Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98 градусов. Остальные углы равны.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Остальные углы либо равны 98 градусов, как накрест лежащие или соответственные, либо равны 180-98=82, как односторонние углы.

Содержание
  1. Другие вопросы из категории
  2. Читайте также
  3. Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98
  4. Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения
  5. Определения параллельных прямых
  6. Признаки параллельности двух прямых
  7. Аксиома параллельных прямых
  8. Обратные теоремы
  9. Пример №1
  10. Параллельность прямых на плоскости
  11. Две прямые, перпендикулярные третьей
  12. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  13. Признаки параллельности прямых
  14. Пример №2
  15. Пример №3
  16. Пример №4
  17. Аксиома параллельных прямых
  18. Пример №5
  19. Пример №6
  20. Свойства параллельных прямых
  21. Пример №7
  22. Пример №8
  23. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  24. Расстояние между параллельными прямыми
  25. Пример №9
  26. Пример №10
  27. Справочный материал по параллельным прямым
  28. Перпендикулярные и параллельные прямые
  29. 🔥 Видео

Видео:№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей сСкачать

№203. Найдите все углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых а и b секущей с

Другие вопросы из категории

В треугольнике АВС угол С равен
90°, АС= 7, АВ = 25

Видео:7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Читайте также

10. Теорема о сумме односторонних углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых третьей.
11. Признаки параллельности прямых (доказательство для случая, когда две прямые параллельны третьей). Сформулировать и доказать следствия из аксиомы параллельных прямых

АВС угол С=90гр., угол А=60гр.,АВ=32см. Найдите АС.

3.Найдите все углы,образованные при пересечении двух параллениных прямых а и в секущей с ,если один из углов равен 60гр.

4.В треуг. АВС угол А=углуВ=45гр. и АВ=19см. Найдите расстояние от точки С до прямой АВ.

параллельных прямых секущей равна 150 градусов. Чему равны эти углы? Вот вторая: Разность двух внутренних односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50 градусов. Найти эти углы.

2)Один из углов,которые получаются при пересечении двух парллельных прямых секущей,равен 72 градуса.Найдите остальные семь углов.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Укажите номера верных утверждений.

1) Любые три прямые имеют не более одной общей точки.

2) Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°.

3) Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение . Проверим каждое из утверждений.

1) «Любые три прямые имеют не более одной общей точки» — верно. Если прямые имеют две и более общих точек, то они совпадают. (См. комментарии к задаче.)

2) «Если угол равен 120°, то смежный с ним равен 120°» — неверно. Сумма смежных углов равна 180°.

3) «Если расстояние от точки до прямой больше 3, то и длина любой наклонной, проведённой из данной точки к прямой, больше 3» — верно. Т. к. расстояние — длина кратчайшего отрезка до прямой, а все наклонные — длиннее.

Укажите номера неверных утверждений.

1) При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой сумма накрест лежащих углов равна 180°.

2) Диагонали ромба перпендикулярны.

3) Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его биссектрис.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Решение . Проверим каждое из утверждений.

1) «При пересечении двух параллельных прямых третьей прямой сумма накрест лежащих углов равна 180°» — неверно, накрест лежащие углы равны.

2) «Диагонали ромба перпендикулярны» — верно, по свойству ромба.

3) «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его биссектрис» — неверно,верным будет утверждение: «Центром окружности, описанной около треугольника, является точка пересечения его серединных перпендикуляров».

В ответ требуется записать номера неверных утверждений, следовательно, ответ — 13.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Видео:ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ 4. Углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых третьейСкачать

ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ГЕОМЕТРИИ 4. Углы, образованные при пересечении двух параллельных прямых третьей

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98имеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, но не принадлежит прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98. Говорят, что прямые Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98пересекаются в точке М.
Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Это можно записать так: Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98— знак принадлежности точки прямой, «Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98параллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98перпендикулярны (рис. 12), то пишут Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98b.
  2. Если Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 = 90°, то а Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98АВ и b Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98АВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98b.
  3. Если Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 9890°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98a.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98ОFА = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98ОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982). Из равенства этих треугольников следует, что Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98З = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 984 и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 985 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 986.
  6. Так как Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 984, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 985 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 986 следует, что Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 986 = 90°. Получаем, что а Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98FF1 и b Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98FF1, а аОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98b.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98
2) Заметим, что Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983 как вертикальные углы.

3) Из равенств Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983 следует, что Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98b.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98AOF = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98ABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 + Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983 + Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98l + Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 = 180° и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983 + Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 = 180° следует, что Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98a проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98b (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98F и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98F (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98b.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98b. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98B как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983. Кроме того, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983 и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983 следует, что Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 984 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98BAF. Действительно, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 984 и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98FAC равны как соответственные углы, a Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98FAC = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98BAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 + Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 = 180° (рис. 97, а).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 + Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983= 180°.

4) Из равенств Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98= Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983 и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 + Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983 = 180° следует, что Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 + Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98BAF + Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98TFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98а (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Так как Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 = 90°, то и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 = 90°, а, значит, сОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98b.

Что и требовалось доказать.

Видео:Задача про углы образованные от пересечения прямых. Геометрия 7 класс.Скачать

Задача про углы образованные от пересечения прямых. Геометрия 7 класс.

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98параллельны, то есть Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98 Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, лучи АВ и КМ.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, то Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98 Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98(рис. 161).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, перпендикулярную прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и строят другую перпендикулярную прямую Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, затем — третью прямую Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и т. д. Поскольку прямые Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98перпендикулярны одной прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, то из указанной теоремы следует, что Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, параллельной прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98 Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, то Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98третьей прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983 иОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 985,Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 984 иОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 986 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 иОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 988,Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 иОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 987 — внешние накрест лежащие углы;
  • Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 иОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 986,Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983 иОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 987,Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 иОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 985,Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 984 иОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 988 — соответственные углы;
  • Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983 иОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 986,Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 984 иОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 985 — внутренние односторонние углы;
  • Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 иОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 987,Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 иОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 988 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98— данные прямые, АВ — секущая, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 (рис. 166).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Доказать: Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и продлим его до пересечения с прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98в точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 по условию, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98BMK =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98AMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98ANM =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98BKM = 90°. Тогда прямые Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98перпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 (рис. 167).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Доказать: Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и секущей Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98l +Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 = 180° (рис. 168).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Доказать: Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и секущей Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98AOB = Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98DOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98BAO=Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98CDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98BAK = 26°, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98ADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98BAC = 2 •Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98BAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98ADK +Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98BAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981=Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982. Так как Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98BAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98||Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98.

Реальная геометрия

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98проходит через точку М и параллельна прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98в некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98||Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98(рис. 187).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Доказать: Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98||Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98.

Доказательство:

Предположим, что прямые Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98не параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, параллельные третьей прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98||Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982,Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983 =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 984. Доказать, что Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98по признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98. Так как Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, то Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98по теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, которая параллельна прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98по признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98не пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, которые параллельны прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98пересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, АВ — секущая,Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 иОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Доказать: Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982.

Доказательство:

Предположим, чтоОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98по признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, параллельные прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98— секущая,Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 иОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 — соответственные (рис. 196).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Доказать:Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98— секущая,Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 иОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 — внутренние односторонние (рис. 197).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Доказать:Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98l +Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 +Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983 = 180°. По свойству параллельных прямыхОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98l =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983 как накрест лежащие. Следовательно,Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98l +Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, т. е.Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 = 90°. Согласно следствию Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, т. е.Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 = 90°.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98АОВ =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98DOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98ABD =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98CDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98ADB =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98CBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98параллельны, то пишут: Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98(рис. 211).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982 =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 983. Значит,Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 981 =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 982.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и АВОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, то расстояние между прямыми Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98равно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, А Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, С Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, АВОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, CDОдин из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98CAD =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98BDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98равны (см. рис. 285). Прямая Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, проходящая через точку А параллельно прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, которая параллельна прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98будет перпендикуляром и к прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98ADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98BAD +Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98ADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Тогда Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98BAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98АВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, параллельную прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Тогда Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98|| Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98равноудалены от прямых Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98на расстояние Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98АВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, то есть расстояние от точки М до прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98равно Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98АВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98. Но через точку К проходит единственная прямая Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, параллельная Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98. Значит, точка М принадлежит прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98.

Таким образом, все точки прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98равноудалены от прямых Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98. Прямая Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98— параллельны.

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98и Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98если она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Один из углов при пересечении двух параллельных прямых третьей равен 98

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

🔥 Видео

Углы при пересечении двух прямых третьейСкачать

Углы при пересечении двух прямых  третьей

№208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°Скачать

№208. Разность двух односторонних углов при пересечении двух параллельных прямых секущей равна 50°

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущейСкачать

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей

7 класс, 11 урок, Смежные и вертикальные углыСкачать

7 класс, 11 урок, Смежные и вертикальные углы

Углы при пересечении двух прямыхСкачать

Углы при пересечении двух прямых

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Смежные углы. 7 класс.Скачать

Смежные углы. 7 класс.

Задачи: смежные и вертикальные углы. 4 задачи за 7 минут. Все о смежных и вертикальных углахСкачать

Задачи: смежные и вертикальные углы. 4 задачи за 7 минут. Все о смежных и вертикальных углах

ОГЭ по математике 2024 геометрия | Разбор всех 17 заданийСкачать

ОГЭ по математике 2024 геометрия | Разбор всех 17 заданий

№ 301-400 - Геометрия 7 класс Мерзляк готовоСкачать

№ 301-400 - Геометрия 7 класс Мерзляк готово

Углы при пересечении двух прямых секущей (третьей прямой). Виды углов урок 5. Геометрия 7 класс.Скачать

Углы при пересечении двух прямых секущей (третьей прямой). Виды углов урок 5. Геометрия 7 класс.

№ 301-400 - Геометрия 7 класс МерзлякСкачать

№ 301-400 - Геометрия 7 класс Мерзляк

Смежные и вертикальные углы. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.Скачать

Смежные и вертикальные углы. Практическая часть - решение задачи. 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: