Площадь прямоугольника через треугольник

Прямоугольный треугольник, так же как и любой другой треугольник, имеет три стороны и три угла. Разница только в том, что один угол прямой, т. е. 90 градусов и два остальных, острых угла в сумме составляют, тоже 90 градусов.
Две стороны, которые формируют прямой угол, называют катетами, а третья сторона напротив прямого угла, называется — гипотенуза

1. Если известны только катеты

a , b — катеты треугольника

Формула площади треугольника через катеты ( S ) :

2. Если известны острый угол и гипотенуза или катет

c — гипотенуза

a , b — катеты

α , β — острые углы

Формулы площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и угол ( S ) :

Формулы площади прямоугольного треугольника через катет и угол ( S ) :

Как известно, сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90 градусов, а если

то справедливы следующие тождества:

3. Если известны радиус вписанной окружности и гипотенуза

c — гипотенуза

c 1 , c 2 — отрезки полученные делением гипотенузы, точкой касания окружности

r — радиус вписанной окружности

О — центр вписанной окружности

Формулы площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу ( S ) :

Площадь прямоугольного треугольника

О чем эта статья:

площадь, 8 класс

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Основные определения

Прямоугольный треугольник — это треугольник, в котором один угол прямой, то есть равен 90˚.

Гипотенуза — это сторона, противолежащая прямому углу.

Катеты — это стороны, прилежащие к прямому углу.

Чтобы найти площадь прямоугольного треугольника, можно применить любую формулу нахождения площади треугольника — их несколько.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через катеты

Чтобы найти площадь, нужно вывести формулу:

Площадь треугольника равна половине произведения основания на высоту, проведенную к этому основанию.

Так как в прямоугольном треугольнике катеты перпендикулярны, то один катет — это высота, проведенная ко второму катету.

Отсюда следует, что площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения его катетов.

Используйте эту формулу, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника через катеты.

S = 1/2 (a × b), где a и b — катеты

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу

Площадь прямоугольного треугольника равна половине произведения гипотенузы на высоту, проведенную к гипотенузе.

где с — гипотенуза,

Используйте эту формулу, чтобы найти площадь прямоугольного треугольника через гипотенузу.

Формула для нахождения площади прямоугольного треугольника через гипотенузу и острый угол

α, β — острые углы

Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через катет и угол

α, β — острые углы

Формулы нахождения площади прямоугольного треугольника через радиус вписанной окружности и гипотенузу

Радиус вписанной окружности выражается через катеты и гипотенузу по формуле:

S прямоугольного треугольника = r (r + c) = c1 × c2

r — радиус вписанной окружности

C1 и С2 — отрезки, полученные делением гипотенузы на две части точкой касания с окружностью

Уверены, что во всем разобрались? Закрепите знания на курсах обучения математике в онлайн-школе Skysmart!

Найти площадь прямоугольного треугольника

Онлайн калькулятор

Чтобы вычислить площадь прямоугольного треугольника вам нужно знать следующие параметры (либо-либо):

• длины катетов a и b
• длину гипотенузы с и длину любого из катетов (a или b)
• длину катета (a или b) и прилежащий к нему острый угол (β или α, соответственно)
• длину катета (a или b) и противолежащий к нему острый угол (α или β, соответственно)
• длину гипотенузы с и один из острых углов (α или β)

Найти площадь прямоугольного треугольника по двум катетам

Теория

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны оба катета (a и b)?

Формула

Пример

К примеру найдём площадь прямоугольного треугольника у которого сторона a = 2 см, а сторона b = 4 см:

S = 2 ⋅ 4 / 2 = 8 / 2 = 4 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и гипотенузе

Теория

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны его гипотенуза (c) и один из катетов (a или b)?

Формула

S = ½ ⋅ a ⋅ √ c² — a² = ½ ⋅ b ⋅ √ c² — b²

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 2 см, а гипотенуза c = 5 см:

S = 2 ⋅ √ 5² — 2² / 2 = √ 25 — 4 ≈ 4.58 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и прилежащему к нему острому углу

То есть к катету a прилежащий ∠β, а к катету b — ∠α

Теория

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны один из катетов (a или b) и прилежащий к нему угол?

Формула

S = ½ ⋅ a² ⋅ tg(β) = ½ ⋅ b² ⋅ tg(α)

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 4 см, а прилежащий к нему ∠β = 45°:

S = ½ ⋅ 4² ⋅ tg(45) = ½ ⋅ 16 ⋅ 1 = 16 / 2 = 8 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника по катету и противолежащему к нему острому углу

То есть к катету a противолежащий ∠α, а к катету b — ∠β

Теория

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны один из катетов (a или b) и противолежащий к нему угол?

Формула

S = ½ ⋅ a² ⋅ tg(90 — α) = ½ ⋅ b² ⋅ tg(90 — β)

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого катет a = 4 см, а противолежащий к нему ∠α = 45°:

S = 4² / 2⋅ tg(45) = 16 / 2 ⋅ 1 = 8 см²

Найти площадь прямоугольного треугольника зная длину гипотенузы и один из острых углов

Теория

Чему равна площадь (S) прямоугольного треугольника если известны длина гипотенузы (c) и один из острых углов?

Формула

S = ½ ⋅ c² ⋅ sin(α) ⋅ cos(α) = ½ ⋅ c² ⋅ sin(β) ⋅ cos(β)

Пример

К примеру посчитаем чему равна площадь прямоугольного треугольника у которого гипотенуза c = 8 см, а ∠α = 45°:

S = ½ ⋅ 8² ⋅ sin(45) ⋅ cos(45) ≈ ½ ⋅ 64 ⋅ 0.7071067812 ⋅ 0.7071067812 ≈ 16 см²