Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Окружность называют вписанной в треугольник если онаСуществование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла
Окружность называют вписанной в треугольник если онаФормулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник
Окружность называют вписанной в треугольник если онаВывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Видео:Окружность, вписанная в треугольникСкачать

Окружность, вписанная в треугольник

Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

Окружность называют вписанной в треугольник если она

что и требовалось доказать.

Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

что и требовалось доказать.

Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

Следовательно, справедливо равенство:

откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

Окружность называют вписанной в треугольник если она

a, b, c – стороны треугольника,
S – площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр

Окружность называют вписанной в треугольник если она.

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Окружность называют вписанной в треугольник если она

ФигураРисунокФормулаОбозначения
Произвольный треугольникОкружность называют вписанной в треугольник если она
Равнобедренный треугольникОкружность называют вписанной в треугольник если она
Равносторонний треугольникОкружность называют вписанной в треугольник если она
Прямоугольный треугольникОкружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Окружность называют вписанной в треугольник если она.

Окружность называют вписанной в треугольник если она

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Окружность называют вписанной в треугольник если она.

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Произвольный треугольник
Окружность называют вписанной в треугольник если она
Равнобедренный треугольник
Окружность называют вписанной в треугольник если она
Равносторонний треугольник
Окружность называют вписанной в треугольник если она
Прямоугольный треугольник
Окружность называют вписанной в треугольник если она
Произвольный треугольник
Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

где
a, b, c – стороны треугольника,
S –площадь,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Окружность называют вписанной в треугольник если она.

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

где
a, b, c – стороны треугольника,
r – радиус вписанной окружности,
p – полупериметр
Окружность называют вписанной в треугольник если она.

Равнобедренный треугольникОкружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Равносторонний треугольникОкружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

где
a – сторона равностороннего треугольника,
r – радиус вписанной окружности

Прямоугольный треугольникОкружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

Вывод формул для радиуса окружности, вписанной в треугольник

Теорема 5 . Для произвольного треугольника справедливо равенство

Окружность называют вписанной в треугольник если она

где a, b, c – стороны треугольника, r – радиус вписанной окружности, Окружность называют вписанной в треугольник если она– полупериметр (рис. 6).

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

с помощью формулы Герона получаем:

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

что и требовалось.

Теорема 6 . Для равнобедренного треугольника справедливо равенство

Окружность называют вписанной в треугольник если она

где a – боковая сторона равнобедренного треугольника, b – основание, r – радиус вписанной окружности (рис. 7).

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

то, в случае равнобедренного треугольника, когда

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

что и требовалось.

Теорема 7 . Для равностороннего треугольника справедливо равенство

Окружность называют вписанной в треугольник если она

где a – сторона равностороннего треугольника, r – радиус вписанной окружности (рис. 8).

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

то, в случае равностороннего треугольника, когда

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в равносторонний треугольник, непосредственно, т.е. без использования общих формул для радиусов окружностей, вписанных в произвольный треугольник или в равнобедренный треугольник.

Теорема 8 . Для прямоугольного треугольника справедливо равенство

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Доказательство . Рассмотрим рисунок 9.

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Поскольку четырёхугольник CDOF является прямоугольником прямоугольником , у которого соседние стороны DO и OF равны, то этот прямоугольник – квадрат квадрат . Следовательно,

В силу теоремы 3 справедливы равенства

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Следовательно, принимая также во внимание теорему Пифагора, получаем

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Окружность называют вписанной в треугольник если она

что и требовалось.

Замечание . Рекомендуем читателю вывести в качестве упражнения формулу для радиуса окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, с помощью общей формулы для радиуса окружности, вписанной в произвольный треугольник.

Видео:Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия  | Математика

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

Окружность называют вписанной в треугольник если она

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

Видео:8 класс, 38 урок, Вписанная окружностьСкачать

8 класс, 38 урок, Вписанная окружность

Окружность, вписанная в треугольник

Видео:Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности треугольника - 7 класс геометрия

Определение окружности, вписанной в треугольник

Определение 1. Окружностью, вписанной в треугольник называется окружность, которая находится внутри треугольника и касается всех его сторон (Рис.1).

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Можно дать и другое определение окружности, вписанной в треугольник.

Определение 2. Окружностью, вписанной в треугольник называется наибольшая окружность, которая может находится внутри треугольника.

При этом треугольник называется треугольником описанным около окружности . Центр вписанной в треугольник окружности явлется точка пересечения биссектрис треугольника. Центр окружности вписанной в треугольник называется инцентром треугольника.

Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Теорема об окружности, вписанной в треугольник

Теорема 1. В любой треугольник можно вписать окружность.

Окружность называют вписанной в треугольник если она

Доказательство. Пусть задан произвольный треугольник ABC (Рис.2). Обозначим точкой O точку пересечения биссектрис треугольника. Проведем из точки O перпендикуляры OK, OL и OM к сторонам AB, AC, BC, соответственно. Поскольку точка O равноудалена от сторон треугольника ABC, то OK=OL=OM. Тогда окружность с центром O и радиусом OK проходит через три точки K, L, M. Стороны AB, AC, BC треугольника ABC касаются этой окружности в точках K, L, M, поскольку они перпендикулярны к радиусам OK, OL, OM, соответственно. Следовательно, окружность с центром O и радиусом OK является вписанной в треугольник ABC.Окружность называют вписанной в треугольник если она

Замечание 1. В любой треугольник можно вписать только одну окружность.

Доказательство. Допустим, что в треугольник можно вписать две окружности. Тогда центр каждой из этих окружностей равноудален от сторон треугольника и совпадает с точкой O пересечения биссектрис треугольника. Радиус этих окружностей равен расстоянию от точки O до сторон треугольника. Поэтому эти окружности совпадают.Окружность называют вписанной в треугольник если она

🎬 Видео

Окружность, вписанная в треугольник. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 классСкачать

Окружность, вписанная в треугольник. Как найти центр и радиус. Геометрия 7-8 класс

Окружность и треугольникСкачать

Окружность и треугольник

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс : Вписанная окружностьСкачать

ГЕОМЕТРИЯ 8 класс : Вписанная окружность

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.Скачать

Окружность вписана в равнобедренный треугольник. Найти её радиус.

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Вписанные и описанные окружности. Вебинар | Математика

Окружности и треугольники - I. ЕГЭ по математике. Be Student SchoolСкачать

Окружности и треугольники - I. ЕГЭ по математике. Be Student School

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№32 - Вписанная окружность.)

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.Скачать

Геометрия 9 класс. Радиус описанной и вписанной окружности треугольника. Формулы радиуса.

Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольникаСкачать

Тема 7. Вписанные и описанные окружности треугольника

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |Скачать

Пара фактов про окружность | Ботай со мной #067 | Борис Трушин |

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

7 класс. Геометрия. Окружность вписанная в треугольник. 12.05.2020Скачать

7 класс. Геометрия. Окружность вписанная в треугольник. 12.05.2020

ОПИСАННАЯ и ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 классСкачать

ОПИСАННАЯ и  ВПИСАННАЯ окружности. §21 геометрия 7 класс
Поделиться или сохранить к себе: