Найти высоту грани опущенную из вершины по векторам (3 видео)

Как найти высоту пирамиды по векторам

Инструкция . Для решения подобных задач в онлайн режиме заполните координаты вершин, нажмите Далее . см. также по координатам треугольника найти.

Решение онлайн
Видеоинструкция
Оформление Word

Пример №1 . В пирамиде SABC : треугольник ABC – основание пирамиды, точка S – ее вершина. Даны координаты точек A, B, C, S . Сделать чертеж.
Решение: Координаты векторов находим по формуле: X = x₂ – x₁; Y = y₂ – y₁; Z = z₂ – z₁
Так, для вектора AB, это будут координаты: X = 0-2; Y = 3-0; Z = 0-0, или AB(-2;3;0).
AC(-2;0;1); AD(-2;2;3); BC(0;-3;1); BD(0;-1;3); CD(0;2;2) .
Длину вектора находим по формуле:

Пример №2 . В тетраэдре ABCD вычислить:

объем тетраэдра ABCD;
высоту тетраэдра, опущенную из вершины D на грань ABC.

A(2, 3, -2), B(3, 1, 0), C(-2, 2, 1), D(6, 1, -1)

Содержание

Ответ
Проверено экспертом
Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин
Как найти высоту тетраэдра формула
Вывод формулы высоты тетраэдра
Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра
Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин
Свойства
📹 Видео

Видео:Вычисляем высоту через координаты вершин 1Скачать

Ответ

Проверено экспертом

Даны вершины пирамиды A(3;-2;3)B(-1;0;2)C(-3;1;-1)D(-3;-3;1) .

Находим векторы АВ, АС и АД.

Вектор АВ = (-4; 2; -1 ), модуль равен √(16+4+1) = √21 ≈ 4,58258.

Определяем векторное произведение АВ х АС.

-6 3 -4 | -6 3 = -8i + 6j – 12k – 16j + 3i + 12k = -5i – 10j = (-5; -10; 0).

Далее находим смешанное произведение (АВ х АС) х АД.

(АВ х АС) = (-5; -10; 0),

(АВ х АС) х АД = 30 + 10 + 0 = 40.

Объем пирамиды равен (1/6) этого произведения:

V = (1/6)*40 = (20/3) куб.ед.

Высота h пирамиды ABCD, опущенная из вершины D на плоскость основания ABC, равна: h = 3V/S(ABC).

Площадь основания АВС равна половине модуля векторного произведения АВ х АС.

S(ABC) = (1/2)*√((-5)² + (-10)² + 0²) = (1/2)√(25 + 100) = (5/2)√5 кв.ед.

h = (3*20/3)/((5/2)√5) = 8/√5 = 8√5/5 ≈ 3,5777.

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

8) основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

A ( ; ; ), B ( ; ; ),
C ( ; ; ), D ( ; ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Видео:Задача 6. Вычислить объём тетраэдра с вершинами в точках и его высоту, опущенную из вершины на граньСкачать

Онлайн решение Пирамиды по координатам вершин

1) чертёж пирамиды по координатам её вершин;

2) длины и уравнения рёбер, медиан, апофем, высот;

3) площади и уравнения граней;

4) система линейных неравенств, определяющих пирамиду;

5) основания и точка пересечения медиан (центроид);

6) уравнения плоскостей, проходящих через вершины параллельно противолежащим граням;

7) объём пирамиды;

8) основания, площади и уравнения биссекторов;

9) углы между рёбрами, между рёбрами и гранями, двугранные (внутренние между гранями), телесные;

10) параметры и уравнения вписанной и описанной сфер;

Внимание! Этот сервис может не работать в браузере Internet Explorer.

Запишите координаты вершин пирамиды и нажмите кнопку.

A ( ; ; ), B ( ; ; ),
C ( ; ; ), D ( ; ; )

Примечание: дробные числа записывайте
через точку, а не запятую.

Округлять до -го знака после запятой.

Видео:Даны вершины пирамиды A, B, C, D. Найдите объём пирамиды и высоту, опущенную на грань ACDСкачать

Как найти высоту тетраэдра формула

Найти высоту грани опущенную из вершины по векторам

Высота тетраэдра — равна корню квадратному из двух третих, помноженному на длину ребра тетраэдра

(h – высота тетраэдра, a – ребро тетраэдра)

Видео:Вычисляем угол через координаты вершинСкачать

Вывод формулы высоты тетраэдра

Чтобы получить формулу высоты тетраэдра необходимо произвести дополнительные геометрические построения. На рисунке красные линии CF и FS — это высоты соответствующих правильных треугольников ABC и ABS:

Теперь в треугольнике CFS известны все стороны. Высота тетраэдра, как видно из геометрических построений — это высота треугольника CFS. Подставив стороны треугольника в формулу и произведя простые сокращения (используем формулу разность квадратов) получим формулу (1).

Рассмотрим произвольный треугольник ABC и точку D , не лежащую в плоскости этого треугольника. Соединим отрезками эту точку с вершинами треугольника ABC . В результате получим треугольники ADC , CDB , ABD . Поверхность ограниченная четырьмя треугольниками ABC , ADC , CDB и ABD называется тетраэдром и обозначается DABC .
Треугольники, из которых состоит тетраэдр, называются его гранями.
Стороны данных треугольников называют ребрами тетраэдра. А их вершины – вершинами тетраэдра

Тетраэдр имеет 4 грани, 6 ребер и 4 вершины.
Два ребра, которые не имеют общей вершины, называются противоположными.
Зачастую для удобства, одну из граней тетраэдра называют основанием, а оставшиеся три грани боковыми гранями.

Но также верно и утверждение, что любая произвольная треугольная пирамида является тетраэдром. Тогда также верно, что тетраэдром называют пирамиду, в основании которой лежит треугольник.

Высотой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой, расположенной на противоположной грани и перпендикулярный к ней.
Медианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет вершину с точкой пересечения медиан противоположной грани.
Бимедианой тетраэдра называется отрезок, который соединяет середины скрещивающихся ребер тетраэдра.

Так как тетраэдр – это пирамида с треугольным основанием, то объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле

S – площадь любой грани,
H – высота, опущенная на эту грань

Видео:Вычисление медианы, высоты и угла по координатам вершинСкачать

Правильный тетраэдр – частный вид тетраэдра

Тетраэдр, у которого все грани равносторонние треугольник называется правильным.
Свойства правильного тетраэдра:

Все грани равны.
Все плоские углы правильного тетраэдра равны 60°
Так как каждая его вершина является вершиной трех правильных треугольников, то сумма плоских углов при каждой вершине равна 180°
Любая вершина правильного тетраэдра проектируется в ортоцентр противоположной грани (в точку пересечения высот треугольника).

Пусть нам дан правильный тетраэдр ABCD с ребрами равными a . DH – его высота.
Произведем дополнительные построения BM – высоту треугольника ABC и DM – высоту треугольника ACD .
Высота BM равна BM и равна
Рассмотрим треугольник BDM , где DH , являющаяся высотой тетраэдра также и высота данного треугольника.
Высоту треугольника, опущенную на сторону MB можно найти, воспользовавшись формулой

, где
BM=, DM=, BD=a,
p=1/2 (BM+BD+DM)=
Подставим эти значения в формулу высоты. Получим

Вынесем 1/2a. Получим

Применим формулу разность квадратов

После небольших преобразований получим

Объем любого тетраэдра можно рассчитать по формуле
,
где ,

Подставив эти значения, получим

Таким образом формула объема для правильного тетраэдра

где a –ребро тетраэдра

Видео:Найдите площадь треугольника АВС, если А(5;2;6), В(1;2;0), С(3;0;3)Скачать

Вычисление объема тетраэдра, если известны координаты его вершин

Пусть нам даны координаты вершин тетраэдра

Из вершины проведем векторы , , .
Для нахождения координат каждого из этих векторов вычтем из координаты конца соответствующую координату начала. Получим

Геометрических смысл смешенного произведения трех векторов заключается в следующем – смешенное произведение трех векторов равно объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Так как тетраэдр есть пирамида с треугольным основанием, а объем пирамиды в шесть раз меньше объема параллелепипеда, то тогда имеет смысл следующая формула

Видео:Высшая математика. 4 урок. Аналитическая геометрия. Вычисление объема тетраэдра.Скачать

Свойства

Зная высоту тетраэдра, можно вычислить его ребро, перевернув формулу так, чтобы ребро было равно корню из трех вторых, умноженному на высоту. a=√(3/2) h

Выразив таким образом ребро тетраэдра через его высоту, можно найти периметр тетраэдра, то есть длину всех его ребер, площадь одной грани и площадь полной поверхности тетраэдра. Периметр тетраэдра будет равен шести длинам его ребер, площадь одной грани – ребру в квадрате, умноженному на корень из трех, деленный на четыре, а площадь полной поверхности – четырем площадям одной грани. P=6a=6√(3/2) h S_1=(√3 a^2)/4=(3√3 h^2)/8 S_(п.п.)=4S_1=(3√3 h^2)/2

Через высоту, подставленную вместо ребра в определенном соотношении можно найти соответственно и радиусы вписанной и описанной окружностей в основание тетраэдра. r=h/(2√2) R=h/√2

Апофема тетраэдра проходит из вершины к противоположной стороне грани под прямым углом и рассчитать ее можно как из прямоугольного треугольника с боковым ребром по той же грани, так и из прямоугольного треугольника во внутреннем пространстве тетраэдра с высотой. l=3h/(2√2)

Чтобы вычислить объем тетраэдра, необходимо возвести в куб ребро и разделить полученное значение на шесть корней из двух, либо подставить вместо ребра корень из трех вторых, умноженный на высоту и преобразовать формулу объема для высоты. V=(√3 h^3)/8

В тетраэдр можно вписать сферу или описать сферу около него, тогда, зная высоту, чтобы вычислить радиусы вписанной и описанной сфер, необходимо воспользоваться следующими, уже готовыми формулами. (рис.60.2, 60.3) r_1=h/4 R_1=3h/4