Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хорды

Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хорды

Окружность с центром в точке O высекает на всех сторонах трапеции ABCD равные хорды.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной и той же точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону AB в точках K и L так, что AK = 11, KL = 10, LB = 4.

a) Расстояние от центра окружности до хорд одинаковой длины равны. Следовательно, точка O равноудалена от прямых AB, BC, CD и AD. Значит, она лежит на биссектрисе каждого из углов трапеции.

б) Опустим из точки O перпендикуляры OU, OV и OW на стороны AD, AB и BC соответственно. Тогда Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хордыUW — высота трапеции, а точка V — середина отрезка KL. Значит,

Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хорды

Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хорды

Пусть BH — высота трапеции. В прямоугольном треугольнике ABH имеем: Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хорды

Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хорды

Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хорды

Приведем решение Максима Волкова.

Опустим из точки O перпендикуляры OU, OV и OW на стороны AD, AB и BC соответственно. Тогда Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хорды Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хордыUW — высота трапеции, а точка V — середина отрезка KL. Тогда

Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хорды

Проведем отрезки АО и ОВ. Заметим, что треугольник AOB прямоугольный, так как АО и ВО — биссектрисы углов трапеции при боковой стороне. Тогда по свойству высоты прямоугольного треугольника находим:

Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хорды

Следовательно, для высоты трапеции получаем:

Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хорды

Критерии оценивания выполнения заданияБаллы
Имеется верное доказательство утверждения пункта a) и обоснованно получен верный ответ в пункте б)3
Получен обоснованный ответ в пункте б)

имеется верное доказательство утверждения пункта а) и при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки

2
Имеется верное доказательство утверждения пункта а)

при обоснованном решении пункта б) получен неверный ответ из-за арифметической ошибки,

обоснованно получен верный ответ в пункте б) с использованием утверждения пункта а), при этом пункт а) не выполнен

1
Решение не соответствует ни одному из критериев, приведённых выше0
Максимальный балл3

Аналоги к заданию № 520805: 520917 520855 520881 Все

Видео:Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачиСкачать

Математика | 5 ЗАДАЧ НА ТЕМУ ОКРУЖНОСТИ. Касательная к окружности задачи

Равные хорды

Выясним, какими свойствами обладают равные хорды и равные дуги.

Равные хорды равноудалены от центра окружности.

Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хордыДано : окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хордыСоединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠A=∠C.

II. Рассмотрим прямоугольные треугольники AOF и COK.

2) ∠A=∠C (по доказанному).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: OF=OK.

Что и требовалось доказать .

Если хорды равноудалены от центра окружности, то они равны.

Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хордыДано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

I. Рассмотрим прямоугольные треугольники OKD и OFB.

1)OF=OK (по условию)

2)OD=OB (как радиусы).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон:

II. Рассмотрим треугольники AOB и COD.

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD и высотами OK и OF соответственно.

По свойству равнобедренного треугольника, OK и OF — медианы, то есть AF=BF, CK=DK, откуда AB=CD.

Что и требовалось доказать.

Равные хорды стягивают равные дуги.

Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хорды

Дано : окр. (O;R), AB и CD — хорды, AB=CD,

Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хордыСоединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

1) AB=CD (по условию)

2) OA=OB=OC=OD (как радиусы).

Следовательно, ∆AOB = ∆COD (по трём сторонам).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: ∠AOB=∠COD.

Значит и дуги, на которые опираются эти центральные углы, также равны: ∪AB=∪CD

Что и требовалось доказать .

Хорды, стягивающие равны дуги, равны.

Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хордыДано: окр. (O;R), AB и CD — хорды,

Соединим центр окружности с концами хорд.

Рассмотрим треугольники AOB и COD

Так как OA=OB=OC=OD (как радиусы), то треугольники AOB и COD — равнобедренные с основаниями AB и CD соответственно.

Так как ∪AB=∪CD (по условию), то ∠AOB=∠COD.

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: AB=CD.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хорды

Задание 16. Окружность с центром в точке О пересекает каждую из сторон трапеции ABCD в двух точках. Четыре получившиеся хорды окружности равны.

а) Докажите, что биссектрисы всех углов трапеции пересекаются в одной точке.

б) Найдите высоту трапеции, если окружность пересекает боковую сторону АВ в точках K и L так, что АК = 13, KL = 6, LB = 1.

а) ABCD – трапеция, BL – биссектриса, следовательно, Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хорды. Так как AD параллельна BC, то Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хордыи Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хорды, следовательно, угол ALB=90° и BL перпендикуляра AC.

Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хорды

Аналогично доказывается, что CL перпендикулярна BD. Получаем, что диагонали BD и AC перпендикулярны и в то же время являются биссектрисами углов. Следовательно, трапеция ABCD – это ромб, а у ромба биссектрисы всех углов пересекаются в одной точке.

б) Задача сводится к нахождению высоты ромба. Рассмотрим равнобедренный треугольник OLK, т.к. OL=OK как радиусы одной окружности.

Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хорды

Далее, Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хорды, следовательно, OH – медиана и LH=KH:

Окружность отсекает на всех сторонах треугольника равные хорды

Так как OH – высота прямоугольного треугольника OAB, то

📸 Видео

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№28 - Свойства хорд окружности.)

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104Скачать

Задача 6 №27859 ЕГЭ по математике. Урок 104

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Деление окружности на равные части. Внимание!!! В таблице имеются ошибки. ПОЛЬЗУЙТЕСЬ ФОРМУЛОЙ!!!Скачать

Деление окружности на равные части. Внимание!!! В таблице имеются ошибки. ПОЛЬЗУЙТЕСЬ ФОРМУЛОЙ!!!

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)Скачать

Это Свойство Поможет Решить Задачи по Геометрии — Хорда, Окружность, Секущая (Геометрия)

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружностиСкачать

Вписанный угол, опирающийся на хорду, равную радиусу окружности

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая ЭйлераСкачать

#207. Окружность девяти точек | лемма о трезубце | ортотреугольник | прямая Эйлера

№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°Скачать

№662 (исправлено) Хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если ∪AD=54°

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВССкачать

№144. Отрезки АВ и CD — диаметры окружности. Докажите, что: а) хорды BD и АС равны; б) хорды AD и ВС

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острыйСкачать

№1035. В окружности проведены хорды АВ и CD, пересекающиеся в точке Е. Найдите острый

Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.Скачать

Пропорциональные отрезки круга. 9 класс.

Деление окружности на равные части. Урок 6. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)Скачать

Деление окружности на равные части. Урок 6. (Часть 1. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ)

Задача на нахождение длины хорды окружностиСкачать

Задача на нахождение длины хорды окружности

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс  | Математика | TutorOnline

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.Скачать

Окружность №16 из ОГЭ. Вписанные и описанные многоугольники. Квадрат и окружность.

#58. Олимпиадная задача о четырехугольникеСкачать

#58. Олимпиадная задача о четырехугольнике
Поделиться или сохранить к себе: