Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .
Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.
Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.
Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).
AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,
Складывая эти равенства, получим:
AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,
то справедливо равенство
что и требовалось доказать.
Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.
Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству
и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).
Следовательно, справедливы равенства
из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:
Окружность касается касается стороны BC (рис.4).
В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.
Окружность не касается стороны BC .
В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:
- Точка K лежит между точками C и D (рис.5)
Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:
Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.
Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.
Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.
Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает
Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.
В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.
Примеры описанных четырёхугольников
Фигура | Рисунок | Утверждение |
Ромб | В любой ромб можно вписать окружность | |
Квадрат | В любой квадрат можно вписать окружность | |
Прямоугольник | В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом | |
Параллелограмм | В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом | |
Дельтоид | В любой дельтоид можно вписать окружность | |
Трапеция | В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований |
Ромб |
В любой квадрат можно вписать окружность
В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать
Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольника
Четырехугольник называется вписанным , если все его вершины лежат на окружности.
Четырехугольник называется описанным , если все его стороны касаются некоторой окружности.
Для того, чтобы четырехугольник был вписанным, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов равнялась .
Необходимость. Пусть четырехугольник вписан в окружность с центром в точке .
По теореме 6.1 Аналогично
Достаточность. Пусть – данный четырехугольник и Существует окружность, проходящая одновременно через три точки , и (теорема 6.5). Пусть точка лежит внутри окружности. Прямая пересекает окружность в точке Тогда четырехугольник – вписанный в окружность и в соответствии с необходимым условием Но как внешний к углу Тогда что противоречит условию. Следовательно, лежит на окружности, и данный четырехугольник вписанный. Аналогично рассматривается случай, если предположить, что точка лежит вне окружности. Теорема доказана.
Для того, чтобы выпуклый четырехугольник был описанным, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны.
Необходимость. Пусть четырехугольник описанный, и – точки касания его сторон. Имеем (отрезки касательных, проведенных из одной точки равны). Отсюда .
Достаточность. Пусть в четырехугольнике выполнено равенство . Биссектрисы углов и пересекаются в точке . Точка одинаково удалена от прямых , и . Пусть – окружность, касающаяся сторон , и , а сторона пересекает окружность . Проведем касательную к окружности из точки , и пусть она пересекает прямую в точке . Тогда из необходимого условия – . Вычитая из данного равенства равенство в условиях теоремы получаем или , . Мы пришли к противоречию, так как . В случае, если прямая не пересекает окружность , доказательство аналогично. Теорема доказана.
Видео:2 ПРАВИЛА описанного четырехугольника #shortsСкачать
Вписанные и описанные четырехугольники
Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.
Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.
На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.
Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!
Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.
. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.
Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .
. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .
Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,
Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .
. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.
Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .
Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.
Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны .
Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.
Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто решает задачи второй части профильного ЕГЭ по математике.
📸 Видео
3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать
Описанный четырехугольникСкачать
11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольникСкачать
ОКРУЖНОСТЬ (необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника) ЧАСТЬ 6Скачать
свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTSСкачать
вписанный и описанный четырехугольникСкачать
Свойство и признак описанного четырехугольникаСкачать
Свойство и признак вписанного четырехугольникаСкачать
Свойство и признак описанного четырехугольникаСкачать
Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать
Свойство описанного четырехугольника #огэ #математика #огэматематика #данирСкачать
Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать
Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать
#58. Олимпиадная задача о четырехугольникеСкачать
Описанные четырехугольники. 9 класс.Скачать
Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать
Геометрия. Признак описанного четырехугольника.Скачать
Вписанный и описанный четырехугольник #SHORTSСкачать