Окружность с центром О, построенная на катете AC прямоугольного треугольника ABC как на диаметре, пересекает гипотенузу AB в точках A и D. Касательная проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет BC в точке M.
а) Докажите, что BM = CM.
б) Прямая DM пересекает прямую AC в точке P, прямая OM пересекает прямую BP в точке K. Найдите если 
а) Заметим, что вписанный угол ADC опирается на диаметр, поэтому высота треугольника ABC. Далее, MC = MD как касательные к окружности (MC касательная, так как угол прямой). Треугольник MCD равнобедренный, поэтому углы MCD и MDC равны. Далее вычислим:
.
Отсюда MB = MD, а значит, и BM = CM. Что и требовалось доказать.
б) Заметим, что средняя линия треугольника ABC, поэтому отрезки OK и AB параллельны. Отсюда
Вычислим отношение BK к KP:
Ответ: 
| Критерии оценивания выполнения задания | Баллы |
|---|---|
| Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б) | 3 |
| Получен обоснованный ответ в пункте б) имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки | 2 |
| Имеется верное доказательство утверждения пункта а) при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки, Видео:Найти радиус равнобедренного прямоугольного треугольника 3 задание проф. ЕГЭ по математикеСкачать  Окружность построенная катете прямоугольного треугольникаБАЗА ЗАДАНИЙ Задание № 16. Планиметрия с доказательством. 1. Прямая, проходящая через вершину B прямоугольника ABCD перпендикулярно диагонали AC, пересекает сторону AD в точке M, равноудалённой от вершин B и D.
2. К окружности, вписанной в квадрат ABCD, проведена касательная, пересекающая стороны AB и AD в точках M и N соответственно. 3. Диагонали AC и BD четырёхугольника ABCD, вписанного в окружность, пересекаются в точке P, причём BC=CD. 4. В треугольнике ABC точки A 1 , B 1 , C 1 — середины сторон BC, AC и A B соответственно, AH— высота, ∠BAC = 60°, ∠BCA = 45°. 5. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда BC большей окружности касается меньшей в точке P. Хорды AB и AC пересекают меньшую окружность в точках K и M соответственно. 6. Две окружности касаются внутренним образом в точке A, причём меньшая окружность проходит через центр O большей. Диаметр BC большей окружности вторично пересекает меньшую окружность в точке M, отличной от A. Лучи AO и AM вторично пересекают большую окружность в точках P и Q соответственно. Точка C лежит на дуге AQ большей окружности, не содержащей точку P. 7. Две окружности касаются внутренним образом в точке K, причём меньшая проходит через центр большей. Хорда MN большей окружности касается меньшей в точке C. Хорды KM и KN пересекают меньшую окружность в точках A и B соответственно, а отрезки KC и AB пересекаются в точке L. 8. Дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C. На катете AC взята точка M. Окружность с центром O и диаметром CM касается гипотенузы в точке N. 9. Точка B лежит на отрезке AC. Прямая, проходящая через точку A, касается окружности с диаметром BC в точке M и второй раз пересекает окружность с диаметром AB в точке K. Продолжение отрезка MB пересекает окружность с диаметром AB в точке D. 10. Точка M лежит на стороне BC выпуклого четырёхугольника ABCD, причём B и C — вершины равнобедренных треугольников с основаниями AM и DM соответственно, а прямые AM и MD перпендикулярны. 11. В равнобедренном тупоугольном треугольнике ABC на продолжение боковой стороны BC опущена высота AH. Из точки H на сторону AB и основание AC опущены перпендикуляры HK и HM соответственно. 12. Точка O — центр окружности, описанной около остроугольного треугольника ABC, I — центр вписанной в него окружности, H — точка пересечения высот. Известно, что ∠BAC = ∠OBC+∠OCB. 13. Точки P, Q, W делят стороны выпуклого четырёхугольника ABCD в отношении AP:PB = CQ:QB = CW:WD = 3:4, радиус окружности, описанной около треугольника PQW, равен 10, PQ = 16, QW = 12, угол PWQ— острый. 14. Окружность проходит через вершины В и С треугольника АВС и пересекает АВ и АС в точках C 1 , B 1 соответственно.
15. Дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Диагональ BD разбивает её на два равнобедренных треугольника с основаниями AD и CD. 16. В прямоугольном треугольнике АВС с прямым углом С точки М и N – середины катетов АС и ВС соответственно, СН – высота. 17. В треугольнике АВС угол АВС равен 60°. Окружность, вписанная в треугольник, касается стороны AC в точке M. 18. В треугольнике АВС проведены высоты АК и СМ. На них из точек М и К опущены перпендикуляры МЕ и КН соответственно. 19. Окружность, вписанная в треугольник KLM, касается сторон KL, LM, MK в точках A, B и C соответственно. б) Найдите отношение LB:BM, если известно, что KC:CM = 3:2 и ∠ MKL = 60. 20. Дана равнобедренная трапеция ABCD с основаниями AD и BC. Окружность с центром O, построенная на боковой стороне AB как на диаметре, касается боковой стороны CD и второй раз пересекает большее основание AD в точке H, точка Q — середина CD. 21. Квадрат ABCD вписан в окружность. Хорда CE пересекает его диагональ BD в точке K. 22. В прямоугольном треугольнике ABC точки M и N – середины гипотенузы AB и катета BC соответственно. Биссектриса ∠ BAC пересекает прямую MN в точке L 23. Окружность касается стороны AC остроугольного треугольника ABC и делит каждую из сторон AB и BC на три равные части. 24. На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC как на диаметрах построены окружности, второй раз пересекающиеся в точке M. Точка Q лежит на меньшей дуге MB окружности с диаметром BC. Прямая CQ второй раз пересекает окружность с диаметром AC в точке P. 25. Окружность, построенная на медиане BM равнобедренного треугольника ABC как на диаметре, второй раз пересекает основание BC в точке K.
26. В прямоугольной трапеции ABCD с прямым углом при вершине A расположены две окружности. Одна из них касается боковых сторон и большего основания AD, вторая – боковых сторон, меньшего основания BC и первой окружности.
27. В трапецию ABCD с основаниями AD и BC вписана окружность с центром O. 28. Дана трапеция с диагоналями равными 8 и 15. Сумма оснований равна 17. Видео:На катете ML прямоугольного треугольника KLM как на диаметре построена окружностьСкачать  Задача 16 геометрия на ЕГЭ-2021 по математикеНа этой странице — обзор разных типов заданий № 16 ЕГЭ-2021 по математике, то есть задач по геометрии. Все они имеют нечто общее: во-первых, это стандартный уровень сложности, то есть вполне решаемые задачи. Пункт (а) в них вообще простой. Во-вторых, в каждой из них применяются свойства четырехугольников, вписанных в окружности. В первой задаче такая окружность находится почти сразу, причем она – вспомогательная, и ее можно даже не изображать на чертеже. Главное – найти равные вписанные углы, опирающиеся на равные дуги или на одну дугу. Также здесь использована формула синуса тройного угла. Если вы ее забыли – не беда. Ведь а формулу синуса суммы вы знаете. 1. Дана равнобедренная трапеция ABCD, в которой меньшее основание ВС равно боковой стороне. Точка Е такова, что ВЕ перпендикулярно AD и СЕ перпендикулярно BD.
– равнобедренный, CM – высота, проведенная к основанию, значит, M – середина BD. Докажем, что точки A, B, C, D, E лежат на одной окружности. ABCD – равнобедренная трапеция, ее можно вписать в окружность. В – медиана и высота, значит, равнобедренный, BE = ED. Тогда по трем сторонам, четырехугольник BCDE можно вписать в окружность, т.к. Так как вокруг можно описать только одну окружность и вокруг четырехугольников ABCD и BCDE тоже можно описать окружность, точки A, B, C, D, E лежат на одной окружности, так как опираются на одну и ту же дугу AB (точки E и D лежат по одну сторону от прямой AD). б) Так как AB = BC = CD, то дуги AB, BC и CD также равны. Четырехугольник ABDE вписан в окружность, тогда По формуле синуса тройного угла, тогда по теореме синусов Проведем в трапеции ABCD высоту CK, тогда BH и CK – высоты трапеции, а так как трапеция равнобедренная, то Во второй задаче мы увидим ту же идею: вспомогательную окружность. Это один из методов, помогающих решать задачи ЕГЭ по геометрии. Есть здесь и другой мощный прием – использование двух пар подобных треугольников. И еще свойство высоты прямоугольного треугольника, проведенной к гипотенузе. Если вы в восьмом и девятом классе учили геометрию – вы должны владеть этими приемами. 2. Дан прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С. Из вершины С на гипотенузу опущена высота СН, на АС и ВС соответственно отмечены точки М и N так, что угол MHN – прямой.
а) Рассмотрим четырехугольник CMHN. по условию, значит, CMHN можно вписать в окружность; вписанные, опираются на дугу HN. Запишем соотношение сходственных сторон. По условию, AM = 3, найдем CH — высоту по теореме Пифагора, AH — проекция катета AC на гипотенузу, по свойствам прямоугольного треугольника, отсюда В следующей задаче мы снова видим окружность и вписанную в нее трапецию. И наверное, вы уже заметили: пункт (а) задач по геометрии на ЕГЭ часто оказывается подсказкой для решения пункта (б). То, что мы доказали в (а), мы используем в пункте (б). 3. Даны 5 точек на окружности: A, B, C, D, E, причем АЕ = ED = CD, ВЕ перпендикулярен АС.
Докажем, что M — середина TD. Если AE = ED = DC, то дуги AE, ED, DC, также равны; — накрест лежащие, при пересечении AC и DE секущей CE, значит, AEDC — равнобедренная трапеция. значит, BD — диаметр окружности. (опирается на диаметр), по катету и гипотенузе, тогда DM — биссектриса равнобедренного т.к. — равнобедренный, то DM — медиана M — середина CE, кроме того, DM — высота В — медиана и высота, значит, — равнобедренный, а так как — накрест лежащие, при параллельных прямых AC и DE и секущей CE, то по боковой стороне и углу при основании, тогда CDET — ромб, M — точка пересечения его диагоналей, M — середина TD. Мы нашли, что AE = ED = CD = CT = ET. BD = 10 — диаметр окружности. — равнобедренный, AE = ET, — высота и медиана Тогда BN — медиана и высота — равнобедренный, AB = BT. Обозначим тогда — опираются на дугу AE, Из по теореме синусов: И еще одна трапеция, вписанная в окружность. Теперь вы точно выучите ее свойства наизусть! Также здесь применяется теорема о пересекающихся хордах. Все эти полезные теоремы, свойства и признаки можно найти в нашей универсальной шпаргалке – Справочнике Анны Малковой для подготовки к ЕГЭ по математике. Скачать Справочник бесплатно можно здесь. 4. Трапеция с большим основанием AD и высотой ВН вписана в окружность. Прямая BH пересекает окружность в точке К. б) Найдите AD, если: радиус окружности равен шести, СК пересекается с AD в точке N и площадь четырехугольника BHNC в 24 раза больше, чем плошать треугольника KHN.
Тогда — вписанные, опираются одну и ту же на дугу AK; следовательно, CK — диаметр окружности, так как вписанный угол, опирающийся на диаметр, прямой; — опирается на диаметр CK, значит, (опираются на дугу BC), тогда Обозначим так как HE = BC, Из подобия треугольников KNH и KCB следует, что тогда По теореме о пересекающихся хордах, Представив левую часть уравнения как разность квадратов, получим: По смыслу задачи тогда и значит Задача по геометрии на ЕГЭ по математике оценивается в 3 балла. Как видите, в 2021 году эти 3 балла за геометрию можно было получить без особенных трудностей. На нашем Онлайн-курсе подготовки к ЕГЭ мы решаем и такие задачи по геометрии, и более сложные. Если ты сейчас в 10-м или в 11-м классе – попробуй бесплатно Демо-доступ к Онлайн-курсу. 5. (Резервный день) Окружность с центром О, построенная на катете АС прямоугольного треугольника АВС, как на диаметре, пересекает гипотенузу АВ в точках А и D. Касательная, проведенная к этой окружности в точке D, пересекает катет ВС в точке М. А) Докажите, что ВМ = СМ Найдите ВК : КР, если
а) Так как – радиус окружности, – равнобедренный, так как (касательная перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания), тогда – угол между касательной и хордой, Тогда т.е. – высота – прямоугольный, – равнобедренный, отсюда
Найдем BK : KP, если тогда Значит, (вертикальные), — равнобедренный, тогда так как MK – биссектриса 💥 ВидеоЗадача 6 №27932 ЕГЭ по математике. Урок 146Скачать  Все про прямоугольный треугольник. Решаем задачи | Математика | TutorOnlineСкачать  ЕГЭ задание 16 Пять треугольниковСкачать  7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать  Окружность, построенная на стороне треугольника как на диаметреСкачать  Профильный ЕГЭ 2024. Задача 1. Прямоугольный треугольник. 10 классСкачать  Геометрия На катетах AC и BC прямоугольного треугольника ABC вне треугольника построены квадратыСкачать  Планиметрия 42-44 | mathus.ru | окружность построена на отрезке как на диаметреСкачать  №1125. На сторонах прямоугольного треугольника как на диаметрах построены три полукруга.Скачать  КАТЕТЫ И ВЫСОТА В ПРЯМОУГОЛЬНОМ ТРЕУГОЛЬНИКЕ ЧАСТЬ I #математика #егэ #огэ #Shorts #геометрияСкачать  С Новым Годом! Или теорема Чевы. На катетах AC и ВС прямоугольного треугольника АВС вне его построенСкачать  ТРИГОНОМЕТРИЯ | Синус, Косинус, Тангенс, КотангенсСкачать  "Летние занятия" - Занятие 7Скачать  Задача, которую боятсяСкачать  Геометрия Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника, проходит через вершинуСкачать  Разбор Задачи №16 из работы Статград от 22 апреля 2020Скачать  Геометрия Окружность касается одного из катетов равнобедренного прямоугольного треугольникаСкачать  11.49.1. Планиметрия. Гордин Р.К.Скачать  |
