Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольник

Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольник

Какие из следующих утверждений верны?

1) Около любого ромба можно описать окружность.

2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Около любого ромба можно описать окружность.»— неверно, чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо, чтобы сумма противоположных углов четырёхугольника составляла 180°. Это верно не для любого ромба.

2) «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.» — верно, в любой треугольник можно вписать окружность.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.» — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

4) «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.» — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

Содержание
  1. Вписанная окружность
  2. Свойства вписанной окружности
  3. В треугольник
  4. В четырехугольник
  5. Примеры вписанной окружности
  6. Верные и неверные утверждения
  7. Окружность вписанная в угол
  8. Около ромба можно описать окружность в любой треугольник
  9. Около ромба можно описать окружность в любой треугольник
  10. В любом ромбе можно описать окружность
  11. В любом ромбе можно описать окружность
  12. Вписанная окружность
  13. Свойства вписанной окружности
  14. В треугольник
  15. В четырехугольник
  16. Примеры вписанной окружности
  17. Верные и неверные утверждения
  18. Окружность вписанная в угол
  19. Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба
  20. Признаки ромба
  21. Основные свойства ромба
  22. Сторона ромба
  23. Формулы определения длины стороны ромба:
  24. Диагонали ромба
  25. Формулы определения длины диагонали ромба:
  26. Периметр ромба
  27. Формула определения длины периметра ромба:
  28. Площадь ромба
  29. Формулы определения площади ромба:
  30. Окружность вписанная в ромб
  31. Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:
  32. Описанная окружность
  33. Доказательство
  34. Доказательство
  35. Доказательство
  36. Доказательство
  37. Доказательство
  38. 🎥 Видео

Видео:№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.Скачать

№700. Докажите, что в любой ромб можно вписать окружность.

Вписанная окружность

Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольник

Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

  • Треугольник
  • Выпуклый, правильный многоугольник
  • Квадрат
  • Равнобедренная трапеция
  • Ромб

В четырехугольник, можно вписать окружность,
только при условии, что суммы длин
противоположных сторон равны.

Во все вышеперечисленные фигуры
окружность, может быть вписана, только один раз.

Окружность невозможно вписать в прямоугольник
и параллелограмм, так как окружность не будет
соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
называются описанными около окружности.

Описанный треугольник — это треугольник, который описан
около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

Свойства вписанной окружности

В треугольник

  1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
  2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
  3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
  4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

[ S = frac(a+b+c) cdot r = pr ]

p — полупериметр четырехугольника.
r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac(a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольник
    • Четырехугольник
      Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольник
    • Многоугольник
      Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольник

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:Геометрия Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб является квадратомСкачать

    Геометрия Докажите, что если около ромба можно описать окружность, то этот ромб является квадратом

    Около ромба можно описать окружность в любой треугольник

    Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

    Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.

    Около ромба можно описать окружность в любой треугольник

    Какие из следующих утверждений верны?

    1) Около любого ромба можно описать окружность.

    2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

    3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

    4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

    Проверим каждое из утверждений.

    1) «Около любого ромба можно описать окружность.»— неверно, чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо, чтобы сумма противоположных углов четырёхугольника составляла 180°. Это верно не для любого ромба.

    2) «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.» — верно, в любой треугольник можно вписать окружность.

    3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.» — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

    4) «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.» — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

    Видео:Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

    Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

    В любом ромбе можно описать окружность

    Видео:№708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любойСкачать

    №708. Докажите, что можно описать окружность: а) около любого прямоугольника; б) около любой

    В любом ромбе можно описать окружность

    Какие из следующих утверждений верны?

    1) Около любого ромба можно описать окружность.

    2) В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.

    3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.

    4) Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.

    Проверим каждое из утверждений.

    1) «Около любого ромба можно описать окружность.»— неверно, чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо, чтобы сумма противоположных углов четырёхугольника составляла 180°. Это верно не для любого ромба.

    2) «В любой треугольник можно вписать не менее одной окружности.» — верно, в любой треугольник можно вписать окружность.

    3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения биссектрис.» — неверно, центром описанной около треугольника окружности является точка пересечения серединных перпендикуляров треугольника.

    4) «Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам.» — неверно, центром вписанной в треугольник окружности является точка пересечения биссектрис треугольника.

    Видео:В любой ромб можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    В любой ромб можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    Вписанная окружность

    Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольник

    Вписанная окружность — это окружность, которая вписана
    в геометрическую фигуру и касается всех его сторон.

    Окружность, точно можно вписать в такие геометрические фигуры, как:

    • Треугольник
    • Выпуклый, правильный многоугольник
    • Квадрат
    • Равнобедренная трапеция
    • Ромб

    В четырехугольник, можно вписать окружность,
    только при условии, что суммы длин
    противоположных сторон равны.

    Во все вышеперечисленные фигуры
    окружность, может быть вписана, только один раз.

    Окружность невозможно вписать в прямоугольник
    и параллелограмм, так как окружность не будет
    соприкасаться со всеми сторонам этих фигур.

    Геометрические фигуры, в которые вписана окружность,
    называются описанными около окружности.

    Описанный треугольник — это треугольник, который описан
    около окружности и все три его стороны соприкасаются с окружностью.

    Описанный четырехугольник — это четырехугольник, который описан
    около окружности и все четыре его стороны соприкасаются с окружностью.

    Свойства вписанной окружности

    В треугольник

    1. В любой треугольник может быть вписана окружность, причем только один раз.
    2. Центр вписанной окружности — точка пересечения биссектрис треугольника.
    3. Вписанная окружность касается всех сторон треугольника.
    4. Площадь треугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac (a+b+c) cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Центр окружности вписанной в треугольник равноудален от всех сторон.
  • Точка касания — это точка, в которой соприкасается
    окружность и любая из сторон треугольника.
  • От центра вписанной окружности можно провести
    перпендикуляры к любой точке касания.
  • Вписанная в треугольник окружность делит стороны
    треугольника на 3 пары равных отрезков.
  • Вписанная и описанная около треугольника окружность тесно взаимосвязаны.
    Поэтому, расстояние между центрами этих окружностей можно найти с помощью формулы Эйлера:

    с — расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника.
    R — радиус описанной около треугольника.
    r — радиус вписанной окружности треугольника.

    В четырехугольник

    1. Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность.
    2. Если у четырехугольника суммы длин его противолежащих
      сторон равны, то окружность, может быть, вписана (Теорема Пито).
    3. Центр вписанной окружности и середины двух
      диагоналей лежат на одной прямой (Теорема Ньютона, прямая Ньютона).
    4. Точка пересечения биссектрис — это центр вписанной окружности.
    5. Точка касания — это точка, в которой соприкасается
      окружность и любая из сторон четырехугольника.
    6. Площадь четырехугольника, в который вписана окружность, можно рассчитать по такой формуле:

    [ S = frac (a+b+c+d)cdot r = pr ]

    p — полупериметр четырехугольника.
    r — радиус вписанной окружности четырехугольника.

  • Точка касания вписанной окружности, которая лежит на любой из сторон,
    равноудалены от этой конца и начала этой стороны, то есть от его вершин.
  • Примеры вписанной окружности

    • Треугольник
      Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольник
    • Четырехугольник
      Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольник
    • Многоугольник
      Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольник

    Примеры описанного четырехугольника:
    равнобедренная трапеция, ромб, квадрат.

    Примеры описанного треугольника:
    равносторонний
    , равнобедренный,
    прямоугольный треугольники.

    Верные и неверные утверждения

    1. Радиус вписанной окружности в треугольник и радиус вписанной
      в четырехугольник вычисляется по одной и той же формуле. Верное утверждение.
    2. Любой параллелограмм можно вписать в окружность. Неверное утверждение.
    3. В любой четырехугольник можно вписать окружность. Неверное утверждение.
    4. В любой ромб можно вписать окружность. Верное утверждение.
    5. Центр вписанной окружности треугольника это точка пересечения биссектрис. Верное утверждение.
    6. Окружность вписанная в треугольник касается всех его сторон. Верное утверждение.
    7. Угол вписанный в окружность равен соответствующему центральному
      углу опирающемуся на ту же дугу. Неверное утверждение.
    8. Радиус вписанной окружности в прямоугольный треугольник равен
      половине разности суммы катетов и гипотенузы. Верное утверждение.
    9. Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же хорду окружности равны. Неверное утверждение.
    10. Вписанная окружность в треугольник имеет в общем
      три общие точки со всеми сторонами треугольника. Верное утверждение.

    Окружность вписанная в угол

    Окружность вписанная в угол — это окружность, которая
    лежит внутри этого угла и касается его сторон.

    Центр окружности, которая вписана в угол,
    расположен на биссектрисе этого угла.

    К центру окружности вписанной в угол, можно провести,
    в общей сложности два перпендикуляра со смежных сторон.

    Длина диаметра, радиуса, хорды, дуги вписанной окружности
    измеряется в км, м, см, мм и других единицах измерения.

    Видео:Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника, окружностьСкачать

    Вписанная и описанная около равнобедренного треугольника,  окружность

    Ромб. Формулы, признаки и свойства ромба

    Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольник
    Рис.1Рис.2

    Видео:Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    Вокруг любого параллелограмма можно описать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    Признаки ромба

    ∠BAC = ∠CAD или ∠BDA = ∠BDC

    Δ ABO = Δ BCO = Δ CDO = Δ ADO

    Видео:ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikajСкачать

    ЧЕТЫРЕХУГОЛЬНИК и ОКРУЖНОСТЬ | ЕГЭ Математика | @matematikaj

    Основные свойства ромба

    ∠BAC = ∠CAD, ∠ABD = ∠DBC, ∠BCA = ∠ACD, ∠ADB = ∠BDC

    AC 2 + BD 2 = 4AB 2

    Видео:Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).Скачать

    Строим вписанную в данный треугольник окружность (Задача 2).

    Сторона ромба

    Формулы определения длины стороны ромба:

    1. Формула стороны ромба через площадь и высоту:

    a =S
    ha

    2. Формула стороны ромба через площадь и синус угла:

    a =√ S
    √ sinα
    a =√ S
    √ sinβ

    3. Формула стороны ромба через площадь и радиус вписанной окружности:

    a =S
    2 r

    4. Формула стороны ромба через две диагонали:

    a =√ d 1 2 + d 2 2
    2

    5. Формула стороны ромба через диагональ и косинус острого угла ( cos α ) или косинус тупого угла ( cos β ):

    a =d 1
    √ 2 + 2 cosα
    a =d 2
    √ 2 — 2 cosβ

    6. Формула стороны ромба через большую диагональ и половинный угол:

    a =d 1
    2 cos ( α /2)
    a =d 1
    2 sin ( β /2)

    7. Формула стороны ромба через малую диагональ и половинный угол:

    a =d 2
    2 cos ( β /2)
    a =d 2
    2 sin ( α /2)

    8. Формула стороны ромба через периметр:

    a =Р
    4

    Видео:Как узнать, что около четырехугольника можно описать окружность?😍 #математика #математикаегэ #егэСкачать

    Как узнать, что около четырехугольника можно описать окружность?😍 #математика #математикаегэ #егэ

    Диагонали ромба

    Формулы определения длины диагонали ромба:

    d 1 = a √ 2 + 2 · cosα

    d 1 = a √ 2 — 2 · cosβ

    d 2 = a √ 2 + 2 · cosβ

    d 2 = a √ 2 — 2 · cosα

    d 1 = 2 a · cos ( α /2)

    d 1 = 2 a · sin ( β /2)

    d 2 = 2 a · sin ( α /2)

    d 2 = 2 a · cos ( β /2)

    7. Формулы диагоналей через площадь и другую диагональ:

    d 1 =2S
    d 2
    d 2 =2S
    d 1

    8. Формулы диагоналей через синус половинного угла и радиус вписанной окружности:

    d 1 =2 r
    sin ( α /2)
    d 2 =2 r
    sin ( β /2)

    Видео:№701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждыйСкачать

    №701. Начертите три треугольника: остроугольный, прямоугольный и тупоугольный. В каждый

    Периметр ромба

    Периметром ромба называется сумма длин всех сторон ромба.

    Длину стороны ромба можно найти за формулами указанными выше.

    Формула определения длины периметра ромба:

    Видео:Если в четырёхугольник можно вписать окружностьСкачать

    Если в четырёхугольник можно вписать окружность

    Площадь ромба

    Формулы определения площади ромба:

    4. Формула площади ромба через две диагонали:

    S =1d 1 d 2
    2

    5. Формула площади ромба через синус угла и радиус вписанной окружности:

    S =4 r 2
    sinα

    6. Формулы площади через большую диагональ и тангенс острого угла ( tgα ) или малую диагональ и тангенс тупого угла ( tgβ ):

    S =1d 1 2 · tg ( α /2)
    2
    S =1d 2 2 · tg ( β /2)
    2

    Видео:№696. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.Скачать

    №696. Докажите, что если в параллелограмм можно вписать окружность, то этот параллелограмм — ромб.

    Окружность вписанная в ромб

    Формулы определения радиуса круга вписанного в ромб:

    1. Формула радиуса круга вписанного в ромб через высоту ромба:

    r =h
    2

    2. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и сторону ромба:

    r =S
    2 a

    3. Формула радиуса круга вписанного в ромб через площадь и синус угла:

    r =√ S · sinα
    2

    4. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через сторону и синус любого угла:

    r =a · sinα
    2
    r =a · sinβ
    2

    5. Формулы радиуса круга вписанного в ромб через диагональ и синус угла:

    r =d 1 · sin ( α /2)
    2
    r =d 2 · sin ( β /2)
    2

    6. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали:

    r =d 1 · d 2
    2√ d 1 2 + d 2 2

    7. Формула радиуса круга вписанного в ромб через две диагонали и сторону:

    r =d 1 · d 2
    4 a

    Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

    Добро пожаловать на OnlineMSchool.
    Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

    Видео:8 класс, 39 урок, Описанная окружностьСкачать

    8 класс, 39 урок, Описанная окружность

    Описанная окружность

    Окружность описанная около многоугольника — это окружность, на которой лежат все вершины многоугольника. Вписанный в окружность многоугольник — это многоугольник, все вершины которого лежат на окружности. На рисунке 1 четырехугольник АВСD вписан в окружность с центром О, а четырехугольник АЕСD не является вписанным в эту окружность, так как вершина Е не лежит на окружности.

    Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольник

    Теорема

    Около любого треугольника можно описать окружность.

    Доказательство

    Дано: произвольный Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникАВС.

    Доказать: около Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникАВС можно описать окружность.

    Доказательство:

    1. Проведем серединные перпендикуляры к сторонам Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникАВС, которые пересекутся в точке О (по свойству серединных перпендикуляров треугольника). Соединим точку О с точками А, В и С (Рис. 2).

    Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольник

    Точка О равноудалена от вершин Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникАВС (по теореме о серединном перпендикуляре), поэтому ОА = ОВ = ОС. Следовательно, окружность с центром О радиуса ОА проходит через все три вершины треугольника, значит, является описанной около Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникАВС. Теорема доказана.

    Замечание 1

    Около треугольника можно описать только одну окружность.

    Доказательство

    Предположим, что около треугольника можно описать две окружности. Тогда центр каждой из них равноудален от его вершин и поэтому совпадает с точкой О пересечения серединных перпендикуляров к сторонам треугольника, а радиус равен расстоянию от точки О до вершин треугольника. Следовательно, эти окружности совпадают, т.е. около треугольника можно описать только одну окружность. Что и требовалось доказать.

    Замечание 2

    Около четырехугольника не всегда можно описать окружность.

    Доказательство

    Рассмотрим, например, ромб, не являющийся квадратом. Такой ромб можно «поместить» в окружность так, что две его вершины будут лежать на этой окружности (Рис. 3), но нельзя «поместить» ромб в окружность так, чтобы все его вершины лежали на окружности, т.к. диаметр окружности, равный одной из диагоналей ромба, будет больше (меньше) второй диагонали, т.е. нельзя описать окружность. Что и требовалось доказать.

    Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольник

    Если же около четырехугольника можно описать окружность, то его углы обладают следующим замечательным свойством:

    В любом вписанном четырехугольнике сумма противоположных углов равна 180 0 .

    Доказательство

    Рассмотрим четырехугольник АВСD, вписанный в окружность (Рис. 4).

    Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольник

    Углы В и Dвписанные, тогда по теореме о вписанном угле: Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВ = Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникАDС, Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникD = Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникАВС, откуда следует Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВ + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникD = Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникАDС + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникАВС = Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольник(Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникАDС + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникАВС). Дуги АDС и АВС вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникАDС + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникАВС = 360 0 , тогда Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВ + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникD = Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольник360 0 = 180 0 . Что и требовалось доказать.

    Верно и обратное утверждение:

    Если сумма противоположных углов четырехугольника равна 180 0 , то около него можно описать окружность.

    Доказательство

    Дано: четырехугольник АВСD, Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникBАD + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникBСD = 180 0 .

    Доказать: около АВСD можно описать окружность.

    Доказательство:

    Проведем окружность через три вершины четырехугольника: А, В и D (Рис. 5), — и докажем, что она проходит также через вершину С, т.е. является описанной около четырехугольника АВСD.

    Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольник

    Предположим, что это не так. Тогда вершина С лежит либо внутри круга, либо вне его.

    Рассмотрим первый случай, когда точка С лежит внутри круга (Рис. 6).

    Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольник

    Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВСDвнешний угол Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникСFD, следовательно, Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникBСD = Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВFD + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникFDE. (1)

    Углы ВFD и FDEвписанные. По теореме о вписанном угле Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВFD = Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВАD и Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникFDE = Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникЕF, тогда, подставляя данные равенства в (1), получим: Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникBСD = Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВАD + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникЕF = Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольник(Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВАD + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникЕF), следовательно, Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВСDОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВАD.

    Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникBАD вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникBАD = Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВЕD, тогда Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникBАD + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникBСDОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольник(Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВЕD + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВАD).

    Дуги ВЕD и ВАD вместе составляют окружность, градусная мера которой равна 360 0 , т.е. Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВЕD + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВАD = 360 0 , тогда Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникBАD + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникBСDОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольник360 0 = 180 0 .

    Итак, мы получили, что Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникBАD + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникBСDОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольник180 0 . Но это противоречит условию Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникBАD + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникBСD =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность.

    Рассмотрим второй случай, когда точка С лежит вне круга (Рис. 7).

    Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольник

    По теореме о сумме углов треугольника в Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВСF: Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникС + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВ + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникF = 180 0 , откуда Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникС = 180 0 — ( Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВ + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникF). (2)

    Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВ вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВ = Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникЕF. (3)

    Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникF и Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВFD смежные, поэтому Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникF + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВFD = 180 0 , откуда Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникF = 180 0 — Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВFD = 180 0 — Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВАD. (4)

    Подставим (3) и (4) в (2), получим:

    Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникС = 180 0 — (Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникЕF + 180 0 — Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВАD) = 180 0 — Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникЕF — 180 0 + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВАD = Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольник(Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВАDОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникЕF), следовательно, Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникСОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВАD.

    Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникА вписанный, тогда по теореме о вписанном угле Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникА = Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВЕD, тогда Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникА + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникСОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольникОколо любого ромба можно описать окружность в любой треугольник(Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВЕD + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникВАD). Но это противоречит условию Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникА + Около любого ромба можно описать окружность в любой треугольникС =180 0 , и, значит, наше предположение ошибочно, т.е. точка С лежит на окружности, значит, около четырехугольника АВСD можно описать окружность. Что и требовалось доказать.

    Примечание:

    Окружность всегда можно описать:

    Поделись с друзьями в социальных сетях:

    🎥 Видео

    №711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. ДляСкачать

    №711. Начертите три треугольника: тупоугольный, прямоугольный и равносторонний. Для

    В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

    В любой четырёхугольник можно вписать окружность. | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

    Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

    Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

    Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

    Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline
    Поделиться или сохранить к себе: