Общая точка двух окружностей равноудалена

Общая точка двух окружностей равноудалена

Какое из следующих утверждений верно?

1) Точка касания двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

2) В параллелограмме есть два равных угла.

3) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.

Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.

Проверим каждое из утверждений.

1) «Точка касания двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей» — неверно: точка касания двух окружностей удалена от центра на величину радиуса каждой окружности.

2) «В параллелограмме есть два равных угла» — верно, в параллелограмме противоположные углы равны.

3) «Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов» — неверно: площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.

Видео:9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностейСкачать

9 класс, 8 урок, Взаимное расположение двух окружностей

Общая точка двух окружностей равноудалена

Задание 20. Какое из следующих утверждений верно?

1) Точка пересечения двух окружностей равноудалена от центров этих окружностей.

2) В параллелограмме есть два равных угла.

3) Площадь прямоугольного треугольника равна произведению длин его катетов.

1) Нет, если окружности имеют разные радиусы, то точка пересечения будет удалена на величины этих радиусов.

2) Да, в параллелограмме противоположные углы равны.

3) Нет, площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения длин его катетов.

Видео:Пересечение двух окружностейСкачать

Пересечение двух окружностей

Окружность. Относительное взаимоположение окружностей.

Если две окружности имеют только одну общую точку, то говорят, что они касаются.

Если же две окружности имеют две общие точки, то говорят, что они пересекаются.

Трех общих точек две не сливающиеся окружности иметь не могут, потому, что в противном случае через три точки можно было бы провести две различные окружности, что невозможно.

Будем называть линией центров прямую, проходящую через центры двух окружностей (например, прямую OO1).

Теорема.

Если две окружности имеют общую точку по одну сторону от линии центров, то они имеют общую точку и по другую сторону от этой линии, т.е. такие окружности пересекаются.

Пусть окружности O и O1 имеют общую точку A, лежащую вне линии центров OO1. Требуется доказать, что эти окружности имеют еще общую точку по другую сторону от прямой OO1.

Опустим из A на прямую OO1 перпендикуляр AB и продолжим его на расстояние BA1, равное AB. Докажем теперь, что точка A1 принадлежит обеим окружностям. Из построения видно, что точки O и O1 лежат на перпендикуляре, проведенном к отрезку AA1 через его середину. Из этого следует, что точка O одинаково удалена от A и A1. То же можно сказать и о точке O1. Значит обе окружности, при продолжении их, пройдут через A1.Таким образом, окружности имеют две общие точки : A (по условию) и A1 (по доказанному). Следовательно, они пересекаются.

Следствие.

Общая хорда (AA1) двух пересекающихся окружностей перпендикулярна к линии центров и делится ею пополам.

Теоремы.

1. Если две окружности имеют общую точку на линии их центров или на ее продолжении, то они касаются.

2. Обратно: если две окружности касаются, то общая их точка лежит на линии центров или на ее продолжении.

Признаки различных случаев относительного положения окружностей.

Пусть имеем две окружности с центрами O и O1, радиусами R и R1 и расстоянием между центрами d.

Эти окружности могут находиться в следующих 5-ти относительных положениях:

Общая точка двух окружностей равноудалена

1. Окружности лежат одна вне другой, не касаясь. В этом случае, очевидно, d > R + R1 .

2. Окружности имеют внешнее касание. Тогда d = R + R1, так как точка касания лежит на линии центров O O1.

3. Окружности пересекаются. Тогда d R + R1, потому что в треугольнике OAO1 сторона OO1 меньше суммы, но больше разности двух других сторон.

4. Окружности имеют внутреннее касание. В этом случае в d = R — R1, потому что точка касания лежит на продолжении линии OO1.

5. Одна окружность лежит внутри другой, не касаясь. Тогда, очевидно,

d R + R1, то окружности расположены одна вне другой, не касаясь.

2. Если d = R + R1, то окружности касаются извне.

3. Если d R — R1, то окружности пересекаются.

4. Если d = R — R1, то окружности касаются изнутри.

5. Если d R Е R1. Значит, все эти случаи исключаются. Остается один возможный, именно тот, который требовалось доказать. Таким образом, перечисленные признаки различных случаев относительно положения двух окружностей не только необходимы, но и достаточны.

💥 Видео

Точка пересечения двух окружностей равноудалена ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРАСкачать

Точка пересечения двух окружностей равноудалена ... | ОГЭ 2017 | ЗАДАНИЕ 13 | ШКОЛА ПИФАГОРА

Взаимное расположение двух окружностей. Урок 8. Геометрия 9 классСкачать

Взаимное расположение двух окружностей. Урок 8. Геометрия 9 класс

Алгоритмы. Пересечение окружностейСкачать

Алгоритмы. Пересечение окружностей

№675. Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке АСкачать

№675. Стороны угла О касаются каждой из двух окружностей, имеющих общую касательную в точке А

Параметр. Серия 13. Решение задач с окружностями. Касание двух окружностейСкачать

Параметр. Серия 13. Решение задач с окружностями. Касание двух окружностей

Построение точки, равноудаленной от концов отрезковСкачать

Построение точки, равноудаленной от концов отрезков

Найти точку на прямой, равноудалённую от двух данных точекСкачать

Найти точку на прямой, равноудалённую от двух данных точек

ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностейСкачать

ЕГЭ задание 16 Внутреннее касание двух окружностей

Построение точки, равноудалённой от концов отрезкаСкачать

Построение точки, равноудалённой от концов отрезка

1 2 4 сопряжение окружностейСкачать

1 2 4  сопряжение окружностей

На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба. Найдите его сторону.Скачать

На каждой из двух окружностей с радиусами 3 и 4 лежат по три вершины ромба. Найдите его сторону.

Сопряжение окружностейСкачать

Сопряжение окружностей

Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |Скачать

Две окружности | Резерв досрока ЕГЭ-2019. Задание 16. Профильный уровень | Борис Трушин |

Задание 19 (В1) ОГЭ по математике ▶ №14 (Минутка ОГЭ)Скачать

Задание 19 (В1) ОГЭ по математике ▶ №14 (Минутка ОГЭ)

Внешнее сопряжение двух окружностейСкачать

Внешнее сопряжение двух окружностей

Черчение. Внутреннее, внешнее и смешенное сопряжение двух окружностей.Скачать

Черчение. Внутреннее, внешнее и смешенное сопряжение двух окружностей.

Построение окружности по трём точкам.Скачать

Построение окружности по трём точкам.
Поделиться или сохранить к себе: