Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

Описанные четырехугольники

Определение 1 . Окружностью, вписанной в четырёхугольник, называют окружность, которая касается касается каждой из сторон четырёхугольника (рис.1). В этом случае четырёхугольник называют четырёхугольником, описанным около окружности или описанным четырёхугольником .

Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

Замечание . В настоящем разделе мы рассматриваем только выпуклые четырёхугольники.

Теорема 1 . Если четырёхугольник описан около окружности, то суммы длин его противоположных сторон равны.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , описанный около окружности, и обозначим буквами E, F, G, H – точки касания сторон четырёхугольника с окружностью (рис.2).

Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

AH = AE, BF = BE, CF = CG, DH = DG,

Складывая эти равенства, получим:

AH + BF + CF + DH =
= AD + BC,
AE + BE + CG + DG =
= AB + CD,

то справедливо равенство

что и требовалось доказать.

Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если у четырёхугольника суммы длин противоположных сторон равны, то в этот четырёхугольник можно вписать окружность.

Доказательство . Рассмотрим четырёхугольник ABCD , длины сторон которого удовлетворяют равенству

и проведём биссектрисы углов BAD и CDA . Обозначим точку пересечения этих биссектрис буквой O , и опустим из точки O перпендикуляры OH, OE и OG на стороны AD, AB и CD соответственно (рис.3).

Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

Следовательно, справедливы равенства

из которых вытекает, что точки H, E и G лежат на окружности с центром в точке O и радиусом OH , касающейся сторон четырёхугольника AD, AB и CD в точках H, E и G соответственно. При этом возможны два случая:

Окружность касается касается стороны BC (рис.4).

Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

В этом случае четырёхугольник ABCD описан около окружности, и теорема доказана.

Окружность не касается стороны BC .

В этом случае касательная, проведенная к окружности из точки B , пересекает прямую DC в точке K , и возможны два случая:

    Точка K лежит между точками C и D (рис.5)

Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

Рассмотрим случай 2а и приведём его к противоречию. В этом случае в силу того, что четырёхугольник ABKD является описанным, а также по условию теоремы справедливы равенства:

Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

Последнее равенство утверждает, что в треугольнике BKC сумма двух сторон равна третьей стороне, что противоречит неравенству треугольника неравенству треугольника неравенству треугольника . Полученное противоречие доказывает, что случай 2а невозможен.

Совершенно аналогичные рассуждения позволяют заключить, что случай 2b также невозможен.

Итак, возможен и реализуется лишь случай 1.

Из доказательства теоремы 2 непосредственно вытекает

Теорема 3 . Биссектрисы всех внутренних углов описанного четырёхугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной окружности.

В следующей таблице приводятся примеры четырёхугольников, в которые можно вписать окружность. Доказательства утверждений непосредственно вытекают из теорем 1 и 2 и предоставляются читателю в качестве несложных упражнений.

Примеры описанных четырёхугольников

ФигураРисунокУтверждение
РомбНеобходимое и достаточное условие описанного четырехугольникаВ любой ромб можно вписать окружность
КвадратНеобходимое и достаточное условие описанного четырехугольникаВ любой квадрат можно вписать окружность
ПрямоугольникНеобходимое и достаточное условие описанного четырехугольникаВ прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом
ПараллелограммНеобходимое и достаточное условие описанного четырехугольникаВ параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом
ДельтоидНеобходимое и достаточное условие описанного четырехугольникаВ любой дельтоид можно вписать окружность
ТрапецияНеобходимое и достаточное условие описанного четырехугольникаВ трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований
Ромб
Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольника
КвадратНеобходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

В любой квадрат можно вписать окружность

ПрямоугольникНеобходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

В прямоугольник можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является квадратом

ПараллелограммНеобходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

В параллелограмм можно вписать окружность тогда и только тогда, когда он является ромбом

ДельтоидНеобходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

ТрапецияНеобходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

В трапецию можно вписать окружность тогда и только тогда, когда у трапеции сумма длин боковых сторон рана сумме длин оснований

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Вписанные  и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.

Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

Четырехугольник называется вписанным , если все его вершины лежат на окружности.

Четырехугольник называется описанным , если все его стороны касаются некоторой окружности.

Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

Для того, чтобы четырехугольник был вписанным, необходимо и достаточно, чтобы сумма его противолежащих углов равнялась .

Необходимость. Пусть четырехугольник вписан в окружность с центром в точке .

По теореме 6.1 Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольникаАналогично Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

Достаточность. Пусть – данный четырехугольник и Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольникаСуществует окружность, проходящая одновременно через три точки , и (теорема 6.5). Пусть точка лежит внутри окружности. Прямая пересекает окружность в точке Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольникаТогда четырехугольник Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольника– вписанный в окружность и в соответствии с необходимым условием Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольникаНо Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольникакак внешний к углу Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольникаТогда Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольникачто противоречит условию. Следовательно, лежит на окружности, и данный четырехугольник вписанный. Аналогично рассматривается случай, если предположить, что точка лежит вне окружности. Теорема доказана.

Рисунок 7.5.1.

Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

Для того, чтобы выпуклый четырехугольник был описанным, необходимо и достаточно, чтобы суммы длин его противолежащих сторон были равны.

Необходимость. Пусть четырехугольник описанный, и – точки касания его сторон. Имеем (отрезки касательных, проведенных из одной точки равны). Отсюда .

Достаточность. Пусть в четырехугольнике выполнено равенство . Биссектрисы углов и пересекаются в точке . Точка одинаково удалена от прямых , и . Пусть – окружность, касающаяся сторон , и , а сторона пересекает окружность . Проведем касательную к окружности из точки , и пусть она пересекает прямую в точке . Тогда из необходимого условия – . Вычитая из данного равенства равенство в условиях теоремы получаем или , . Мы пришли к противоречию, так как . В случае, если прямая не пересекает окружность , доказательство аналогично. Теорема доказана.

Видео:2 ПРАВИЛА описанного четырехугольника #shortsСкачать

2 ПРАВИЛА описанного четырехугольника #shorts

Вписанные и описанные четырехугольники

Вписанный четырехугольник — четырехугольник, все вершины которого лежат на одной окружности.
Очевидно, эта окружность будет называться описанной вокруг четырехугольника.

Описанный четырехугольник — такой, что все его стороны касаются одной окружности. В этом случае окружность вписана в четырехугольник.

На рисунке — вписанные и описанные четырехугольники и их свойства.

Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

Посмотрим, как эти свойства применяются в решении задач ЕГЭ.

. Два угла вписанного в окружность четырехугольника равны и . Найдите больший из оставшихся углов. Ответ дайте в градусах.

Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

Сумма противоположных углов вписанного четырехугольника равна . Пусть угол равен . Тогда напротив него лежит угол в градусов. Если угол равен , то угол равен .

. Три стороны описанного около окружности четырехугольника относятся (в последовательном порядке) как . Найдите большую сторону этого четырехугольника, если известно, что его периметр равен .

Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

Пусть сторона равна , равна , а . По свойству описанного четырехугольника, суммы противоположных сторон равны, и значит,

Получается, что равна . Тогда периметр четырехугольника равен . Мы получаем, что , а большая сторона равна .

. Около окружности описана трапеция, периметр которой равен . Найдите ее среднюю линию.

Необходимое и достаточное условие описанного четырехугольника

Мы помним, что средняя линия трапеции равна полусумме оснований. Пусть основания трапеции равны и , а боковые стороны — и . По свойству описанного четырехугольника,
, и значит, периметр равен .
Получаем, что , а средняя линия равна .

Еще раз повторим свойства вписанного и описанного четырехугольника.

Четырехугольник можно вписать в окружность тогда и только тогда, когда суммы его противоположных углов равны .

Четырехугольник можно описать вокруг окружности тогда и только тогда, когда суммы длин его противоположных сторон равны.

Докажите эти утверждения. Это задание особенно полезно тем, кто решает задачи второй части профильного ЕГЭ по математике.

📸 Видео

3 правила для вписанного четырехугольника #shortsСкачать

3 правила для вписанного четырехугольника #shorts

Описанный четырехугольникСкачать

Описанный четырехугольник

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольникСкачать

11 класс, 44 урок, Описанный четырехугольник

ОКРУЖНОСТЬ (необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника) ЧАСТЬ 6Скачать

ОКРУЖНОСТЬ (необходимое и достаточное условие вписанного четырехугольника) ЧАСТЬ 6

свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTSСкачать

свойства вписанного и описанного четырехугольника #SHORTS

вписанный и описанный четырехугольникСкачать

вписанный и описанный четырехугольник

Свойство и признак описанного четырехугольникаСкачать

Свойство и признак описанного четырехугольника

Свойство и признак вписанного четырехугольникаСкачать

Свойство и признак вписанного четырехугольника

Свойство и признак описанного четырехугольникаСкачать

Свойство и признак описанного четырехугольника

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvyСкачать

Вписанная и описанная окружность - от bezbotvy

Свойство описанного четырехугольника #огэ #математика #огэматематика #данирСкачать

Свойство описанного четырехугольника #огэ #математика #огэматематика #данир

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрияСкачать

Описанная и вписанная окружности четырехугольника - 8 класс геометрия

Вписанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Вписанные четырехугольники. 9 класс.

#58. Олимпиадная задача о четырехугольникеСкачать

#58. Олимпиадная задача о четырехугольнике

Описанные четырехугольники. 9 класс.Скачать

Описанные четырехугольники. 9 класс.

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnlineСкачать

Как решить любую задачу с четырёхугольниками? | Математика TutorOnline

Геометрия. Признак описанного четырехугольника.Скачать

Геометрия. Признак описанного четырехугольника.

Вписанный и описанный четырехугольник #SHORTSСкачать

Вписанный и описанный четырехугольник #SHORTS
Поделиться или сохранить к себе: