точке $E$.
Точки $O$, $O_$ и $C$ лежат на одной прямой, поэтому $OO_=OC-O_C=OC-R$. Аналогично $OO_=OA-O_A=OA-r$ и $O_O_=O_D+O_D=r+R$. Следовательно, периметр треугольника $OO_O_$ равен

б) Пусть $OA=6$, $r=2$. Тогда

Из прямоугольных треугольников $O_O_E$ и $OO_E$ находим, что

Если точка $E$ лежит на отрезке $OB$ (рис.2), то $O_E=OO_+OE$, или $sqrt=4+sqrt$. Из этого уравнения находим, что $R=3$ (это значит, что диаметр искомой окружности равен радиусу наибольшей из трёх окружностей, т.е. точка $E$ совпадает с $O$).
Если точка $E$ лежит на отрезке $OA$, то аналогично получим тот же результат.

Видео:Задача. Две окружности касаются внутренним образом.Скачать

Окружности касаются внутренним образом третья окружность

Задание С4 (Семенов, Ященко, Высоцкий, ЕГЭ по математике 2014)

Две окружности касаются внутренним образом. Третья окружность касается первых двух и их линии центров.

а) Докажите, что периметр треугольника с вершинами в центрах трех окружностей равен диаметру наибольшей из этих окружностей.

б) Найдите радиус третьей окружности, если известно, что радиусы первых двух равны 6 и 2.