Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Параллельные прямые — определение и вычисление с примерами решения

Содержание:

Параллельные прямые:

Ранее мы уже дали определение параллельных прямых.

Напомним, что две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Например, если две прямые a и b плоскости перпендикулярны прямой c этой плоскости, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 85, а). Этот факт нами был доказан как следствие из теоремы о существовании и единственности перпендикуляра, проведенного из точки к данной прямой.

Два отрезка называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых.

Отрезок называется параллельным прямой, если он лежит на прямой, параллельной данной прямой.

Например, на рисунке 85, B изображены параллельные отрезки АВ и СD (параллельность отрезков АВ и СD обозначается следующим образом: АВ Обратная теорема параллельных прямых доказательство). Отрезки ЕF и АВ не параллельны (это обозначается так: ЕF Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Аналогично определяется параллельность двух лучей, отрезка и прямой, луча и прямой, а также отрезка и луча. Например, на рисунке 85, в изображены отрезок PQ, параллельный прямой l, и отрезок ТК, параллельный лучу СD.

Содержание
  1. Определения параллельных прямых
  2. Признаки параллельности двух прямых
  3. Аксиома параллельных прямых
  4. Обратные теоремы
  5. Пример №1
  6. Параллельность прямых на плоскости
  7. Две прямые, перпендикулярные третьей
  8. Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы
  9. Признаки параллельности прямых
  10. Пример №2
  11. Пример №3
  12. Пример №4
  13. Аксиома параллельных прямых
  14. Пример №5
  15. Пример №6
  16. Свойства параллельных прямых
  17. Пример №7
  18. Пример №8
  19. Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами
  20. Расстояние между параллельными прямыми
  21. Пример №9
  22. Пример №10
  23. Справочный материал по параллельным прямым
  24. Перпендикулярные и параллельные прямые
  25. 17. Параллельные прямые. Обратные теоремы
  26. «Управление общеобразовательной организацией: новые тенденции и современные технологии»
  27. Дистанционное обучение как современный формат преподавания
  28. Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО
  29. Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации
  30. Оставьте свой комментарий
  31. Подарочные сертификаты
  32. Прямая линия. Признаки параллельности прямых линий.
  33. 🎦 Видео

Видео:7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямыхСкачать

7 класс, 25 урок, Признаки параллельности двух прямых

Определения параллельных прямых

На рисунке 10 прямые Обратная теорема параллельных прямых доказательствоимеют общую точку М. Точка А принадлежит прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательство, но не принадлежит прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательство. Говорят, что прямые Обратная теорема параллельных прямых доказательствопересекаются в точке М.
Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Это можно записать так: Обратная теорема параллельных прямых доказательство— знак принадлежности точки прямой, «Обратная теорема параллельных прямых доказательство» — знак пересечения геометрических фигур.

На плоскости две прямые могут либо пересекаться, либо не пересекаться. Прямые на плоскости, которые не пересекаются, называются параллельными. Если прямые Обратная теорема параллельных прямых доказательствопараллельны (рис. 11, с. 11), то пишут Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Две прямые, которые при пересечении образуют прямой угол, называются перпендикулярными прямыми. Если прямые Обратная теорема параллельных прямых доказательствоперпендикулярны (рис. 12), то пишут Обратная теорема параллельных прямых доказательство

ВАЖНО!

Совпадающие прямые будем считать одной прямой. Поэтому, если сказано «даны две прямые», это означает, что даны две различные несовпадающие прямые. Это касается также точек, лучей, отрезков и других фигур.

Есть два способа практического сравнения длин отрезков, а также величин углов: 1) наложение; 2) сравнение результатов измерения. Оба способа являются приближенными. В геометрии отрезки и углы могут быть равны, если это дано по условию либо следует из условия на основании логических рассуждений.

Признаки параллельности двух прямых

Прямая c называется секущей по отношению к прямым a и b, если она пересекает каждую из них в различных точках.

При пересечении прямых а и b секущей с образуется восемь углов, которые на рисунке 86, а обозначены цифрами. Некоторые пары этих углов имеют специальное название:

  1. углы 3 и 5, 4 и 6 называются внутренними накрест лежащими;
  2. углы 4 и 5, 3 и 6 называются внутренними односторонними;
  3. углы 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7 называются соответственными.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Рассмотрим признаки параллельности двух прямых.

Теорема 1 (признак параллельности прямых по равенству внутренних накрест лежащих углов). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении прямых а и b секущей АВ внутренние накрест лежащие углы 1 и 2 равны (рис. 86, б). Докажем, что аОбратная теорема параллельных прямых доказательствоb.
  2. Если Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 = 90°, то а Обратная теорема параллельных прямых доказательствоАВ и b Обратная теорема параллельных прямых доказательствоАВ. Отсюда в силу теоремы 1 (глава 3, § 2) следует, что аОбратная теорема параллельных прямых доказательствоb.
  3. Если Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство2Обратная теорема параллельных прямых доказательство90°, то из середины О отрезка АВ проведем отрезок ОF Обратная теорема параллельных прямых доказательствоa.
  4. На прямой b отложим отрезок ВF1 = АF и проведем отрезок ОF1.
  5. Заметим, что Обратная теорема параллельных прямых доказательствоОFА = Обратная теорема параллельных прямых доказательствоОF1В по двум сторонам и углу между ними (АО = ВО, АF= BF1 и Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство2). Из равенства этих треугольников следует, что Обратная теорема параллельных прямых доказательствоЗ = Обратная теорема параллельных прямых доказательство4 и Обратная теорема параллельных прямых доказательство5 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство6.
  6. Так как Обратная теорема параллельных прямых доказательство3 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство4, а точки А, В и О лежат на одной прямой, то точки F1, F и О также лежат на одной прямой.
  7. Из равенства Обратная теорема параллельных прямых доказательство5 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство6 следует, что Обратная теорема параллельных прямых доказательство6 = 90°. Получаем, что а Обратная теорема параллельных прямых доказательствоFF1 и b Обратная теорема параллельных прямых доказательствоFF1, а аОбратная теорема параллельных прямых доказательствоb.

Например, пусть прямая l проходит через точку F, принадлежащую стороне АС треугольника АВС, так, что Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 равен углу ВАС. Тогда сторона АВ параллельна прямой l, так как по теореме 1 данного параграфа прямые АВ и l параллельны (рис. 86, в).

Теорема 2 (признак параллельности прямых по равенству соответственных углов). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

1) Пусть при пересечении прямых а и b секущей с соответственные углы равны, например Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство2. Докажем, что прямые a и b параллельны (рис. 87, а).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство
2) Заметим, что Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство3 как вертикальные углы.

3) Из равенств Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 и Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство3 следует, что Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство3. А поскольку углы 1 и 3 являются внутренними накрест лежащими углами, образованными при пересечении прямых a и b секущей с, то в силу теоремы 1 получаем, что аОбратная теорема параллельных прямых доказательствоb.

Например, пусть прямая l пересекает стороны AB и АС треугольника ABC в точках О и F соответственно и Обратная теорема параллельных прямых доказательствоAOF = Обратная теорема параллельных прямых доказательствоABC. Тогда сторона ВС параллельна прямой l, так как по теореме 2 прямые l и ВС параллельны (рис. 87, б).

Теорема 3 (признак параллельности прямых по сумме градусных мер внутренних односторонних углов). Если, при пересечении двух прямых секущей сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

  1. Пусть при пересечении двух прямых а и b секущей с сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°, например Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 + Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 = 180° (рис. 87, в).
  2. Заметим, что Обратная теорема параллельных прямых доказательство3 + Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 = 180°, так как углы 3 и 2 являются смежными.
  3. Из равенств Обратная теорема параллельных прямых доказательствоl + Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 = 180° и Обратная теорема параллельных прямых доказательство3 + Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 = 180° следует, что Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство3.
  4. Поскольку равны внутренние накрест лежащие углы 1 и 3, то прямые а и b параллельны.

Аксиома параллельных прямых

Как уже отмечалось, при доказательстве теорем опираются на уже доказанные теоремы и некоторые исходные утверждения, которые называются аксиомами. Познакомимся еще с одной аксиомой, имеющей важное значение для дальнейшего построения геометрии.

Пусть в плоскости дана прямая а и не лежащая на ней произвольная точка О. Можно доказать, что через точку О в этой плоскости проходит прямая, параллельная прямой а. Действительно, проведем через точку О прямую с, перпендикулярную прямой a, затем прямую b, перпендикулярную прямой с. Так как прямые а и b перпендикулярны прямой с, то они не пересекаются, т. е. параллельны (рис. 92). Следовательно, через точку O Обратная теорема параллельных прямых доказательствоa проходит прямая b, параллельная прямой а. Возникает вопрос: сколько можно провести через точку О прямых, параллельных прямой а? Ответ на него не является очевидным. Оказывается, что утверждение о единственности прямой, проходящей через данную точку и параллельной прямой, не может быть доказано на основании остальных аксиом Евклида и само является аксиомой.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Большой вклад в решение этого вопроса внес русский математик Н. И. Лобачевский (1792—1856).

Таким образом, в качестве одной из аксиом принимается аксиома параллельных прямых, которая формулируется следующим образом.

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.

Непосредственно из аксиомы параллельны х прямых в качестве следствий получаем следующие теоремы.

Теорема 1. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.

Пусть прямые а и b параллельны прямой с. Докажем, что аОбратная теорема параллельных прямых доказательствоb (рис. 93, а). Проведем доказательство этой теоремы методом от противного. Предположим, что верно утверждение, противоположное утверждению теоремы, т. е. допустим, что прямые а и b не параллельны, а, значит, пересекаются в некоторой точке О. Тогда через точку О проходят две прямые а и b, параллельные прямой с, что противоречит аксиоме параллельных прямых. Таким образом, наше предположение неверно, а, следовательно, прямые а и b параллельны.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Например, пусть прямые а и b пересекают сторону треугольника FDС так, что Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 = Обратная теорема параллельных прямых доказательствоF и Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 = Обратная теорема параллельных прямых доказательствоF (рис. 93, б). Тогда прямые а и b параллельны прямой FD, а, следовательно, аОбратная теорема параллельных прямых доказательствоb.

Теорема 2. Пусть три прямые лежат в плоскости. Если прямая пересекает одну из параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пусть прямые а и b параллельны, а прямая с пересекает прямую а в точке О (рис. 94, а). Докажем, что прямая с пересекает прямую b. Проведем доказательство методом от противного. Допустим, что прямая с не пересекает прямую b. Тогда через точку О проходят две прямые а и с, не пересекающие прямую b, т. е. параллельные ей (рис. 94, б). Но это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно и прямая с пересекает прямую b.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Обратные теоремы

В формулировке любой теоремы можно выделить две ее части: условие и заключение. Условие теоремы — это то, что дано, а заключение — то, что требуется доказать. Например, рассмотрим признак параллельности прямых: если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. В этой теореме условием является первая часть утверждения: при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны (это дано), а заключением — вторая часть: прямые параллельны (это требуется доказать).

Теоремой, обратной данной, называется такая теорема, в которой условием является заключение данной теоремы, а заключением — условие данной теоремы.

Теперь докажем теоремы, обратные признакам параллельности прямых.

Теорема 3 (о равенстве внутренних накрест лежащих углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей (рис. 95, а). Докажем, что внутренние накрест лежащие углы, например 1 и 2, равны.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

2) Доказательство теоремы проведем методом от противного. Допустим, что углы 1 и 2 не равны. Отложим угол QАВ, равный углу 2, так, чтобы угол QАВ и Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 были внутренними накрест лежащими при пересечении прямых AQ и b секущей АВ.

3) По построению накрест лежащие углы QАВ и Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 равны, поэтому по признаку параллельности прямых следует, что AQ Обратная теорема параллельных прямых доказательствоb. Таким образом, получаем, что через точку А проходят две прямые AQ и а, параллельные прямой b, а это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно, а, значит, Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство2.

Например, пусть прямая l параллельна стороне ВС треугольника АВС (рис. 95, б). Тогда Обратная теорема параллельных прямых доказательство3 = Обратная теорема параллельных прямых доказательствоB как внутренние накрест лежащие углы, образованные при пересечении параллельных прямых l и ВС секущей АВ.

Теорема 4 (о равенстве соответственных углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

  1. Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, что соответственные углы, например 1 и 2, равны (рис. 96, а).
  2. Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 3 данного параграфа накрест лежащие углы 1 и 3 равны, т. е. Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство3. Кроме того, Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство3, так как они вертикальные.
  3. Из равенств Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство3 и Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство3 следует, что Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство2.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Например, пусть прямая l параллельна биссектрисе AF треугольника ABC (рис. 96, б), тогда Обратная теорема параллельных прямых доказательство4 = Обратная теорема параллельных прямых доказательствоBAF. Действительно, Обратная теорема параллельных прямых доказательство4 и Обратная теорема параллельных прямых доказательствоFAC равны как соответственные углы, a Обратная теорема параллельных прямых доказательствоFAC = Обратная теорема параллельных прямых доказательствоBAF, так как AF — биссектриса.

Теорема 5 (о свойстве внутренних односторонних углов). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма градусных мер внутренних односторонних углов равна 180°.

1) Пусть параллельные прямые а и b пересечены секущей с. Докажем, например, что Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 + Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 = 180° (рис. 97, а).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

2) Так как прямые а и b параллельны, то по теореме 4 справедливо равенство Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство3.

3) Углы 2 и 3 смежные, следовательно, Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 + Обратная теорема параллельных прямых доказательство3= 180°.

4) Из равенств Обратная теорема параллельных прямых доказательство= Обратная теорема параллельных прямых доказательство3 и Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 + Обратная теорема параллельных прямых доказательство3 = 180° следует, что Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 + Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 = 180°.

Например, пусть отрезок FT параллелен стороне АВ треугольника ABC (рис. 97, б). Тогда Обратная теорема параллельных прямых доказательствоBAF + Обратная теорема параллельных прямых доказательствоTFA = 180°.

Заметим, если доказана какая-либо теорема, то отсюда еще не следует, что обратная теорема верна. Например, известно, что вертикальные углы равны, но если углы равны, то отсюда не вытекает, что они являются вертикальными.

Пример №1

Докажите, что если прямая перпендикулярна одной из параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой прямой.

1) Пусть прямые а и b параллельны и сОбратная теорема параллельных прямых доказательствоа (рис. 98).

2) Так как прямая с пересекает прямую а, то она пересекает и прямую b.

3) При пересечении параллельных прямых а и b секущей с образуются равные внутренние накрест лежащие углы 1 и 2.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Так как Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 = 90°, то и Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 = 90°, а, значит, сОбратная теорема параллельных прямых доказательствоb.

Что и требовалось доказать.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№19 - Признаки параллельности прямых.)

Параллельность прямых на плоскости

Параллельность прямых — одно из основных понятий геометрии. Параллельность часто встречается в жизни. Посмотрев вокруг, можно убедиться, что мы живем в мире параллельных линий. Это края парты, столбы вдоль дороги, полоски «зебры» на пешеходном переходе.

Две прямые, перпендикулярные третьей

Определение. Две прямые называются параллельными, если они лежат в одной плоскости и не пересекаются.

Лучи и отрезки называются параллельными, если они лежат на параллельных прямых. Если прямые Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательствопараллельны, то есть Обратная теорема параллельных прямых доказательствоОбратная теорема параллельных прямых доказательство Обратная теорема параллельных прямых доказательство(рис. 160), то параллельны отрезки АВ и МК, отрезок МК и прямая Обратная теорема параллельных прямых доказательство, лучи АВ и КМ.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Вы уже знаете теорему о параллельных прямых на плоскости: «Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой». Другими словами, если Обратная теорема параллельных прямых доказательствоОбратная теорема параллельных прямых доказательствоОбратная теорема параллельных прямых доказательство, Обратная теорема параллельных прямых доказательствоОбратная теорема параллельных прямых доказательствоОбратная теорема параллельных прямых доказательство, то Обратная теорема параллельных прямых доказательствоОбратная теорема параллельных прямых доказательство Обратная теорема параллельных прямых доказательство(рис. 161).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Данная теорема позволяет решить две важные практические задачи.

Первая задача заключается в проведении нескольких параллельных прямых.

Пусть дана прямая Обратная теорема параллельных прямых доказательство(рис. 162). При помощи чертежного треугольника строят прямую Обратная теорема параллельных прямых доказательство, перпендикулярную прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательство. Затем сдвигают треугольник вдоль прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательствои строят другую перпендикулярную прямую Обратная теорема параллельных прямых доказательство, затем — третью прямую Обратная теорема параллельных прямых доказательствои т. д. Поскольку прямые Обратная теорема параллельных прямых доказательство, Обратная теорема параллельных прямых доказательство, Обратная теорема параллельных прямых доказательствоперпендикулярны одной прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательство, то из указанной теоремы следует, что Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательство, Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательство, Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательство.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Вторая задача — проведение прямой, параллельной данной и проходящей через точку, не лежащую на данной прямой.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

По рисунку 163 объясните процесс проведения прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательство, параллельной прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательствои проходящей через точку К.

Из построения следует: так как Обратная теорема параллельных прямых доказательствоОбратная теорема параллельных прямых доказательство Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательствоОбратная теорема параллельных прямых доказательствоОбратная теорема параллельных прямых доказательство, то Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательство. Решение второй задачи доказывает теорему о существовании прямой, параллельной данной, которая гласит:

Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной.

Накрест лежащие, соответственные и односторонние углы

При пересечении двух прямых Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательствотретьей прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательство, которая называется секущей, образуется 8 углов (рис. 164).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Некоторые пары этих углов имеют специальные названия:

  • Обратная теорема параллельных прямых доказательство3 иОбратная теорема параллельных прямых доказательство5,Обратная теорема параллельных прямых доказательство4 иОбратная теорема параллельных прямых доказательство6 — внутренние накрест лежащие углы;
  • Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 иОбратная теорема параллельных прямых доказательство8,Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 иОбратная теорема параллельных прямых доказательство7 — внешние накрест лежащие углы;
  • Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 иОбратная теорема параллельных прямых доказательство6,Обратная теорема параллельных прямых доказательство3 иОбратная теорема параллельных прямых доказательство7,Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 иОбратная теорема параллельных прямых доказательство5,Обратная теорема параллельных прямых доказательство4 иОбратная теорема параллельных прямых доказательство8 — соответственные углы;
  • Обратная теорема параллельных прямых доказательство3 иОбратная теорема параллельных прямых доказательство6,Обратная теорема параллельных прямых доказательство4 иОбратная теорема параллельных прямых доказательство5 — внутренние односторонние углы;
  • Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 иОбратная теорема параллельных прямых доказательство7,Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 иОбратная теорема параллельных прямых доказательство8 — внешние односторонние углы.

На рисунке 165 отмечены углы 1 и 2. Они являются внутренними накрест лежащими углами при прямых ВС и AD и секущей BD. В этом легко убедиться, продлив отрезки ВС, AD и BD.
Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Признаки параллельности прямых

С указанными парами углов связаны следующие признаки параллельности прямых.

Теорема (первый признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательство— данные прямые, АВ — секущая, Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 =Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 (рис. 166).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Доказать: Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательство.

Доказательство:

Из середины М отрезка АВ опустим перпендикуляр МК на прямую Обратная теорема параллельных прямых доказательствои продлим его до пересечения с прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательствов точке N. Треугольники ВКМ и ANM равны по стороне и двум прилежащим к ней углам (АМ = МВ, Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 = Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 по условию, Обратная теорема параллельных прямых доказательствоBMK =Обратная теорема параллельных прямых доказательствоAMN как вертикальные). Из равенства треугольников следует, что Обратная теорема параллельных прямых доказательствоANM =Обратная теорема параллельных прямых доказательствоBKM = 90°. Тогда прямые Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательствоперпендикулярны прямой NK. А так как две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой, то Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательство.

Теорема (второй признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.

Дано: Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 =Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 (рис. 167).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Доказать: Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательство.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как вертикальные. А так как углы 1 и 2 равны по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательствои секущей Обратная теорема параллельных прямых доказательство. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательство. Теорема доказана.

Теорема (третий признак параллельности прямых). Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.

Дано: Обратная теорема параллельных прямых доказательствоl +Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 = 180° (рис. 168).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Доказать: Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательство.

Доказательство:

Углы 1 и 3 — смежные, поэтому их сумма равна 180°. А так как сумма углов 1 и 2 равна 180° по условию, то углы 2 и 3 равны между собой. Но углы 2 и 3 — внутренние накрест лежащие при прямых Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательствои секущей Обратная теорема параллельных прямых доказательство. А мы знаем, что если внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Значит, Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательство. Теорема доказана.

Пример №2

Доказать, что если отрезки AD и ВС пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то прямые АВ и CD параллельны.

Доказательство:

Пусть О — точка пересечения отрезков AD и ВС (рис. 169).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Треугольники АОВ и DOC равны по двум сторонам и углу между ними (Обратная теорема параллельных прямых доказательствоAOB = Обратная теорема параллельных прямых доказательствоDOC как вертикальные, ВО = ОС, АО = OD по условию). Из равенства треугольников следует, что Обратная теорема параллельных прямых доказательствоBAO=Обратная теорема параллельных прямых доказательствоCDO. Так как эти углы — накрест лежащие при прямых АВ и CD и секущей AD, то АВ || CD по признаку параллельности прямых.

Пример №3

На биссектрисе угла ВАС взята точка К, а на стороне АС — точка D, Обратная теорема параллельных прямых доказательствоBAK = 26°, Обратная теорема параллельных прямых доказательствоADK = 128°. Доказать, что отрезок KD параллелен лучу АВ.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Доказательство:

Так как АК — биссектриса угла ВАС (рис. 170), то

Обратная теорема параллельных прямых доказательствоBAC = 2 •Обратная теорема параллельных прямых доказательствоBAK = 2 • 26° = 52°.

Углы ADK и ВАС — внутренние односторонние при прямых KD и ВА и секущей АС. А поскольку Обратная теорема параллельных прямых доказательствоADK +Обратная теорема параллельных прямых доказательствоBAC = 128° + 52° = 180°, то KD || АВ по признаку параллельности прямых.

Пример №4

Биссектриса ВС угла ABD отсекает на прямой а отрезок АС, равный отрезку АВ. Доказать, что прямые а и b параллельны (рис. 171).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Доказательство:

Так как ВС — биссектриса угла ABD, то Обратная теорема параллельных прямых доказательство1=Обратная теорема параллельных прямых доказательство2. Так как Обратная теорема параллельных прямых доказательствоBAC равнобедренный (АВ=АС по условию), то Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 =Обратная теорема параллельных прямых доказательство3 как углы при основании равнобедренного треугольника. Тогда Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 =Обратная теорема параллельных прямых доказательство3. Но углы 2 и 3 являются накрест лежащими при прямых Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательствои секущей ВС. А если накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Следовательно, Обратная теорема параллельных прямых доказательство||Обратная теорема параллельных прямых доказательство.

Реальная геометрия

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

На рисунке 184 изображен электронный угломер — инструмент для нанесения параллельных линий на рейке или доске. Прибор состоит из двух частей, скрепленных винтом. Одна часть неподвижная, она прижимается к доске, а другая поворачивается на необходимый угол, градусная мера которого отражается на экране угломера. Зажав винт, закрепляют нужный угол. Сдвинув неподвижную часть угломера вдоль доски, наносят новую линию разметки. Так получают параллельные линии, по которым затем распиливают доску.

Аксиома параллельных прямых

Вы уже знаете, что на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести прямую, параллельную данной (см. § 15). Из пятого постулата Евклида (постулат — аксиоматическое предположение) следует, что такая прямая — единственная.

На протяжении двух тысячелетий вокруг утверждения о единственности параллельной прямой разыгрывалась захватывающая и драматичная история! Со времен Древней Греции математики спорили о том, можно доказать пятый постулат Евклида или нет. То есть это теорема или аксиома?

В конце концов работы русского математика Н. И. Лобачевского (1792—1856) позволили выяснить, что доказать пятый постулат нельзя. Поэтому это утверждение является аксиомой.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Аксиома параллельных прямых. Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Если прямая Обратная теорема параллельных прямых доказательствопроходит через точку М и параллельна прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательство(рис. 186), то любая другая прямая, проходящая через точку М, будет пересекаться с прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательствов некоторой точке, пусть и достаточно удаленной.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Поиски доказательства пятого постулата Евклида привели к развитию математики и физики, к пересмотру научных представлений о геометрии Вселенной. Решая проблему пятого постулата, Лобачевский создал новую геометрию, с новыми аксиомами, теоремами, отличающуюся от геометрии Евклида, которая теперь так и называется — геометрия Лобачевского.

Вы уже знаете, что на плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой. А если две прямые параллельны третьей прямой, то что можно сказать про первые две прямые? На этот вопрос отвечает следующая теорема.

Теорема (о двух прямых, параллельных третьей). На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Дано: Обратная теорема параллельных прямых доказательство||Обратная теорема параллельных прямых доказательство, Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательство(рис. 187).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Доказать: Обратная теорема параллельных прямых доказательство||Обратная теорема параллельных прямых доказательство.

Доказательство:

Предположим, что прямые Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательствоне параллельны. Тогда они пересекаются в некоторой точке М. Поэтому через точку М будут проходить две прямые Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательство, параллельные третьей прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательство. А это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит, наше предположение неверно и Обратная теорема параллельных прямых доказательство||Обратная теорема параллельных прямых доказательство. Теорема доказана.

Метод доказательства «от противного»

При доказательстве теоремы о двух прямых, параллельных третьей, мы применили метод доказательства от противного (то есть «от противоположного»). Суть его в следующем. Утверждение любой теоремы делится на условие — то, что в теореме дано, и заключение — то, что нужно доказать.

В доказанной выше теореме условие: «Каждая из двух прямых параллельна третьей прямой», а заключение: «Эти две прямые параллельны между собой».

Используя метод от противного, предполагают, что из данного условия теоремы следует утверждение, противоположное (противное) заключению теоремы. Если при сделанном предположении путем логических рассуждений приходят к какому-либо утверждению, противоречащему аксиомам или ранее доказанным теоремам, то сделанное предположение считается неверным, а верным — ему противоположное.

В доказательстве нашей теоремы мы предположили, что эти две прямые не параллельны, а пересекаются в точке. И пришли к выводу, что тогда нарушается аксиома параллельных прямых. Следовательно, наше предположение о пересечении прямых не верно, а верно ему противоположное: прямые не пересекаются, то есть параллельны.

Методом от противного ранее была доказана теорема о двух прямых, перпендикулярных третьей.

Данный метод является очень мощным логическим инструментом доказательства. Причем не только в геометрии, но и в любом аргументированном споре.

Теорема. Если на плоскости прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую прямую.

Пример №5

На рисунке 188 Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 =Обратная теорема параллельных прямых доказательство2,Обратная теорема параллельных прямых доказательство3 =Обратная теорема параллельных прямых доказательство4. Доказать, что Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательство.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Доказательство:

Так как накрест лежащие углы 1 и 2 равны, то Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательствопо признаку параллельности прямых. Так как соответственные углы 3 и 4 равны, то по признаку параллельности прямых Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательство. Так как Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательство, то Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательствопо теореме о двух прямых, параллельных третьей.

Пример №6

Доказать, что если сумма внутренних односторонних углов при двух данных прямых и секущей меньше 180°, то эти прямые пересекаются.

Доказательство:

Пусть Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательство— данные прямые, АВ — их секущая, сумма углов 1 и 2 меньше 180° (рис. 189).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Отложим от луча АВ угол 3, который в сумме с углом 1 дает 180°. Получим прямую Обратная теорема параллельных прямых доказательство, которая параллельна прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательствопо признаку параллельности прямых. Если предположить, что прямые Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательствоне пересекаются, а, значит, параллельны, то через точку А будут проходить две прямые Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательство, которые параллельны прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательство. Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Следовательно, прямые Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательствопересекаются.

Свойства параллельных прямых

Вы знаете, что если две прямые пересечены секущей и накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Это признак параллельности прямых. Обратное утверждение звучит так: «Если две прямые параллельны и пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны». Это утверждение верно, и оно выражает свойство параллельных прямых. Докажем его и два других свойства для соответственных и односторонних углов.

Теорема (о свойстве накрест лежащих углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то внутренние накрест лежащие углы равны.

Дано: Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательство, АВ — секущая,Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 иОбратная теорема параллельных прямых доказательство2 — внутренние накрест лежащие (рис. 195).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Доказать: Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 =Обратная теорема параллельных прямых доказательство2.

Доказательство:

Предположим, чтоОбратная теорема параллельных прямых доказательство1 Обратная теорема параллельных прямых доказательствоОбратная теорема параллельных прямых доказательство2. Отложим от луча ВА угол 3, равный углу 2. Так как внутренние накрест лежащие углы 2 и 3 равны, то Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательствопо признаку параллельности прямых. Получили, что через точку В проходят две прямые Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательство, параллельные прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательство. А это невозможно по аксиоме параллельных прямых. Следовательно, наше предположение неверно иОбратная теорема параллельных прямых доказательство1 =Обратная теорема параллельных прямых доказательство2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве соответственных углов при параллельных прямых и секущей). Если две параллельные прямые пересечены секущей, то соответственные углы равны.

Дано: Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательство, Обратная теорема параллельных прямых доказательство— секущая,Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 иОбратная теорема параллельных прямых доказательство2 — соответственные (рис. 196).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Доказать:Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 =Обратная теорема параллельных прямых доказательство2.

Доказательство:

Углы 1 и 3 равны как накрест лежащие при параллельных прямых Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательство. Углы 2 и 3 равны как вертикальные. Следовательно,Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 =Обратная теорема параллельных прямых доказательство2. Теорема доказана.

Теорема (о свойстве односторонних углов при параллельных прямых и секущей).

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то сумма внутренних односторонних углов равна 180°.

Дано: Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательство, Обратная теорема параллельных прямых доказательство— секущая,Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 иОбратная теорема параллельных прямых доказательство2 — внутренние односторонние (рис. 197).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Доказать:Обратная теорема параллельных прямых доказательствоl +Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 = 180°.

Доказательство:

Углы 2 и 3 — смежные. По свойству смежных углов Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 +Обратная теорема параллельных прямых доказательство3 = 180°. По свойству параллельных прямыхОбратная теорема параллельных прямых доказательствоl =Обратная теорема параллельных прямых доказательство3 как накрест лежащие. Следовательно,Обратная теорема параллельных прямых доказательствоl +Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 = 180°. Теорема доказана.

Следствие.

Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой.

На рисунке 198 Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательствоОбратная теорема параллельных прямых доказательствоОбратная теорема параллельных прямых доказательство, т. е.Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 = 90°. Согласно следствию Обратная теорема параллельных прямых доказательствоОбратная теорема параллельных прямых доказательствоОбратная теорема параллельных прямых доказательство, т. е.Обратная теорема параллельных прямых доказательство2 = 90°.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Доказанные нами теоремы о свойствах углов при двух параллельных прямых и секущей являются обратными признакам параллельности прямых.

Чтобы не путать признаки и свойства параллельных прямых, нужно помнить следующее:

  • а) если ссылаются на признак параллельности прямых, то требуется доказать параллельность некоторых прямых;
  • б) если ссылаются на свойство параллельных прямых, то параллельные прямые даны, и нужно воспользоваться каким-то их свойством.

Пример №7

Доказать, что если отрезки АВ и CD равны и параллельны, а отрезки AD и ВС пересекаются в точке О, то треугольники АОВ и DOC равны.

Доказательство:

Углы BAD и CD А равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 199).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Углы ABC и DCB равны как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей ВС. Тогда Обратная теорема параллельных прямых доказательствоАОВ =Обратная теорема параллельных прямых доказательствоDOC по стороне и двум прилежащим к ней углам. Что и требовалось доказать.

Пример №8

Доказать, что отрезки параллельных прямых, заключенные между двумя другими пересекающими их параллельными прямыми, равны между собой.

Доказательство:

Пусть АВ || CD, ВС || AD (рис. 200).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Докажем, что АВ = CD, ВС=AD. Проведем отрезок BD. У треугольников ABD и CDB сторона BD — общая,Обратная теорема параллельных прямых доказательствоABD =Обратная теорема параллельных прямых доказательствоCDB как накрест лежащие при параллельных прямых АВ и CD и секущей BD,Обратная теорема параллельных прямых доказательствоADB =Обратная теорема параллельных прямых доказательствоCBD как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей BD. Тогда треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам. Из равенства треугольников следует, что AB=CD, BC=AD. Что и требовалось доказать.

Геометрия 3D

Две плоскости называются параллельными, если они не имеют общих точек (не пересекаются).

Если плоскости Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательствопараллельны, то пишут: Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательство(рис. 211).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Существует еще один вид многогранников — призмы (рис. 212). У призмы две грани (основания) — равные многоугольники, которые лежат в параллельных плоскостях, а остальные грани (боковые) — параллелограммы (задача 137).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

У прямой призмы боковые грани — прямоугольники, боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований и равны между собой. На рисунке 212 изображены треугольная и четырехугольная прямые призмы. У них параллельны плоскости верхней и нижней граней.

Углы с соответственно параллельными и соответственно перпендикулярными сторонами

Теорема (об углах с соответственно параллельными сторонами).

Углы с соответственно параллельными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

1) Острые углы 1 и 2 (рис. 213, а) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя рисунок, докажите самостоятельно, что углы 1 и 2 равны.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 (рис. 213, б) — это углы с соответственно параллельными сторонами. Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Теорема (об углах с соответственно перпендикулярными сторонами).

Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны (если оба острые или оба тупые), или в сумме составляют 180° (если один острый, а другой тупой).

Доказательство:

1) Острые углы 1 и 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, а). Построим острый угол 3 в вершине угла 1, стороны которого параллельны сторонам угла 2. Стороны угла 3 перпендикулярны сторонам угла 1 (прямая, перпендикулярная одной из параллельных прямых, перпендикулярна и другой прямой). По предыдущей теоремеОбратная теорема параллельных прямых доказательство2 =Обратная теорема параллельных прямых доказательство3. Поскольку угол 1 и угол 3 дополняют угол 4 до 90°, тоОбратная теорема параллельных прямых доказательство1 =Обратная теорема параллельных прямых доказательство3. Значит,Обратная теорема параллельных прямых доказательство1 =Обратная теорема параллельных прямых доказательство2.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

2) Острый угол 1 и тупой угол 2 — это углы с соответственно перпендикулярными сторонами (рис. 214, б). Используя этот рисунок и результат пункта 1), докажите самостоятельно, что сумма углов 1 и 2 равна 180°.

Запомнить:

  1. Признаки параллельности прямых: «Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, или соответственные углы равны, или сумма односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны».
  2. Свойства параллельных прямых: «Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны, соответственные углы равны и сумма односторонних углов равна 180°».
  3. На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.
  4. На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.
  5. Прямая, перпендикулярная одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и другой прямой.
  6. Углы с соответственно параллельными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.
  7. Углы с соответственно перпендикулярными сторонами или равны, или в сумме составляют 180°.

Расстояние между параллельными прямыми

Определение. Расстоянием между параллельными прямыми называется расстояние от точки одной из этих прямых до другой прямой.

Если Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательствои АВОбратная теорема параллельных прямых доказательствоОбратная теорема параллельных прямых доказательство, то расстояние между прямыми Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательстворавно длине перпендикуляра АВ (рис. 284). Это расстояние будет наименьшим из всех расстояний от точки А до точек прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательство. Следующая теорема гарантирует, что расстояния от всех точек одной из параллельных прямых до другой прямой равны между собой.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Теорема (о расстоянии между параллельными прямыми).

Все точки каждой из двух параллельных прямых равноудалены от другой прямой.

Дано: Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательство, А Обратная теорема параллельных прямых доказательствоОбратная теорема параллельных прямых доказательство, С Обратная теорема параллельных прямых доказательствоОбратная теорема параллельных прямых доказательство, АВОбратная теорема параллельных прямых доказательствоОбратная теорема параллельных прямых доказательство, CDОбратная теорема параллельных прямых доказательствоОбратная теорема параллельных прямых доказательство.

Доказать: АВ = CD (рис. 285).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Доказательство:

Проведем отрезок AD. Углы CAD и BDA равны как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательствои секущей AD. Прямоугольные треугольники ABD и ACD равны по гипотенузе (AD — общая) и острому углу (Обратная теорема параллельных прямых доказательствоCAD =Обратная теорема параллельных прямых доказательствоBDA). Откуда АВ = CD. Теорема доказана.

Следствие.

Все точки, лежащие в одной полуплоскости относительно данной прямой и равноудаленные от этой прямой, лежат на прямой, параллельной данной.

Доказательство:

Пусть перпендикуляры АВ и CD к прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательстворавны (см. рис. 285). Прямая Обратная теорема параллельных прямых доказательство, проходящая через точку А параллельно прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательство, будет пересекать луч DC в некоторой точке С1. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми C1D = АВ. Но CD = AB по условию. Значит, точка С совпадает с точкой С1 и лежит на прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательство, которая параллельна прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательство. Утверждение доказано.

В силу того что прямая, перпендикулярная к одной из двух параллельных прямых, будет перпендикулярна и к другой прямой, перпендикуляр АВ к прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательствобудет перпендикуляром и к прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательство(см. рис. 285). Поэтому такой перпендикуляр называют общим перпендикуляром двух параллельных прямых.

Пример №9

В четырехугольнике ABCD АВ || CD, AD || ВС, АВ = 32 см, Обратная теорема параллельных прямых доказательствоADC=150°. Найти расстояние между прямыми AD и ВС.

Решение:

Обратная теорема параллельных прямых доказательствоBAD +Обратная теорема параллельных прямых доказательствоADC = 180° как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых АВ и CD и секущей AD (рис. 286).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Тогда Обратная теорема параллельных прямых доказательствоBAD = 180°- 150° = 30°.

Расстояние между параллельными прямыми измеряется длиной перпендикуляра, опущенного из любой точки одной из прямых на другую прямую. Опустим перпендикуляр ВН на прямую AD. В прямоугольном треугольнике АВН катет ВН лежит против угла в 30°. Поэтому он равен половине гипотенузы. Значит, ВН =Обратная теорема параллельных прямых доказательствоАВ = 16 см.

Пример №10

Найти геометрическое место точек, равноудаленных от двух данных параллельных прямых.

Решение:

1) Пусть Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательство— данные параллельные прямые (рис. 287), АВ — их общий перпендикуляр. Через середину К отрезка АВ проведем прямую Обратная теорема параллельных прямых доказательство, параллельную прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательство.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Тогда Обратная теорема параллельных прямых доказательство|| Обратная теорема параллельных прямых доказательство. По теореме о расстоянии между параллельными прямыми все точки прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательстворавноудалены от прямых Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательствона расстояние Обратная теорема параллельных прямых доказательствоАВ.

2) Пусть некоторая точка М (см. рис. 287) равноудалена от прямых Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательство, то есть расстояние от точки М до прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательстворавно Обратная теорема параллельных прямых доказательствоАВ. По следствию из теоремы о расстоянии между параллельными прямыми точки К и М лежат на прямой КМ, параллельной прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательство. Но через точку К проходит единственная прямая Обратная теорема параллельных прямых доказательство, параллельная Обратная теорема параллельных прямых доказательство. Значит, точка М принадлежит прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательство.

Таким образом, все точки прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательстворавноудалены от прямых Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательство. И любая равноудаленная от них точка лежит на прямой Обратная теорема параллельных прямых доказательство. Прямая Обратная теорема параллельных прямых доказательство, проходящая через середину общего перпендикуляра прямых Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательство, — искомое геометрическое место точек.

Геометрия 3D

Расстоянием между параллельными плоскостями называется длина перпендикуляра, опущенного из точки, принадлежащей одной из плоскостей, на другую плоскость (рис. 290). В вашем классе пол и потолок — части параллельных плоскостей. Расстояние между ними равно высоте классной комнаты.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Высотой прямой призмы называется расстояние между плоскостями оснований. Отрезок КК1 — перпендикуляр к плоскости ABC, равный ее высоте. У прямой призмы боковые ребра перпендикулярны плоскостям оснований. Поэтому высота призмы равна длине бокового ребра, то есть АА1 = КК1 (рис. 291).

Обратная теорема параллельных прямых доказательствоОбратная теорема параллельных прямых доказательство

Запомнить:

  1. Сумма углов треугольника равна 180°.
  2. Внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних углов, не смежных с ним.
  3. Катет меньше гипотенузы. Перпендикуляр меньше наклонной, проведенной из той же точки к одной прямой.
  4. Прямоугольные треугольники могут быть равны: 1) по двум катетам; 2) по катету и прилежащему острому углу; 3) по катету и противолежащему острому углу; 4) по гипотенузе и острому углу; 5) по катету и гипотенузе.
  5. Катет прямоугольного треугольника, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Если катет равен половине гипотенузы, то он лежит против угла в 30°.
  6. В треугольнике против большей стороны лежит больший угол, а против большего угла — большая сторона.
  7. В треугольнике любая сторона меньше суммы двух других его сторон (неравенство треугольника).
  8. Любая точка биссектрисы равноудалена от сторон угла. Если точка внутри угла равноудалена от сторон угла, то она лежит на биссектрисе этого угла.
  9. Медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, равна половине гипотенузы. Если в треугольнике медиана равна половине стороны, к которой она проведена, то треугольник прямоугольный.
  10. Биссектрисы треугольника пересекаются в одной точке (2-я замечательная точка).
  11. Расстояние от любой точки одной из параллельных прямых до другой прямой есть величина постоянная.

Справочный материал по параллельным прямым

Параллельные прямые

  • ✓ Две прямые называют параллельными, если они не пересекаются.
  • ✓ Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной.
  • ✓ Две прямые, перпендикулярные третьей прямой, параллельны.
  • ✓ Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны.
  • ✓ Расстоянием между двумя параллельными прямыми называют расстояние от любой точки одной из прямых до другой прямой.

Признаки параллельности двух прямых

  • ✓ Если две прямые а и b пересечь третьей прямой с, то образуется восемь углов (рис. 246). Прямую с называют секущей прямых а и b.
  • Углы 3 и 6, 4 и 5 называют односторонними.
  • Углы 3 и 5, 4 и 6 называют накрест лежащими.
  • Углы 6 и 2, 5 и 1, 3 и 7, 4и 8 называют соответственными.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

  • ✓ Если накрест лежащие углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.
  • ✓ Если сумма односторонних углов, образующихся при пересечении двух прямых секущей, равна 180°, то прямые параллельны.
  • ✓ Если соответственные углы, образующиеся при пересечении двух прямых секущей, равны, то прямые параллельны.

Свойства параллельных прямых

  • ✓ Если две параллельные прямые пересекаются секущей, то:
  • • углы, образующие пару накрест лежащих углов, равны;
  • • углы, образующие пару соответственных углов, равны;
  • • сумма углов, образующих пару односторонних углов, равна 180°.
  • ✓ Если прямая перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.

Перпендикулярные и параллельные прямые

Две прямые называют взаимно перпендикулярными, если они пересекаются под прямым углом.

На рисунке 264 прямые Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательство— перпендикулярные. Две прямые на плоскости называют параллельными, если они не пересекаются.

На рисунке 265 прямые Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательство— параллельны.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Основное свойство параллельных прямых (аксиома параллельности прямых). Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной.

Углы, образованные при пересечении двух прямых секущей. Признаки и свойство параллельности прямых. Свойства углов, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей

Прямую с называют секущей для прямых Обратная теорема параллельных прямых доказательствои Обратная теорема параллельных прямых доказательствоесли она пересекает их в двух точках (рис. 266).

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Пары углов 4 и 5; 3 и 6 называют внутренними односторонними; пары углов 4 и 6; 3 и 5внутренними накрест лежащими; пары углов 1 и 5; 2 и 6; 3 и 7; 4 и 8соответственными углами.

Признаки параллельности прямых:

  1. Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны.
  2. Если при пересечении двух прямых секущей внутренние накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны.
  3. Если при пересечении двух прямых секущей сумма внутренних односторонних углов равна 180°, то прямые параллельны.
  4. Две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны.

Свойство параллельных прямых. Две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг другу.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Соотношения между сторонами и углами треугольника
  • Неравенство треугольника — определение и вычисление
  • Свойства прямоугольного треугольника
  • Расстояние между параллельными прямыми
  • Медианы, высоты и биссектрисы треугольника
  • Равнобедренный треугольник и его свойства
  • Серединный перпендикуляр к отрезку
  • Второй и третий признаки равенства треугольников

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

Видео:Параллельные прямые | Математика | TutorOnlineСкачать

Параллельные прямые | Математика | TutorOnline

17. Параллельные прямые. Обратные теоремы

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№18 - Параллельные прямые.)

«Управление общеобразовательной организацией:
новые тенденции и современные технологии»

Свидетельство и скидка на обучение каждому участнику

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Описание презентации по отдельным слайдам:

Определение. Две прямые на плоскости называются параллельными, если они не пересекаются.

Если при пересечении двух прямых секущей соответственные углы равны, то прямые параллельны. Если при пересечении двух прямых секущей сумма односторонних углов равна 1800, то прямые параллельны. 1 2 а b c c а b 1 2 c а b 1 2 Если при пересечении двух прямых секущей накрест лежащие углы равны, то прямые параллельны. Признаки параллельности прямых

Через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, параллельная данной. Следствие 1. Если прямая пересекает одну из двух параллельных прямых, то она пересекает и другую. a II b, c b ⇒ c a Аксиома параллельности и следствия из неё. а А Следствие 2. Если две прямые параллельны третьей прямой, то они параллельны. a II с, b II с ⇒ a II b c b

Если две параллельные прямые пересечены секущей, то накрест лежащие углы равны. а b M N Дано: a II b, MN- секущая. Доказать: 1= 2 (НЛУ) Доказательство: способ от противного. Допустим, что 1 2. Отложим от луча МN угол NМР, равный углу 2. По построению накрест лежащие углы NМР= 2 РМ II b. Получили, что через точку М проходит две прямые (а и МР), параллельные прямой b . Это противоречит аксиоме параллельных прямых. Значит наше допущение неверно. 1= 2. Теорема доказана. 1 2 Р

Теорема об односторонних углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей. b а c 3 Дано: а II b, c- секущая. Доказать: OУ 1+ 2=1800. Доказательство: 3+ 2 =1800, т. к. они смежные. 1= 3, т. к. это НЛУ при а II b 3 + 2 =1800 1 Теорема доказана. Если то условие заключение теоремы две параллельные прямые пересечены секущей, сумма односторонних углов равна 1800.

2 х+300 х 1 х 2= х+30 1800, т.к. ОУ при а II b ВОА=х, Составь уравнение… Найди сам угол. М N В A B Задача Если MN II AB, а угол 2 больше угла 1 на 300, то угол 2 равен… Решение: 1= х, 2= х+30 1= ВОС, они вертикальные. С

1 2 Теорема о соответственных углах, образованных при пересечении двух параллельных прямых секущей. b а c 3 Дано: а II b, c- секущая. Доказать: СУ 1 = 2. Доказательство: 2 = 3, т. к. они вертикальные. 3 = 1, т. к. это НЛУ при а II b 1 = 3 = 2 Теорема доказана. Если то условие заключение теоремы две параллельные прямые пересечены секущей, соответственные углы равны.

Свойства углов при параллельных прямых. Дано: aIIb. a b 2 1 Сумма углов 1 и 2 равна 760. a b 136 1 440 440 aIIb aIIb 2 2 3 a b 1340 2 aIIb 1: 2 = 4 : 5. aIIb 1 2

1 2 b а c 3 4 5 6 7 8 Дано: а II b, c – секущая. Один из односторонних углов на 20% меньше другого. Найти: все углы. Решение: 2=х, 1 на 20% меньше, т.е. 80% 1=0,8х 2=х 1800, т.к. ОУ при 1=0,8х а II b Составь уравнение… Найди сам все углы… 5 Задача

Тренировочные упражнения 2 1 b а c Угол 1 в 4 раза больше угла 2 х 4х

Тренировочные упражнения 2 1 b а c Дано: а II b, с – секущая 1 – 2 = 300 Найдите: 1 и 2 х х+30 Угол 1 на 300 больше угла 2

Тренировочные упражнения 2 1 b а c Дано: а II b, с – секущая 2 = 0,8 1 Найдите: 1 и 2 Угол 2 составляет 0,8 части угла 1 х 0,8х

Тренировочные упражнения 2 1 b а c Дано: а II b, с – секущая 1 : 2 = 5 : 4 Найдите: 1 и 2 5х 4х Пусть х – 1 часть

Тренировочные упражнения 2 1 b а c Дано: а II b, с – секущая 2 составляет 80% от 1 Найдите: 1 и 2 х 0,8х

2 1 b а c Дано: а II b, с – секущая 1 : 2 = 5 : 4 Найдите: 1 и 2 5х 4х AB = BC, A=600, CD – биссектриса угла ВСЕ. Докажите, что АВ II CD. A С B D E 600 600 1200 600 600 биссектриса Пусть х – 1 часть

Используя данные рисунка, найдите углы 1, 2 и 3. а b с d 200 1200 1600 1 2 3

Может ли еще один из семи остальных углов, образованных при пересечении прямых a и b с прямой d, быть равен 1100? 600? Почему? а b m d 1100 400 400 400 1100 1100 1100

На рисунке АС II ВD и АС = АВ, МАС = 400. Найдите СВD. С D M A 400 B

E D A Построим CN II AB B C Подсказка

E D A Построим CN II AB B C Подсказка 1400 1300 400 500 На рисунке АВ II ЕD. CВА = 1400, СDE = 1300 Докажите, что ВС СD

На рисунке a II b, c – секущая, DM и DN – биссектрисы смежных углов, образованных прямыми a и c. DE = 5,8 см Найдите MN. с D M 400 E а b N 5,8 см ?

A D E 340 B C M K 1460 340 ? N

A D E 480 B C M На рисунке АС II BD и KC II MD, ACK = 480 CDK в 3 раза больше EDM Найдите КDE. K 480 480 x 3x

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Курс повышения квалификации

Дистанционное обучение как современный формат преподавания

  • Сейчас обучается 958 человек из 79 регионов

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Курс повышения квалификации

Методика обучения математике в основной и средней школе в условиях реализации ФГОС ОО

  • Сейчас обучается 333 человека из 69 регионов

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Курс профессиональной переподготовки

Математика: теория и методика преподавания в образовательной организации

  • Сейчас обучается 683 человека из 74 регионов

Ищем педагогов в команду «Инфоурок»

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

  • Голубева Екатерина ГеннадьевнаНаписать 3777 16.04.2018

Номер материала: ДБ-1456030

    16.04.2018 386
    16.04.2018 152
    16.04.2018 547
    16.04.2018 340
    16.04.2018 829
    16.04.2018 665
    16.04.2018 496
    16.04.2018 630

Не нашли то, что искали?

Вам будут интересны эти курсы:

Оставьте свой комментарий

Авторизуйтесь, чтобы задавать вопросы.

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Во всех педвузах страны появятся технопарки

Время чтения: 1 минута

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Учителя о ЕГЭ: секреты успешной подготовки

Время чтения: 11 минут

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

В Минпросвещения рассказали о формате обучения школьников после праздников

Время чтения: 1 минута

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

ОНФ планирует решить проблему с низкими зарплатами водителей школьных автобусов в России

Время чтения: 1 минута

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Рособрнадзор не намерен упрощать ЕГЭ в 2022 году из-за пандемии

Время чтения: 1 минута

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Названы главные риски для детей на зимних каникулах

Время чтения: 3 минуты

Подарочные сертификаты

Ответственность за разрешение любых спорных моментов, касающихся самих материалов и их содержания, берут на себя пользователи, разместившие материал на сайте. Однако администрация сайта готова оказать всяческую поддержку в решении любых вопросов, связанных с работой и содержанием сайта. Если Вы заметили, что на данном сайте незаконно используются материалы, сообщите об этом администрации сайта через форму обратной связи.

Все материалы, размещенные на сайте, созданы авторами сайта либо размещены пользователями сайта и представлены на сайте исключительно для ознакомления. Авторские права на материалы принадлежат их законным авторам. Частичное или полное копирование материалов сайта без письменного разрешения администрации сайта запрещено! Мнение администрации может не совпадать с точкой зрения авторов.

Видео:Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)Скачать

Геометрия 8 класс (Урок№5 - Теорема Фалеса)

Прямая линия. Признаки параллельности прямых линий.

Если две произвольные прямые AB и СD пересечены третьей прямой MN, то образовавшиеся при этом углы получают попарно такие названия:

соответственные углы: 1 и 5, 4 и 8, 2 и 6, 3 и 7;

внутренние накрест лежащие углы: 3 и 5, 4 и 6;

внешние накрест лежащие углы: 1 и 7, 2 и 8;

внутренние односторонние углы: 3 и 6, 4 и 5;

внешние односторонние углы: 1 и 8, 2 и 7.

Описанные углы видны на рисунке:

Обратная теорема параллельных прямых доказательство

Теорема.

Если две параллельные прямые пересечены третьей прямой, то сформировавшиеся:

1. внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

2. внешние накрест лежащие углы одинаковы;

3. соответственные углы одинаковы;

4. сумма внутренних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

5. сумма внешних односторонних углов будет 2d = 180 0 ;

Данную теорему иллюстрирует рисунок:

Имеются две параллельные прямые AB и СD, их пересекает третья прямая MN.

1. ∠ 4 = ∠ 6 и ∠ 3 = ∠ 5;

2. ∠ 2 = ∠ 8 и ∠ 1 = ∠ 7;

3. ∠ 2 =∠ 6, ∠ 1 = ∠ 5, ∠ 3 = ∠ 7, ∠ 4 = ∠ 8;

4. ∠ 3 + ∠ 6 = 2d и ∠ 4 + ∠ 5 = 2d;

5. ∠ 2 + ∠ 7 = 2d и ∠ 1 + ∠ 8 = 2d.

1. Из середины E того отрезка прямой MN, который размещается между параллельными прямыми, прочертим на СD перпендикуляр EK и продолжим его до пересечения с AB в точке L. Так как перпендикуляр к одной из параллельных есть также и перпендикуляр к другой параллельной, то образовавшиеся при этом треугольники (заштрихованные на чертеже) — оба прямоугольные. Они одинаковы, потому что в них по равной гипотенузе и по одинаковому острому углу при точке E. Из равенства треугольников получаем, что внутренние накрест лежащие углы 4 и 6 одинаковы. Два прочих внутренних накрест лежащих угла 3 и 5 одинаковы, как дополнения до 2d к одинаковым углам 4 и 6 (как смежные с 4 и 6).

2. Внешние накрест лежащие углы равны соответственно внутренним накрест лежащим углам, как углы вертикальные.

Так, ∠ 2 = ∠ 4 и ∠ 8 = ∠ 6, но по доказанному ∠ 4 = ∠ 6.

Следовательно, ∠ 2 =∠ 8.

3. Соответственные углы 2 и 6 одинаковы, поскольку ∠ 2 = ∠ 4, а ∠ 4 = ∠ 6. Также убедимся в равенстве других соответственных углов.

4. Сумма внутренних односторонних углов 3 и 6 будет 2d, потому что сумма смежных углов 3 и 4 равна 2d = 180 0 , а ∠ 4 можно заменить идентичным ему ∠ 6. Также убедимся, что сумма углов 4 и 5 равна 2d.

5. Сумма внешних односторонних углов будет 2d, потому что эти углы равны соответственно внутренним односторонним углам, как углы вертикальные.

Из выше доказанного обоснования получаем обратные теоремы.

Когда при пересечении двух прямых произвольной третьей прямой получим, что:

1. Внутренние накрест лежащие углы одинаковы;

или 2. Внешние накрест лежащие углы одинаковые;

или 3. Соответственные углы одинаковые;

или 4. Сумма внутренних односторонних углов равна 2d = 180 0 ;

или 5. Сумма внешних односторонних равна 2d = 180 0 ,

🎦 Видео

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№21 - Свойства параллельных прямых.)

Доказательство теорем методом «от противного». Параллельность прямых на плоскости. Геометрия 7 классСкачать

Доказательство теорем методом «от противного». Параллельность прямых на плоскости. Геометрия 7 класс

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущейСкачать

7 класс, 29 урок, Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямыми и секущей

Геометрия 7 класс. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямымСкачать

Геометрия 7 класс. Теоремы об углах, образованных двумя параллельными прямым

Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№20 - Аксиома параллельных прямых.)

Признаки параллельности прямых. Первый. Доказательство.Скачать

Признаки параллельности прямых. Первый. Доказательство.

Параллельность прямых. 10 класс.Скачать

Параллельность прямых. 10 класс.

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.Скачать

Задачи на доказательство по геометрии. Признаки параллельности прямых.

Доказательство 2 и 3 признаков параллельности прямых.Скачать

Доказательство 2 и 3 признаков параллельности прямых.

Задание 25 Признак параллельности прямых и обратная теоремаСкачать

Задание 25  Признак параллельности прямых и обратная теорема

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||Скачать

Теорема 13.2 Если две прямые параллельны третьей, то они параллельны ||Геометрия 7 класс||

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямыхСкачать

7 класс, 28 урок, Аксиома параллельных прямых

Теорема Фалеса. 8 класс.Скачать

Теорема Фалеса. 8 класс.

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства УгловСкачать

Параллельные прямые — Признак Параллельности Прямых и Свойства Углов

Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | ИнфоурокСкачать

Теоремы об углах, образованных двумя парал. прямыми и секущей | Геометрия 7-9 класс #30 | Инфоурок
Поделиться или сохранить к себе: