Найти центр рассеивания случайного вектора

Нормальный закон распределения для системы случайных величин с примерами решения и образцами выполнения

Нормальный закон распределения для системы случайных величин:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Видео:Функция распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания в интервалСкачать

Функция распределения непрерывной случайной величины. Вероятность попадания в интервал

Нормальный закон на плоскости

Из законов распределения системы двух случайных величин имеет смысл специально рассмотреть нормальный закон, как имеющий наибольшее распространение на практике. Так как система двух случайных величин изображается случайной точкой на плоскости, нормальный закон для системы двух величин часто называют «нормальным законом на плоскости».

В общем случае плотность нормального распределения двух случайных величин выражается формулой

Найти центр рассеивания случайного вектора

Этот закон зависит от пяти параметров: Найти центр рассеивания случайного вектора,Найти центр рассеивания случайного вектораи r. Смысл этих параметров нетрудно установить. Докажем, что параметры Найти центр рассеивания случайного векторапредставляют собой математические ожидания (центры рассеивания) величин X и Y; Найти центр рассеивания случайного вектора— их средние квадратические отклонения; r — коэффициент корреляции величин X и Y.

Для того чтобы убедиться в этом, найдём прежде всего плотность распределения для каждой из величин, входящих в систему. Согласно формуле (8.4.2)

Найти центр рассеивания случайного вектора

Найти центр рассеивания случайного вектора

Найти центр рассеивания случайного вектора(9.1.3)

Найти центр рассеивания случайного вектора

Из интегрального исчисления известно, что

Найти центр рассеивания случайного вектора(9.1.3)

Найти центр рассеивания случайного вектора

Подставляя эти значения в формулу (9.1.3), имеем:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Найти центр рассеивания случайного вектора

или, учитывая (9.1.2), Найти центр рассеивания случайного вектора

Найти центр рассеивания случайного вектора(9.1.4)

Таким образом, величина X подчинена нормальному закону с центром рассеивания Найти центр рассеивания случайного вектораи средним квадратическим отклонением Найти центр рассеивания случайного вектора

Аналогично покажем, что

Найти центр рассеивания случайного вектора(9.1.5)

т. е. величина Y подчинена нормальному закону с центром рассеивания Найти центр рассеивания случайного вектораи средним квадратическим отклонением Найти центр рассеивания случайного вектора.

Найти центр рассеивания случайного вектораДля вычисления интеграла (9.1.3) достаточно дополнить показатель степени до полного квадрата и после замены переменной воспользоваться интегралом Эйлера—Пуассона (6.1.3).

Остаётся доказать, что параметр r в формуле (9.1.1) представляет собой коэффициент корреляции величин X и У. Для этого вычислим корреляционный момент:

Найти центр рассеивания случайного вектора

где Найти центр рассеивания случайного вектора— математические ожидания величин X и У. Подставляя в эту формулу выражение f (х, у), получим: Найти центр рассеивания случайного вектора

Произведём в двойном интеграле (9.1.6) замену переменных, положив:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Якобиан преобразования равен

Найти центр рассеивания случайного вектора

Найти центр рассеивания случайного вектора

Найти центр рассеивания случайного вектора

Найти центр рассеивания случайного вектора(9.1.8)

Таким образом, доказано, что параметр r в формуле (9.1.1) представляет собой коэффициент корреляции величин X и Y.

Предположим теперь, что случайные величины X и Y, подчинённые нормальному закону на плоскости, не коррелированы; положим в формуле (9.1.1) r = 0. Получим:

Найти центр рассеивания случайного вектора(9.1.9)

Легко убедиться, что случайные величины (X, Y), подчинённые закону распределения с плотностью (9.1.9), не только не коррелированы, но и независимы. Действительно,

Найти центр рассеивания случайного вектора

т. е. плотность распределения системы равна произведению плотностей распределения отдельных величин, входящих в систему, а это значит, что случайные величины (Х,У) независимы.

Таким образом, для системы случайных величин, подчинённых нормальному закону, из некоррелированности величин вытекает также их независимость. Термины «некоррелированные» и «независимые» величины для случая нормального распределения эквивалентны. При Найти центр рассеивания случайного вектораслучайные величины (X, Y) зависимы. Нетрудно убедиться, вычисляя условные законы распределения по формулам (8.4.6), что

Найти центр рассеивания случайного вектора

Проанализируем одно из этих условных законов распределения, например f(yx). Для этого преобразуем выражение плотности f(yx) к виду:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Очевидно, это есть плотность нормального закона с центром рассеивания

Найти центр рассеивания случайного вектора(9.1.10)

и средним квадратическим отклонение

Найти центр рассеивания случайного вектора(9.1.11)

Формулы (9.1.10) и (9.1.11) показывают, что в условном законе распределения величины У при фиксированном значении X = х от этого значения зависит только математическое ожидание, но не дисперсия.

Величина Найти центр рассеивания случайного вектораназывается условным математическим ожиданием величины Y при данном х. Зависимость (9.1.10) можно изобразить на плоскости хОу, откладывая условное математическое ожидание Найти центр рассеивания случайного векторапо оси ординат. Получится прямая, которая называется линией регрессии Y на X. Аналогично прямая Найти центр рассеивания случайного вектора(9.1.12)

есть линия регрессии X и Y. Линии регрессии совпадают только при наличии линейной функциональной зависимости Y от X. При независимых X и Y линии регрессии параллельны координатным осям.

Рассматривая выражение (9.1.1) для плотности нормального распределения на плоскости, мы видим, что нормальный закон на плоскости полностью определяется заданием пяти параметров: двух координат центра рассеивания Найти центр рассеивания случайного вектора, двух средних квадратических отклонений Найти центр рассеивания случайного вектораи одного коэффициента корреляции r. В свою очередь последние три параметра Найти центр рассеивания случайного вектораи r полностью определяются элементами корреляционной матрицы: дисперсиями Найти центр рассеивания случайного вектораи корреляционным моментом Найти центр рассеивания случайного вектораТаким образом, минимальное количество числовых характеристик системы — математические ожидания, дисперсии и корреляционный момент — в случае, когда система подчинена нормальному закону, определяет собой полностью закон распределения, т. е. образует исчерпывающую систему характеристик.

Так как на практике нормальный закон весьма распространён, то очень часто для полной характеристики закона распределения системы оказывается достаточно задать минимальное число — всего пять — числовых характеристик.

Видео:Случайный вектор двумерной случайной величиныСкачать

Случайный вектор двумерной случайной величины

Эллипсы рассеивания. Приведение нормального закона к каноническому виду

Рассмотрим поверхность распределения, изображающую функцию (9.1.1). Она имеет вид холма, вершина которого находится над точкой (Найти центр рассеивания случайного вектора) (рис. 9.2.1).

В сечении поверхности распределения плоскостями, параллельными оси f (х, у), получаются кривые, подобные нормальным кривым распределения. В сечении поверхности распределения плоскостями, параллельными плоскости хОу, получаются эллипсы. Напишем уравнение проекции такого эллипса на плоскость хОу. Найти центр рассеивания случайного вектора

или, обозначая константу Найти центр рассеивания случайного вектора

Найти центр рассеивания случайного вектора(9.2.1)

Уравнение эллипса (9.2.1) можно проанализировать обычными методами аналитической геометрии. Применяя их, убеждаемся, что центр эллипса (9.2.1) находится в точке с координатами (Найти центр рассеивания случайного вектора); что касается направления осей симметрии эллипса, то они со- составляют с осью Ох углы, определяемые уравнением Найти центр рассеивания случайного вектора

Это уравнение даёт два значения углов: а и Найти центр рассеивания случайного вектораразличающиеся на Найти центр рассеивания случайного вектора.

Найти центр рассеивания случайного вектора

Таким образом, ориентация эллипса (9.2.1) относительно координатных осей находится в прямой зависимости от коэффициента корреляции г системы (X. Y): если величины не коррелированы (т. е. в данном случае и независимы), то оси Симметрия эллипса параллельны координатным осям; в противном случае они составляют с координатными осями некоторый угол.

Найти центр рассеивания случайного вектораОбоснование формулы (9.2.2) другим способом см. в п° 14.7.

Пересекая поверхность распределения плоскостями, параллельными плоскости хОу, и проектируя сечения на плоскость хОу, мы получим целое семейство подобных и одинаково расположенных эллипсов с общим центром (Найти центр рассеивания случайного вектора). Во всех точках каждого из таких эллипсов плотность распределения f (х, у) постоянна. Поэтому такие эллипсы называются эллипсами равной плотности или, короче, эллипсами рассеивания. Общие оси всех эллипсов рассеивания называются главными осями рассеивания.

Известно, что уравнение эллипса принимает наиболее простой, так называемый «канонический» вид, если координатные оси совпадают с осями симметрии эллипса. Для того чтобы привести уравнение эллипса рассеивания к каноническому виду, достаточно перенести начало координат в точку (Найти центр рассеивания случайного вектора) и повернуть координатные оси на угол а, определяемый уравнением (9.2.2). При этом координатные оси совпадут с главными осями рассеивания, и нормальный закон на плоскости преобразуется к так называемому «каноническому» виду.

Каноническая форма нормального закона на плоскости имеет вид: Найти центр рассеивания случайного вектора

где Найти центр рассеивания случайного вектора—так называемые главные средние квадратические отклонения, т. е. средние квадратические отклонения случайных величин Найти центр рассеивания случайного вектора, представляющих собой координаты случайной точки в системе координат, определяемой главными осями рассеивания Найти центр рассеивания случайного вектора. Главные средние квадратические отклонения Найти центр рассеивания случайного вектораи Найти центр рассеивания случайного векторавыражаются через средние квадратические отклонения в прежней системе координат формулами: Найти центр рассеивания случайного вектора(9.2.4)

Обычно, рассматривая нормальный закон на плоскости, стараются заранее выбрать координатные оси Ох, Оу так, чтобы они совпали с гласными осями рассеивания. При этом средние квадратические отклонения по осям Найти центр рассеивания случайного вектораи будут главными средними квадратическими отклонениями, и нормальный закон будет иметь вид:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Найти центр рассеивания случайного вектораВывод этих формул см. в главе 14, п° 14.7.

В некоторых случаях координатные оси выбирают параллельно главным осям рассеивания, но начало координат с центром рассеивания не совмещают. При этом случайные величины (X, Y) также оказываются независимыми, но выражение нормального закона имеет вид:

Найти центр рассеивания случайного вектора

где Найти центр рассеивания случайного вектора— координаты центра рассеивания.

Перейдём в канонической форме нормального закона (9.2.5) от средних квадратических отклонений к вероятным отклонениям: Найти центр рассеивания случайного вектора

Величины Ех, Еу называются главными вероятными отклонениями. Подставляя выражения Найти центр рассеивания случайного векторачерез Ех, Еу в уравнение (9.2.5), по- получим другую каноническую форму нормального закона: Найти центр рассеивания случайного вектора

В такой форме нормальный закон часто применяется в теории стрельбы.

Напишем уравнение эллипса рассеивания в каноническом виде: Найти центр рассеивания случайного вектора

где k — постоянное число. Из уравнения видно, что полуоси эллипса рассеивания пропорциональны главным средним квадратическим отклонениям (а значит, и главным вероятным отклонениям).

Назовём «единичным» эллипсом рассеивания тот из эллипсов равной плотности вероятности, полуоси которого равны главным средним квадратическим отклонениям Найти центр рассеивания случайного вектора. (Если пользоваться и качестве характеристик рассеивания не главными средними квадратическими, а главными вероятными отклонениями, то естественно будет назвать «единичным» тот эллипс, полуоси которого равны Ех, Еу.)

Кроме единичного эллипса рассеивания иногда рассматривают ещё «полный» эллипс рассеивания, под которым понимают тот из эллипсов равной плотности вероятности, в который с практической достоверностью укладывается все рассеивание. Размеры этого эллипса, разумеется, зависят от того, что понимать под «практической достоверностью». В частности, если принять за «практическую достоверность» вероятность порядка 0,99, то «полным эллипсом рассеивания» можно считать эллипс с полуосями Найти центр рассеивания случайного вектора

Рассмотрим специально один частный случай, когда главные средние квадратические отклонения равны друг другу: Найти центр рассеивания случайного вектора

Тогда все эллипсы рассеивания обращаются в круги, и рассеивание называется круговым. При круговом рассеивании каждая из осей, проходящих через центр рассеивания, может быть принята за главную ось рассеивания, или, другими словами, направление главных осей рассеивания неопределённо. При некруговом рассеивании случайные величины X, Y, подчинённые нормальному закону на плоскости, независимы тогда и только тогда, когда координатные оси параллельны главным осям рассеивания; при круговом рассеивании случайные величины ( X, Y ) независимы при любом выборе прямоугольной системы координат. Эта особенность кругового рассеивания приводит к тому, что оперировать с круговым рассеиванием гораздо удобнее, чем с эллиптическим. Поэтому на практике, где только возможно, стремятся приближённо заменять некруговое рассеивание круговым.

Видео:Теория вероятностей #12: случайная величина, плотность и функция распределенияСкачать

Теория вероятностей #12: случайная величина, плотность и функция распределения

Вероятность попадания в прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания

Пусть случайная точка (Х , Y ) на плоскости подчинена нормаль- нормальному закону

Найти центр рассеивания случайного вектора

При этом главные оси рассеивания параллельны координатным осям и величины X и У независимы.

Найти центр рассеивания случайного вектора

Требуется вычислить вероятность попадания случайной точки (X, Y) в прямоугольник R, стороны которого параллельны координатным осям хОу, а следовательно и главным осям рассеивания (рис. 9.3.1). Согласно обшей формуле (8.3.4) имеем

Найти центр рассеивания случайного вектора

откуда, применяя формулу (6.3.3) для вероятности попадания на уча- участок, находим:

Найти центр рассеивания случайного вектора

где Ф*(х) — нормальная функция распределения. Если нормальный закон на плоскости дан в канонической форме, то Найти центр рассеивания случайного вектора, и формула (9.3.2) принимает вид Найти центр рассеивания случайного вектора

Если стороны прямоугольника не параллельны координатным осям, то формулы (9.3.2) и (9.3.3) уже неприменимы. Только при круговом рассеивании вероятность попадания в прямоугольник любой ориентации вычисляется по формулам (9.3.2) или (9.3.3).

Формулы (9.3.2) и (9.3.3) широко применяются при вычислении вероятностей попадания в цели: прямоугольные, близкие к прямоугольным, составленные из прямоугольников или приближённо заменяемые таковыми.

Найти центр рассеивания случайного вектора

Пример:

Производится стрельба с самолёта по прямоугольному щиту размером 9 м X12 м, лежащему на земле горизонтально. Главные вероятные отклонения: в продольном направлении Найти центр рассеивания случайного вектора, в боковом направлении Найти центр рассеивания случайного вектораПрицеливание— по центру мишени, заход — вдоль мишени. Вследствие несовпадения дальности пристрелки и дальности фактической стрельбы средняя точка попадания смещается в сторону недолёта на 4 м. Найти вероятность попадания в мишень при одном выстреле.

Решение:

На чертеже (рис. 9.3.2) наносим мишень, точку прицеливания (т. п.) и центр рассеивания (ц. р.). Через ц. р. проводим главные рассеивания: по направлению полёта и перпендикулярно к нему.

Перейдём от главных вероятных отклонений Найти центр рассеивания случайного вектораи Найти центр рассеивания случайного векторак главным средним квадратическим:

Найти центр рассеивания случайного вектора

По формуле (9.3.3) имеем:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Видео:Функция распределения дискретной случайной величиныСкачать

Функция распределения дискретной случайной величины

Вероятность попадания в эллипс рассеивания

К числу немногих плоских фигур, вероятность попадания в которые может быть вычислена в конечном виде, принадлежит эллипс рассеивания (эллипс равной плотности).

Пусть нормальный закон на плоскости задан в канонической форме:

Найти центр рассеивания случайного вектора(9.4.1)

Рассмотрим эллипс рассеивания Найти центр рассеивания случайного векторауравнение которого Найти центр рассеивания случайного вектора

где параметр k представляет собой отношение полуосей эллипса рассеивания к главным средним квадратическим отклонениям. По общей формуле (8.3.3) имеем:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Сделаем в интеграле (9.4.2) замену переменных

Найти центр рассеивания случайного вектора

Этой подстановкой эллипс Найти центр рассеивания случайного векторапреобразуется в круг Найти центр рассеивания случайного векторарадиуса k. Следовательно,

Найти центр рассеивания случайного вектора

Перейдём в интеграле (9.4.3) от декартовой системы координат к полярной, положив

Найти центр рассеивания случайного вектора

Якобиан преобразования (9.4.4) равен r. Производя замену переменных, получим:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Таким образом, вероятность попадания случайной точки в эллипс рассеивания, полуоси которого равны k средним квадратическим отклонениям, равна:

Найти центр рассеивания случайного вектора

В качестве примера найдём вероятность попадания случайной точки, распределённой по нормальному закону на плоскости хОу, в единичный эллипс рассеивания, полуоси которого равны средним квадратическим отклонениям:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Для такого эллипса k=l. Имеем:

Пользуясь таблицей 2 приложения, находим:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Формула (9.4.5) чаще всего применяется для вычисления вероятности попадания в круг при круговом рассеивании.

Пример:

На пути быстро движущейся малоразмерной цели площади 1,2 м ставится осколочное поле в форме плоского диска радиуса R =30 м. Внутри диска плотность осколков постоянна и равна 2 оск./м2. Если цель накрыта диском, то число осколков, попадающих в неё, можно считать распределённым по закону Пуассона. В силу малости цели можно рассматривать её как точечную и считать, что она или полностью накрывается осколочным полем (если её центр попадает в круг), или совсем не накрывается (если её центр не попадает в круг). Попадание осколка гарантирует поражение цели. При прицеливании центр круга Найти центр рассеивания случайного векторастремятся совместить в плоскости хОу с началом координат О (центром цели), но вследствие_ ошибок точка Найти центр рассеивания случайного векторарассеивается около О (рис. 9.4.1). Закон рассеивания нормальный, рассеивание круговое, а = 20 м. Определить вероятность поражения цели Р(А).

Найти центр рассеивания случайного вектора

Решение:

Чтобы цель была поражена осколками, необходимо совмещение двух событий: 1) попадание цели (точки О) в осколочное поле (круг радиуса R) и 2) поражение цели при условии, что попадание произошло.

Вероятность попадания цели в круг, очевидно, равна вероятности того, что центр круга (случайная точка Найти центр рассеивания случайного вектора) попадёт в круг радиуса R, описанный вокруг начала координат.

Применим формулу (9.4.5). Имеем:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Вероятность попадания цели в осколочное поле равна: Найти центр рассеивания случайного вектора

Далее найдём вероятность поражения цели р* при условии, что она накрыта осколочным диском. Среднее число осколков а, попадающих в накрытую полем цель, равно произведению площади цели на плотность поля осколков:

Условная вероятность поражения цели р* есть не что иное, как вероятность попадания в неё хотя бы одного осколка. Пользуясь формулой (5.9.5) главы 5, имеем:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Вероятность поражения цели равна:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Воспользуемся формулой (9.4.5) для вероятности попадания в круг, чтобы вывести одно важное для практики распределение: так называемое распределение Релея.

Рассмотрим на плоскости хОу (рис. 9.4.2) случайную точку (X, Y), рассеивающуюся вокруг начала координат О по круговому нормальному закону со средним квадратическим отклонением с. Найдём закон распределения случайной величины R — расстояния от точки (X, Y) до начала координат, т. е. длины случайного вектора с составляющими X, Y.

Найти центр рассеивания случайного вектора

Найдём сначала функцию распределения F(r) величины R. По определению

Найти центр рассеивания случайного вектора

Это есть не что иное, как вероятность попадания случайной точки (X, Y) внутрь круга радиуса r (рис. 9.4.2). По формуле (9.4.5) эта вероятность равна:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Найти центр рассеивания случайного вектора(9.4.6)

Данное выражение функции распределения имеет смысл только при положительных значениях r; при отрицательных г нужно положить F(r)=0.

Дифференцируя функцию распределения F(r) по r , найдём плотность распределения

Найти центр рассеивания случайного вектора

Закон Релея (9.4.7) встречается в разных областях практики: в стрельбе, радиотехнике, электротехнике и др.

График функции f( r ) (плотности закона Релея) приведён на рис. 9.4.3.

Найти центр рассеивания случайного вектора

Найдём числовые характеристики величины R, распределённой по закону Релея, а именно: её моду Найти центр рассеивания случайного вектораи математическое ожидание Найти центр рассеивания случайного вектораДля того чтобы найти моду — абсциссу точки, в которой плотность вероятности максимальна, продифференцируем f( r ) и приравняем производную нулю:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Корень этого уравнения и есть искомая мода

Найти центр рассеивания случайного вектора

Таким образом, наивероятнейшее значение расстояния R случайной точки (X, У) от начала координат равно среднему квадратическому отклонению рассеивания.

Математическое ожидание Найти центр рассеивания случайного векторанайдём по формуле Найти центр рассеивания случайного вектора

Производя замену переменной

Найти центр рассеивания случайного вектора

Найти центр рассеивания случайного вектора

Интегрируя по частям, найдём математическое ожидание расстояния R:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Видео:Теория вероятностей #18: системы двух случайных величин, двумерное распределениеСкачать

Теория вероятностей #18: системы двух случайных величин, двумерное распределение

Вероятность попадания в область произвольной формы

При стрельбе ударными снарядами вычисление вероятности попадания в цель сводится к вычислению вероятности попадания случайной точки (X, Y) в некоторую область D. Пусть случайная точка (X, Y) подчинена нормальному закону в каноническом виде. Вероятность попадания точки (X, Y) в область D выражается интегралом

Найти центр рассеивания случайного вектора

В отдельных частных случаях (например, когда область D есть прямоугольник со сторонами, параллельными главным осям рассеивания, или эллипс рассеивания, а также в некоторых других, имеющих меньшее практическое значение) интеграл (9.5.1) может быть выражен через известные функции; в общем же случае этот интеграл через известные функции не выражается. На практике для вычисления вероятности попадания в область произвольной формы применяются следующие приближенные способы.

1.Область D приближённо заменяется областью, составленной из х прямоугольников, стороны которых параллельны главным осям рассеивания (рис. 9.5.1). Вероятность попадания в каждый из таких п прямоугольников вычисляется по формуле (9.3.3). Этот способ можно рекомендовать тогда, когда число прямоугольников, на которые приближённо разбивается цель D, не слишком велико. Найти центр рассеивания случайного вектора

2.Вся плоскость хОу с помощью некоторой системы линий (прямых или кривых) заранее разбивается на ряд ячеек, вероятности попадания в которые могут быть выражены точно через известные функции, и вычисляется вероятность попадания в каждую ячейку. Такая система линий с соответствующими ей вероятностями попадания в ячейки называется сеткой рассеивания. Работа с сеткой заключается в том, что изображение сетки накладывается на изображение цели, после чего производится суммирование вероятностей попадания в ячейки, накрытые целью; если цель накрывает часть ячейки, то берётся часть вероятности попадания в ячейку, пропорциональная накрытой площади.

Сетку рассеивания можно применять двояким образом: а) строить цель в масштабе сетки, б) строить сетку в масштабе цели.

Если цель имеет сложные очертания и, особенно, если она сравнительно невелика, бывает обычно удобнее построить на изображении цели в том же масштабе ту часть сетки, которая занята целью. Если же цель имеет сравнительно простые очертания и довольно велика (занимает значительную часть полного эллипса рассеивания),

Найти центр рассеивания случайного вектора

обычно удобнее построить цель в масштабе сетки. Так как стандартная сетка строится для кругового рассеивания, а на практике рассеивание в общем случае круговым не является, при построении Цели в масштабе сетки приходится в общем случае пользоваться Двумя разными масштабами по осям Ох и Оу. При этом способе удобно иметь в распоряжении сетку рассеивания, выполненную на прозрачной бумаге, и накладывать её на перестроенное изображение цели. Прямолинейная сетка рассеивания для одного координатного угла дана на рис. 9.5.2. Сторона ячейки равна Найти центр рассеивания случайного вектора

В ячейках проставлены вероятности попадания в них, выраженные в сороковых долях процента.

3.В случае, когда размеры области D невелики по сравнению со средними квадратическими отклонениями (не превышают 0,5—1 с. к. о. в направлении соответствующих осей), вероятность попадания в эту область может быть приближённо вычислена по формуле, не содержащей операции интегрирования. Рассмотрим на плоскости хОу малую цель D произвольной формы (рис. 9.5.3).

Найти центр рассеивания случайного вектора

Допустим, что размеры этой цели невелики по сравнению х с вероятными отклонениями Ех, Еу, По общей формуле (8.3.3) имеем: Найти центр рассеивания случайного вектора

где f(x, у) — плотность распределения системы (X, Y). Применим к интегралу (9.5.2) теорему о среднем значении:

Найти центр рассеивания случайного вектора

где Найти центр рассеивания случайного вектора— некоторая точка внутри области D; Найти центр рассеивания случайного вектора— площадь области D. В случае, когда система (X, Y) подчинена нормальному закону в каноническом виде, имеем:

Найти центр рассеивания случайного вектора

При сравнительно малых размерах области D плотность распределения f(x, у) в пределах этой области изменяется мало и практически может быть принята постоянной. Тогда в качестве точки Найти центр рассеивания случайного вектораможно выбрать любую точку в пределах области D (например, приблизительный центр цели).

Формулы типа (9.5.3) широко применяются на практике. Для областей, наибольшие размеры которых не превышают 0,5 среднего квадратического отклонения в соответствующем направлении, они дают вполне приемлемые по точности результаты. В отдельных случаях их применяют и для более крупных областей (порядка одного с. к. о.). При условии внесения некоторых поправок (а именно, замены величин Найти центр рассеивания случайного векторанесколько увеличенными значениями) область применимости этой формулы может быть расширена на области размером порядка двух с. к, о.

Видео:Функция распределения и плотность распределенияСкачать

Функция распределения и плотность распределения

Нормальный закон в пространстве трёх измерений. Общая запись нормального закона для системы произвольного числа случайных величин

При исследовании вопросов, связанных со стрельбой дистанционными снарядами, приходится иметь дело с законом распределения точек разрыва дистанционного снаряда в пространстве. При условии применения обычных дистанционных взрывателей этот закон распределения может считаться нормальным.

В данном п° мы рассмотрим лишь каноническую форму нормального закона в пространстве:

Найти центр рассеивания случайного вектора

где Найти центр рассеивания случайного вектора— главные средние квадратические отклонения. Переходя от средних квадратических отклонений к вероятным, имеем:

Найти центр рассеивания случайного вектора

При решении задач, связанных со стрельбой дистанционными снарядами, иногда приходится вычислять вероятность разрыва дистанционного снаряда в пределах заданной области D. В общем случае эта вероятность выражается тройным интегралом: Найти центр рассеивания случайного вектора

Интеграл (9.6.3) обычно не выражается через элементарные функции. Однако существует ряд областей, вероятность попадания в которые вычисляется сравнительно просто.

  1. Вероятность попадания в прямоугольный параллелепипед со сторонами, параллельными главным осям рассеивания

Пусть область R представляет собой прямоугольный параллелепипед, ограниченный абсциссами Найти центр рассеивания случайного вектораординатами Найти центр рассеивания случайного вектораи аппликатамиНайти центр рассеивания случайного вектора(рис. 9.6.1). Вероятность попадания в область R, очевидно, равна: Найти центр рассеивания случайного вектора

2. Вероятность попадания в эллипсоид равной плотности

Рассмотрим эллипсоид равной плотности Найти центр рассеивания случайного векторауравнение которого Найти центр рассеивания случайного вектора

Полуоси этого эллипсоида пропорциональны главным средним квадратическим отклонениям:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Пользуясь формулой (9.6.1) для f(x, у,z ), выразим вероятность Найти центр рассеивания случайного вектора

попадания в эллипсоид Найти центр рассеивания случайного вектора

Найти центр рассеивания случайного вектора

Перейдём от декартовых координат к полярным (сферическим) заменой переменных

Найти центр рассеивания случайного вектора

Якобиан преобразования (9.6.5) равен:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Переходя к новым переменным, имеем:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Интегрируя по частям, получим:

Найти центр рассеивания случайного вектора

3. Вероятность попадания в цилиндрическую область с образующей, параллельной одной из главных осей рассеивания

Рассмотрим цилиндрическую область С, образующая которой параллельна одной из главных осей рассеивания (например, оси Oz), а направляющая есть контур произвольной области D на плоскости хОу (рис. 9.6.2).

Найти центр рассеивания случайного вектора

Пусть область С ограничена двумя плоскостями Найти центр рассеивания случайного вектора. Вычислим вероятность попадания в область С; это есть вероятность произведения двух событий, первое из которых состоит в попадании точки (X, Y) в область D, а второе — в попадании величины Z на участок Найти центр рассеивания случайного вектораТак как величины (X, Y, Z), подчинённые нормальному закону в канонической форме, независимы, то независимы и эти два события. Поэтому

Найти центр рассеивания случайного вектора

Вероятность Найти центр рассеивания случайного векторав формуле (9.6.7) может быть вычислена любым из способов вычисления вероятности попадания любым из в плоскую область.

На формуле (9.6.7) основан следующий способ вычисления вероятности попадания в пространственную областьG произвольной формы: область G приближённо разбивается на ряд цилиндрических областей Найти центр рассеивания случайного вектора (рис. 9.6.3), и вероятность попадания в каждую из них вычисляется по формуле (9.6.7). Для применения этого способа достаточно начертить ряд фигур, представляющих собой сечения области G плоскостями, параллельными одной из координатных плоскостей. Вероятность попадания в каждую из них вычисляется по сетке рассеивания.

Найти центр рассеивания случайного вектора

В заключение данной главы напишем общее выражение для нормального закона в пространстве любого числа измерений n. Плотность распределения такого закона имеет вид: Найти центр рассеивания случайного вектора

где С — определитель матрицы Найти центр рассеивания случайного вектора—матрица, обратная корреляционной матрице К, т. е. если корреляционная матрица

Найти центр рассеивания случайного вектора

где |К|—определитель корреляционной матрицы, a Найти центр рассеивания случайного вектора— минор этого определителя, получаемый из него вычёркиванием і-й строки и j-го столбца. Заметим, что

Найти центр рассеивания случайного вектора

Из общего выражения (9.6.8) вытекают все формы нормального закона для любого числа измерений ц для любых видов зависимости между случайными величинами. В частности, при n = 2 (рассеивание на плоскости) корреляционная матрица есть

Найти центр рассеивания случайного вектора

где r — коэффициент корреляции. Отсюда

Найти центр рассеивания случайного вектора

Подставляя определитель матрицы С и её члены в (9.6.8), получим формулу (9.1.1) для нормального закона на плоскости, с которой мы начали п°9.1.

Решение заданий и задач по предметам:

Дополнительные лекции по теории вероятностей:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института

Видео:Нахождение функции случайного вектораСкачать

Нахождение функции случайного вектора

Числовые характеристики СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРА

Для двумерного случайного вектора (X, Y) вводятся следующие числовые характеристики.

Начальным моментом порядка r + s случайного вектора (X, Y) называется действительное число nr,s, определяемое формулой:

nr,s = M[X r Y s ] = Найти центр рассеивания случайного вектора

Начальный момент nr,s существует, если интеграл (соответственно ряд) в правой части равенства абсолютно сходится.

Центральным моментом порядка r + s случайного вектора (X, Y) называется действительное число mr,s определяемое формулой

mr,s = M[(X-mX) r (Y-mY) s ] = Найти центр рассеивания случайного вектора

Центральный момент mr,s существует, если интеграл (соответственно ряд) в правой части равенства абсолютно сходится. Вектор с неслучайными координатами (DX, DY) = (m2,0, m0,2) называется дисперсией случайного вектора.

Центральный момент m1,1 называется корреляционным моментом (ковариацией): KXY = M[Найти центр рассеивания случайного вектораНайти центр рассеивания случайного вектора] = M[(X-mX)?(Y-mY)] = M[XY]-mX mY.

Коэффициентом корреляции двух случайных компонентов X и Y случайного вектора является нормированная ковариация

3. |KXY| £ Найти центр рассеивания случайного вектора, (|rXY | £ 1).

Ковариационный момент и коэффициент корреляции определяет степень линейной зависимости между X и Y. Условие |rXY | = 1 необходимо и достаточно, чтобы СВ X и Y были связаны линейной зависимостью Х = a?Y + b, где a и b — константы. СВ, для которых KXY = 0 (rXY = 0), называются некоррелированными. Из независимости случайных величин Х и Y вытекает их некоррелированность (обратное, вообще говоря, неверно).

Условным математическим ожиданием компоненты Х при условии, что Y приняла одно из своих возможных значений yj, называется действительное число определяемое формулой:

mX/Y = M[X/Y = yj] = Найти центр рассеивания случайного вектора

где Р<X = xi /Y = yj> = Найти центр рассеивания случайного вектора, pij = Р<X = xi ,Y = yj>.

Условной дисперсией компоненты Х при условии, что Y приняла одно из своих возможных значений yj, называется действительное число определяемое формулой:

DX/Y = D[X/Y = yj] = Найти центр рассеивания случайного вектора

Приведенные выше формулы для числовых характеристик двумерного случайного вектора без труда обобщаются на случай n-мерного случайного вектора (Х1, Х2, . Хn). Так, например, вектор с неслучайными координатами (m1, m2, . mn), где mi — математическое ожидание СВ Хi, определяемое формулой

mi = M[Xi] =Найти центр рассеивания случайного вектора, называется центром, рассеивания случайного вектора.

Ковариационной матрицей n-мерного случайного вектора Найти центр рассеивания случайного вектора = (Х1, Х2, . Хn) называется симметрическая матрица, элементы которой представляют собой ковариации соответствующих пар компонент случайного вектора:

где Кij = M[Найти центр рассеивания случайного вектораНайти центр рассеивания случайного вектора] — ковариация i-й и j-й компонент.

Очевидно, что Кii = М[Xi 2 ] -дисперсия i-й компоненты.

K = Найти центр рассеивания случайного вектора,

Корреляционной матрицей n-мерного случайного вектора называется симметрическая матрица, составленная из коэффициентов корреляции соответствующих пар компонент случайного вектора:

rij = Найти центр рассеивания случайного вектора— коэффициент корреляции i-й и j-й компоненты.

C = Найти центр рассеивания случайного вектора,

Задача 1. Закон распределения случайного вектора (X, Y) задан в следующем виде:

Найти центр рассеивания случайного вектораY

X

123
11/91/91/9
201/61/6
3001/3

1. Вычислить условное математическое ожидание M[X/Y = 2] и дисперсию D[X/Y = 2].

2. Найти центр рассеивания случайного вектора (X, Y).

3. Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

Задача 2. Координаты X, Y случайного положения точки на плоскости имеют

совместное равномерное распределение внутри области G = .

Записать общее выражение для ПР и для ФР вероятности случайного вектора (X,Y).

Найти центр рассеивания (mX, mY)и вычислить дисперсию (DX, DY) совместного распределения координат.

Построить ковариационную и корреляционную матрицы.

Видео:Нормальное Распределение за 6 МинутСкачать

Нормальное Распределение за 6 Минут

Двумерные дискретные/непрерывные случайные величины

Страницы работы

Найти центр рассеивания случайного вектора

Найти центр рассеивания случайного вектора

Найти центр рассеивания случайного вектора

Содержание работы

РГР2. Случайные величины.

Двумерные дискретные случайные величины

· Описать закон распределения случайного вектора (X,Y)

· Описать законы распределения отдельных компонент

· Найти ковариационную (корреляционную) матрицу

· Найти условные законы и условные мат. ожидания

· Найти функцию распределения

· Установить зависимость компонент X и Y

Двумерные непрерывные случайные величины

1. выражение для Найти центр рассеивания случайного вектора

2. одномерные плотности Найти центр рассеивания случайного вектора

3. центр рассеивания

4. сделать вывод о зависимости X и Y

5. найти Найти центр рассеивания случайного вектора

6. плотности условных распределений

Пусть (Найти центр рассеивания случайного вектора) – вероятностное пространство (Найти центр рассеивания случайного вектора— пространство элементарных событий, S — Найти центр рассеивания случайного вектора-алгебра событий, Найти центр рассеивания случайного вектора-вероятности событий); Найти центр рассеивания случайного вектора— множество вещественных чисел.

Будем обозначать Найти центр рассеивания случайного вектораслучайную величину, Найти центр рассеивания случайного вектора— принимаемые этой величиной значения.

Определение. Случайной величиной Найти центр рассеивания случайного вектораназывается числовая функция, определённая на пространстве элементарных событий Найти центр рассеивания случайного вектора, которая каждому элементарному событию Найти центр рассеивания случайного вектораставит в соответствие число Найти центр рассеивания случайного вектора: Найти центр рассеивания случайного вектора, причем функция Найти центр рассеивания случайного векторадолжна быть такова, чтобы Найти центр рассеивания случайного векторасобытие Найти центр рассеивания случайного векторапринадлежало Найти центр рассеивания случайного вектора-алгебре событий S, то есть для любого Найти центр рассеивания случайного вектораопределена вероятность Найти центр рассеивания случайного вектора.

Определение. Функцией распределения случайной величины называется функция Найти центр рассеивания случайного вектора, которая Найти центр рассеивания случайного вектораравна вероятности события Найти центр рассеивания случайного вектора:

Найти центр рассеивания случайного вектора

Тогда Найти центр рассеивания случайного вектораесть неубывающая, непрерывная слева функция, удовлетворяющая свойствам:

1. Найти центр рассеивания случайного вектора

2. Найти центр рассеивания случайного вектора

3. Найти центр рассеивания случайного вектора

Дискретные случайные величины

Определение. Случайная величина, принимающая конечное или счётное число значений, называется дискретной.

Определение. Закон распределения дискретной случайной величины представляет собой таблицу, в которой значениям, принимаемым случайной величиной, сопоставлены их вероятности, причём, события Найти центр рассеивания случайного вектораобразуют полную группу событий, то есть Найти центр рассеивания случайного вектора(условие нормировки):

📺 Видео

Нахождение функции распределения для двумерного случайного вектора по плотностиСкачать

Нахождение функции распределения  для двумерного случайного вектора по плотности

Математическое Ожидание, Дисперсия, Стандартное Отклонение за 5 минутСкачать

Математическое Ожидание, Дисперсия, Стандартное Отклонение за 5 минут

Непрерыный случайный вектор и его характеристикиСкачать

Непрерыный случайный вектор  и его характеристики

Двумерное дискретное распределениеСкачать

Двумерное дискретное распределение

Распределение в Статистике за 5 МинутСкачать

Распределение в Статистике за 5 Минут

Условные и безусловные распределенияСкачать

Условные и безусловные распределения

Дисперсия случайной величины/Как найти?Скачать

Дисперсия случайной величины/Как найти?

2.2. Функция распределения и ее характеристики.Скачать

2.2. Функция распределения и ее характеристики.

Теория вероятностей | Математика TutorOnlineСкачать

Теория вероятностей | Математика TutorOnline

Математика без Ху!ни. Ряд распределения дискретной случайной величины. Мат ожидание и дисперсия.Скачать

Математика без Ху!ни. Ряд распределения дискретной случайной величины. Мат ожидание и дисперсия.

Теория вероятностей #14: математ. ожидание, дисперсия, медиана, мода, начальные моментыСкачать

Теория вероятностей #14: математ. ожидание, дисперсия, медиана, мода, начальные моменты

Ряд распределенияСкачать

Ряд распределения
Поделиться или сохранить к себе: