История треугольника паскаля кратко

Прогресс человечества во многом связан с открытиями, сделанными гениями. Одним из них является Блез Паскаль. Его творческая биография еще раз подтверждает истинность выражения Лиона Фейхтвангера «Талантливый человек, талантлив во всем». Все научные достижения этого великого ученого трудно перечесть. К их числу относится одно из самых элегантных изобретений в мире математики — треугольник Паскаля.

Видео:Математические секреты треугольника ПаскаляСкачать

Несколько слов о гении

Блез Паскаль по современным меркам умер рано, в возрасте 39 лет. Однако за свою короткую жизнь он проявил себя как выдающийся физик, математик, философ и писатель. Благодарные потомки назвали в его честь единицу давления и популярный язык программирования Pascal. Он уже почти 60 лет используется для обучения написания различных кодов. Например, с его помощью каждый школьник может написать программу для вычисления площади треугольника на «Паскале», а также исследовать свойства схемы, о которой речь пойдет ниже.

Деятельность этого ученого с экстраординарным мышлением охватывает самые разные области науки. В частности, Блез Паскаль является одним из основателей гидростатики математического анализа, некоторых направлений геометрии и теории вероятностей. Кроме того, он:

• создал механический калькулятор, известный под названием Паскалева колеса;
• представил экспериментальное доказательство того, что воздух обладает упругостью и имеет вес;
• установил, что барометр можно использовать для предсказания погоды;
• изобрел тачку;
• придумал омнибус — конные экипажи с фиксированными маршрутами, ставшие впоследствии первым видом регулярного общественного транспорта и пр.

Видео:Треугольник ПаскаляСкачать

Арифметический треугольник Паскаля

Как уже было сказано, этот великий французский ученый внес огромный вклад в математическую науку. Одним из его безусловных научных шедевров является «Трактат об арифметическом треугольнике», который состоит из биномиальных коэффициентов, расставленных в определенном порядке. Свойства этой схемы поражают своим разнообразием, а сама она подтверждает пословицу «Все гениальное — просто!».

Видео:Зачем нужен треугольник Паскаля (спойлер: для формул сокращённого умножения)Скачать

Немного истории

Справедливости ради нужно сказать, что на самом деле треугольник Паскаля был известен в Европе еще в начале 16 века. В частности, его изображение можно увидеть на обложке учебника арифметики известного астронома Петра Апиана из Ингольтштадского университета. Похожий треугольник представлен и в качестве иллюстрации в книге китайского математика Ян Хуэй, изданной в 1303 году. О его свойствах было известно также и замечательному персидскому поэту и философу Омару Хайяму еще в начале 12 века. Причем считается, что он познакомился с ним из трактатов арабских и индийских ученых, написанных ранее.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Описание

Прежде чем исследовать интереснейшие свойства треугольника Паскаля, прекрасного в своем совершенстве и простоте, стоит узнать, что он из себя представляет.

Говоря научным языком, эта числовая схема — бесконечная таблица треугольной формы, образованная из биномиальных коэффициентов, расположенных в определенном порядке. В его вершине и по бокам находятся цифры 1. Остальные позиции занимают числа, равные сумме двух чисел, расположенных над ними рядом выше. При этом все строки треугольника Паскаля симметричны относительно его вертикальной оси.

Видео:Применение треугольника Паскаля #shortsСкачать

Основные свойства

Треугольник Паскаля поражает своим совершенством. Для любой строки под номером n (n = 0, 1, 2…) верно:

• первое и последнее числа — 1;
• второе и предпоследнее — n;
• третье число равно треугольному числу (количеству кружков, которые можно расставить в виде равностороннего треугольника, т. е. 1, 3, 6, 10): T_n-1 = n (n — 1) / 2.
• четвертое число является тетраэдрическим, т. е. представляет собой пирамиду с треугольником в основании.

Кроме того, сравнительно недавно, в 1972 году, было установлено еще одно свойство треугольника Паскаля. Для того чтобы его обнаружить, нужно записать элементы этой схемы в виде таблицы со сдвигом строк на 2 позиции. Затем отмечают числа, делящиеся на номер строки. Оказывается, что номер столбца, в котором выделены все числа, является простым числом.

Тот же трюк можно осуществить и по-другому. Для этого в треугольнике Паскаля заменяют числа на остатки от их деления на номер строки в таблице. Затем располагают строки в полученном треугольнике так, чтобы следующая из них начиналась правее на 2 колонки от первого элемента предыдущей. Тогда столбцы, имеющие номера, являющиеся простыми числами, будут состоять только из нулей, а в тех, у которых они составные, будет присутствовать хотя бы один ноль.

Видео:ТРЕУГОЛЬНИК ПАСКАЛЯ 😊 ЧАСТЬ I #shorts #математика #егэ #задачи #задачаналогику #егэ2022 #огэ2022Скачать

Связь с биномом Ньютона

Как известно, так называется формула для разложения на слагаемые целой неотрицательной степени суммы двух переменных, которая имеет вид:

Присутствующие в них коэффициенты равны C_n m = n! / (m! (n — m)!), где m, представляет собой порядковый номер числа в строке n треугольника Паскаля. Иными словами, имея под рукой эту таблицу, можно легко возводить в степень любые числа, предварительно разложив их на два слагаемых.

Таким образом, треугольник Паскаля и бином Ньютона взаимосвязаны самым тесным образом.

Видео:Бином Ньютона и треугольник Паскаля | Учитель года Москвы — 2020Скачать

Математические чудеса

При внимательном изучении треугольника Паскаля можно обнаружить, что:

• сумма всех чисел в строке с порядковым номером n (отсчет ведется с 0) равна 2 n ;
• если строки выровнять по левому краю, то суммы чисел, которые расположены вдоль диагоналей треугольника Паскаля, идущих снизу вверх и слева направо, равны числам Фибоначчи;
• первая «диагональ» состоит из натуральных чисел, идущих по порядку;
• любой элемент из треугольника Паскаля, уменьшенный на единицу, равен сумме всех чисел, расположенных внутри параллелограмма, который ограничен левыми и правыми диагоналями, пересекающимися на этом числе;
• в каждой строке схемы сумма чисел на четных местах равна сумме элементов на нечетных местах.

Видео:Треугольник ПаскаляСкачать

Треугольник Серпинского

Такая интересная математическая схема, достаточно перспективная с точки зрения решения сложных задач, получается, если раскрасить четные числа Паскалевого изображения в один цвет, а нечетные — в другой.

Треугольник Серпинского можно выстроить и другим образом:

• в закрашенной схеме Паскаля перекрашивают в другой цвет серединный треугольник, который образован путем соединения середин сторон исходного;
• точно также поступают с тремя незакрашенными, расположеными в углах;
• если процедуру продолжать бесконечно, то в итоге должна получиться двухцветная фигура.

Самое интересное свойство треугольника Серпинского — его самоподобие, так как он состоит из 3-х своих копий, которые уменьшены в 2 раза. Оно позволяет отнести эту схему к фрактальным кривым, а они, как показывают новейшие исследования лучше всего подходят для математического моделирования облаков, растений, дельт рек, да и самой Вселенной.

Видео:Основное применение треугольника Паскаля! #shortsСкачать

Несколько интересных задач

Где используется треугольник Паскаля? Примеры задач, которые можно решать с его помощью, достаточно разнообразны и относятся к различным областям науки. Рассмотрим некоторые, наиболее интересные из них.

Задача 1. У некоторого большого города, обнесенного крепостной стеной, только одни входные ворота. На первом перекрестке основная дорога расходится на две. То же происходит и на любом другом. В город заходят 210 человек. На каждом из встречающихся перекрестков они делятся пополам. Сколько человек будет находить на каждом перекрестке, когда делиться будет уже невозможно. Ее ответом является 10 строка треугольника Паскаля (формула коэффициентов представлена выше), где по обе стороны от вертикальной оси расположены числа 210.

Задача 2. Имеется 7 наименований цветов. Нужно составить букет из 3 цветков. Требуется выяснить, сколькими различными способами это можно сделать. Эта задача из области комбинаторики. Для ее решения опять же используем треугольник Паскаля и получаем на 7 строке на третьей позиции (нумерация в обоих случаях с 0) число 35.

Теперь вы знаете, что изобрел великий французский философ и ученый Блез Паскаль. Его знаменитый треугольник при правильном использовании может стать настоящей палочкой-выручалочкой для решения множества задач, особенно из области комбинаторики. Кроме того, его возможно использовать для разгадывания многочисленных загадок, связанных с фракталами.

Видео:#26. Треугольник Паскаля как пример работы вложенных циклов | Python для начинающихСкачать

История треугольника паскаля кратко

Главная
• Список секций
• Математика
• Треугольник Паскаля

Видео:Зачем нужен треугольник ПаскаляСкачать

Треугольник Паскаля

Автор работы награжден дипломом победителя III степени

Замечательная геометрическая фигура и самая популярная в школьной программе геометрии — это треугольник. Но треугольники «поселились» не только на страницах учебника геометрии. В данной работе мы рассмотрим не обычный треугольник, а треугольник, состоящий из чисел – треугольник Паскаля, его свойства, связь с числами Фибоначчи и биномиальными коэффициентами.

Познакомиться с таким математическим объектом, как треугольник Паскаля

Пополнить запас научных знаний.

Продолжить знакомство с основными историческими этапами возникновения и развития математической науки, судьбами открытий, именами людей, творивших науку. В первую очередь с биографией ученого Блеза Паскаля.

Самостоятельно попытаться составить данный треугольник.

Рассмотреть свойства треугольника Паскаля.

Определить значимость открытия треугольника Паскаля.

Сформулировать вывод и итоги исследования.

Треугольник Паскаля обладает рядом замечательных свойств, поэтому и носит имя одного из выдающихся людей.

Актуальность данной работы не вызывает сомнения, поскольку обусловлена, с одной стороны большим интересом к теме «Треугольник Паскаля» в современной науке, с другой стороны, её недостаточной разработанностью.

Навыки решения задач с применением треугольника Паскаля помогут в рамках изучения школьного курса математики, при решении олимпиадных задач.

Сбор первоначальных сведений о треугольнике в энциклопедической и учебно-научной литературе.

Построение треугольник Паскаля.

Выявление «волшебных» свойств чисел треугольника.

Изучение возможностей применения треугольника Паскаля.

Формулирование итогов и выводов.

аналитико-статистическая работа со справочной, научно-познавательной и специальной литературой;

поиск информации в интернет — ресурсах.

1.Биография Блеза Паскаля

Прогресс человечества во многом связан с открытиями, сделанными гениями.

Одним из них является Блез Паскаль — французский математик, физик, философ и мастер прозы.

Родился Блез Паскаль в 1623 г. 19 июня в Клермон — Ферране, в семье председателя суда города Этьена Паскаля.

Род Паскалей отличали незаурядные способности, а Блеза одаренность посетила с раннего детства. Этьен Паскаль уделил много внимания развитию умственных способностей сына и уже в 16 лет Блез сочинил труд под названием «Опыт о конических сечениях» в котором содержалась теорема известная, как теорема Паскаля.

Вклад Паскаля в науках очень велик. Вот лишь некоторые из них: заложил основы современной теории вероятностей и математического анализа, сформулировал основной закон гидростатики, написал множество трудов по философии, изобрел шприц, создал гидравлический пресс и вычислительное устройство «Паскалин» (прототип калькулятора), изобрел тачку, придумал омнибус — конные экипажи с фиксированными маршрутами, ставшие впоследствии первым видом регулярного общественного транспорта и пр.

Умер Блез Паскаль 19 августа 1662 года.

Вследствие его больших вкладов в изучение давления в физике, в честь Паскаля назвали единицу измерения давления (Па). Так же в честь Паскаля назвали язык программирования Pascal .

2.Определение и основные свойства треугольника Паскаля.

2.1 История треугольника.

Треугольник Паскаля был известен задолго до 1653 года — даты выхода «Трактата об арифметическом треугольнике» Блеза Паскаля

Похожий треугольник представлен в качестве иллюстрации в книге китайского математика Яна Хуэя, изданной в 1303 году.

О его свойствах было известно также и замечательному персидскому поэту и философу Омару Хайяму еще в начале 12 века. Причем считается, что он познакомился с ним из трактатов арабских и индийских ученых, написанных ранее.

2.2 Построение треугольника Паскаля.

«Треугольник Паскаля так прост, что выписать его сможет даже десятилетний ребенок. В то же время он таит в себе неисчерпаемые сокровища и связывает воедино различные аспекты математики, не имеющие на первый взгляд между собой ничего общего. Столь необычные свойства позволяют считать треугольник Паскаля одной из наиболее изящных схем во всей математике» (Мартин Гарднер).

Треугольником Паскаля называется бесконечная треугольная таблица, в которой (рис.1):

на вершине и по боковым сторонам стоят единицы,

-каждое из остальных чисел равно сумме двух чисел, стоящих над ним в предшествующей строке.

Если очертить треугольник Паскаля, то получится равнобедренный треугольник. Продолжать треугольник можно бесконечно.

2.3 Основные свойства треугольника Паскаля.

Для любой строки под номером n (n = 0, 1, 2…) верно:

Первое и последнее числа – 1; второе и предпоследнее – n.

Строки треугольника симметричны относительно вертикальной оси треугольника.

Сумма чисел n-й строки треугольника Паскаля равна (рис.2)

Первая диагональ — это натуральные числа, идущие по порядку (рис.3).

Вторая диагональ — это «треугольные» числа (Рис.3). Треугольные числа в самом обычном и привычном нам виде показывают, сколько касающихся кружков можно расположить в виде треугольника — как классический пример начальная расстановка шаров в бильярде.

Третья диагональ — это «пирамидальные» числа (один шар мы можем положить на три — итого четыре, под три подложим шесть — итого десять, и так далее) (рис.4).

Четвертая диагональ – это «фигурные числа» в четырехмерном измерении. Это можно представить только в виртуальном мире. Один шар касается четырех, а те, в свою очередь, десяти…

Каждое число треугольника Паскаля равно сумме чисел предыдущей диагонали, стоящей над этим числом.

В каждой строке сумма чисел на нечётных местах равна сумме чисел на чётных местах.

Если номер строки – простое число, то все числа этой строки, кроме 1, делятся на это число.

Каждое число, уменьшенное на 1, равно сумме всех чисел, заполняющих параллелограмм, ограниченный правыми и левыми диагоналями, на пересечении которых стоит это число.

Бином Ньютона – возведение выражения (a + b) в степень. При возведении в степень получаются коэффициенты, равные числам в треугольнике Паскаля.

Сумма чисел n-й восходящей диагонали, проведенной через строку треугольника с номером n − 1, есть n-е число Фибоначчи (число равно сумме двух предыдущих чисел) (рис.5).

Если нечётное число в треугольнике Паскаля заменить на точки контрастного цвета, а чётные — белого цвета, то треугольник Паскаля разобьётся на более мелкие треугольники, образующие изящный узор. Удивительное свойство треугольника Паскаля.

3. Применение треугольника Паскаля.

Где же применяется треугольник Паскаля?

При решении комбинаторных задач.

Треугольник Паскаля используется для решения различных задач в области физики:

принцип минимума потенциальной энергии;

материальные точки и центр тяжести;

центр тяжести системы двух материальных точек;

центр тяжести стержня с многими грузами;

невозможность вечного двигателя.

С появлением вычислительных машин построение треугольника Паскаля стало излюбленной задачкой для начинающих при изучении основ программирования.

Вот далеко не полный перечень свойств чисел треугольника Паскаля и его многочисленных применений.

4. Применение свойств треугольника Паскаля в решении математических задач.

Свойства треугольника Паскаля, наверное, были бы не столь значимы, если бы на их основе нельзя было решать математические задачи. Такие задачи можно встреть в ОГЭ, ЕГЭ и в олимпиадных задачах старшего школьного уровня. Треугольник Паскаля используется при решении комбинаторных задач, для решения различных задач в области физики. С построением вычислительных машин построение треугольника Паскаля стало излюбленной задачкой для начинающих при изучении программирования.

Найдите сумму первых 8 треугольных чисел.

Найдем сумму первых восьми чисел 3 диагонали треугольника Паскаля. (рис.6) Получится 120.

Вася построил из шариков пирамиду. Известно, что на её строительство ушло 286 шариков, сколько «этажей» в Васиной пирамиде?

В данной задаче нам известно, что на строительство пирамиды ушло 286 шариков. Найдем решение с помощью треугольника Паскаля, в котором количество прямоугольников, пересеченных зеленой линией, будет наш ответ. (рис. 7)

Ответ: 11 «этажей».

В магазине «Теплица» продается 6 различных сортов помидор. Сколькими способами можно выбрать из них 3 сорта помидор?

В данной задаче нам даны различные сорта, поэтому повторений не будет и порядок выбора сортов нам неважен, нам важно количество, а именно 3. Найдем решение с помощью нашего треугольника Паскаля, в котором пересечении 3-й диагонали и 6 строки будет наш ответ (рис.8).

На плоскости даны 11 точек, из которых никакие три не лежат на одной прямой и никакие четыре не лежат на одной окружности. Сколько существует окружностей, каждая из которых проходит через три данные точки

Ответ находится на пересечении 11 ряда и 3 диагонали: Это число – 165 (рис.9).

Ответ: 165 окружностей.

Танк может двигаться по квадратам, видимым на карте, размером 4 на 4 только вправо или вниз. Он стоит в точке А. Из штаба пришло задание прибыть в точку В. Сколько маршрутов передвижения может использовать экипаж?

В квадраты a2, a3, a4, а1, b1, c1, d1 танк попадёт 1 способом, в квадрат b2 может добраться 2 способами (рис.10(а)). В квадрат с2 и b3 — 3 способами, d2 и b4 — 4 способами, в c3 – 6 способами, d3, c4 – 10 способами и в квадрат d4 (точка В) – 20 способами. (рис.10(б))

Ответ: 20 способов.

Решив задачу, мы замечаем, что полученные на «карте» числа образуют треугольник Паскаля. Таким образом, можно сделать вывод, что число в треугольнике Паскаля показывает количество способов передвижения от вершины треугольника до данного числа.

Из пункта А по сети дорог идет группа из человек. На каждом перекрестке, начиная с А, пришедшие туда люди делятся пополам – половина идет по направлению l, половина – по направлению m (рис.11). Сколько человек придет в пункты В, С, D, …, I соответственно?

Количество людей, пришедших в искомые точки соответствует числам n-ой строки. В данном случае, n = 7, следовательно¸ искомое количество людей на каждом перекрестке соответствует 7 строке треугольника Паскаля (рис.12).

Ответ: 1, 7, 21, 35, 35, 21, 7, 1.

Возведите в степень: (u — v) 5

У нас есть (a + b) n , где a = u, b = -v, и n = 5. Мы используем 5-й ряд треугольника Паскаля:

Тогда у нас есть:

( u — v ) 5 = ( u + (- v )) 5 = 1( u ) 5 + 5( u ) 4 (- v ) 1 + 10( u ) 3 (- v ) 2 + 10( u ) 2 (- v ) 3 + 5( u ) (- v ) 4 +1(- v ) 5 = u 5 — 5 u 4 v + 10 u 3 v 2 — 10 u 2 v 3 + 5 uv 4 — v 5 .

В ходе исследования мы убедились, что треугольник Паскаля, несмотря на кажущуюся простоту, действительно обладает рядом замечательных свойств, знание которых будет полезно. Этот треугольник широко используется в математике для решения различных видов задач. Треугольник Паскаля имеет применение не только в математике, но и в физике, информатике.

Изучение темы «Треугольник Паскаля» оказалось очень интересной и необычной. Работа над проектом показала, что математика – это не только точная, но и красивая наука.

Гиндикин, С.Г. Рассказы о физиках и математиках/ С.Г.Гиндикин. – М.: Терра, 2013. – 480с.

Энциклопедия для детей Аванта+: В 57 т. Т. 11. Математика/ под ред. М. Аксёновой, В. Володина, М. Самсоновф – М.: Аванта+, 2003. — 688 с.

Корбалан, Ф. Мир математики: В 40 т. Т.1. Золотое сечение, математический язык красоты/ Пер. с исп. — М.: DeAgostini, 2014. — 164 с.: ил.

Гарднер, М. Математические новеллы. (Mathematics Games) / Пер. с англ. Ю.А.Данилова; под ред. Я.А. Смородинского — М.: Мир, 1974. — 456 с.

Успенский, В.А. Треугольник Паскаля. Популярные лекции по математике. Выпуск 43/ ред. В.В. Донченко — 2-е изд. доп. — М.: Наука, 1979. — 48 с.: ил.

Видео:Лекция по теории игр (МФТИ)Скачать

Треугольник Паскаля

Каждый из нас с раннего детства прекрасно знаком с такой простой и, на первый взгляд, понятной фигурой, как треугольник. Однако не все знают, что существует еще и совершенно удивительный треугольник, не похожий на все, что нам доводилось видеть раньше, — треугольник Паскаля, названный так в честь великого французского математика и философа Блеза Паскаля, описавшего его в 1653 году в своем «Трактате об арифметическом треугольнике». Несмотря на то, что первые сведения о треугольнике Паскаля относятся к незапамятным временам (Омар Хайам, занимавшийся не только философией, но и математикой, описал его в начале XII века со ссылкой на заимствование из источников, датированных более ранним временем), именно Б. Паскаль был первым, кто смог научно описать его свойства.

Треугольник Паскаля — иными словами, бесконечная числовая таблица, выполненная в форме треугольника, — прост, изящен и велик, как все гениальное: каждое число его равно сумме двух чисел, которые расположены над ним. Нетрудно догадаться, что этот треугольник может быть каким угодно большим — его можно продолжать беспредельно.

Первый ряд чисел (если считать своеобразные «диагонали» от вершины) — это единицы, второй ряд содержит натуральные числа, соответствующие номеру строки расположения числа. Все числа третьего ряда — 1, 3, 6, 10, 15, 21,28, 36, 45 и т.д. представляют собой треугольные числа, которые показывают, какое именно количество предметов (подобно шарам в бильярде) могут в совокупности образовать треугольник. Этот ряд замечателен еще и тем, что каждое его число является суммой натурального ряда чисел, например: 45 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 или 21 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 и т.д. Четвертый ряд чисел треугольника Паскаля (1, 4, 10, 20, 35, 56 и т.д.) содержит тетраэдрические (пирамидальные) числа, которые участвуют в воображаемом «строительстве» тетраэдра: на три уже имеющихся шара кладется еще один шар и получается — 4 и т.д. Пятый ряд треугольника, образованный гипертетраэдрическими числами 1, 5, 15, 35, 70 и т.д., поможет получить в воображении (поскольку возможен только в четырехмерном пространстве) гипертетраэдр: один шар объединяется с четырьмя, а те — с десятью и т.д. Еще более невообразимый пятимерный тетраэдр «выстраивается» с помощью чисел шестого ряда треугольника Паскаля: 1, 6, 21, 56, 126 и т.д.

Что касается горизонтальных линий, то все числа этих строк являются биномиальными коэффициентами, имеющими бесценное значение для комбинаторики, теории вероятностей, родоначальником которой в «соавторстве» с Ферма стал Б. Паскаль, и иных математических областей.

Одним из загадочных свойств треугольника Паскаля является быстрота нахождения суммы чисел ряда от начала до нужного нам числа. Для этого необходимо, найдя последнее слагаемое, обратить внимание на число, которое записано снизу и слева (если нумеровать ряды с правой стороны) или справа (если нумеровать ряды с левой стороны) от последнего слагаемого. Например, чтобы узнать, что в сумме дадут нам все числа четвертого ряда от 1 до 56, достаточно, найдя 56, взглянуть, что написано слева внизу: это число 126. Удивительно верно!

Кроме того, не догадываясь о собственном открытии (это было обнаружено только в XIX веке), Паскаль «зашифровал» в треугольнике известные числа последовательности Фибоначчи: 1, 6, 10, 4; 1, 5, 6, 1 и т.д.

🔍 Видео

Как проверяют учеников перед ЕНТСкачать

Удивительный треугольник Паскаля | Лекции по математике – Яков Ерусалимский | Научпоп | НаукаPROСкачать

Применение треугольника ПаскаляСкачать

Треугольник Паскаля Python. Коэффициенты для Бинома НьютонаСкачать

🔢 Треугольник Паскаля #математика #алгебраСкачать

Теория струн кратко и понятноСкачать

Числа сочетаний. Треугольник Паскаля | Ботай со мной #059 | Борис Трушин |Скачать

Треугольник Паскаля алгоритмСкачать