Найти высоту тетраэдра через вектора

Высоту тетраэдра через векторы
Содержание
  1. Как найти высоту тетраэдра формула
  2. Вывод формулы высоты тетраэдра
  3. Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра
  4. Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин
  5. Свойства
  6. Высоту тетраэдра через векторы
  7. Контакты
  8. Объем тетраэдра
  9. Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра
  10. Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин
  11. Аналитическая геометрия — решение задач и выполнение заданий с примерами
  12. Разложение вектора по базису
  13. Коллинеарность векторов
  14. Угол между векторами
  15. Площадь параллелограмма
  16. Компланарность векторов
  17. Объем и высота тетраэдра
  18. Расстояние от точки до плоскости
  19. Уравнение плоскости с данным нормальным вектором
  20. Угол между плоскостями
  21. Канонические уравнения прямой
  22. Точка пересечения прямой и плоскости
  23. Проекция точки на плоскость или прямую
  24. Симметрия относительно прямой или плоскости
  25. Геометрия на плоскости
  26. Системы координат на плоскости
  27. Прямая линия на плоскости
  28. Кривые второго порядка
  29. Преобразование системы координат
  30. Геометрия в пространстве
  31. Основные поверхности в пространстве
  32. Основы аналитической геометрии
  33. Направленные отрезки
  34. Прямоугольная система координат
  35. Деление отрезка в данном отношении
  36. Угол наклона отрезка к оси абсцисс
  37. Уравнение прямой
  38. Условие перпендикулярности прямых
  39. Угол между прямыми
  40. Пучок прямых
  41. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
  42. Расстояние от точки до прямой
  43. Уравнение окружности
  44. Уравнение эллипса
  45. Уравнение гиперболы
  46. Уравнение плоскости в трехмерной системе координат
  47. Уравнение прямой в пространстве
  48. Найти высоту тетраэдра через вектора
  49. Контакты

Видео:Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторовСкачать

Математика без Ху!ни. Смешанное произведение векторов

Как найти высоту тетраэдра формула

Найти высоту тетраэдра через вектора

Высота тетраэдра — равна корню квадратному из двух третих, помноженному на длину ребра тетраэдра

(h – высота тетраэдра, a – ребро тетраэдра)

Видео:Высшая математика. 4 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление объема тетраэдра.Скачать

Высшая математика. 4 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление объема тетраэдра.

Вывод формулы высоты тетраэдра

Чтобы получить формулу высоты тетраэдра необходимо произвести дополнительные геометрические построения. На рисунке красные линии CF и FS — это высоты соответствующих правильных треугольников ABC и ABS:

Теперь в треугольнике CFS известны все стороны. Высота тетраэдра, как видно из геометрических построений — это высота треугольника CFS. Подставив стороны треугольника в формулу и произведя простые сокращения (используем формулу разность квадратов) получим формулу (1).

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC . В результате получим треугольники ADC , CDB , ABD . Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC , ADC , CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC .
Найти высоту тетраэдра через вектораТреугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Найти высоту тетраэдра через вектораНо также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

  • S – площадь любой грани,
  • H – высота, опущенная на эту грань

Видео:Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACD

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:

  • Все грани равны.
  • Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
  • Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
  • Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a . DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна Найти высоту тетраэдра через вектора
Рассмотрим треугольник BDM , где DH , являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

Найти высоту тетраэдра через вектора, где
BM=Найти высоту тетраэдра через вектора, DM=Найти высоту тетраэдра через вектора, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)= Найти высоту тетраэдра через вектора
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим
Найти высоту тетраэдра через вектора
Вынесем 1/2a. Получим

Найти высоту тетраэдра через вектора
Найти высоту тетраэдра через вектора
Применим формулу разность квадратов
Найти высоту тетраэдра через вектора
После небольших преобразований получим
Найти высоту тетраэдра через вектора
Найти высоту тетраэдра через вектора
Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
Найти высоту тетраэдра через вектора,
где Найти высоту тетраэдра через вектора,
Найти высоту тетраэдра через вектора
Подставив эти значения, получим
Найти высоту тетраэдра через вектора

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

Найти высоту тетраэдра через вектора

где a –ребро тетраэдра

Видео:Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Нахождение длины вектора через координаты. Практическая часть. 9 класс.

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра
Найти высоту тетраэдра через вектора
Из вершины Найти высоту тетраэдра через векторапроведем векторы Найти высоту тетраэдра через вектора, Найти высоту тетраэдра через вектора, Найти высоту тетраэдра через вектора.
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим
Найти высоту тетраэдра через вектора
Найти высоту тетраэдра через вектора
Найти высоту тетраэдра через вектора

Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

Найти высоту тетраэдра через вектора

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Вычисляем высоту через координаты вершин  1

Свойства

Зная высоту тетраэдра, можно вычислить его ребро, перевернув формулу так, чтобы ребро было равно корню из трех вторых, умноженному на высоту. a=√(3/2) h

Выразив таким образом ребро тетраэдра через его высоту, можно найти периметр тетраэдра, то есть длину всех его ребер, площадь одной грани и площадь полной поверхности тетраэдра. Периметр тетраэдра будет равен шести длинам его ребер, площадь одной грани – ребру в квадрате, умноженному на корень из трех, деленный на четыре, а площадь полной поверхности – четырем площадям одной грани. P=6a=6√(3/2) h S_1=(√3 a^2)/4=(3√3 h^2)/8 S_(п.п.)=4S_1=(3√3 h^2)/2

Через высоту, подставленную вместо ребра в определенном соотношении можно найти соответственно и радиусы вписанной и описанной окружностей в основание тетраэдра. r=h/(2√2) R=h/√2

Апофема тетраэдра проходит из вершины к противоположной стороне грани под прямым углом и рассчитать ее можно как из прямоугольного треугольника с боковым ребром по той же грани, так и из прямоугольного треугольника во внутреннем пространстве тетраэдра с высотой. l=3h/(2√2)

Чтобы вычислить объем тетраэдра, необходимо возвести в куб ребро и разделить полученное значение на шесть корней из двух, либо подставить вместо ребра корень из трех вторых, умноженный на высоту и преобразовать формулу объема для высоты. V=(√3 h^3)/8

В тетраэдр можно вписать сферу или описать сферу около него, тогда, зная высоту, чтобы вычислить радиусы вписанной и описанной сфер, необходимо воспользоваться следующими, уже готовыми формулами. (рис.60.2, 60.3) r_1=h/4 R_1=3h/4

Видео:Площадь параллелограмма, построенного на данных векторахСкачать

Площадь параллелограмма, построенного на данных векторах

Высоту тетраэдра через векторы

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Найти высоту тетраэдра через вектора

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Видео:Задача 6. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на граньСкачать

Задача 6. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на грань

Объем тетраэдра

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC . В результате получим треугольники ADC , CDB , ABD . Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC , ADC , CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC .
Найти высоту тетраэдра через вектораТреугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Найти высоту тетраэдра через вектораНо также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

  • S – площадь любой грани,
  • H – высота, опущенная на эту грань

Видео:Нахождение высоты тетраэдра.Скачать

Нахождение высоты тетраэдра.

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:

  • Все грани равны.
  • Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
  • Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
  • Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a . DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна Найти высоту тетраэдра через вектора
Рассмотрим треугольник BDM , где DH , являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

Найти высоту тетраэдра через вектора, где
BM=Найти высоту тетраэдра через вектора, DM=Найти высоту тетраэдра через вектора, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)= Найти высоту тетраэдра через вектора
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим
Найти высоту тетраэдра через вектора
Вынесем 1/2a. Получим

Найти высоту тетраэдра через вектора
Найти высоту тетраэдра через вектора
Применим формулу разность квадратов
Найти высоту тетраэдра через вектора
После небольших преобразований получим
Найти высоту тетраэдра через вектора
Найти высоту тетраэдра через вектора
Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
Найти высоту тетраэдра через вектора,
где Найти высоту тетраэдра через вектора,
Найти высоту тетраэдра через вектора
Подставив эти значения, получим
Найти высоту тетраэдра через вектора

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

Найти высоту тетраэдра через вектора

где a –ребро тетраэдра

Видео:§20 Нахождение объёма параллелипипедаСкачать

§20 Нахождение объёма параллелипипеда

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра
Найти высоту тетраэдра через вектора
Из вершины Найти высоту тетраэдра через векторапроведем векторы Найти высоту тетраэдра через вектора, Найти высоту тетраэдра через вектора, Найти высоту тетраэдра через вектора.
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим
Найти высоту тетраэдра через вектора
Найти высоту тетраэдра через вектора
Найти высоту тетраэдра через вектора

Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

Видео:№362. Точка К — середина ребра ВС тетраэдра ABCD. Разложите вектор DK по векторамСкачать

№362. Точка К — середина ребра ВС тетраэдра ABCD. Разложите вектор DK по векторам

Аналитическая геометрия — решение задач и выполнение заданий с примерами

При изучении аналитической геометрии вы научитесь решать задачи векторной алгебры и использовать свойства линейных операций с геометрическими векторами, скалярного, векторного и смешанного произведений векторов для решения геометрических задач. Вы научитесь решать задачи аналитической геометрии, связанные с различными видами уравнений плоскости и прямой и их взаимным расположением.

Найти высоту тетраэдра через вектора

Видео:№370. Высоты AM и DN правильного тетраэдра ABCD пересекаются в точке К. Разложите поСкачать

№370. Высоты AM и DN правильного тетраэдра ABCD пересекаются в точке К. Разложите по

Разложение вектора по базису

Постановка задачи. Найти разложение вектора Найти высоту тетраэдра через вектора
по векторам
Найти высоту тетраэдра через вектора

1.Искомое разложение вектора Найти высоту тетраэдра через вектораимеет вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

2.Это векторное уравнение относительно Найти высоту тетраэдра через вектораэквивалентно системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Найти высоту тетраэдра через вектора

3.Peшaeм эту систему уравнений относительно Найти высоту тетраэдра через вектораи таким
образом определяем коэффициенты разложения вектора Найти высоту тетраэдра через векторапо векторам Найти высоту тетраэдра через вектораЗаписываем ответ в виде Найти высоту тетраэдра через вектора

Замечание. Если система уравнений не имеет решений (векторы
Найти высоту тетраэдра через векторалежат в одной плоскости, а вектор Найти высоту тетраэдра через вектораей не принадлежит),
то вектор Найти высоту тетраэдра через векторанельзя разложить по векторам Найти высоту тетраэдра через вектораЕсли система
уравнений имеет бесчисленное множество решений (векторы Найти высоту тетраэдра через вектораи вектор Найти высоту тетраэдра через векторалежат в одной плоскости), то разложение вектора Найти высоту тетраэдра через векторапо векторам Найти высоту тетраэдра через векторанеоднозначно.

Пример:

Найти разложение вектора Найти высоту тетраэдра через векторапо векторам
Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение:

1.Искомое разложение вектора Найти высоту тетраэдра через вектораимеет вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

2.Это векторное уравнение относительно Найти высоту тетраэдра через вектораэквивалентно
системе трех линейных уравнений с тремя неизвестными

Найти высоту тетраэдра через вектора

3.Система имеет единственное решение Найти высоту тетраэдра через вектора

Ответ. Найти высоту тетраэдра через вектора

Видео:№369. Медианы грани ABC тетраэдра ОABC пересекаются в точке М. Разложите вектор ОАСкачать

№369. Медианы грани ABC тетраэдра ОABC пересекаются в точке М. Разложите вектор ОА

Коллинеарность векторов

Постановка задачи. Коллинеарны ли векторы Найти высоту тетраэдра через вектораи
Найти высоту тетраэдра через векторагде Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектора

План решения. Векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда существует число а такое, что Найти высоту тетраэдра через вектораИными словами, векторы коллинеарны тогда и только тогда, когда их координаты пропорциональны,

1.Находим координаты векторов Найти высоту тетраэдра через векторапользуясь тем, что при
сложении векторов их координаты складываются, а при умножении
на число координаты умножаются на это число.

2.Если координаты векторов Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через векторапропорциональны, т.е.

Найти высоту тетраэдра через вектора

то векторы Найти высоту тетраэдра через вектораколлинеарны. Если равенства

Найти высоту тетраэдра через вектора

не выполняются, то векторы Найти высоту тетраэдра через векторанеколлинеарны.

Пример:

Коллинеарны ли векторы Найти высоту тетраэдра через векторагде
Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение:

1.Находим координаты векторов Найти высоту тетраэдра через векторапользуясь тем, что при
сложении векторов их координаты складываются, а при умножении
на число координаты умножаются на это число:

Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

то координаты пропорциональны. Следовательно, векторы Найти высоту тетраэдра через вектораколлинеарны.

Ответ. Векторы Найти высоту тетраэдра через вектораколлинеарны.

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)

Угол между векторами

Постановка задачи. Даны точки Найти высоту тетраэдра через вектора и
Найти высоту тетраэдра через вектора Найти косинус угла между векторами Найти высоту тетраэдра через вектора

План решения. Косинус угла Найти высоту тетраэдра через векторамежду векторами Найти высоту тетраэдра через вектораопределяется формулой

Найти высоту тетраэдра через вектора

1.Чтобы вычислить длины векторов Найти высоту тетраэдра через вектораи скалярное
произведение Найти высоту тетраэдра через векторанаходим координаты векторов:

Найти высоту тетраэдра через вектора

2.По формулам для длины вектора и скалярного произведения
векторов имеем

Найти высоту тетраэдра через вектора

Вычисляем cos Найти высоту тетраэдра через векторапо формуле (1) и записываем ответ.

Пример:

Даны точки А(-2,4,-6), В(0,2,-4) и С(-6,8,-10).
Найти косинус угла между векторами Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение:

1.Находим координаты векторов Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектора

2.По формулам для длины вектора и скалярного произведения
векторов имеем

Найти высоту тетраэдра через вектора

3.Вычисляем cos Найти высоту тетраэдра через векторапо формуле(1):

Найти высоту тетраэдра через вектора

Ответ. Косинус угла между векторами Найти высоту тетраэдра через вектораравен — 1.

Видео:Решение задач на векторное и смешанное произведения векторовСкачать

Решение задач на векторное и смешанное произведения векторов

Площадь параллелограмма

Постановка задачи. Вычислить площадь параллелограмма, построенного на векторах Найти высоту тетраэдра через вектора если известно,
что
Найти высоту тетраэдра через вектора и угол между векторами Найти высоту тетраэдра через вектора равен Найти высоту тетраэдра через вектора.

План решения. Площадь параллелограмма, построенного на векторах Найти высоту тетраэдра через вектораравна модулю их векторного произведения:

Найти высоту тетраэдра через вектора

1.Вычисляем Найти высоту тетраэдра через вектораиспользуя свойства векторного произведения

Найти высоту тетраэдра через вектора

2.Вычисляем модуль векторного произведения

Найти высоту тетраэдра через вектора

( Найти высоту тетраэдра через векторатак как Найти высоту тетраэдра через вектора).

3.Находим площадь параллелограмма, используя формулу(1)

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Вычислить площадь параллелограмма, построенного на
векторах Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектораесли известно, что Найти высоту тетраэдра через вектораи угол между векторами Найти высоту тетраэдра через вектораравен Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение:

1.Вычисляем Найти высоту тетраэдра через вектораиспользуя свойства векторного произведения

Найти высоту тетраэдра через вектора

2.Вычисляем модуль векторного произведения

Найти высоту тетраэдра через вектора

3.Находим площадь параллелограмма, используя формулу (1)

Найти высоту тетраэдра через вектора

Ответ. Площадь параллелограмма равна Найти высоту тетраэдра через вектора(ед. длиныНайти высоту тетраэдра через вектора

Видео:Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать

Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершин

Компланарность векторов

Постановка задачи. Компланарны ли векторы Найти высоту тетраэдра через вектора
Найти высоту тетраэдра через вектора

План решения. Для того чтобы три вектора были компланарны
(лежали в одной плоскости или в параллельных плоскостях), необходимо и достаточно, чтобы их смешанное произведение Найти высоту тетраэдра через векторабыло равно нулю.

1.Смешанное произведение векторов выражается через их координаты формулой

Найти высоту тетраэдра через вектора

2.Если определитель в правой части этого равенства равен нулю,
то векторы компланарны, если определитель не равен нулю, то векторы некомпланарны.

Пример:

Компланарны ли векторы Найти высоту тетраэдра через вектораи
Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение:

1.Вычисляем смешанное произведение векторов:

Найти высоту тетраэдра через вектора

2.Так как Найти высоту тетраэдра через векторавекторы Найти высоту тетраэдра через векторакомпланарны.

Ответ. Векторы Найти высоту тетраэдра через векторакомпланарны.

Видео:Смешанное произведение векторовСкачать

Смешанное произведение векторов

Объем и высота тетраэдра

Постановка задачи. Вычислить объем тетраэдра с вершинами в точках Найти высоту тетраэдра через вектора и его высоту, опущенную из вершины Найти высоту тетраэдра через вектора на грань Найти высоту тетраэдра через вектора

1.Из вершины Найти высоту тетраэдра через векторапроведем векторы Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектора

В соответствии с геометрическим смыслом смешанного произведения имеем

Найти высоту тетраэдра через вектора

где Найти высоту тетраэдра через вектора— объемы тетраэдра и параллелепипеда, построенных
на векторах Найти высоту тетраэдра через вектора

С другой стороны,

Найти высоту тетраэдра через вектора

где согласно геометрическому смыслу векторного произведения

Найти высоту тетраэдра через вектора

Сравнивая формулы (1) и (2), получаем

Найти высоту тетраэдра через вектора

2. Вычисляем смешанное произведение

Найти высоту тетраэдра через вектора

и находим объем тетраэдра по формуле (1).

3. Вычисляем координаты векторного произведения

Найти высоту тетраэдра через вектора

4. Находим высоту h по формуле (3).

Пример:

Вычислить объем тетраэдра с вершинами Найти высоту тетраэдра через вектора
Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектораи его высоту, опущенную из
вершины Найти высоту тетраэдра через векторана грань Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение:

1.Из вершины Найти высоту тетраэдра через векторапроведем векторы Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектора

2.Вычисляем смешанное произведение:

Найти высоту тетраэдра через вектора

и находим объем тетраэдра по формуле (1)
Найти высоту тетраэдра через вектора(ед.длиныНайти высоту тетраэдра через вектора

3.Вычисляем координаты векторного произведения:

Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

4.Находим высоту h по формуле (3):

Найти высоту тетраэдра через вектораед. длины.

Ответ. Найти высоту тетраэдра через вектора(ед.длины Найти высоту тетраэдра через вектораh = 11 ед.длины.

Видео:Тетраэдр. 10 класс.Скачать

Тетраэдр. 10 класс.

Расстояние от точки до плоскости

Постановка задачи. Найти расстояние от точки Найти высоту тетраэдра через вектора
до плоскости, проходящей через точки
Найти высоту тетраэдра через вектора и Найти высоту тетраэдра через вектора

План решения. Искомое расстояние можно найти как высоту
тетраэдра с вершинами Найти высоту тетраэдра через вектораи
Найти высоту тетраэдра через вектораопущенную из вершины Найти высоту тетраэдра через векторана грань Найти высоту тетраэдра через вектора(см. задачу 1.6). Другое решение заключается в следующем.

Расстояние d от точки Найти высоту тетраэдра через векторадо плоскости равно длине
проекции вектора Найти высоту тетраэдра через векторана нормальный вектор плоскости Найти высоту тетраэдра через векторат.е.

Найти высоту тетраэдра через вектора

Поскольку нормальный вектор плоскости Найти высоту тетраэдра через вектораортогонален векторам
Найти высоту тетраэдра через вектораего можно найти как их векторное произведение:

Найти высоту тетраэдра через вектора

1.Находим координаты векторов:

Найти высоту тетраэдра через вектора

и нормального вектора плоскости:

Найти высоту тетраэдра через вектора

2.Вычисляем расстояние d от точки Найти высоту тетраэдра через векторадо плоскости
по формуле (1).

Пример:

Найти расстояние от точки Найти высоту тетраэдра через векторадо плоскости,
проходящей через точки Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение:

1.Находим координаты векторов:

Найти высоту тетраэдра через вектора

и нормального вектора плоскости:

Найти высоту тетраэдра через вектора

2.Вычисляем расстояние d от точки Найти высоту тетраэдра через векторадо плоскости по формуле (1):

Найти высоту тетраэдра через вектора

Ответ, d = 7 ед. длины.

Видео:Вычисляем угол через координаты вершинСкачать

Вычисляем угол через координаты вершин

Уравнение плоскости с данным нормальным вектором

Постановка задачи. Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Найти высоту тетраэдра через вектора перпендикулярно вектору Найти высоту тетраэдра через вектора где точки Найти высоту тетраэдра через вектора имеют координаты Найти высоту тетраэдра через вектора

План решения. Уравнение плоскости, проходящей через точку
Найти высоту тетраэдра через вектораперпендикулярно вектору Найти высоту тетраэдра через вектораимеет вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

1.В качестве нормального вектора плоскости Найти высоту тетраэдра через векторавыбираем вектор
Найти высоту тетраэдра через вектора

2.Составляем уравнение плоскости (1) с нормальным вектором
Найти высоту тетраэдра через векторапроходящей через точку Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Написать уравнение плоскости, проходящей через точку Найти высоту тетраэдра через вектораперпендикулярно вектору Найти высоту тетраэдра через векторагде точки Найти высоту тетраэдра через вектораимеют координаты (7, 8,-1) и (9, 7, 4).

Решение:

1.В качестве нормального вектора плоскости Найти высоту тетраэдра через векторавыбираем вектор
Найти высоту тетраэдра через вектора

2.Составляем уравнение плоскости (1) с нормальным вектором
Найти высоту тетраэдра через векторапроходящей через точку Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

Ответ. Уравнение плоскости 2х — у + 5z + 16 = 0.

Видео:Математика это не ИсламСкачать

Математика это не Ислам

Угол между плоскостями

Постановка задачи. Найти угол между плоскостями

Найти высоту тетраэдра через вектора

План решения. Двугранный угол между плоскостями равен углу
между их нормальными векторами

Найти высоту тетраэдра через вектора

Поэтому угол Найти высоту тетраэдра через векторамежду плоскостями определяется равенством

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Найти угол между плоскостями
х + 2y — 2z — 7 = 0, x + y — 35 = 0.

Решение:

Двугранный угол между плоскостями равен углу между их нормальными векторами Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектораПоэтому угол Найти высоту тетраэдра через векторамежду плоскостями определяется равенством

Найти высоту тетраэдра через вектора

Таким образом, Найти высоту тетраэдра через вектора

Ответ. Угол между плоскостями Найти высоту тетраэдра через вектора

Видео:18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.Скачать

18+ Математика без Ху!ни. Скалярное произведение векторов. Угол между векторами.

Канонические уравнения прямой

Постановка задачи. Написать канонические уравнения прямой, заданной как линия пересечения двух плоскостей (общими уравнениями)

Найти высоту тетраэдра через вектора

1.Проверяем, что векторы Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектора
неколлинеарны и, следовательно, плоскости пересекаются по некоторой прямой.

Канонические уравнения прямой с направляющим вектором Найти высоту тетраэдра через вектора
Найти высоту тетраэдра через векторапроходящей через данную точку Найти высоту тетраэдра через вектора, имеют вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

Поэтому чтобы написать уравнения прямой, необходимо найти ее направляющий вектор и какую-нибудь точку на прямой.

2.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям,
то ее направляющий вектор Найти высоту тетраэдра через вектораортогонален нормальным векторам
обеих плоскостей, т.е. Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектора
Следовательно, направляющий вектор Найти высоту тетраэдра через векторанаходим по формуле

Найти высоту тетраэдра через вектора

3.Теперь выберем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку направляющий вектор прямой непараллелен хотя бы одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает эту координатную плоскость. Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка ее пересечения с этой координатной плоскостью.

4.Подставляем найденные направляющий вектор и точку в уравнения прямой (1) и записываем ответ.

Пример:

Написать канонические уравнения прямой, заданной
как линия пересечения двух плоскостей (общими уравнениями)

Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение:

1.Проверим, что векторы Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через векторанеколлинеарны (см. задачу 1.2). Имеем

Найти высоту тетраэдра через вектора

Векторы Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через векторанеколлинеарны, так как
их координаты непропорциональны. Следовательно, две плоскости
пересекаются по прямой.

2.Так как прямая принадлежит одновременно обеим плоскостям,
то ее направляющий вектор Найти высоту тетраэдра через вектораортогонален нормальным векторам
обеих плоскостей, т.е. Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектора
Следовательно, направляющий вектор Найти высоту тетраэдра через векторанаходим по формуле

Найти высоту тетраэдра через вектора

3.Теперь выберем какую-нибудь точку на прямой. Поскольку направляющий вектор прямой непараллелен ни одной из координатных плоскостей, то прямая пересекает все три координатные плоскости.

Следовательно, в качестве точки на прямой может быть взята точка ее пересечения, например, с плоскостью у = 0. Координаты этой
точки находим, решая систему трех уравнений

Найти высоту тетраэдра через вектора

Получим Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через векторат.е. Найти высоту тетраэдра через вектора

4.Подставляя найденные направляющий вектор и точку в уравнения прямой (1), получим

Найти высоту тетраэдра через вектора

Ответ. Канонические уравнения прямой имеют вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

Точка пересечения прямой и плоскости

Постановка задачи. Найти точку пересечения прямой

Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

1.Проверим, что прямая не параллельна плоскости. Это означает,
что направляющий вектор прямой Найти высоту тетраэдра через вектораи нормальный вектор плоскости Найти высоту тетраэдра через векторане ортогональны, т.е. их скалярное произведение не равно нулю:

Найти высоту тетраэдра через вектора

В этом случае существует единственная точка пересечения прямой и
плоскости.

2.Для нахождения точки пересечения прямой и плоскости, вообще
говоря, надо решить систему трех уравнений с тремя неизвестными
(два уравнения прямой и одно уравнение плоскости). Однако удобнее
использовать параметрические уравнения прямой.

Найти высоту тетраэдра через вектора

Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

3.Подставляя эти выражения для x, у и z в уравнение плоскости
и решая его относительно t, находим значение параметра Найти высоту тетраэдра через векторапри котором происходит пересечение прямой и плоскости.

4.Найденное значение Найти высоту тетраэдра через вектораподставляем в параметрические уравнения прямой и получаем искомые координаты точки пересечения:

Найти высоту тетраэдра через вектора

Записываем ответ в таком виде: прямая и плоскость пересекаются
в точке Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Найти точку пересечения прямой

Найти высоту тетраэдра через вектора

и плоскости
2x — 3y + z — 8 = 0.

Решение:

Найти высоту тетраэдра через вектора

Следовательно, направляющий вектор прямой и нормальный вектор
плоскости не ортогональны, т.е. прямая и плоскость пересекаются в
единственной точке.

Найти высоту тетраэдра через вектора

Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

3.Подставляя эти выражения для x, у и z в уравнение плоскости,
находим значение параметра t, при котором происходит пересечение
прямой и плоскости:

Найти высоту тетраэдра через вектора

4.Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное
значение Найти высоту тетраэдра через вектораполучаем

Найти высоту тетраэдра через вектора

Ответ. Прямая и плоскость пересекаются в точке (3,-1,-1).

Проекция точки на плоскость или прямую

Постановка задачи. Найти координаты проекции Найти высоту тетраэдра через вектора точки Найти высоту тетраэдра через вектора на плоскость Ах + By + Cz + D = 0.

План решения. Проекция Р’ точки Р на плоскость является основанием перпендикуляра, опущенного из точки Р на эту плоскость.

1.Составляем уравнения прямой, проходящей через точку Р перпендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляющего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: Найти высоту тетраэдра через вектора. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

2.Находим координаты точки пересечения Р’ этой прямой с заданной плоскостью (см. задачу 1.11). Положим

Найти высоту тетраэдра через вектора

Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

3.Подставляя x,y,z в уравнение плоскости и решая его относительно t, находим значение параметра Найти высоту тетраэдра через векторапри котором происходит пересечение прямой и плоскости.

4.Найденное значение Найти высоту тетраэдра через вектораподставляем в параметрические уравнения прямой и получаем искомые координаты точки Р’.

Замечание:

Аналогично решается задача о нахождении координат проекции точки на прямую.

Пример:

Найти координаты проекции Р’ точки Р(1,2, — 1) на
плоскость Зх — у +2z — 4 = 0.

Решение:

1.Составляем уравнения прямой, проходящей через точку Р перпендикулярно данной плоскости. Для этого в качестве направляющего вектора прямой берем нормальный вектор плоскости: Найти высоту тетраэдра через вектора. Тогда канонические уравнения прямой имеют вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

2.Найдем координаты точки пересечения Р’ этой прямой с задан-
заданной плоскостью. Положим

Найти высоту тетраэдра через вектора

Тогда параметрические уравнения прямой имеют вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

3.Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости,
находим значение параметра t, при котором происходит пересечение прямой и плоскости:

Найти высоту тетраэдра через вектора

4.Подставляя в параметрические уравнения прямой найденное
значение Найти высоту тетраэдра через вектораполучаем Найти высоту тетраэдра через вектора

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следовательно, проекция точки Р на плоскость имеет координаты (7, 0,1).

Ответ. Проекция Р’ имеет координаты (7,0,1).

Симметрия относительно прямой или плоскости

Постановка задачи. Найти координаты точки Q, симметричной точке Найти высоту тетраэдра через вектора относительно прямой

Найти высоту тетраэдра через вектора

План решения. Искомая точка Q лежит на прямой, перпендикулярной данной и пересекающей ее в точке Р’. Поскольку точка
Р’ делит отрезок PQ пополам, координаты Найти высоту тетраэдра через вектораточки Q
определяются из условий

Найти высоту тетраэдра через вектора

где Найти высоту тетраэдра через вектора— координаты точки Р и Найти высоту тетраэдра через вектора— координаты
ее проекции Р’ на данную прямую.

1.Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Р’
(см. задачу 1.12). Для этого:

а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р перпендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора Найти высоту тетраэдра через вектораэтой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой,
т.е. Найти высоту тетраэдра через вектораПолучаем

Найти высоту тетраэдра через вектора

б) найдем координаты точки пересечения Р’ этой плоскости с заданной прямой. Для этого запишем уравнения прямой в параметрической форме

Найти высоту тетраэдра через вектора

Подставляя х,у, z в уравнение плоскости и решая его относительно t,
находим значение параметра Найти высоту тетраэдра через векторапри котором происходит пересечение прямой и плоскости;

в) найденное значение Найти высоту тетраэдра через вектораподставляем в параметрические уравнения прямой и получаем искомые координаты точки Р’.

Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно данной прямой, определяем из условий (1). Получаем

Найти высоту тетраэдра через вектора

Замечание. Аналогично решается задача о нахождении координат точки, симметричной данной, относительно плоскости.

Пример:

Найти координаты точки Q, симметричной точке
Р(2, —1,2) относительно прямой

Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение:

1.Найдем проекцию точки Р на данную прямую, т.е. точку Найти высоту тетраэдра через вектораДля этого:

а) составим уравнение плоскости, проходящей через точку Р пер-
перпендикулярно данной прямой. В качестве нормального вектора Найти высоту тетраэдра через вектораэтой плоскости можно взять направляющий вектор данной прямой: Найти высоту тетраэдра через вектораТогда

Найти высоту тетраэдра через вектора

б) найдем точку пересечения заданной прямой и плоскости
x — 2z + 2 = 0. Для этого запишем уравнения прямой в параметрической форме:

Найти высоту тетраэдра через вектора

Подставляя эти выражения для х, у и z в уравнение плоскости, находим значение параметра t, при котором происходит пересечение
прямой и плоскости: Найти высоту тетраэдра через вектора= — 1;

в) подставляя в параметрические уравнения прямой найденное
значение Найти высоту тетраэдра через вектора= — 1, получаем

Найти высоту тетраэдра через вектора

Таким образом, точка пересечения прямой и плоскости и, следовательно, проекция точки Р на прямую есть Р'(0, 0,1).

2.Координаты точки Q, симметричной точке Р относительно дан-
данной прямой, определяются из условий (1):

Найти высоту тетраэдра через вектора

Геометрия на плоскости

Прямая, для которой указано направление, начало отсчета и масштаб, называется числовой осью. Откладывая целое число единичных отрезков влево и вправо, получим изображение множества целых чисел (рис. 2.1). Если каждый из единичных отрезков оси разделить на n равных частей, то точки деления будут изображать дроби со знаменателем n, эти точки дают изображение всех рациональных чисел типа m/n. Можно доказать, что на любом сколь угодно малом интервале числовой оси всегда находятся рациональные точки. Этот факт выражается так: рациональные точки расположены на числовой оси всюду плотно.

Найти высоту тетраэдра через вектора

Каждая пара точек m и n, вместе со всеми точками между ними, называется отрезком числовой оси (или сегментом) и обозначается [m, n]. Если же рассматриваются только промежуточные точки между m и n, то говорят о промежутке (или интервале) числовой оси (m, n). Расстояние от точки 0 до точки m есть положительное число, которое называется абсолютной величиной числа m, и обозначается |m|. Расстояние между точками m и n есть положительное число, которое называется длиной отрезка [m,n] и обозначается |m,n|. Пусть отрезок Найти высоту тетраэдра через векторанаходится внутри отрезка Найти высоту тетраэдра через вектораЕсли существуют такие два числа n и m, что длины отрезков А и В удовлетворяют соотношению Найти высоту тетраэдра через векторато говорят что отрезок и А и В соизмеримы.

Найти высоту тетраэдра через вектора

Возьмем квадрат со стороной, равной 1, его диагональ имеет длину Найти высоту тетраэдра через вектора(рис. 2.2). Если бы Найти высоту тетраэдра через векторабыло соизмеримо с 1, то можно было бы найти такие два целых числа p и q, что Найти высоту тетраэдра через вектораВ этом случае Найти высоту тетраэдра через вектораМожно доказать, что такого равенства быть не может. Вместе с тем при помощи циркуля на числовой оси от О можно отложить отрезок, равный диагонали квадрата. Построенная таким образом точка (правая граница отрезка Найти высоту тетраэдра через вектора) существует на числовой оси и не является рациональной. Такие точки, а, следовательно, и числа, не соизмеримые с единицей называются иррациональными. Все точки, лежащие на оси, образуют множество вещественных чисел.

Системы координат на плоскости

Прямоугольная (декартова) система координат на плоскости состоит из двух взаимно перпендикулярных числовых осей, пересекающихся в точке О, называемой началом системы координат. Горизонтальную ось называют осью абсцисс, а вертикальную — осью ординат. Каждой точке плоскости М можно сопоставить ориентированный отрезок ОМ, берущий начало в точке О и оканчивающийся в точке М (см. рис. 2.3). Такой отрезок называют радиус-вектором точки М. Числа Найти высоту тетраэдра через вектораназываются координатами точки М в декартовой системе координат. Положение любой точки плоскости М определяется заданием координат этой точки — упорядоченной пары чисел Найти высоту тетраэдра через вектораЗадать точку в фиксированной системе координат означает указать значения ее координат. На плоскости расстояние d между двумя точками Найти высоту тетраэдра через вектораизмеряется по прямой и вычисляется по формуле

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Найти расстояние d между двумя точками М(-3,4) и N (5,2). Согласно вышеприведенной формуле, имеем

Найти высоту тетраэдра через вектора

Прямая линия на плоскости

Пусть прямая линия пересекает ось ординат в точке Найти высоту тетраэдра через векторапод углом Найти высоту тетраэдра через векторак оси абсцисс (см. рис. 2.4 а). Выберем на прямой произвольную точку Найти высоту тетраэдра через вектора(такая точка называется текущей). Проекции направленного отрезка ВМ на оси координат соответственно равны Найти высоту тетраэдра через вектораПри скольжении точки М по прямой проекции изменяются, однако, их отношение, равное

Найти высоту тетраэдра через вектора

охраняется для всех точек прямой и не выполняется для точек, не принадлежащих прямой. Тангенс угла Найти высоту тетраэдра через вектораназывается угловым коэффициентом и обозначается k. Выразив из (2.1) у, получим «уравнение прямой линии с угловым коэффициентом»

Найти высоту тетраэдра через вектора

Если Найти высоту тетраэдра через векторато прямая проходит через начало координат. Если Найти высоту тетраэдра через вектора(см. рис. 2.5 а), то прямая проходит параллельно оси абсцисс и ее уравнение Найти высоту тетраэдра через вектораЕсли вместо точки В дана другая фиксированная точка Найти высоту тетраэдра через вектора(см. рис. 2.5 б), то уравнение прямой, проходящей через данную точку

Найти высоту тетраэдра через вектора

Любое из уравнений прямой можно привести к виду Найти высоту тетраэдра через вектораНайти высоту тетраэдра через вектораНапример, для уравнения (2.2) Найти высоту тетраэдра через векторат. е. прямая в прямоугольной системе координат может быть описана линейным уравнением первой степени. Если Найти высоту тетраэдра через векторато и линейное уравнение можно привести к виду (2.2)

Найти высоту тетраэдра через вектора

Если Найти высоту тетраэдра через векторато получим уравнение Найти высоту тетраэдра через вектораЭто уравнение определяет прямую, параллельную оси ординат и пересекающую ось абсцисс в точке Найти высоту тетраэдра через вектора(рис. 2.5 б). Уравнение Найти высоту тетраэдра через вектораописывает только прямые линии на плоскости и называется общим уравнением прямой на плоскости. Верно и обратное утверждение: каждому уравнению первой степени с двумя неизвестными соответствует в прямоугольной системе координат одна и только одна прямая.

Найти высоту тетраэдра через вектора

Кривые второго порядка

Кривыми второго порядка называются линии, которые описываются алгебраическими уравнениями второй степени

Найти высоту тетраэдра через вектора

причем хотя бы один из коэффициентов А, В, С должен быть не равен нулю.

Окружностью называется геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки, называемой центром окружности. Уравнение окружности радиуса R с центром в точке М(а, b) имеет вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

Если раскрыть скобки, то мы увидим, что уравнение (2.5) получается из уравнения (2.4), если Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Пусть задано уравнение Найти высоту тетраэдра через вектораЯвляется ли это уравнение уравнением окружности и, если да, то каков ее радиус и координаты центра? Попробуем привести данное уравнение к виду (2.5). Выделим полный квадрат относительно х, прибавляя и вычитая число 4.

Найти высоту тетраэдра через вектора

Сравнивая (2.6) с (2.5), видим, что заданное уравнение есть уравнение окружности радиусом Найти высоту тетраэдра через вектораи с центром в точке М(2,0).

Эллипс — замкнутая кривая, для всех точек которой сумма расстояний до двух фиксированных точек Найти высоту тетраэдра через вектораназываемых фокусами эллипса, одинакова и равна, по определению, Найти высоту тетраэдра через вектораДля эллипса, представленного на рис. 2.6, сумма расстояний Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектораравна сумме расстояний Найти высоту тетраэдра через векторат. е.Найти высоту тетраэдра через вектора

Уравнение эллипса, центр симметрии которого находится в начале координат, а фокусы Найти высоту тетраэдра через векторалежат на оси ОХ симметрично относительно оси ОY, называется каноническим

Найти высоту тетраэдра через вектора

Параметры а и b называются полуосями, причем. Найти высоту тетраэдра через вектораУравнение (2.7) получим из (2.4), если Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектораОчевидно, что окружность — частный случай эллипса, которого Найти высоту тетраэдра через вектораа центр находится в начале координат.

Гипербола — неограниченная кривая, для всех точек которой разность расстояний до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная и по определению равная 2а (рис. 2.7). Разность Найти высоту тетраэдра через вектораКанонической уравнение гиперболы, центр симметрии которой совпадает 4 началом координат, а фокусы Найти высоту тетраэдра через векторалежат на оси ОХ симметрично оси ОY,

Найти высоту тетраэдра через вектора

Параметры а и b называются полуосью и мнимой полуосью гиперболы, причем Найти высоту тетраэдра через вектораУравнение (2.8) получим из (2.4), если Найти высоту тетраэдра через вектораОсобенность гиперболы — наличие асимптот — прямых, к которым неограниченно приближается кривая при Найти высоту тетраэдра через вектораУравнение асимптот: Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

Парабола — неограниченная кривая, все точки которой (см. рис. 2.8) равноудалены от точки, называемой фокусом, и прямой, называемой директрисой, причем расстояние между фокусом и директрисой равно р. Для параболы, изображенной на рис. 2.8, расстояния Найти высоту тетраэдра через вектораКаноническое уравнение параболы, фокус которой Найти высоту тетраэдра через векторалежит на оси

ОХ, а директриса Найти высоту тетраэдра через вектора

перпендикулярна ОХ, есть Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

Уравнение (2.9) получим из (2.4), если Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектораОсь такой параболы совпадает с осью ОХ, а вершина лежит в начале координат.

Найти высоту тетраэдра через вектора

Сделав поворот и сдвиг системы координат, любое уравнение (2.4) можно привести только к одному из трех уравнений второй степени: (2.7), (2.8), (2.9) или к уравнению вида Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через векторакоторому соответствуют две прямые. Это означает, что уравнениями второй степени можно описать только эллипс (и его частный случай — окружность), гиперболу или параболу. Важным свойством линий второго порядка является то, что все они могут быть получены (см. рис. 2.9) как сечения конуса плоскостью, пересекающей его под различными углами.

Преобразование системы координат

Пусть даны две системы прямоугольных координат Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектора(рис. 2.10 а). Свяжем координаты точки Найти высоту тетраэдра через векторав одной

из систем с ее же координатами Найти высоту тетраэдра через векторав другой системе координат. Решение задачи проводим в два этапа: вначале совмещаются начала координат, причем сохраняются старые направления осей (рис. 2.10 б), потом одна из систем поворачивается так, чтобы совпали направления осей координат.

Параллельный перенос системы координат. В первой системе координат точка Найти высоту тетраэдра через вектораимеет координаты (0,0), точка Найти высоту тетраэдра через вектораа точка Найти высоту тетраэдра через вектораРассматривая проекции этих точек на оси координат первой системы, имеем

Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

Чтобы получить координаты во второй системе, необходимо провести обратные действия. Это приведет к зависимостям

Найти высоту тетраэдра через вектора

Поворот системы координат с совмещенной точкой начала. Пусть оси Найти высоту тетраэдра через вектораповернуты на угол Найти высоту тетраэдра через вектора. Из рис. 2.10 б следуют соотношения

Найти высоту тетраэдра через вектора

В общем случае связь между координатами точки в различных прямоугольных системах координат выражается линейными соотношениями

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Как изменятся координаты точки М(-2,3), если система будет повернута на 30° и сдвинута вверх на две единицы?

Применяя формулы (2.12) для Найти высоту тетраэдра через вектораугла Найти высоту тетраэдра через вектораимеем

Найти высоту тетраэдра через вектора

Для определения положения точек на плоскости часто применяется так называемая полярная система координат. Выберем на плоскости фиксированную точку О, называемую полюсом, и исходящую из нее ось ОР, называемую полярной осью. На полярной оси выбрана единица масштаба. В этой систем как показано на рис. 2.11, положение точки М на плоскость вполне задается отрезком ОМ, называемым полярным радиусом точки М, равным расстоянию отрезка ОМ, и углом Найти высоту тетраэдра через вектора, который составляет полярный радиус с полярной осью, считая против часовой стрелки от полярной оси Найти высоту тетраэдра через вектора

Если на плоскости заданы прямоугольная и полярная системы координат, причем начало координат и положительная часть оси абсцисс прямоугольной системы совпадают соответственно с полюсом и осью полярной системы координат (рис. 2.12), то декартовы и полярные координаты точки М связаны соотношением

Найти высоту тетраэдра через вектора

Формулы (2.13) выражают координаты точки М в прямоугольной системе через ее же координаты в полярной системе. Отсюда

Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

Геометрия в пространстве

Системы координат в пространстве:

Прямоугольная (декартова) система координат в пространстве возникает, если взяты три одинаковые взаимно перпендикулярные числовые оси — оси координат, которые пересекаются в точке О, называемой началом системы координат. Первую ось ОХ называют осью абсцисс, вторую ось ОY — осью ординат, третью ОХ — осью аппликат. Через каждые две (из трех) координатные оси проходит координатная плоскость.

Существуют две, не сводящиеся друг к другу системы координат: правая система координат и левая система координат. Различить эти системы координат можно следующим образом: если посмотреть из любой положительной точки оси ОZ на ось ОY и ось ОХ окажется справа, то это правая система координат, если слева — левая (сравните рис. 2.13 а и рис. 2.13 6).

Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

Каждой пространственной точке М можно сопоставить ориентированный отрезок ОМ, берущий начало в точке начала координат и оканчивающийся в точке М (см. рис. 2.14). Такой отрезок называют радиус-вектором точки М. Спроектируем точку М на оси координат. Каждой точке М соответствуют три точки на осях (на рис. 2.14 Р, Q, R) их координаты называют координатами точки М. Они однозначно определяют положение этой точки в выбранной системе координат. Наоборот, задав на каждой из осей координат по одной точке, например, Р, Q, и R, мы определим одну и только одну точку в пространстве (на рис. 2.14 точка М). Эта точка получается при пересечении трех взаимно перпендикулярных плоскостей Найти высоту тетраэдра через векторапроходящих соответственно через точки Р, Q и R параллельно осям координат. Расстоянием между двумя точками Найти высоту тетраэдра через векторав пространстве называется число d, равное длине отрезка прямой, соединяющей эти точки

Найти высоту тетраэдра через вектора

Например, расстояние между двумя точками М(2,-1,3) и N(-2,-1,0), согласно (2.16), равно

Найти высоту тетраэдра через вектора

В пространстве всякая поверхность может рассматриваться как некоторое множество точек, между координатами которых установлены определенные соответствия

Найти высоту тетраэдра через вектора

Основные поверхности в пространстве

  1. Плоскость в пространстве. Наиболее простой вид уравнения (2.17) — уравнение, линейное относительно всех неизвестных Найти высоту тетраэдра через векторакоторое описывает плоскость в пространстве. Если Найти высоту тетраэдра через векторато уравнение Найти высоту тетраэдра через вектораописывает плоскость, проходящую через начало координат (см. главу 2.4).

2. Цилиндрические поверхности — это поверхности, описываемые прямой, называемой образующей, двигающейся параллельно фиксированной заданной прямой и пересекающей некоторую линию L, называемую направляющей цилиндрической поверхности. Направляющая линия не обязательно замкнута. В частности, если образующая параллельна оси ОZ, то уравнение такой цилиндрической поверхности описывается уравнением, не содержащим z

Найти высоту тетраэдра через вектора

В этом случае вид функции F определяет направляющую линию цилиндра. Так, (см. рис. 2.5 а, б, в)) в пространстве

уравнение Найти высоту тетраэдра через вектораописывает круговой цилиндр,

уравнение Найти высоту тетраэдра через вектораописывает эллиптический цилиндр,

уравнение Найти высоту тетраэдра через вектораописывает гиперболический цилиндр.

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Какую поверхность определяет следующее уравнение: Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение. Выделим полные квадраты в левой части уравнения: Найти высоту тетраэдра через вектораили Найти высоту тетраэдра через вектораЭто уравнение описывает круговой цилиндр, вытянутый вдоль оси ОY (координата у отсутствует).

Найти высоту тетраэдра через вектора

3. Конические поверхности. Поверхность, описываемая прямой (образующая конической поверхности), проходящей через данную точку, называемую вершиной, и пересекающей данную линию (направляющую конуса), называется конической поверхностью.

Наиболее простой формулой описывается конус, имеющий вершину в начале координат, а его образующая описывает вокруг оси координат некоторую замкнутую кривую, например, как показано на рис. 2.16, эллипс. Уравнение такого конуса имеет вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Найти уравнение поверхности, возникающей при вращении прямой Найти высоту тетраэдра через векторавокруг оси OX.

Решение. При вращении прямой возникнет коническая поверхность. Вершиной конуса будет являться точка пересечения его образующей с осью ОХ с координатами Найти высоту тетраэдра через вектораПроизвольная фиксированная точка образующей прямой Найти высоту тетраэдра через векторапри вращении вокруг оси ОХ описывает окружность, задаваемую уравнением Найти высоту тетраэдра через векторапроизвольные точки поверхности искомого конуса, соответствующие сечению Найти высоту тетраэдра через вектораПодставляя значения Найти высоту тетраэдра через векторав уравнение образующей прямой, имеем искомое уравнение конуса Найти высоту тетраэдра через вектораили, после преобразования, Найти высоту тетраэдра через вектора

4. Сфера есть геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от одной точки, называемой центром. Величина удаления точек сферы от центра есть расстояние от точки центра до точек сферы.

Следовательно, используя (2.16), можно записать уравнение сферы

Найти высоту тетраэдра через вектора

где r — радиус сферы или расстояние от произвольной точки сферы Найти высоту тетраэдра через векторадо ее центра — фиксированной точки с координатами Найти высоту тетраэдра через вектора

5. Поверхности вращения. Пусть в плоскости YОZ лежит кривая, уравнение которой Найти высоту тетраэдра через вектораЕсли вращать эту кривую вокруг оси ОZ, то образуется поверхность вращения, описываемая уравнением

Найти высоту тетраэдра через вектора

При анализе поверхностей вращения в каждом конкретном случае необходимо указывать, в какой плоскости лежит образующая кривая и вокруг какой оси она вращается. Так, например, эллипсоид вращения, описываемый уравнением

Найти высоту тетраэдра через вектора

образован вращением вокруг оси ОZ эллипса, лежащего в плоскости ХОZ (рис. 2.17 а). Если этот же эллипс вращать вокруг оси ОХ, то уравнение соответствующего эллипсоида вращения (рис. 2.17 б) имеет вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Записать уравнение эллипсоида вращения, полученного от вращения эллипса вокруг оси ОY, если на его поверхности лежат точки А(3,0,0) и В(0,2,0).

Решение:

Заданные точки лежат в координатной плоскости ХОY и определяют вершины эллипса Найти высоту тетраэдра через векторавращение которого образует искомый эллипсоид. Принимая во внимание предыдущие рассуждения, запишем уравнение эллипсоида вращения

Найти высоту тетраэдра через вектора

Линию в пространстве образует пересечение двух поверхностей. Отсюда следует, что пространственную линию можно описать системой двух уравнений

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Найти линию, образуемую пересечением плоскости Найти высоту тетраэдра через векторасо сферой Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение:

Искомая линия находится как решение системы этих уравнений

Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение этой системы есть уравнение окружности Найти высоту тетраэдра через векторат. е. плоскость пересекает сферу по окружности.

Пересечение трех поверхностей может давать просто точку в пространстве. Математически это соответствует единственному решению системы трех уравнений

Найти высоту тетраэдра через вектора

Если система (2.20) несовместна, то это означает, что поверхности, описываемые данными уравнениями, не пересекаются в одной точке.

Основы аналитической геометрии

Направленные отрезки

Положение точки на прямой линии определяется одной координатой.

Одно из двух взаимных направлений данной прямой (безразлично какое) называется положительным и обозначается стрелкой.
Противоположное направление называется отрицательным (рис. 3.1).

Найти высоту тетраэдра через вектора

За начало координат принимают точку О (ноль). Прямую обычно
называют какой-либо буквой, например X. За единицу масштаба
принимают какой-либо отрезок прямой, например ОЕ = 1. Координатой точки М, лежащей на прямой, является длина отрезка ОМ со знаком «плюс», если точка М удалена в положительном направлении от точки О, и со знаком «минус», если точка М удалена в
отрицательном направлении от точки О, т.е. координату точки М можно представить в виде

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Обозначить на координатной оси ОХ точки,
имеющие координаты: Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение:

Выбираем масштаб, имеющий длину Найти высоту тетраэдра через вектора
Точки с указанными координатами представлены на рис. 3.2. ►

Найти высоту тетраэдра через вектора

Направленный отрезок характеризуется длиной и направлением
(рис. 3.3). Отрезок начинается в точке А и заканчивается в точке
В. Обозначается Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

Направленные отрезки Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектораравны по длине Найти высоту тетраэдра через вектораи
противоположны по направлению.

Если известны координаты начала Найти высоту тетраэдра через вектораи конца Найти высоту тетраэдра через вектораотрезка, то
его длина рассчитывается по формуле

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Найти длину отрезка с координатами начала и
конца, представленными в табл. 3.1.

Таблица 3.1

Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение:

Результаты расчета представлены в табл. 3.2.

Таблица 3.2

Найти высоту тетраэдра через вектора

Знак «минус» перед значением длины отрезка указывает на
направление отрезка, противоположное направлению оси.

Прямоугольная система координат

Положение точки на поверхности (плоскость, поверхность шара
и т. д.) определяется двумя координатами (рис. 3.4).

Найти высоту тетраэдра через вектора

Прямоугольная система координат на плоскости представляет из
себя две перпендикулярные прямые, снабженные масштабами и
направлениями. Такие прямые называются координатными осями.

Координатами точки называются координаты оснований
перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси (рис. 3.4).

Ось ОХ называется осью абсцисс, а ось OY — осью ординат.

Четыре угла, образуемые осями координат, называются координатными углами и обозначаются I, II, III, IV (рис. 3.5).

Найти высоту тетраэдра через вектора

Если не требовать перпендикулярности осей координат, то получим более общую систему декартовых координат.
Прямоугольная система координат является частным случаем декартовой.

Пример:

Построить на плоскости в прямоугольной системе координат точки, имеющие следующие координаты: (3; 5), (—2,5; 6),
(5; -4), (-3,5; -4,5), (-6; 3).

Решение:

Указанные точки представлены на
рис. 3.6. ►

Найти высоту тетраэдра через вектора

Расстояние Найти высоту тетраэдра через векторамежду двумя точками Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через векторана плоскости определяется выражением

Найти высоту тетраэдра через вектора

Действительно, проведем через каждую из точек Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через векторапо паре прямых, параллельных координатным осям (рис. 3.7).

Найти высоту тетраэдра через вектора

Отсюда следует, что треугольник Найти высоту тетраэдра через вектора— прямоугольный с катетами Найти высоту тетраэдра через вектора
Поэтому гипотенуза равна

Найти высоту тетраэдра через вектора

что и требовалось доказать.

Пример:

Найти периметр треугольника ABC по следующим
данным: А(2; 7), В(5; 7), С(5; 11).

Решение:

Исследуемый треугольник
представлен на рис. 3.8.

Найти высоту тетраэдра через вектора

Прямая АВ равноудалена от оси Ох, поэтому она параллельна этой оси. По этой же причине прямая ВС параллельна оси Оу. Поэтому АВ и ВС перпендикулярны, т.е. треугольник ABC — прямоугольный. Таким образом, АВ= 5 — 2 = 3, ВС= 11 -7 = 4, Найти высоту тетраэдра через вектора

Периметр треугольника П=3 + 4 + 5= 12. ►

Деление отрезка в данном отношении

Даны точки Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектораНайти точку М(х, у) (ее координаты), делящую отрезок Найти высоту тетраэдра через векторав отношении Найти высоту тетраэдра через векторат.е. Найти высоту тетраэдра через вектора(рис. 3.9).

Найти высоту тетраэдра через вектора

Прямые, проведенные из точек Найти высоту тетраэдра через вектораперпендикулярно оси
Ох, делят прямые Ох и Найти высоту тетраэдра через векторана пропорциональные отрезки, т.е.

Найти высоту тетраэдра через вектора

Преобразуем это выражение к виду

Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

Точка M может быть расположена и вне отрезка Найти высоту тетраэдра через вектора(рис. 3.10).

Найти высоту тетраэдра через вектора

В этом случае отношение Найти высоту тетраэдра через вектораявляется отрицательной
величиной, так как отрезки Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектораимеют противоположное направление.

Пример:

Даны точки А(4; 2), В(10; 5). Найти точки Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектора,
делящие отрезок в отношении Найти высоту тетраэдра через векторавнутренним и внешним образом.

Решение:

Геометрия задачи представлена на рис. 3.11.

Найти высоту тетраэдра через вектора

При делении отрезка внутренним образом координаты точки Найти высоту тетраэдра через векторанаходятся по формулам (3.1) и (3.2):

Найти высоту тетраэдра через вектора

При делении отрезка внешним образом координаты точки Найти высоту тетраэдра через векторатакже находятся по формулам (3.1) и (3.2), но Найти высоту тетраэдра через вектораили Найти высоту тетраэдра через векторапринимается отрицательным.

Найти высоту тетраэдра через вектора

Угол наклона отрезка к оси абсцисс

Проведем через точки Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через векторадве прямые, параллельные оси
Оу, и две прямые, параллельные оси Ох (рис. 3.12).

Найти высоту тетраэдра через вектора

Отрезок Найти высоту тетраэдра через векторалежащий на оси Ох, называется проекцией отрезка Найти высоту тетраэдра через векторана ось Ох. Его длина равна Найти высоту тетраэдра через вектораАналогично Найти высоту тетраэдра через вектора

Из прямоугольного треугольника Найти высоту тетраэдра через вектораследует:

Найти высоту тетраэдра через вектора

Уравнение прямой

В общем случае уравнение прямой записывают в виде

Ах + Ву + С = 0. (3.3)

Преобразуем это уравнение относительно у:

Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

Это наиболее часто встречаемый вид уравнения прямой. Графически прямая представлена на рис. 3.13.

Найти высоту тетраэдра через вектора

Коэффициент К, входящий в уравнение прямой, называется угловым коэффициентом и равен тангенсу угла между осью Ох и прямой K=tg a (рис. 3.13).

Коэффициент b — это координата точки пересечения прямой с осью Оу. В этом легко убедиться, положив х = 0, т.е.

Уравнение прямой, параллельной оси Ох, следует из уравнения (3.4) при К = tg а = tg 0 = 0 и имеет вид

Уравнение прямой, параллельной оси Оу, следует из общего уравнения прямой (3.3) при b = 0. Тогда Ах + С = 0 . Решив это уравнение относительно х, получим

Найти высоту тетраэдра через вектора

График этой прямой представлен на рис. 3.14

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Написать уравнение прямой, образующей с осью абсцисс угол Найти высоту тетраэдра через вектораи отсекающей начальную ординату b = 4. Начертить график.

Решение:

Положительное направление угла отсчитывается от оси Ох против часовой стрелки, а отрицательное — по часовой стрелке (рис. 3.15).

Найти высоту тетраэдра через вектора

Угловой коэффициент К=tg(-45)°=tgl35° = -1. Уравнение прямой имеет вид у=-х+4.

Точка пересечения прямой с осью ОХ находится из условия у=0. Ее координата равна х=4. График прямой предоставлен на рис. 3.15. ►

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Начертить график прямой у=2х-3.

Решение:

Ось Оу прямая пересекает в точке у=-3, а ось Ох — в точке х=32=1,5. Отметив на осях оказанные координаты, проводим прямую через две точки (рис. 3.16) ►

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Найти точку пересечения двух прямых:

Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение:

Точкой пересечения является решение системы из двух линейных уравнений (3.7). Вычитая из второго уравнения первое, получим 2х— 3+х — 4 = 0. Решив это уравнение, получим абсциссу точки пересечения прямых: х = 7/3.

Подставив значение абсциссы точки пересечения прямых в первое уравнение (3.7), получим значение ординаты точки пересечения, т.е.

Найти высоту тетраэдра через вектора

Условие перпендикулярности прямых

Даны две прямые

Найти высоту тетраэдра через вектора

Если эти прямые перпендикулярны, то угол наклона одной из них должен отличаться от угла наклона другой на 90°, т.е. Найти высоту тетраэдра через вектораТогда Найти высоту тетраэдра через вектораУмножив правую и левую части этого уравнения на Найти высоту тетраэдра через вектораполучим условие перпендикулярности двух прямых:

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Найти угол наклона прямой, перпендикулярной к прямой у = х +1.

Решение:

Так как Найти высоту тетраэдра через векторато в соответствии с (3.8) Найти высоту тетраэдра через векторат.е. Найти высоту тетраэдра через вектораОтсюда находим Найти высоту тетраэдра через вектора

Угол между прямыми

Пусть две прямые заданы уравнениями:

Найти высоту тетраэдра через вектора

Если угол между прямыми равен Найти высоту тетраэдра через векторато справедливо соотношение (рис. 3.17)

Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектораили Найти высоту тетраэдра через вектораВзяв тангенс от левой и правой частей последнего соотношения, получим

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Найти угол, образованный прямой у = -3х + 2 с прямой у = 2х

Решение:

Так как Найти высоту тетраэдра через вектораа Найти высоту тетраэдра через векторато

Найти высоту тетраэдра через вектора

Отсюда находим Найти высоту тетраэдра через вектораГрафически решение представлено на рис. 3.18. ►

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пучок прямых

Совокупность всех прямых, проходящих через данную точку Найти высоту тетраэдра через вектора, называется центральным пучком прямых или просто пучком. Точка Найти высоту тетраэдра через вектораназывается центром пучка.

Найти высоту тетраэдра через вектора

в котором угловой коэффициент К рассматривается как величина, способная принимать любые числовые значения, называется уравнением пучка с центром Найти высоту тетраэдра через вектораЭтим уравнением нельзя представить только прямую, параллельную оси Оу.

Пример:

Указать точку, через которую проходят все прямые, представленные уравнением y + 3 = K(x + 1).

Решение:

Сопоставив уравнение примера с (3.10), определим координаты центра, равные (-1; -3). ►

В общем виде уравнение пучка прямых можно записать в виде

Найти высоту тетраэдра через вектора

Найдем уравнение прямой, перпендикулярной прямой

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пусть уравнение искомой прямой имеет вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

Если Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через векторато данные уравнения можно представить в стандартной форме

Найти высоту тетраэдра через вектора

Используя (3.8), условие перпендикулярности двух рассматриваемых прямых можно представить в виде

Найти высоту тетраэдра через вектораили Найти высоту тетраэдра через вектора

Условие (3.13) будет выполняться, если положить Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектораТогда уравнение прямой, перпендикулярной прямой (3.13), можно представить как

Найти высоту тетраэдра через вектора

Уравнение прямой, проходящей через две данные точки

Пусть имеются две точки Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектораОпределить уравнение прямой, проходящей через эти точки.

Уравнение пучка прямых, проходящих через точку Найти высоту тетраэдра через вектора, имеет вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

Одна из этих прямых проходит также через точку Найти высоту тетраэдра через вектораВ этом случае можно записать:

Найти высоту тетраэдра через вектора

Из полученного уравнения определяем угловой коэффициент искомой прямой.

Найти высоту тетраэдра через вектора

Подставив полученную формулу для углового коэффициента в уравнение пучка прямых, найдем

Найти высоту тетраэдра через вектора

Окончательно уравнение прямой, проходящей через две заданные точки, записывают в виде

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Составить уравнение прямой, проходящей через
точки: а) Найти высоту тетраэдра через вектора(4; — 2) и Найти высоту тетраэдра через вектора(-1; 7), б) Найти высоту тетраэдра через вектора(-4; — 5) и Найти высоту тетраэдра через вектора(-4; -1).

Решение:

а) Подставив данные примера в (3.15), найдем Найти высоту тетраэдра через вектораили Найти высоту тетраэдра через вектораРешив последнее уравнение относительно у, получим

Найти высоту тетраэдра через вектора

б) подставив данные в (3.15), получим Найти высоту тетраэдра через вектораТак как
знаменатель в правой части равен нулю, а на ноль делить нельзя, то эта прямая параллельна оси Оу, что и следует из рис. 3.20.

Найти высоту тетраэдра через вектора

Уравнение искомой прямой имеет вид х = -4 . ►

Пример:

Определить площадь S треугольника АВС с вершинами Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через векторапри Найти высоту тетраэдра через вектора
Найти высоту тетраэдра через вектора(рис. 3.21).

Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение:

Площадь треугольника определяем по формуле

Найти высоту тетраэдра через вектора

где Найти высоту тетраэдра через вектора— высота треугольника. Неизвестными здесь являются координаты Найти высоту тетраэдра через вектораИх можно найти как точку пересечения прямой, проходящей через точки А и В, и перпендикулярной к ней прямой, проходящей через точку С. Уравнение прямой, проходящей
через точки А и В, имеет вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

а ее угловой коэффициент определяется формулой

Найти высоту тетраэдра через вектора

Таким образом, уравнение прямой, проходящей через точки А и В,
можно представить в виде Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

Угловой коэффициент прямой, перпендикулярной к рассматриваемой, определяем по формуле

Найти высоту тетраэдра через вектора

Уравнение данной прямой имеет вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

Координаты точки D находим из системы двух линейных уравнений:

Найти высоту тетраэдра через вектора

Вычитая из второго уравнения первое, получим

Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

Для условий примера имеем Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

Определим высоту треугольника

Найти высоту тетраэдра через вектора

Площадь треугольника равна

Найти высоту тетраэдра через вектора

Расстояние от точки до прямой

Найти расстояние d от данной точки Найти высоту тетраэдра через векторадо данной прямой

Ах + Ву + С = 0. (3.16)

Расстояние d находим по формуле (рис. 3.22):

Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

Точка Найти высоту тетраэдра через вектора— основание перпендикуляра,
опущенного из точки Найти высоту тетраэдра через векторана прямую (3.16).

В соответствии с (3.14) уравнение прямой, перпендикулярной (3.16), имеет вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

Координаты точки Найти высоту тетраэдра через векторанаходим из решения системы уравнений

Найти высоту тетраэдра через вектора

Введем замену: Найти высоту тетраэдра через вектораТогда (3.17) и (3.18)
можно записать в виде

Найти высоту тетраэдра через вектора

Решая систему из двух последних уравнений, находим

Найти высоту тетраэдра через вектора

Подставив эти значения в (3.19), получим

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Найти расстояние от точки М (—1; 1) до прямой

Решение:

Искомое расстояние находится по формуле (3.20):

Найти высоту тетраэдра через вектора

Уравнение окружности

Пусть дана окружность радиуса R с координатами центра C(a,b) (рис.
3.23).

Найти высоту тетраэдра через вектора

Найдем ее уравнение. По определению окружности для С(а,b) любой ее точки М(а,b) расстояние от центра до этой точки постоянно и
равно радиусу окружности R. Как следует из формулы (3.1), это
расстояние равно

Найти высоту тетраэдра через вектора

Возводя в квадрат правую и левую части этого равенства,
получим уравнение окружности

Найти высоту тетраэдра через вектора

Если центр окружности лежит в начале координат, то а = b = 0 ,
а уравнение окружности приобретает вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

если хотя бы одна из трех величин А, В или С не равна нулю,
называется уравнением второго порядка, а линия, представляемая таким уравнением, — линией второго порядка. Выясним, при каких
условиях это уравнение является уравнением окружности. Для этих целей уравнение (3.21) представим в виде

Найти высоту тетраэдра через вектора

В уравнении (3.22) положим Найти высоту тетраэдра через вектораи разделим правую
и левую части на А. В результате получим

Найти высоту тетраэдра через вектора

Уравнение (3.24) имеет тот же вид, что и уравнение (3.23), т.е.
является уравнением окружности. Сопоставив (3.23) с (3.24), найдем

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Является ли уравнение Найти высоту тетраэдра через вектора
окружностью?

Решение:

Не является, так как в нем содержится слагаемое,
содержащее ху. ►

Пример:

Является ли уравнение Найти высоту тетраэдра через вектора
окружностью?

Решение:

Не является, так как коэффициенты при Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через векторане
равны. ►

Пример:

Найти координаты центра и радиус окружности

Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение:

Преобразуем исходное уравнение следующим образом:

1. Делим правую и левую части на 2:

Найти высоту тетраэдра через вектора

2.Дополняем выражения Найти высоту тетраэдра через векторадо квадратов:

Найти высоту тетраэдра через вектора

3.Приводим уравнение к виду (3.21):

Найти высоту тетраэдра через вектора

Отсюда следует, что исходное уравнение является окружностью
радиуса Найти высоту тетраэдра через векторас центром в точке (—3; 2). ►

Уравнение эллипса

Эллипсом называется геометрическое место точек, для которых сумма расстояний для двух точек F и F’ равна постоянной величине 2а.

Пусть две точки F и F’ отстоят на расстояние 2с друг от друга
(рис. 3.24).

Найти высоту тетраэдра через вектора

Сумма расстояний 2а от этих точек до любой точки эллипса
всегда больше 2с. В противном случае искомого геометрического места точек не существует. Найти уравнение эллипса.

Принимаем прямую FF’ за ось абсцисс, середину отрезка FF’ —
за начало координат. Тогда координаты точек F и F’ примут
значения

По определению эллипса сумма расстояний для двух точек
F и F’ равна постоянной величине 2а, т.е.

Найти высоту тетраэдра через вектора

Перепишем его в виде

Найти высоту тетраэдра через вектора

Возведем в квадрат левую и правую части последнего равенства
и сгруппируем члены:

Найти высоту тетраэдра через вектора

Сократим на 4, возведем в квадрат и приведем подобные члены

Найти высоту тетраэдра через вектора

Разделив правую и левую части на Найти высоту тетраэдра через вектораполучим
уравнение эллипса:

Найти высоту тетраэдра через вектора

Из определения эллипса и геометрии рис. 3.24 следует, что при
совмещении точки М с точкой А большая ось эллипса А’А = 2а , т.е.
большая полуось равна а. Введем обозначение

Найти высоту тетраэдра через вектора

Тогда уравнение эллипса принимает вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

Как следует из треугольника OBF и соотношения (3.26), малая
полуось эллипса ОВ равна b.

Точки F и F’ называются фокусами эллипса, а расстояние FF’ = 2с — фокусным расстоянием. Отношение фокусного расстояния к большой оси называется эксцентриситетом эллипса и обозначается буквой Найти высоту тетраэдра через вектораТаким образом, можно записать

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Определить эксцентриситет окружности.

Решение:

Так как в окружности а = b, то, как следует из соотношения (3.21), с = 0, т.е. Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Фокусное расстояние эллипса равно 8 см, малая ось
равна 6 см. Найти большую ось и эксцентриситет.

Решение:

Так как фокусное расстояние FF’ = 2с = 8 , то с = 4, а
малая полуось b=3. Из соотношения (3.26) находим длину большой
полуоси:

Найти высоту тетраэдра через вектора

Большая ось равна 2а = 10 см.

Эксцентриситет находим по формуле

Найти высоту тетраэдра через вектора

Уравнение гиперболы

Гиперболой называется геометрическое место точек М, для которых
разность расстояний до двух точек F и F’, называемых фокусами, имеет одну и ту же абсолютную величину 2а.

Пусть две точки F и F’ отстоят на расстояние 2с друг от друга (рис. 3.25).

Найти высоту тетраэдра через вектора

Разность расстояний 2а от этих точек до любой точки гиперболы
всегда меньше 2с. В противном случае искомого геометрического места точек не существует. Найти уравнение гиперболы.

Принимаем прямую FF’ за ось абсцисс, середину отрезка FF’ —
за начало координат. Тогда координаты точек F и F’ примут значения

По определению гиперболы разность расстояний для двух точек
F и F’ равна постоянной величине 2а, т.е. для правой ветви

Найти высоту тетраэдра через вектора

для левой ветви

Найти высоту тетраэдра через вектора

Проведя те же преобразования, что и в предыдущем параграфе,
получим

Найти высоту тетраэдра через вектора

В отличие от эллипса здесь разность Найти высоту тетраэдра через вектораотрицательна, так
как а Уравнение параболы

Параболой называется геометрическое место точек М, равноудаленных от данной точки F, называемой фокусом, и прямой PQ, называемой директрисой параболы. Расстояние FC = р от фокуса до директрисы называется параметром параболы.

Пусть прямая PQ и точка F отстоят на расстоянии р от искомого геометрического места точек (рис. 3.27).

Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти уравнение параболы.

Примем за начало координат середину отрезка CF. Найти высоту тетраэдра через векторафокусное расстояние. Ось абсцисс направим по лучу OF.
Тогда фокус F будет иметь следующие координаты: Найти высоту тетраэдра через вектораРасстояние FM определяется выражением Найти высоту тетраэдра через вектора
расстояние КМ — выражением Найти высоту тетраэдра через вектораПо определению
параболы эти два расстояния равны друг другу, т.е. Найти высоту тетраэдра через вектора

Данное выражение является уравнением параболы. Возведя
левую и правую части в квадрат и приведя подобные члены, получим каноническое уравнение параболы:

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пучок лучей с источником, расположенном в фокусе, после
отражения от параболы обратится в параллельный пучок лучей. На
этом принципе построены параболические зеркальные антенны.

Пример:

Написать каноническое уравнение параболы с
фокусным расстоянием, равным 3.

Решение:

Так как фокусное расстояние равно 3, то параметр
параболы р = 2 • 3 = 6. Используя уравнение (3.32), получим
каноническое уравнение параболы

Найти высоту тетраэдра через вектора

Уравнение плоскости в трехмерной системе координат

Положение точки в пространстве определяется тремя координатами.
Прямоугольная система координат в пространстве представляет
из себя три перпендикулярные прямые, снабженные масштабами и
направлениями. Такие прямые называются координатными осями.
Координатами точки называются координаты оснований
перпендикуляров, опущенных из этой точки на координатные оси.

Всякое уравнение, линейное относительно координат, определяет плоскость, и, наоборот, уравнение любой плоскости есть уравнение первой степени.

Общее уравнение плоскости имеет вид (рис. 3.28)

Найти высоту тетраэдра через вектора

Ax + By + Cz + D = 0. (3.33)

Уравнение плоскости может быть представлено в векторной
форме

Найти высоту тетраэдра через вектора

вектор, перпендикулярный плоскости.

Если D = 0, то плоскость проходит через начало координат.

Если A = 0 (В = 0,С = 0), то плоскость параллельна относительно оси Ox (Оу, Oz).

Пример:

Составить уравнение плоскости, проходящей через
начало координат и перпендикулярной вектору Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение:

Из (3.34) следует, что уравнение плоскости, проходящей через начало координат, определяется соотношением Найти высоту тетраэдра через вектора
Поэтому искомое уравнение имеет вид

Найти высоту тетраэдра через вектора

Нормальное уравнение плоскости имеет вид

Найти высоту тетраэдра через вектораили Найти высоту тетраэдра через вектора

где Найти высоту тетраэдра через вектора— единичный вектор, перпендикулярный плоскости; р — расстояние плоскости от начала координат.

Уравнение плоскости в отрезках:

Найти высоту тетраэдра через вектора

где а, b и с — отрезки, отсекаемые плоскостью на осях координат с
учетом знака.

Пример:

Составить уравнение плоскости, отсекающей от
каждой оси одинаковое число линейных единиц.

Решение:

Так как а = b = с , то уравнение плоскости имеет вид

Две плоскости, представляемые уравнениями

Найти высоту тетраэдра через вектора

образуют четыре двугранных угла, равных попарно. Когда говорят
об угле между двумя плоскостями, то имеют в виду любой из этих
углов и приписывают ему значение Найти высоту тетраэдра через вектора, заключенное между 0 и 180°.
Одно из значений Найти высоту тетраэдра через вектораравно углу между нормальными векторами
Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через векторадругое значение Найти высоту тетраэдра через векторадополняет первое до 180°. Данный угол определяют по формуле

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Найти угол между плоскостями, заданными
уравнениями

Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение:

Подставив в (3.38) соответствующие коэффициенты,
получим

Найти высоту тетраэдра через вектора

Таким образом, Найти высоту тетраэдра через вектора(это угол между нормальными векторами Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектораa Найти высоту тетраэдра через вектора

Расстояние от точки Найти высоту тетраэдра через векторадо плоскости

Ax + By + Cz + D = 0

определяется по формуле

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Найти расстояние от точки М (2,1,1) до плоскости

Решение:

Подставив исходные данные в формулу (3.38), получим

Найти высоту тетраэдра через вектора

Уравнение прямой в пространстве

Всякая прямая линия представляется системой двух уравнений
первой степени

Найти высоту тетраэдра через вектора

которые, взятые по отдельности, представляют какие-либо две
плоскости, проходящие через эту прямую.

Если коэффициенты Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через векторапропорциональны коэффициентам Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектораа свободные члены не подчиняются той же пропорции

Найти высоту тетраэдра через вектора

то плоскости параллельны и никогда не пересекутся, т.е. такая
система не представляет прямой линии.

Направляющим вектором прямой называется всякий ненулевой вектор Найти высоту тетраэдра через векторалежащий на этой прямой или параллельный ей. Координаты l, m, n направляющего вектора называются направляющими коэффициентами прямой.

За направляющий вектор прямой (3.39) можно принять векторное
произведение нормальных векторов Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Найти направляющие коэффициенты прямой

Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение:

По формулам (3.40) находим

Найти высоту тетраэдра через вектора

Под углами Найти высоту тетраэдра через векторамежду прямой и осями координат понимают
углы между направляющим вектором Найти высоту тетраэдра через вектораи ортами Найти высоту тетраэдра через вектора
соответственно. Косинусы этих углов вычисляются по формулам

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Для условий примера 3.27 найти направляющие
косинусы и углы, образуемые прямой с осями координат.

Решение:

По формулам (3.41) находим

Найти высоту тетраэдра через вектора

Находя арккосинусы, получим

Найти высоту тетраэдра через вектора

Под углом между двумя прямыми понимается угол между их
направляющими векторами Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектораВ
зависимости от выбора направления векторов (каждый из них может иметь два взаимно противоположных направления) этот угол может иметь два значения, дополняющих друг друга до 180°. Косинус угла между прямыми вычисляется по формуле

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Даны две прямые с направляющими векторами
Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через вектораОпределить угол между ними.

Решение:

Подставим данные примера в формулу (3.42):

Найти высоту тетраэдра через вектора

Отсюда находим Найти высоту тетраэдра через вектора

Углом между прямой L и плоскостью Р называют острый угол Найти высоту тетраэдра через вектора
между прямой L и ее проекцией L’
на плоскость Р (рис. 3.29).

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пусть даны направляющий вектор Найти высоту тетраэдра через векторапрямой L и
нормальный вектор Найти высоту тетраэдра через вектораплоскости Р. Косинус угла Найти высоту тетраэдра через векторамежду этими векторами равен

Найти высоту тетраэдра через вектора

Как следует из рис. 3.29, Найти высоту тетраэдра через вектораТогда

Найти высоту тетраэдра через вектора

Пример:

Найти угол между прямой

Найти высоту тетраэдра через вектора

и плоскостью 2x + y + z + 5—0.

Решение:

Направляющими коэффициентами прямой являются числа

Найти высоту тетраэдра через вектора

Координаты нормального вектора плоскости:

Подставив полученные цифры в (3.43), найдем

Найти высоту тетраэдра через вектора

Отсюда следует Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора

(коэффициенты Найти высоту тетраэдра через вектораи Найти высоту тетраэдра через векторане равны нулю одновременно) на
координатную плоскость хОу находится по следующему правилу: чтобы найти проекцию прямой (3.44) на координатную плоскость хОу
достаточно исключить z из уравнений (3.44); полученное
уравнение совместно с уравнением z = 0 представляет искомую
проекцию.

Аналогично находятся проекции прямой на координатные
плоскости yOz и zOx.

Пример:

Найти проекции прямой

Найти высоту тетраэдра через вектора

на координатные плоскости.

Решение:

Исключив z из системы уравнений, получим уравнение проекции данной прямой на плоскость хОу :

Исключив у из системы уравнений, получим уравнение проекции
данной прямой на плоскость zOx :

Исключив х из системы уравнений, получим уравнение проекции
данной прямой на плоскость yOz :

Пусть задан направляющий вектор Найти высоту тетраэдра через векторапрямой,
проходящий через точку Найти высоту тетраэдра через вектораТакая прямая описывается симметричными (каноническими) уравнениями вида

Найти высоту тетраэдра через вектора

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по высшей математике:

Найти высоту тетраэдра через вектора

Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора Найти высоту тетраэдра через вектора

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Найти высоту тетраэдра через вектора

Учасники групи мають 10% знижку при замовленні робіт, і ще багато бонусів!

Контакты

Администратор, решение задач
Роман

Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym

Решение задач
Андрей

facebook:
dniprovets25

Поделиться или сохранить к себе:
Найти высоту тетраэдра через вектора