Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Окружность S проходит через вершину C прямого угла и пресекает его стороны в точках, удаленных от вершины C на расстояния 6 и 8. Найдите радиус окружности, вписанной в данный угол и касающийся окружности S.

Пусть окружность S с центром O и радиусом R пересекает стороны данного прямого угла в точках A и B, AC = 8, BC = 6, искомая окружность с центром Q касается сторон и BC угла ACB в точках N и K соответственно, а окружности S — в точке M.

Точка O — центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника ABC, поэтому O — середина его гипотенузы AB.

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Линия центров двух касающихся окружностей проходит через точку их касания, поэтому точки M, O и Q лежат на одной прямой. Опустим перпендикуляр OH из центра окружности S на прямую BC. Тогда OH — средняя линия треугольника ABC поэтому Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузыи Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузыа так как центр окружности, вписанной в угол, лежит на его биссектрисе, то ∠QCK = 45°, поэтому CK = QK = r.

Опустим перпендикуляр QF из центра искомой окружности на прямую OH. Тогда

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Предположим, что искомая окружность и окружность касаются внутренним образом. Тогда

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Рассмотрим прямоугольный треугольник OFQ. По теореме Пифагора OQ 2 = OF 2 + QF 2 или

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузыоткуда находим, что Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Если же искомая окружность касается данной внешним образом, то

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Тогда из соответствующего уравнения (5 + r) 2 = (4 − r) 2 + (r − 3) 2 находим, что r = 24.

Содержание
  1. Касательная к окружности
  2. Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница
  3. Свойства касательной к окружности
  4. Задача
  5. Задача 1
  6. Задача 2
  7. Задача 1
  8. Задача 2
  9. Задача 1
  10. Задача 2
  11. Окружность радиуса R касается гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника в вершине его острого угла и проходит через вершину прямого угла?
  12. Найдите длину окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с гипотенузой С и острым углом а?
  13. Найдите длину окружности вписанной в прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом а?
  14. В прямоугольном треугольнике длины медиан, исходящих из вершин острых углов равны 15 и ?
  15. Медиана, проведенная из вершины прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника ABC , равна 2 см ?
  16. Длина общей гипотенузы двух равнобедренных прямоугольных треугольников равна 6 дм?
  17. 1. Докажите, что высоты проведенные из вершин острых углов равнобедренного тупоугольно треугольника, равны?
  18. В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 12 найдите длину медианы, проведенной из вершины прямого угла?
  19. Окружность касается одного из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника и проходит через вершину противолежащего острого угла?
  20. В прямоугольном треугольнике высота проведенная из вершины прямого угла делит гипотенузу на отрезки 9 и 16 найдите радиус окружности вписанной в этот треугольник?
  21. В прямоугольном треугольнике высота проведенная из вершины прямого угла делит гипотенузу на отрезки 9 и 16 найдите радиус окружности вписанной в этот треугольник?
  22. 🎦 Видео

Видео:№155. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника ABCСкачать

№155. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника ABC

Касательная к окружности

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

О чем эта статья:

Видео:Геометрия Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершинуСкачать

Геометрия Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершину

Касательная к окружности, секущая и хорда — в чем разница

В самом названии касательной отражается суть понятия — это прямая, которая не пересекает окружность, а лишь касается ее в одной точке. Взглянув на рисунок окружности ниже, несложно догадаться, что точку касания от центра отделяет расстояние, в точности равное радиусу.

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Касательная к окружности — это прямая, имеющая с ней всего одну общую точку.

Если мы проведем прямую поближе к центру окружности — так, чтобы расстояние до него было меньше радиуса — неизбежно получится две точки пересечения. Такая прямая называется секущей, а отрезок, расположенный между точками пересечения, будет хордой (на рисунке ниже это ВС ).

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Секущая к окружности — это прямая, которая пересекает ее в двух местах, т. е. имеет с ней две общие точки. Часть секущей, расположенная внутри окружности, будет называться хордой.

Видео:Геометрия Окружность центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного треугольника касаетсяСкачать

Геометрия Окружность центр которой принадлежит гипотенузе прямоугольного треугольника касается

Свойства касательной к окружности

Выделяют четыре свойства касательной, которые необходимо знать для решения задач. Два из них достаточно просты и легко доказуемы, а вот еще над двумя придется немного подумать. Рассмотрим все по порядку.

Касательная к окружности и радиус, проведенный в точку касания, взаимно перпендикулярны.

Не будем принимать это на веру, попробуем доказать. Итак, у нас даны:

  • окружность с центральной точкой А;
  • прямая а — касательная к ней;
  • радиус АВ, проведенный к касательной.

Докажем, что касательная и радиус АВ взаимно перпендикулярны, т.е. аАВ.

Пойдем от противного — предположим, что между прямой а и радиусом АВ нет прямого угла и проведем настоящий перпендикуляр к касательной, назвав его АС.

В таком случае наш радиус АВ будет считаться наклонной, а наклонная, как известно, всегда длиннее перпендикуляра. Получается, что АВ > АС. Но если бы это было на самом деле так, наша прямая а пересекалась бы с окружностью два раза, ведь расстояние от центра А до нее — меньше радиуса. Но по условию задачи а — это касательная, а значит, она может иметь лишь одну точку касания.

Итак, мы получили противоречие. Делаем вывод, что настоящим перпендикуляром к прямой а будет вовсе не АС, а АВ.

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Курсы подготовки к ОГЭ по математике от Skysmart придадут уверенности в себе и помогут освежить знания перед экзаменом.

Задача

У нас есть окружность, центр которой обозначен О. Из точки С проведена прямая, и она касается этой окружности в точке А. Известно, что ∠АСО = 28°. Найдите величину дуги АВ.

Мы знаем, что касательная АС ⟂ АО, следовательно ∠САО = 90°.

Поскольку нам известны величины двух углов треугольника ОАС, не составит труда найти величину и третьего угла.

∠АОС = 180° — ∠САО — ∠АСО = 180° — 90° — 28° = 62°

Поскольку вершина угла АОС лежит в центре окружности, можно вспомнить свойство центрального угла — как известно, он равен дуге, на которую опирается. Следовательно, АВ = 62°.

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Если провести две касательных к окружности из одной точки, лежащей вне этой окружности, то их отрезки от этой начальной точки до точки касания будут равны.

Докажем и это свойство на примере. Итак, у нас есть окружность с центром А, давайте проведем к ней две касательные из точки D. Обозначим эти прямые как ВD и CD . А теперь выясним, на самом ли деле BD = CD.

Для начала дополним наш рисунок, проведем еще одну прямую из точки D в центр окружности. Как видите, у нас получилось два треугольника: ABD и ACD . Поскольку мы уже знаем, что касательная и радиус к ней перпендикулярны, углы ABD и ACD должны быть равны 90°.

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Итак, у нас есть два прямоугольных треугольника с общей гипотенузой AD. Учитывая, что радиусы окружности всегда равны, мы понимаем, что катеты AB и AC у этих треугольников тоже одинаковой длины. Следовательно, ΔABD = ΔACD (по катету и гипотенузе).. Значит, оставшиеся катеты, а это как раз наши BD и CD (отрезки касательных к окружности), аналогично равны.

Важно: прямая, проложенная из стартовой точки до центра окружности (в нашем примере это AD), делит угол между касательными пополам.

Задача 1

У нас есть окружность с радиусом 4,5 см. К ней из точки D, удаленной от центра на 9 см, провели две прямые, которые касаются окружности в точках B и C. Определите градусную меру угла, под которым пересекаются касательные.

Решение

Для этой задачи вполне подойдет уже рассмотренный выше рисунок окружности с радиусами АВ и АC. Поскольку касательная ВD перпендикулярна радиусу АВ , у нас есть прямоугольный треугольник АВD. Зная длину его катета и гипотенузы, определим величину ∠BDA.

∠BDA = 30° (по свойству прямоугольного треугольника: угол, лежащий напротив катета, равного половине гипотенузы, составляет 30°).

Мы знаем, что прямая, проведенная из точки до центра окружности, делит угол между касательными, проведенными из этой же точки, пополам. Другими словами:

∠BDC = ∠BDA × 2 = 30° × 2 = 60°

Итак, угол между касательными составляет 60°.

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Задача 2

К окружности с центром О провели две касательные КМ и КN. Известно, что ∠МКN равен 50°. Требуется определить величину угла ∠NМК.

Решение

Согласно вышеуказанному свойству мы знаем, что КМ = КN. Следовательно, треугольник МNК является равнобедренным.

Углы при его основании будут равны, т.е. ∠МNК = ∠NМК.

∠МNК = (180° — ∠МКN) : 2 = (180° — 50°) : 2 = 65°

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Соотношение между касательной и секущей: если они проведены к окружности из одной точки, лежащей вне окружности, то квадрат расстояния до точки касания равен произведению длины всей секущей на ее внешнюю часть.

Данное свойство намного сложнее предыдущих, и его лучше записать в виде уравнения.

Начертим окружность и проведем из точки А за ее пределами касательную и секущую. Точку касания обозначим В, а точки пересечения — С и D. Тогда CD будет хордой, а отрезок AC — внешней частью секущей.

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Задача 1

Из точки М к окружности проведены две прямые, пусть одна из них будет касательной МA, а вторая — секущей МB. Известно, что хорда ВС = 12 см, а длина всей секущей МB составляет 16 см. Найдите длину касательной к окружности МA.

Решение

Исходя из соотношения касательной и секущей МА 2 = МВ × МС.

Найдем длину внешней части секущей:

МС = МВ — ВС = 16 — 12 = 4 (см)

МА 2 = МВ × МС = 16 х 4 = 64

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Задача 2

Дана окружность с радиусом 6 см. Из некой точки М к ней проведены две прямые — касательная МA и секущая МB . Известно, что прямая МB пересекает центр окружности O. При этом МB в 2 раза длиннее касательной МA . Требуется определить длину отрезка МO.

Решение

Допустим, что МО = у, а радиус окружности обозначим как R.

В таком случае МВ = у + R, а МС = у – R.

Поскольку МВ = 2 МА, значит:

МА = МВ : 2 = (у + R) : 2

Согласно теореме о касательной и секущей, МА 2 = МВ × МС.

(у + R) 2 : 4 = (у + R) × (у — R)

Сократим уравнение на (у + R), так как эта величина не равна нулю, и получим:

Поскольку R = 6, у = 5R : 3 = 30 : 3 = 10 (см).

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Ответ: MO = 10 см.

Угол между хордой и касательной, проходящей через конец хорды, равен половине дуги, расположенной между ними.

Это свойство тоже стоит проиллюстрировать на примере: допустим, у нас есть касательная к окружности, точка касания В и проведенная из нее хорда . Отметим на касательной прямой точку C, чтобы получился угол AВC.

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Задача 1

Угол АВС между хордой АВ и касательной ВС составляет 32°. Найдите градусную величину дуги между касательной и хордой.

Решение

Согласно свойствам угла между касательной и хордой, ∠АВС = ½ АВ.

АВ = ∠АВС × 2 = 32° × 2 = 64°

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Задача 2

У нас есть окружность с центром О, к которой идет прямая, касаясь окружности в точке K. Из этой точки проводим хорду KM, и она образует с касательной угол MKB, равный 84°. Давайте найдем величину угла ОMK.

Решение

Поскольку ∠МКВ равен половине дуги между KM и КВ, следовательно:

КМ = 2 ∠МКВ = 2 х 84° = 168°

Обратите внимание, что ОМ и ОK по сути являются радиусами, а значит, ОМ = ОК. Из этого следует, что треугольник ОMK равнобедренный.

∠ОКМ = ∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2

Так как центральный угол окружности равен угловой величине дуги, на которую он опирается, то:

∠ОМК = (180° — ∠КОМ) : 2 = (180° — 168°) : 2 = 6°

Видео:16 задание ОГЭ математика 2023 | УмскулСкачать

16 задание ОГЭ математика 2023 | Умскул

Окружность радиуса R касается гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника в вершине его острого угла и проходит через вершину прямого угла?

Геометрия | 10 — 11 классы

Окружность радиуса R касается гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника в вершине его острого угла и проходит через вершину прямого угла.

Найдите длину дуги, заключенной внутри треугольника, если R = 8 /.

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Поскольку окружность КАСАЕТСЯ гипотенузы АС треугольника в вершине его острого угла С, то радиус ОС перпендикулярен АС.

Это значит, что угол ОСА = 90 градусам.

Поскольку сумма углов треугольника равна 180 градусам, угол АВС прямой из условий задачи,

то сумма углов АСВ и ВАС равна 90 градусам.

Треугольник АВС равнобедренный, т.

Е. углы АСВ и ВАС равны между собой, и каждый из них равен = 90 градусов / 2 = 45 градусам.

Угол ОСВ = угол ОСА — угол АСВ = 90 градусов — 45 градусов = 45 градусов.

ОВ — также радиус окружности, т.

К. точка В лежит на окружности.

Треугольник ОСВ — равнобедренный.

Из равнобедренности следует, что если угол ОСВ = 45 градусов, то и угол СВО также равен 45 градусов.

Угол ВОС равен 90 градусов, т.

К. сумма углов треугольника равна 180 градусов.

Поскольку ВОС равен 90 градусов, то длина дуги между точками В и С равна четверти длины окружности

Длина окружности lокр = 2 * пи * R = 2 * пи * (8 / пи) = 16

длина дуги lдуги = lокр / 4 = 4.

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Видео:Окружность с центром на стороне AС треугольника ABC проходит через вершину С и касается прямой AB вСкачать

Окружность с центром на стороне AС треугольника ABC проходит через вершину С  и касается прямой AB в

Найдите длину окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с гипотенузой С и острым углом а?

Найдите длину окружности, вписанной в прямоугольный треугольник с гипотенузой С и острым углом а.

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Видео:ЗАДАЧА - ПРОСТО ОТДЫХ КАКОЙ-ТО!Скачать

ЗАДАЧА - ПРОСТО ОТДЫХ КАКОЙ-ТО!

Найдите длину окружности вписанной в прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом а?

Найдите длину окружности вписанной в прямоугольный треугольник с гипотенузой с и острым углом а?

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Видео:Окружность касается! И ВСЕХ КАСАЕТСЯ!Скачать

Окружность касается! И ВСЕХ КАСАЕТСЯ!

В прямоугольном треугольнике длины медиан, исходящих из вершин острых углов равны 15 и ?

В прямоугольном треугольнике длины медиан, исходящих из вершин острых углов равны 15 и .

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Видео:ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычислениеСкачать

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление

Медиана, проведенная из вершины прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника ABC , равна 2 см ?

Медиана, проведенная из вершины прямого угла равнобедренного прямоугольного треугольника ABC , равна 2 см .

Найдите гипотенузу и катеты этого треугольника .

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Видео:ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.Скачать

ОГЭ. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.

Длина общей гипотенузы двух равнобедренных прямоугольных треугольников равна 6 дм?

Длина общей гипотенузы двух равнобедренных прямоугольных треугольников равна 6 дм.

Если плоскости треугольников перпендикулярны, то найдите рассотяние между вершинами их прямых углов.

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Видео:ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностейСкачать

ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностей

1. Докажите, что высоты проведенные из вершин острых углов равнобедренного тупоугольно треугольника, равны?

1. Докажите, что высоты проведенные из вершин острых углов равнобедренного тупоугольно треугольника, равны.

2. Докажите, что в прямоугольном треугольнике медиана, проведенная из вершины прямого угла, равна половине гипотенузы.

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Видео:ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ + ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ!Скачать

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ + ПРАВИЛА ОФОРМЛЕНИЯ!

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 12 найдите длину медианы, проведенной из вершины прямого угла?

В прямоугольном треугольнике с гипотенузой 12 найдите длину медианы, проведенной из вершины прямого угла.

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Видео:№ 23 ОГЭ - окружности. Часть 2! Задача, где половина успеха - это правильно нарисованный чертеж.Скачать

№ 23 ОГЭ - окружности. Часть 2! Задача, где половина успеха - это правильно нарисованный чертеж.

Окружность касается одного из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника и проходит через вершину противолежащего острого угла?

Окружность касается одного из катетов равнобедренного прямоугольного треугольника и проходит через вершину противолежащего острого угла.

Найти радиус окружности, если ее центр лежит на гипотенузе, длина которой равна (1 + корень из 2) : 4.

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Видео:Окружность касается. Красота неземная! ЕГЭ, ЦТ, ЗНО!Скачать

Окружность касается. Красота неземная! ЕГЭ, ЦТ, ЗНО!

В прямоугольном треугольнике высота проведенная из вершины прямого угла делит гипотенузу на отрезки 9 и 16 найдите радиус окружности вписанной в этот треугольник?

В прямоугольном треугольнике высота проведенная из вершины прямого угла делит гипотенузу на отрезки 9 и 16 найдите радиус окружности вписанной в этот треугольник.

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Видео:ОГЭ 2021. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.Скачать

ОГЭ 2021. Задание 24. Геометрическая задача на вычисление.

В прямоугольном треугольнике высота проведенная из вершины прямого угла делит гипотенузу на отрезки 9 и 16 найдите радиус окружности вписанной в этот треугольник?

В прямоугольном треугольнике высота проведенная из вершины прямого угла делит гипотенузу на отрезки 9 и 16 найдите радиус окружности вписанной в этот треугольник.

На этой странице сайта вы найдете ответы на вопрос Окружность радиуса R касается гипотенузы равнобедренного прямоугольного треугольника в вершине его острого угла и проходит через вершину прямого угла?, относящийся к категории Геометрия. Сложность вопроса соответствует базовым знаниям учеников 10 — 11 классов. Для получения дополнительной информации найдите другие вопросы, относящимися к данной тематике, с помощью поисковой системы. Или сформулируйте новый вопрос: нажмите кнопку вверху страницы, и задайте нужный запрос с помощью ключевых слов, отвечающих вашим критериям. Общайтесь с посетителями страницы, обсуждайте тему. Возможно, их ответы помогут найти нужную информацию.

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Пусть в треугольнике ABC известны стороны AB = c, BC = b и медиана BM = m. На луче AM отложим отрезок MD, MD = AM и соединим точку D с точками B и C. Поскольку в полученном четырехугольнике ABCD диагонали точкой пересечения делятся пополам, то ABCD..

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

∠АВС = ∠А₁АС + ∠С₁СА ∠А₁АС = ∠С₁СА = х х + х + 130 = 180 2х + 130 = 180 2х = 180 — 130 2х = 50 х = 25 = ∠А₁АС = ∠С₁СА Тогда : ∠АВС = 25 + 25 = 50 Пусть ∠А = ∠С = у Тогда : у + у + 50 = 180 2у + 50 = 180 2у = 130 у = 65 = ∠А = ∠С ∠АА₁В = 180 — (ВАА₁ +..

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Весь циферблат равен 360°. Каждые 5 минут — это 30° (360 : 12 = 30). 5 час — это отсек 25 минуты. Так же известно, что есть 10 минут. Получается, что угол занимает по три пятиминутки ((25 — 10) : 5 = 3) Узнаём градусную меру : 3•30° = 90°.

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Большая дуга относится к меньшей как 4 : 1. Т. е. Большая дуга — 4 части, меньшая — 1 часть. Вся окружность — 5 частей. Градусная мера окружности 360°, откуда 1 часть = 360° : 5 = 72°. Это меньшая дуга. Большая дуга = 72 * 4 = 288°. Ответ : 72..

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

По теореме Пифагора : смНайдем синус угла B : sinB = AC / AB = 5 / 10 = 1 / 2значит, В = 30 градусов.

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

ABCD — трапеция (буквы можешь расположить, как хочешь)AC — диагональBC = 10L ACB = L DL CAD = L ACB (по свойству трапеции) — — — — — — > L D = L CAD — — — — — > AC = CDL ACB = L CAD — — — — — > L BAD = 90 град. — — — — > L D = L CAD = L ACB = 90 2..

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

M(x1 ; y1) n(x2 ; y2) середина = ((x2 — x1) / 2 ; (y2 — y1) / 2) 1) (5 ; 2) 2)(1 ; 3) 3)(1, 5 ; 4, 5).

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

S = 6 * 10 * 8 * 20 = 9600 Вот.

Окружность проходит через вершину прямого угла и касается гипотенузы

Всё 12 ребер у куба равны. Найдем длину одного : 48 : 12 = 4 Все 6 граней — равные квадраты. Тогда площадь S = 6 * 4² = 6 * 16 = 96.

🎦 Видео

9.57.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать

9.57.1. Планиметрия. Гордин Р.К.

ОГЭ Задание 25 Демонстрационный вариант 2022, математикаСкачать

ОГЭ Задание 25 Демонстрационный вариант 2022, математика

Урок 3. №23 ОГЭ. Касательная. Окружность с центром на стороне AC касается АВ в точке В.Скачать

Урок 3. №23 ОГЭ. Касательная. Окружность с центром на стороне AC касается АВ в точке В.

✓ Как внимательность бережёт время на экзамене | Задание 16. ЕГЭ-2023. Математика | Борис ТрушинСкачать

✓ Как внимательность бережёт время на экзамене | Задание 16. ЕГЭ-2023. Математика | Борис Трушин

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ! И ПОЛНАЯ ЗАГАДКА!Скачать

ВПИСАННАЯ ОКРУЖНОСТЬ! И ПОЛНАЯ ЗАГАДКА!

Задание 24 Треугольник ОкружностьСкачать

Задание 24 Треугольник Окружность
Поделиться или сохранить к себе: