Один учащийся определил понятие прямоугольника так прямоугольником называется четырехугольник (2 видео)

Определение понятий

Появление в математике новых понятий, а значит, и новых терминов, обозначающих эти понятия, предполагает их определение.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Например, прямоугольник можно определить так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части — определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b — второе, то данное определение можно представить в таком виде:

а есть (по определению) b.

Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символомÛ, и

тогда определение выглядит так:

Читают: «а равносильно b по определению». Можно прочитать эту запись еще и так: «а тогда и только тогда, когда b».

Определения, имеющие такую структуру, называются явными. Рассмотрим их подробнее.

Обратимся опять к определению прямоугольника, вернее, к его второй части — определяющему понятию. В нем можно выделить:

1) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник»,

2) свойство «иметь все углы прямые», которое позволяет выделить из всевозможных четырехугольников один вид — прямоугольники; поэтому его называют видовым отличием.

Вообще видовое отличие — это свойства (одно или несколько), которые позволяют выделять определяемые объекты из объема родового понятия.

Итоги нашего анализа можно представить в виде схемы

Заметим, что в наглядном представлении структуры определения через род и видовое отличие мы допустили некоторые неточности. Во-первых, слова «родовое понятие» означают, что речь идет о родовом понятии по отношению к определяемому. Во-вторых, не совсем ясно, что означает знак «+», который, как известно, используется для обозначения сложения чисел. Смысл этого знака станет понятным немного позже, когда мы рассмотрим математический смысл союза «и». А пока познакомимся с еще одной возможностью наглядного представления определения через род и видовое отличие. Если определяемое понятие обозначить буквой а, определяющее буквой b, родовое понятие (по отношению к определяемому) — буквой с, а видовое отличие — буквой Р, то определение через род и видовое отличие можно представить так:

Один учащийся определил понятие прямоугольника так прямоугольником называется четырехугольник

(2)

Почему видовое отличие обозначено заглавной буквой, мы узнаем несколько позже, в § 3.

Нам известно, что любое понятие имеет объем. Если понятие а определено через род и видовое отличие (2), то о его объеме — множестве А — можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятия с) и обладают свойством Р:

Например, если дано определение: «Острым углом называется угол, который меньше прямого», — то объем понятия «острый угол» -это подмножество множества всех углов плоскости, которые обладают свойством «быть меньше прямого».

Так как определение понятия через род и видовое отличие является по существу условным соглашением о введении нового термина для замены какой-либо совокупности известных терминов, то об определении нельзя сказать, верное оно или неверное; его не доказывают и не опровергают. Но, формулируя определения, придерживаются ряда правил. Назовем основные.

1. Определение должно быть соразмерным.Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать. Это правило вытекает из того, что определяемое и определяющее понятия взаимозаменяемы.

Например, несоразмерно такое определение квадрата: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все стороны равны». Действительно, объем определяемого понятия — множество квадратов. Объем определяющего понятия — множество четырехугольников, все стороны которых равны, а это множество ромбов. Но не всякий ромб есть квадрат, т.е. объемы определяемого и определяющего понятия не совпадают, и, следовательно, данное определение несоразмерно.

2. В определении (или их системе) не должно быть порочного круга.Это означает, что нельзя определять понятие через само себя (в определяющем не должно содержаться определяемого термина) или определять его через другое, которое, в свою очередь, определять через него.

Например, содержат порочный круг определения: «Равные треугольники — это треугольники, которые равны», «Касательная к окружности — это прямая, которая касается окружности».

Так как в математике рассматривают не просто отдельные понятия, а их систему, то данное правило запрещает порочный круг и в системе определений. В соответствии с ним нельзя определять понятие а, выбрав в качестве родового понятия с, а понятие с — через понятие а.

Например, если определить окружность как границу круга, а круг как часть плоскости, ограниченную окружностью, то мы будем иметь порочный круг в определениях данных понятий.

3. Определение должно быть ясным.Это на первый взгляд очевидное правило, но означает оно многое. Прежде всего, требуется, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.

Например, нельзя определять прямоугольник как параллелограмм с прямым углом, если понятие «параллелограмм» еще не рассмотрено.

К условиям ясности определения относят также рекомендацию включать в видовое отличие лишь столько свойств, сколько необходимо и достаточно для выделения определяемых объектов из объема родового понятия.

Рассмотрим, например, такое определение прямоугольника: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые и противоположные стороны равны».

Нетрудно убедиться в том, что это определение соразмерное и в нем нет порочного круга. Но можно доказать, что свойство «в прямоугольнике противоположные стороны равны» вытекает из свойства «в прямоугольнике все углы прямые». В этом случае считают, что в данном определении прямоугольника второе свойство избыточное.

Таким образом, чтобы определение было ясным, желательно, чтобы оно не содержало избыточных свойств в определяющей части, т.е. таких свойств, которые могут быть выведены из других, включенных в это определение. Однако иногда для простоты изложения это правило нарушают.

Для обеспечения ясности определения важно также наличие понятия, родового по отношению к определяемому. Пропуск родового понятия делает определение несоразмерным. Неприемлемо, например, такое определение квадрата: «Квадрат — это когда все стороны равны».

К сказанному следует добавить, что, формулируя определение, надо стремиться в определяющем указывать не просто родовое по отношению к определяемому понятие, а ближайшее. Это часто позволяет сократить количество свойств, включаемых в видовое отличие.

Например, если для определения квадрата в качестве родового выбрать понятие «четырехугольник», то тогда надо будет включать в видовое отличие два свойства: «иметь все прямые углы» и «иметь все равные стороны». В результате получим определение: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны».

Если же в качестве родового выбрать ближайшее для квадрата родовое понятие — прямоугольник, то получим более короткое определение квадрата: «Квадратом называется прямоугольник, у которого все стороны равны».

4. Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному.Так, квадрат можно определить как:

а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны;

б) прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны;

в) ромб, у которого есть прямой угол;

г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые.

Различные определения одного и того же понятия возможны потому, что из большого числа свойств, входящих в содержание понятия, в определение включаются только некоторые. И когда из возможных определений выбирают одно, исходят из того, какое из них проще и целесообразнее для дальнейшего построения теории.

Если же одному и тому же понятию даются, например, два разных определения, то необходимо доказывать их равносильность, т.е. убеждаться в том, что из свойств, включенных в одно определение, вытекают свойства, включенные в другое, и наоборот.

Завершая рассмотрение определений понятий через род и видовое отличие, назовем ту последовательность действий, которую мы должны соблюдать, если хотим воспроизвести определение знакомого понятия или построить определение нового:

1. Назвать определяемое понятие (термин).

2. Указать ближайшее родовое (по отношению к определяемому) понятие.

3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т.е. сформулировать видовое отличие.

4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).

При изучении математики в начальных классах определения через род и видовое отличие используют редко. Связано это как с особенностями курса, так и с возможностями детей. Но понятий в начальном курсе математики очень много — об этом мы говорили в самом начале параграфа. Как же их определяют?

При изучении математики в начальной школе чаще всего используют так называемые неявные определения. В их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее. Среди них различают контекстуальные и остенсивные.

В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия. Посредством контекста устанавливается связь определяемого понятия с другими, известными, и тем самым косвенно раскрывается его содержание. Примером контекстуального определения может быть определение уравнения и его решения, приведенное в учебнике математики для II класса (Моро М.И., Бантова М.А. Математика: Учеб. для 2 класса трехлетней начальной школы. — М.: Просвещение, 1987. — С. 196). Здесь после записи + 6 = 15 и перечня чисел 0, 5, 9, 10 идет текст: «К какому числу надо прибавить 6, чтобы получилось 15? Обозначим неизвестное число латинской буквой х (икс):

х + 6 = 15 — это уравнение.

Решить уравнение — значит найти неизвестное число. В данном уравнении неизвестное число равно 9, так как 9 + 6=15.

Объясни, почему числа 0, 5 и 10 не подходят».

Из приведенного текста следует, что уравнение — это равенство, в котором есть неизвестное число. Оно может быть обозначено буквой х и это число надо найти. Кроме того, из этого текста следует, что решение уравнения — это число, которое при подстановке вместо х обращает уравнение в верное равенство.

Остенсивные определения — это определения путем показа. Они используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают. Например, таким способом можно определить в начальной школе понятия равенства и неравенства:

78 — 9 37 17-5 = 8 + 4

Это неравенства. Это равенства.

Остенсивные определения, как и контекстуальные, характеризуются некоторой незавершенностью. Действительно, определение посредством показа не выделяет числовые равенства (неравенства) из других предложений, в нем не указываются свойства, характерные для данных понятий. Они только связывают термины с определяемыми объектами. Поэтому после контекстуального или остенсивного определения понятия необходимо дальнейшее изучение свойств так определенных объектов.

Упражнения

1. Переформулируйте следующие определения, используя слова «тогда и только тогда, когда»:

а) Четным называется число, которое делится на 2.

б) Множество А называется подмножеством множества В, если каждый элемент множества А принадлежит множеству В.

в) Множества А и В называются равными, если А ÌВ и ВÌА.

г) Треугольником называется фигура, которая состоит их трех точек, не лежащих на одной прямой, и трех попарно соединяющих их отрезков.

2. В следующих определениях выделите определяемое и определяющее понятия, родовое понятие (по отношению к определяемому) и видовое отличие:

а) Параллелограммом называется четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

в) Отрезок, соединяющий середины двух сторон треугольника, называется его средней линией.

3. Назовите все свойства, которые содержатся в видовом отличии каждого из следующих определений:

а) Биссектрисой угла называется луч, выходящий из вершины угла и делящий угол пополам.

в) Прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

4. Соразмерны ли следующие определения:

а) Остроугольным треугольником называется треугольник, у которого есть острый угол.

в) Прямоугольным треугольником называется треугольник, у которого есть прямой угол.

5.Учащийся определил прямой угол как угол, стороны которого взаимно перпендикулярны, а взаимно перпендикулярные прямые как прямые, образующие при пересечении прямые углы. Какую ошибку допустил учащийся?

6.Есть ли логические ошибки в следующих определениях? Если можете, исправьте их.

а) Прямоугольником называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны.

б) Биссектрисой угла называется прямая, делящая угол пополам.

в) Сложением называется действие, при котором числа складываются.

г) Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого равны все стороны и все углы.

д) Параллелограммом называется многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

7.Дайте определение: тупоугольного треугольника, равнобедренного треугольника, трапеции. Какие понятия вы выбрали в качестве родового в каждом случае? Какие свойства включили в видовое отличие?

8.Сформулируйте определение прямоугольника, используя в качестве родового понятия «четырехугольник». Пользуясь этим определением, объясните, почему фигуры F₁, F₃ и F₄, изображенные на рисунке 31, можно назвать прямоугольниками, а фигуру F₂ — нет.

9. Понятие «противоположные стороны прямоугольника» в начальном курсе математики можно определить так: «Красным цветом обозначены две противоположные стороны прямоугольника, а синим цветом — две другие противоположные стороны» (все это показано на рисунке).

Какой способ определения понятия использован?

10. Выясните, каким способом определяются в различных учебниках по математике для начальных классов понятия:

а) выражение; г) четное число;

б) сумма; д) однозначное число;

в) слагаемое; е) умножение.

§3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ПРЕДЛОЖЕНИЯ

Изучая реальные процессы, математика описывает их, используя как естественный словесный язык, так и свой символический. Описание строится при помощи предложений. Но чтобы математические знания были достоверными, правильно отражали окружающую нас реальность, эти предложения должны быть истинными.

Но как узнать, истинное или ложное знание заключено в том или ином математическом предложении? На этот и другие вопросы, с ним связанные, мы попытаемся ответить в данном параграфе. А сейчас только заметим, что каждое математическое предложение характеризуется содержанием и логической формой (структурой), причем содержание неразрывно связано с формой, и нельзя осмыслить первое, не понимая второго. В связи с этим изучение математических предложений в главе «Элементы логики» будет в основном связано с раскрытием логической структуры математических предложений.

Не нашли, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Содержание

Строить определения математических понятий
Методическая разработка по теме: Математические понятия, предложения методическая разработка по алгебре по теме
Скачать:
Предварительный просмотр:
🎬 Видео

Видео:8 класс, 7 урок, ПрямоугольникСкачать

Строить определения математических понятий

Математические понятия.

Задания на формирование умения

строить определения математических понятий

Типовые задания с решениями

Пример 1.Назовите несколько элементов, принадлежащих объему понятия «металл».

Решение. В объем понятия «металл» входят элементы, охватываемые этим понятием. К ним относятся, например, железо, никель, медь, цинк, золото, серебро, титан.

Пример 2.Назовите несколько свойств, принадлежащих содержанию понятия «дерево». Принадлежит ли содержанию этого понятия свойство «иметь листья»?

Решение. Содержание понятия «дерево состоит из тех свойств, которые являются общими для всех деревьев». К таким свойствам относятся, например, следующие: «быть растением», «иметь корень», «иметь ствол», «иметь ветви», «имеет кору».

Свойство «иметь листья» не входит в содержание понятия «дерево», поскольку этим свойством обладают не все деревья. Так, хвойные деревья не имеют листьев.

Пример 3.Определите, в каких отношениях находятся понятия:

а) трапеция и параллелограмм;

б) четное число и простое число;

в) телефон и средство связи.

а) Объемом понятия а — «трапеция» является множество А, состоящее из четырехугольников, у которых две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Объемом понятия в –«параллелограмм» является множество В, состоящее из четырехугольников, у которых противоположные стороны попарно параллельны. Поскольку никакой четырехугольник не может удовлетворять тем и другим требованиям одновременно, то объемы этих понятий не пересекаются. Следовательно, сами понятия являются несовместимыми (рис а).

б) Объемы понятий а – «четное число» и в – « простое число» содержат общий элемент. Этим числом является число 2, одновременно четное и простое. Поскольку объемы понятий находятся в отношении пересечения, сами понятия являются совместимыми. (рис б).

в) Объем А понятии «телефон» является подмножеством множества В – объема понятия «средства связи». Причем А не совпадает с В. Поэтому АÌВ, т.е. объемы понятий находятся в отношении включения. Понятие «телефон» является видовым, а понятие «средство связи» -родовым. (рис в).

Задания для самостоятельной работы (базовый уровень)

1. Назовите несколько элементов, принадлежащих объему понятия:

а) посуда; б) мебель;

в) автомобиль; г)часть речи;

д) город; е) геометрическая фигура;

ж) планета; з) наука;

и) университет; к)библиотека.

2. Укажите несколько свойств, принадлежащих содержанию понятия:

а) птица; б) книга;

в) поезд; г)студент;

д) существительное; е) треугольник;

ж) праздник; з) рыба.

3. Укажите свойства, которые присущи:

а) прямоугольнику и ромбу;

б) прямоугольнику и не присущи ромбу;

в) ромбу и не присущи прямоугольнику.

4.Для каждого из следующих понятий укажите родовое и видовое понятия:

а) цветок; б) город; в) стол;

г) стакан; д) самолет; е) треугольник;

ж) собака; з) тюльпан; и) существительное;

к) кошка; л) уравнения; м) трактор.

5. Следующие понятия разбейте на группы. Для каждой группы назовите родовое понятие:

а) роза; б) береза; в) серебро;

г) лев; д) баран; е) липа;

ж) корова; з) тюльпан; и) медведь;

к) олово; л) жасмин; м) цинк.

6. Изобразите с помощью диаграмм Эйлера-Венна отношения между объемами понятий a, b и c, если:

а) a – «треугольник», b – «прямоугольный треугольник», c –«равнобедренный прямоугольник»;

б) a – «ромб», b – «квадрат», c – «прямоугольник»;

в) a – «образовательное учреждение», b — «школа» c – «ВУЗ»;

г) a – «натуральное число», b – «четное число», c – «нечетное число»;

д) a — «жилое помещение», b — «дом», c – «комната».

7. Сформулируйте определение данного понятия через род и видовое отличие. В каждом определении выделите родовое понятие и видовой признак, если рассматриваются:

а) «равнобедренный треугольник»;

б) «диаметр окружности»;

8. Сформулируйте определение прямоугольного треугольника и выявите его структуру.

Задания для самостоятельной работы (повышенный уровень)

1.Выясните, соизмеримы ли следующие определения:

а) квадратом называется четырехугольник, у которого все стороны равны;

б) прямоугольником называется ромб, имеющий прямой угол;

в) равнобедренный треугольник – это треугольник, у которого хотя бы две стороны равны;

г) прилагательным называется часть речи, обозначающая признак предмета и отвечающая на вопрос «какой».

В случае отрицательного ответа внесите соответствующие изменения в определение.

2.Учащийся определилпрямой угол как угол, стороны которого взаимно перпендикулярны, а взаимно перпендикулярные прямые как прямые, образующие при пересечении прямые углы. Какую ошибку допустил учащийся?

3. Учащийся по аналогии с определением остроугольного треугольника сформулировал такое определение остроугольного четырехугольника: «Остроугольным четырехугольником называется выпуклый четырехугольник, все углы которого острые». Можно ли считать это определение правильным?

4.Один учащийся определил понятие прямоугольника так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые и стороны попарно равны».

Второй учащийся сказал: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые».

А третий дал такое определение: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого противоположные стороны равны».

Какой из учащихся дал верное определение понятия прямоугольника? Можно ли это понятие определить еще каким либо образом?

5.В каких из приведенных ниже определениях математических понятий имеются ошибки? Исправьте их, если это возможно.

а) Биссектрисой треугольника называется прямая, делящая угол треугольника пополам.

б) Диаметром круга называется хорда, проходящая через центр круга.

в) Касательной к окружности называется прямая, которая касается окружности.

г) Ромбом называется параллелограмм, две смежные стороны которого равны.

д) Сложение называется действие, при котором числа складываются.

е) Равносторонним треугольником называется треугольник, у которого равны все его стороны и все его углы.

ж) Параллелограммом называется многоугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.

6. Проанализируйте логическую структуру определения прямоугольника (через четырехугольник) и установите, какие из фигур являются прямоугольниками.

7.Дайте определение биссектрисы угла и установите, на каком рисунке луч ВD является биссектрисой угла (рис. 6).

8.Сформулируйте определение понятия «квадрат», указав в качестве родового понятия «прямоугольник». Пользуясь данным определением, укажите условия, при которых:

а) фигура будет являться квадратом;

б) фигура не будет являться квадратом.

9.Достаточно ли нижеприведенное условие для того, чтобы четырехугольник был прямоугольником:

Видео:Прямоугольник. Что такое прямоугольник?Скачать

Методическая разработка по теме: Математические понятия, предложения
методическая разработка по алгебре по теме

Главная цель данной темы состоит в передаче студентам определенной системы знаний по обоснованию основных понятий начального курса математики. Изучение темы должно способствовать воспитанию определенной математической культуры будущего учителя, способного создать для младших школьников определенную базу знаний, необходимых им для дальнейшего изучения математики. Изучение темы должно носить профессионально-педагогическую направленность, на основе установления связи математики и методики преподавания математики.

Видео:Площадь прямоугольника. Как найти площадь прямоугольника?Скачать

Скачать:

Вложение	Размер
metodicheskaya_razrabotka._matematicheskie_ponyatiya_predlozheniya.doc	682.5 КБ

Бесплатный марафон подготовки к ЕГЭ на зимних каникулах

Учи.Дома запускает бесплатный марафон в котором каждый день. В течении 5 дней утром ты будешь получать одно задание по выбранному предмету, а вечером его решение. Твоя задача, успеть выполнение задание до того как получишь ответ.

Бесплатно, онлайн, подготовка к ЕГЭ

Видео:Математика 2 класс (Урок№36 - Прямоугольник.)Скачать

Предварительный просмотр:

Министерство образования и науки Российской Федерации

Департамент общего и профессионального образования

ГОУ СПО «Суражский педагогический колледж им. А.С. Пушкина»

Методическая разработка по теме:

Математические понятия, предложения

Изучение темы «Математические понятия, предложения» поможет будущему учителю вести работу по формированию у младших школьников элементарных логических представлений и умений. Поэтому в процессе изучения данной темы у студентов педколледжа должны быть сформированы умения анализировать логическую структуру определений, правильно строить отрицание различных высказываний, проводить и анализировать несложные рассуждения. Изучение материала темы должно также способствовать углублению представлений о логическом строении математики.

Студенты должны знать

Определение всех математических понятий.
Структуру определения понятия через род и видовое отличие.
Определение начальных геометрических понятий, изучаемых в школьном курсе математики.
Смысл слов «и», «или», «не» в составных высказываниях.

Студенты должны уметь

Анализировать структуру определений.
Правильно строить отрицания различных высказываний.
Анализировать простейшие конкретные рассуждения и находить ошибки в рассуждениях.

Понятия, которые изучаются в начальном курсе математики, обычно представляют в виде четырех групп. В первую очередь включаются понятия, связанные с числами и операциями над ними: число, сложение, слагаемое, больше и др. Во-вторых, входят алгебраические понятия: выражение, равенство, уравнение и др. Третью составляют геометрические понятия: прямая, отрезок, треугольник и т.д. Четвертую группу образуют понятия, связанные с величинами и их измерением.

Как же изучать такое обилие самых разных понятий ?

Прежде всего, надо иметь представление о понятии как логической категории и особенностях математических понятий.

В логике понятия рассматривают как форму мысли, отражающую объекты (предметы или явления) в их существенных и общих свойствах. Языковой формой понятия является слово или группа слов.

Составить понятие об объекте — это значит уметь отличить его от других сходных с ним объектов. Математические понятия обладают рядом особенностей. Главное заключается в том, что математические объекты, о которых необходимо составить понятие, в реальности не существуют. Математические объекты созданы умом человека. Это идеальные объекты, отражающие реальные предметы или явления. Например, в геометрии изучают форму и размеры предметов, не принимая во внимание другие их свойства: цвет, массу, твердость и т.д. От всего этого отвлекаются, абстрагируются. Поэтому в геометрии вместо слова «предмет» говорят «геометрическая фигура».

Результатом абстрагирования являются и такие математические понятия, как «число» и «величина».

Вообще математические объекты существуют лишь в мышлении человека и в тех знаках и символах, которые образуют математический язык.

К сказанному можно добавить, что, изучая пространственные формы и количественные отношения материального мира, математика не только пользуется различными приемами абстрагирования, но и само абстрагирование выступает как многоступенчатый процесс. В математике рассматривают не только понятия, появившиеся при изучении реальных предметов, но и понятия, возникшие на основе первых. Например, общее понятие функции как соответствия является обобщением понятий конкретных функций, т.е. абстракцией от абстракций.

Чтобы овладеть общими подходами к изучению понятий в начальном курсе математики, учителю необходимы знания об объеме и содержании понятия, об отношениях между понятиями и о видах определений понятий.

Объем и содержание понятия. Отношения между понятиями

Всякий математический объект обладает определенными свойствами. Например, квадрат имеет четыре стороны, четыре прямых угла, равные диагонали. Можно указать и другие его свойства.

Среди свойств объекта различают существенные и несущественные. Свойство считают существенным для объекта, если оно присуще этому объекту и без него он не может существовать. Например, для квадрата существенными являются все свойства, названные выше. Несущественно для квадрата ABCD свойство «сторона AD горизонтальна». Если квадрат повернуть, то сторона AD окажется расположенной по-другому. Поэтому, чтобы понимать, что представляет собой данный математический объект, надо знать его существенные свойства.

Когда говорят о математическом понятии, то обычно имеют в виду множество объектов, обозначаемых одним термином (словом или группой слов). Так, говоря о квадрате, имеют в виду все геометрические фигуры, являющиеся квадратами. Считают, что множество всех квадратов составляет объем понятия «квадрат».

Вообще объем понятия — это множество всех объектов, обозначаемых одним термином.

Любое понятие имеет не только объем, но и содержание.

Содержание понятия — это множество всех существенных свойств объекта, отраженных в этом понятии.

Рассмотрим, например, понятие «прямоугольник».

Объем понятия — это множество различных прямоугольников, а в его содержание входят такие свойства прямоугольников, как «иметь четыре прямых угла», «иметь равные противоположные стороны», «иметь равные диагонали» и т.д.

Между объемом понятия и его содержанием существует взаимосвязь: если увеличивается объем понятия, то уменьшается его содержание, и наоборот. Так, например, объем понятия «квадрат» является частью объема понятия «прямоугольник», а в содержании понятия «квадрат» содержится больше свойств, чем в содержании понятия «прямоугольник» («все стороны равны», «диагонали взаимно перпендикулярны» и др.).

Любое понятие нельзя усвоить, не осознав его взаимосвязи с другими понятиями. Поэтому важно знать, в каких отношениях могут находиться понятия, и уметь устанавливать эти связи.

Отношения между понятиями тесно связаны с отношениями между их объемами, т.е. множествами.

Условимся понятия обозначать строчными буквами латинского алфавита: a, b, c,…, z.

Пусть заданы два понятия a и b. Объемы их обозначим соответственно А и В.

Если A B (А В), то говорят, что понятие а — видовое по отношению к понятию b, а понятие b — родовое по отношению к понятию а.

Например, если а — «прямоугольник», b — «четырехугольник», то их объемы A и B находятся в отношении включения A B и (А В), поскольку всякий прямоугольник является четырехугольником. Поэтому можно утверждать, что понятие «прямоугольник» — видовое по отношению к понятию «четырехугольник», а понятие «четырехугольник» — родовое по отношению к понятию «прямоугольник».

Если A = B , то говорят, что понятия a и b тождественны.

Например, тождественны понятия «равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник», так как их объемы совпадают.

Рассмотрим подробнее отношение рода и вида между понятиями. Во-первых, понятия рода и вида относительны: одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например, понятие «прямоугольник» — родовое по отношению к понятию «квадрат» и видовое по отношению к понятию «четырехугольник».

Во-вторых, для данного понятия часто молено указать несколько родовых понятий. Так, для понятия «прямоугольник» родовыми являются понятия «четырехугольник», «параллелограмм», «многоугольник». Среди них можно указать ближайшее. Для понятия «прямоугольник» ближайшим является понятие «параллелограмм».

В-третьих, видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например, квадрат, являясь видовым понятием по отношению к понятию «прямоугольник», обладает всеми свойствами, присущими прямоугольнику.

Так как объем понятия — множество, удобно, устанавливая отношения между объемами понятий, изображать их при помощи кругов Эйлера.

Установим, например, отношения между следующими парами понятий a и b, если:

1) а — «прямоугольник», b — «ромб»;

2) а — «многоугольник», b — «параллелограмм»;

3) а — «прямая», b — «отрезок». В случае 1) объемы понятий пересекаются, но

не одно множество не является подмножеством другого. Следовательно, можно утверждать, что данные понятия а и b не находятся в отношении рода и вида.

В случае 2) объемы данных понятий находятся в отношении включения, но не совпадают — всякий параллелограмм является многоугольником, но не наоборот. Следовательно, можно утверждать, что понятие «параллелограмм» — видовое по отношению к понятию «многоугольник», а понятие «многоугольник» — родовое по отношению к понятию «параллелограмм».

В случае 3) объемы понятий не пересекаются, так как ни про один отрезок нельзя сказать, что он является прямой, и ни одна прямая не может быть названа отрезком. Следовательно, данные понятия не находятся в отношении рода и вида.

О понятиях «прямая» и «отрезок» можно сказать, что они находятся в отношении целого и части: отрезок — часть прямой, а не ее вид. И если видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия, то часть не обязательно обладает всеми свойствами целого. Например, отрезок не обладает таким свойством прямой, как ее бесконечность.

Определением обычно называют предложение, разъясняющее суть нового термина (или обозначения). Как правило, делают это на основе ранее введенных понятий. Например, прямоугольник можно определить так: «Прямоугольником называется четырехугольник, у которого все углы прямые». В этом определении есть две части — определяемое понятие (прямоугольник) и определяющее понятие (четырехугольник, у которого все углы прямые). Если обозначить через а первое понятие, а через b — второе, то данное определение можно представить в таком виде:

а есть (по определению) Ь.

Слова «есть (по определению)» обычно заменяют символом , и опр.

тогда определение выглядит так:

Читают: «а равносильно b по определению». Можно прочитать эту запись еще и так: «а тогда и только тогда, когда b».

Определения, имеющие такую структуру, называются явными. Рассмотрим их подробнее.

1) понятие «четырехугольник», которое является родовым по отношению к понятию «прямоугольник»,

Итоги нашего анализа можно представить в виде схемы

Определяемое понятие Родовое понятие + Видовое отличие – Определяющее понятие

Заметим, что в наглядном представлении структуры определения через род и видовое отличие мы допустили некоторые неточности. Во-первых, слова «родовое понятие» означают, что речь идет о родовом понятии по отношению к определяемому. Во-вторых, не совсем ясно, что означает знак «+», который, как известно, используется для обозначения сложения чисел. Смысл этого знака станет понятным немного позже, когда мы рассмотрим математический смысл союза «и». А пока познакомимся с еще одной возможностью наглядного представления определения через род и видовое отличие. Если определяемое понятие обозначить буквой а, определяющее буквой b, родовое понятие (по отношению к определяемому) — буквой c , а видовое отличие — буквой Р, то определение через род и видовое отличие можно представить так:

а с+Р.

Нам известно, что любое понятие имеет объем. Если понятие а определено через род и видовое отличие (2), то о его объеме — множестве А — можно сказать, что в нем содержатся такие объекты, которые принадлежат множеству С (объему родового понятия с) и обладают свойством Р:

Например, если дано определение: «Острым углом называется угол, который меньше прямого», — то объем понятия «острый угол» — это подмножество множества всех углов плоскости, которые обладают свойством «быть меньше прямого».

1. Определение должно быть соразмерным. Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать. Это правило вытекает из того, что определяемое и определяющее понятия взаимозаменяемы.

2. В определении (или их системе) не должно быть порочного круга. Это означает, что нельзя определять понятие через само себя (в определяющем не должно содержаться определяемого термина) или определять его через другое, которое, в свою очередь, определять через него. Например, содержат порочный круг определения: «Равные треугольники — это треугольники, которые равны», «Касательная к окружности — это прямая, которая касается окружности».

3. Определение должно быть ясным. Это на первый взгляд очевидное правило, но означает оно многое. Прежде всего, требуется, чтобы значения терминов, входящих в определяющее понятие, были известны к моменту введения определения нового понятия.

Например, нельзя определять прямоугольник как параллелограмм с прямым углом, если понятие «параллелограмм» еще не рассмотрено. К условиям ясности определения относят также рекомендацию включать в видовое отличие лишь столько свойств, сколько необходимо и достаточно для выделения определяемых объектов из объема родового понятия.

Например, если для определения квадрата в качестве родового выбрать понятие «четырехугольник», то тогда надо будет включать в видовое отличие два свойства; «иметь все прямые углы» и «иметь все равные стороны». В результате получим определение: «Квадратом называется четырехугольник, у которого все углы прямые и все стороны равны».

4. Одно и то же понятие определить через род и видовое отличие, соблюдая сформулированные выше правила, можно по-разному. Так, квадрат можно определить кап:

а) прямоугольник, у которого соседние стороны равны;

б) прямоугольник, у которого диагонали взаимно перпендикулярны;

в) ромб, у которого есть прямой угол;

г) параллелограмм, у которого все стороны равны, а углы прямые.

1. Назвать определяемое понятие (термин).

2. Указать ближайшее родовое (по отношению к определяемому) понятие.

3. Перечислить свойства, выделяющие определяемые объекты из объема родового, т. е. сформулировать видовое отличие.

4. Проверить, выполнены ли правила определения понятия (соразмерно ли оно, нет ли порочного круга и т.д.).

При изучении математики в начальной школе чаще всего используют так называемые неявные определения. В их структуре нельзя выделить определяемое и определяющее. Среди них различают контекстуальные и остенсивные.

В контекстуальных определениях содержание нового понятия раскрывается через отрывок текста, через контекст, через анализ конкретной ситуации, описывающей смысл вводимого понятия. Посредством контекста устанавливается связь определяемого понятия с другими, известными, и тем самым косвенно раскрывается его содержание. Примером контекстуального определения может быть определение уравнения и его решения, такое как. Здесь после записи + 6 = 15 и перечня чисел 0, 5, 9, 10 идет текст: «К какому числу надо прибавить 6, чтобы получилось 15? Обозначим неизвестное число латинской буквой х (икс):

х + 6 = 15 — это уравнение.

Объясни, почему числа 0, 5 и 10 не подходят?».

Остенсивные определения — это определения путем показа. Они используются для введения терминов путем демонстрации объектов, которые этими терминами обозначают. Например, таким способом можно определить в начальной школе понятия равенства и неравенства:

37 + 6>37 17-5 = 8 + 4

Это неравенства. Это равенства.

Изучив материал этого параграфа, мы уточнили свои представления о математических понятиях:

— это понятия об идеальных объектах;

— каждое математическое понятие имеет название (термин), объем и содержание;

— математические понятия могут находиться в отношении рода и вида, если их объемы находятся в отношении включения, но не совпадают;

— математические понятия могут быть тождественными, если их объемы совпадают;

— понятиям дают определения; они могут быть явными и неявными; к неявным относят контекстуальные и остенсивные определения; среди явных чаще всего используются определения через род и видовое отличие;

— при воспроизведении или конструировании определений через род и видовое отличие необходимо соблюдать ряд правил: определение должно быть соразмерным, в нем не должно быть порочного круга, оно должно быть ясным.