Какими свойствами обладает вписанная в равнобедренную трапецию окружность?
1. В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда суммы длин её противоположных сторон равны.
То есть, в трапецию ABCD можно вписать окружность, если AD+BC=AB+CD.
И обратно, если для трапеции ABCD верно равенство AD+BC=AB+CD, то в неё можно вписать окружность.
Таким образом, если трапеция ABCD — равнобедренная, AD||BC, то её боковые стороны равны полусумме оснований:
2. Отсюда, по свойству средней линии трапеции, боковые стороны равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равны её средней линии.
Если MN —
3. Высота равнобедренной трапеции, в которую можно вписать окружность, равна среднему пропорциональному (среднему геометрическому) между её основаниями.
По свойству равнобедренной трапеции,
Из прямоугольного треугольника ABF по теореме Пифагора
4. Так как радиус вписанной в трапецию окружности равен половине высоты трапеции, то для равнобедренной трапеции верно равенство
5. В равнобедренной трапеции точки касания делят стороны на две группы равных отрезков.
6. Центр вписанной в равнобедренную трапецию окружности — точка пересечения её биссектрис.
Таким образом, в трапеции ABCD, AD||BC, CO и DO — биссектрисы углов ADC и BCD,
- Задача 4 (описанный четырехугольник).
- Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции
- Признаки равнобедренной трапеции
- Основные свойства равнобедренной трапеции
- Стороны равнобедренной трапеции
- Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:
- Средняя линия равнобедренной трапеции
- Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:
- Высота равнобедренной трапеции
- Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:
- Диагонали равнобедренной трапеции
- Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:
- Площадь равнобедренной трапеции
- Формулы площади равнобедренной трапеции:
- Окружность описанная вокруг трапеции
- Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
- 🔍 Видео
Видео:Геометрия Равнобокая трапеция вписана в окружность, центр которой принадлежит одному из основанияСкачать
Задача 4 (описанный четырехугольник).
В равнобедренную трапецию АВСD с основаниями AD и ВС вписана окружность, СН – высота трапеции.
а) Доказать, что центр окружности, вписанной в трапецию, лежит на отрезке ВН.
|
б) Найдите диагональ АС, если известно, что средняя линия трапеции равна 
, а угол AOD равен 135°, где О – центр окружности, вписанной в трапецию, AD – большее основание.
а) 1) Пусть точки K и L – точки касания окружности оснований трапеции, тогда
2) ΔBOK=ΔHOL по катету(см. пункт 1) и острому углу (углы OBK и LHO равны как накрест лежащие при BC II AD и секущей BH. Поэтому ВО = ОН.
3) Центр вписанной в трапецию окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов трапеции. Данная трапеция ABCD – равнобедренная, поэтому углы ОВК и ОСК равны. Значит, треугольники ΔВОК и ΔСОК равны (по катету и острому углу)
4) Из 2) и 3) следует, что ВО=ОС=ОН. Точка О равноудалена от вершин прямоугольного треугольника ΔВСН. О – центр описанной около треугольника окружности. Следовательно О принадлежит ВН (его середина). Пункт а) доказан.
б) Для доказательства пункта б) сделаем дополнительный чертеж
1) Пусть MN – средняя линия трапеции. Точка О принадлежит MN и О – её середина, поэтому МО = 
2) АО – биссектриса, углы МАО и RAO равны, углы RAO и МОА раны как накрест лежащие. ΔАМО – равнобедренный, АМ=МО= . Тогда АВ = 2АМ=
3) ∠AOD=135° (по условию), ∠OAD+∠ODA=45°. Значит, ∠BAD=∠CDA=45°. Пусть BR перпендикулярен AD. BR = AR= 
4) Пусть CD1 II BD и точка D1 лежит на прямой AD. Четырехугольник ВСD1D – параллелограмм. CD1=BD (противоположные стороны), BD=AC(диагонали равнобедренной трапеции). Тогда СD1=BD=AC.
5) 
1 – равнобедренный, AD1 – основание. АD1=AD+DD1=AD+BC=2MN=2 . CH=BR= . По теореме Пифагора из ΔCHА: AC= 
= 
2 = 
= 3
Задача 5
В треугольнике АВС угол ВАС равен 60 ° , угол АВС равен 45 ° . Продолжения высот треугольника АВС пересекают описанную около него окружность в точках M, N, P.
а) Докажите, что треугольник MNP прямоугольный.
б) Найдите площадь треугольника MNP, если ВС=12.
Повторить. Свойство вписанных углов; теорему синусов.
а) Пусть продолжения высот треугольника АВС, проведенных из вершин А, В и С, пересекают описанную около него окружность в точках M, N и P соответственно.
Тогда вписанные углы PNB и PCB опираются на одну и ту же дугу, поэтому 
Аналогично, 
Следовательно, треугольник MNP прямоугольный. Пункт а) доказан.
б) Угол MNA равен углу NBA , угол APM равен углу ACP (вписанные углы, опирающиеся на одну дугу). 
Тогда
Следовательно, 
= 30 ° .
Пусть R – радиус описанной окружности треугольника АВС. По теореме синусов
Тогда 
= 
Следовательно,
Ответ: 
Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать
Равнобедренная трапеция. Формулы, признаки и свойства равнобедренной трапеции
 |
| Рис.1 |
Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать
Признаки равнобедренной трапеции
∠ABC = ∠BCD и ∠BAD = ∠ADC
∠ABD = ∠ACD, ∠DBC = ∠ACB, ∠CAD = ∠ADB, ∠BAC = ∠BDC
∠ABC + ∠ADC = 180° и ∠BAD + ∠BCD = 180°
Видео:Окружность, вписанная в трапециюСкачать
Основные свойства равнобедренной трапеции
∠ABC + ∠BAD = 180° и ∠ADC + ∠BCD = 180°
AC 2 + BD 2 = AB 2 + CD 2 + 2BC · AD
9. Высота (CP), опущенная из вершины (C) на большее основание (AD), делит его на большой отрезок (AP), который равен полусумме оснований и меньший (PD) — равен полуразности оснований:
| AP = | BC + AD |
| 2 |
| PD = | AD — BC |
| 2 |
Видео:Трапеция в окружности. Задача Шаталова.Скачать
Стороны равнобедренной трапеции
Формулы длин сторон равнобедренной трапеции:
a = b + 2 h ctg α = b + 2 c cos α
b = a — 2 h ctg α = a — 2 c cos α
| c = | h | = | a — b |
| sin α | 2 cos α |
2. Формула длины сторон трапеции через диагонали и другие стороны:
| a = | d 1 2 — c 2 | b = | d 1 2 — c 2 | c = √ d 1 2 — ab |
| b | a |
3. Формулы длины основ через площадь, высоту и другую основу:
| a = | 2S | — b b = | 2S | — a |
| h | h |
4. Формулы длины боковой стороны через площадь, среднюю линию и угол при основе:
| с = | S |
| m sin α |
5. Формулы длины боковой стороны через площадь, основания и угол при основе:
| с = | 2S |
| ( a + b ) sin α |
Видео:Задание 26 Равнобедренная трапеция Окружности, вписанные в треугольникиСкачать
Средняя линия равнобедренной трапеции
Формулы длины средней линии равнобедренной трапеции:
m = a — h ctg α = b + h ctg α = a — √ c 2 — h 2 = b + √ c 2 — h 2
2. Формула средней линии трапеции через площадь и сторону:
| m = | S |
| c sin α |
Видео:Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать
Высота равнобедренной трапеции
Формулы определения длины высоты равнобедренной трапеции:
1. Формула высоты через стороны:
| h = | 1 | √ 4 c 2 — ( a — b ) 2 |
| 2 |
2. Формула высоты через стороны и угол прилегающий к основе:
| h = | a — b | tg β | = c sin β |
| 2 |
Видео:Задание 26 Равнобедренная трапеция Окружность, вписанная в треугольникСкачать
Диагонали равнобедренной трапеции
Формулы длины диагоналей равнобедренной трапеции:
d 1 = √ a 2 + c 2 — 2 ac cos α
d 1 = √ b 2 + c 2 — 2 bc cos β
4. Формула длины диагонали через высоту и основания:
| d 1 = | 1 | √ 4 h 2 + ( a + b ) 2 |
| 2 |
Видео:Окружность, вписанная в трапецию.A circle inscribed in a trapezoid.Скачать
Площадь равнобедренной трапеции
Формулы площади равнобедренной трапеции:
1. Формула площади через стороны:
| S = | a + b | √ 4 c 2 — ( a — b ) 2 |
| 4 |
2. Формула площади через стороны и угол:
S = ( b + c cos α ) c sin α = ( a — c cos α ) c sin α
3. Формула площади через радиус вписанной окружности и угол между основой и боковой стороной:
| S = | 4 r 2 | = | 4 r 2 |
| sin α | sin β |
4. Формула площади через основания и угол между основой и боковой стороной:
| S = | ab | = | ab |
| sin α | sin β |
5. Формула площади ранобедренной трапеции в которую можно вписать окружность:
S = ( a + b ) · r = √ ab ·c = √ ab ·m
6. Формула площади через диагонали и угол между ними:
| S = | d 1 2 | · sin γ | = | d 1 2 | · sin δ |
| 2 | 2 |
7. Формула площади через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании:
S = mc sin α = mc sin β
8. Формула площади через основания и высоту:
| S = | a + b | · h |
| 2 |
Видео:В равнобедренную трапецию вписана окружность, средняя линия трапеции 3, диагональ 5. Найти высоту трСкачать
Окружность описанная вокруг трапеции
Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:
1. Формула радиуса через стороны и диагональ:
| R = | a·c·d 1 |
| 4√ p ( p — a )( p — c )( p — d 1) |
где
| p = | a + c + d 1 |
| 2 |
a — большее основание
Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!
Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.
🔍 Видео
Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать
КАК найти площадь трапеции? Геометрия 8 класс | МатематикаСкачать
ОГЭ Задача 26 Окружность в трапецииСкачать
Вписанная и описанная трапеции. КлассикаСкачать
Трапеция и вписанная окружностьСкачать
Планиметрия 38 | mathus.ru | окружность вписана в равнобедрунную трапецию | отношение площадейСкачать
ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать
В равнобедренной трапеции основания равны 2 и 8 ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 11 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать
В равнобедренную трапецию, периметр которой равен 180, а площадьравна 1620, можно вписать...Скачать
Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать
