Одна окружность вращается вокруг другой (4 видео)

Круговые обороты, вращающиеся вокруг другого круга

Я просто смотрел этот видео , и я немного озадачен.

Интуитивный ответ — 3, но правильный ответ — 4. Я понимаю трюк, что центр круга A должен пройти расстояние от $ 2 pi (r_B + r_A) $, а не $ 2 pi r_B $ — но я ‘все еще путают по одному пункту.

С риском озвучивания очень не математически, как (бесконечный набор) указывает на окружность каждого круга, сопоставляя друг с другом, чтобы достичь этого?

Рассмотрим круг A, катящийся по прямой, длина окружности круга B. Затем он будет вращаться 3 раза. Это похоже на то, что вселенная «знает», когда применяется другое точечное отображение, когда вы меняете расположение материи.

Как показано на рисунке ниже, меньший круг должен обернуться вокруг $ 3 $ раз, если он движется по прямому расстоянию, равному периметру большего круга. В этом случае центр меньшего круга принимает одинаковое расстояние.

Теперь представьте, что прямая длина длины $ 6 pi r_B $ полностью вращается вокруг ее центра, а малая окружность катится вперед. Кроме того, предположим, что прямая занимает один полный оборот, а круг достигает другого конца.

В результате маленький круг занимает четвертый оборот.

Число оборотов не отличается, если путь является круговым. Круглость пути была смоделирована в случае прямого пути, поворачивая вокруг сегмента.

Видео объясняет то же самое, утверждая, что маленький круг должен преодолевать расстояние $ 8 pi r_B $. Это то же самое, что перемещаться по прямой линии длиной $ 8 pi r_B $, которая не вращается вокруг своего центра.

Спасибо всем за ваши ответы. Все они были информативными, но я не мог интуитивно понять их, пока не увидел это визуальное:

Ключом для меня было увидеть, что происходят два вида революции:

Революции круга A относительно круга B и
Революции круга A относительно наблюдателя (накладных).

Для наблюдателя обороты типа (2) завершаются до оборотов типа (1). Обороты типа (1) происходят при корнях $ r_B/r_A $ единицы, а обороты типа (2) происходят при корнях $ (r_B/r_A + 1) $ из единицы. Было очень полезно увидеть, где именно происходят эти революции, потому что умственно невозможно объединить два типа революции без визуального. Также полезно заметить, что в любой момент времени по отношению к наблюдателю точки круга A на противоположной стороне от круга B движутся быстрее, чем точки круга A со стороны, касающейся круга B.

Ответ Дэвида К отлично подходит для понимания того, что параметрическое отображение пар «время-точка» одинаково независимо от того, крутится ли круг по прямой или окружности, и что мы имеем дело с системами отсчета. Я просто не верил, что сопоставление было таким же, пока я не увидел визуальный.

ответы zoli и Hans Lundmark отлично подходят для понимания того, что одна дополнительная революция должна произойти в какой-то момент вдоль пути катания. Разумеется, полный ответ заключается в том, что эта последняя таинственная революция происходит не сразу, а постепенно по всему рулону.

Визуальность была обнаружена в комментариях на этой странице, что является еще одним обсуждением той же проблемы:

Отображение точек от одной окружности к другой не отличается от того, когда маленький круг катится по прямой; дополнительная революция объясняется исключительно изгибом.

Это может быть проще увидеть в случае скольжения, когда на маленьком круге есть одна точка $ A $, которая находится в контакте с линией или большим кругом на протяжении всего процесса. При скольжении по линии маленький круг вообще не вращается. Но если он должен скользить по большому кругу таким образом, что одна и та же точка $ A $ постоянно находится в контакте, тогда он также должен вращаться как на глиссадах (и он совершит один оборот, когда он скользит по одному кругу вдоль большой круг).

Я не знаю, почему люди переплетают эти простые проблемы. Окружность большего круга равна 3x окружности меньшего круга. Если маленький круг не скользит, он займет 3 оборота, чтобы покрыть расстояние вокруг большего круга. Ничего волшебного здесь.

Причина, по которой вы были в недоумении от видео, связана с тем, что загрузчик совершает ошибку в 1:34 до 1:42. Он считает это полным переворотом меньшего круга, чего явно нет. Если бы он обозначил оба круга точками на их окружности, вы увидите, что это займет 3 оборота. Это просто сохранение длины. Движущееся движение совершенно не имеет отношения к указанной проблеме.

Кстати, апплет, с которым вы связались, был для 4: 1 масштабного коэффициента, поэтому в апплете требуется четыре оборота.

Я не знаю, что вы подразумеваете под «картами точек друг к другу». Для «сопоставления» одного набора с другим подразумевается функция, которая отображает каждую точку в одном наборе в уникальную точку в другой; «сопоставить друг с другом» означает, что функция взаимно однозначна. Между точками нет взаимно однозначного отображения: каждая точка на маленьком круге встречает три разных точки на большом круге. Если вы крутите круг радиуса $ 2 $ дважды вокруг круга радиуса $ 3 $, то соответствие между встречающимися точками не является даже функцией в одном направлении, не говоря уже о взаимно однозначной функции. Я думаю, возможно, вы имеете в виду, что есть отображение из некоторого параметра к парам точек вдоль двух окружностей, которые приводятся в контакт; например, если параметр является временем в секундах с момента начала движения, в сопоставлении указывается, какие две точки будут находиться в контакте в каждый момент времени $ t $.

Я предпочитаю совершенно иной подход, чем тот, что в видео. Поместите себя на раму, прикрепленную к центрам двух кругов. Когда маленький круг катится вокруг большего, движение центр малого круга вращает рамку (и вас) вокруг центр большего круга.

Когда вы сидите на кадре, то, что вы видите, это два центра круги, остающиеся в одном и том же месте в вашем поле зрения, в то время как большой круг вращается вокруг его центра, а меньший Круг также вращается без скольжения против большего круга. И, конечно, вы видите, что меньший круг вращается три раза.

Но кто-то, кто оставался неподвижным относительно большого круга, не сидя в вашей вращающейся раме, видит, что меньший круг вращается четыре раза: три раза, которые вы наблюдали, плюс один поворот, который вы не заметили, потому что вы делали полное вращение в том же направляйте себя. Если вы отпустите рамку и отмените действие ее вращение на вас, повернувшись один раз в противоположном направлении, вы увидите четвертый поворот маленького круга.

Содержание

I. Механика
Тестирование онлайн
Угловая скорость
Период и частота
Линейная скорость
Центростремительное ускорение
Вращение Земли
Связь со вторым законом Ньютона
Как вывести формулу центростремительного ускорения
Движение по циклоиде*
Простая задача про круги, которая выглядит сложной
Строим внутренний треугольник
Строим проекцию
Вычисляем длину секций
🔍 Видео

Видео:Мгновенный центр вращенияСкачать

I. Механика

Видео:Урок 44. Вращение твердого тела. Линейная и угловая скорость. Период и частота вращения.Скачать

Тестирование онлайн

Так как линейная скорость равномерно меняет направление, то движение по окружности нельзя назвать равномерным, оно является равноускоренным.

Видео:Вращательное движение. 10 класс.Скачать

Угловая скорость

Выберем на окружности точку 1. Построим радиус. За единицу времени точка переместится в пункт 2. При этом радиус описывает угол. Угловая скорость численно равна углу поворота радиуса за единицу времени.

Видео:Физика - движение по окружностиСкачать

Период и частота

Период вращения T — это время, за которое тело совершает один оборот.

Частота вращение — это количество оборотов за одну секунду.

Частота и период взаимосвязаны соотношением

Связь с угловой скоростью

Видео:Вращение тела вокруг неподвижной осиСкачать

Линейная скорость

Каждая точка на окружности движется с некоторой скоростью. Эту скорость называют линейной. Направление вектора линейной скорости всегда совпадает с касательной к окружности. Например, искры из-под точильного станка двигаются, повторяя направление мгновенной скорости.

Рассмотрим точку на окружности, которая совершает один оборот, время, которое затрачено — это есть период T. Путь, который преодолевает точка — это есть длина окружности.

Видео:С какой скоростью вращается Земля вокруг своей оси? Угловая и линейная скорость Земли.Скачать

Центростремительное ускорение

При движении по окружности вектор ускорения всегда перпендикулярен вектору скорости, направлен в центр окружности.

Используя предыдущие формулы, можно вывести следующие соотношения

Точки, лежащие на одной прямой исходящей из центра окружности (например, это могут быть точки, которые лежат на спице колеса), будут иметь одинаковые угловые скорости, период и частоту. То есть они будут вращаться одинаково, но с разными линейными скоростями. Чем дальше точка от центра, тем быстрей она будет двигаться.

Закон сложения скоростей справедлив и для вращательного движения. Если движение тела или системы отсчета не является равномерным, то закон применяется для мгновенных скоростей. Например, скорость человека, идущего по краю вращающейся карусели, равна векторной сумме линейной скорости вращения края карусели и скорости движения человека.

Видео:Урок 90. Движение по окружности (ч.2)Скачать

Вращение Земли

Земля участвует в двух основных вращательных движениях: суточном (вокруг своей оси) и орбитальном (вокруг Солнца). Период вращения Земли вокруг Солнца составляет 1 год или 365 суток. Вокруг своей оси Земля вращается с запада на восток, период этого вращения составляет 1 сутки или 24 часа. Широтой называется угол между плоскостью экватора и направлением из центра Земли на точку ее поверхности.

Видео:Вращение Земли вокруг СолнцаСкачать

Связь со вторым законом Ньютона

Согласно второму закону Ньютона причиной любого ускорения является сила. Если движущееся тело испытывает центростремительное ускорение, то природа сил, действием которых вызвано это ускорение, может быть различной. Например, если тело движется по окружности на привязанной к нему веревке, то действующей силой является сила упругости.

Если тело, лежащее на диске, вращается вместе с диском вокруг его оси, то такой силой является сила трения. Если сила прекратит свое действие, то далее тело будет двигаться по прямой

Видео:Определение величины угла. Способ вращения вокруг линии уровняСкачать

Как вывести формулу центростремительного ускорения

Рассмотрим перемещение точки на окружности из А в В. Линейная скорость равна v_A и v_B соответственно. Ускорение — изменение скорости за единицу времени. Найдем разницу векторов.

Разница векторов есть . Так как , получим

Видео:Движение колеса без проскальзывания, качение | Олимпиадная физика, кинематика | 9 – 11 классСкачать

Движение по циклоиде*

В системе отсчета, связанной с колесом, точка равномерно вращается по окружности радиуса R со скоростью , которая изменяется только по направлению. Центростремительное ускорение точки направлено по радиусу к центру окружности.

Теперь перейдем в неподвижную систему, связанную с землей. Полное ускорение точки А останется прежним и по модулю, и по направлению, так как при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой ускорение не меняется. С точки зрения неподвижного наблюдателя траектория точки А — уже не окружность, а более сложная кривая (циклоида), вдоль которой точка движется неравномерно.

Мгновенная скорость определяется по формуле

Видео:Определение натуральной величины треугольника АВС методом вращения вокруг горизонтали или фронталиСкачать

Простая задача про круги, которая выглядит сложной

Но на деле она точно простая.

Разберём свежую задачу с канала MindYourDecisions. Это не про программирование, но развивает логическое мышление.

Дано: есть три одинаковых круга с диаметром в 1 метр. Круги соприкасаются друг с другом, а вокруг них натянута эластичная лента.

Что нужно: найти длину этой ленты.

Кажется, что это очень сложная задача, где нужно знать сложные формулы расчёта кривизны и точек натяжения, но на деле всё будет гораздо проще. Если знаете английский — посмотрите оригинальный ролик, там классная анимация:

Видео:Вращение вокруг проецирующей прямой и прямой уровняСкачать

Строим внутренний треугольник

Первое, что мы сделаем, — соединим центры всех кругов в один треугольник:

В геометрии есть такое правило, что если круги касаются друг друга, то через их центры можно провести прямую линию, и точка касания кругов будет лежать на этой линии. Раз у нас диаметр равен 1, то радиус каждого круга равен 0,5. Обозначим это на рисунке:

Получается, что длина каждой стороны треугольника равна 0,5 + 0,5 = 1. Запомним это и идём дальше.

Видео:Луна не вращается вокруг Земли!Скачать

Строим проекцию

От каждой вершины треугольника проведём под прямым углом линии к ленте:

Получились прямоугольники. У прямоугольников противоположные стороны равны, поэтому раз стороны треугольника равны единице, то и эти отрезки на ленте тоже будут равны единице:

Осталось найти длину оставшихся секций:

Видео:Криволинейное, равномерное движение материальной точки по окружности. 9 класс.Скачать

Вычисляем длину секций

Здесь нам поможет знание о том, что полный оборот внутри круга — это 360 градусов.

Так как во внутреннем треугольнике все стороны равны, то это равносторонний треугольник. А раз так, то углы в нём равны 60 градусов. Добавим сюда по два прямых угла по 90 градусов из прямоугольников:

Решаем уравнение: 90 + 60 + 90 + X = 360 → X = 120 градусов.

Но 120 градусов — это ровно треть круга, а у нас таких частей как раз три:

Это значит, что из них можно составить один целый круг. При этом мы знаем, что у этого круга радиус 0,5, а диаметр тогда равен единице. Этого достаточно, чтобы посчитать длину окружности: L = π × d → L = 3,14.

Складываем это число с длинами трёх отрезков и получаем полную длину: 3 + π