Найти сторону трапеции по трем сторонам и описанной окружности

Видео:Боковые стороны трапеции, описанной около окружности, равны 13 и 1. Найдите среднюю линию трапеции.Скачать

Свойства

Трапеция является фигурой с двумя параллельными противоположными сторонами, при этом все четыре стороны могут быть разной длины. Параллельные стороны b и d называются меньшим и большим основанием трапеции, a и c – боковыми сторонами. Зная стороны трапеции, можно найти все характеризующие ее параметры. Периметр трапеции, зная стороны, представляет собой их сумму. P=a+b+c+d

Высота трапеции является перпендикуляром, соединяющим два основания, и может быть проведена в любой их точке, но удобнее всего это делать из вершины углов при меньшем основании, так как тогда образуется прямоугольный треугольник, из которого выводится формула. (рис.103.1) h=√(a^2-(((d-b)^2+a^2-c^2)/2(d-b) )^2 )

Средней линией трапеции называется отрезок, соединяющий середины боковых сторон, и равный полусумме оснований. (рис.103.2) m=(b+d)/2

Площадь трапеции равна произведению ее высоты на среднюю линию. Чтобы найти площадь трапеции через стороны, необходимо развернуть эту формулу до ее истоков, заменив неизвестные переменные. S=hm=√(a^2-(((d-b)^2+a^2-c^2)/2(d-b) )^2 )*(b+d)/2

Если в трапецию можно вписать окружность (а это возможно, если противоположные стороны в сумме дают одно и то же число), то радиус вписанной окружности будет равен половине высоты, или половине квадратного корня из произведения меньшего основания на большее, с учетом условия для окружности. (рис.103.3) r=h/2=√bd/2

Описать окружность можно только вокруг равнобокой трапеции, и если она является таковой, то радиус описанной окружности будет равен радиусу окружности, описанной вокруг треугольника, образованного диагональю. (рис.103.4) R=(abd_1)/√((a+b+d_1)(a+b)(a+d_1)(b+d_1))

Диагонали трапеции рассчитываются по формулам, приведенным через теорему Пифагора в треугольниках, образованных высотой и диагоналями. d_1=√(c^2+db d(c^2-a^2 )/(d-b)) d_2=√(a^2+db (b(c^2-a^2))/(d-b))

Видео:Задача про трапецию, описанную около окружностиСкачать

Формулы трапеции

Для расчёта всех основных параметров трапеции воспользуйтесь калькулятором.

Виды трапеции

1. Произвольная трапеция – это четырехугольник, у которого только одна пара сторон параллельна (а другая пара сторон не параллельна)
2. Равнобедренная трапеция – это такая трапеция, у которой боковые стороны равны
3. Прямоугольная трапеция – это такая трапеция, у которой есть прямые углы при боковой стороне

Свойства трапеции

1. Средняя линия трапеции (FE) параллельна основаниям и равна их полусумме $$ FE = $$
2. Биссектриса любого угла трапеции отсекает на её основании (или продолжении) отрезок, равный боковой стороне
   Например: биссектриса AH отсекает на основании DC отрезок DH , который равен боковой стороне AD
3. Треугольники AOB и DOC, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны
4. Треугольники AOD и BOC, образованные отрезками диагоналей и боковыми сторонами трапеции, имеют одинаковую площадь
5. В трапецию можно вписать окружность, если сумма оснований трапеции равна сумме её боковых сторон (AD + BC = AB + DC)
6. Отрезок (KL), соединяющий середины диагоналей, равен полуразности оснований и лежит на средней линии, т.е. $$ KL = $$
7. Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
8. Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности

Свойства и признаки равнобедренной трапеции

1. В равнобедренной трапеции углы при любом основании равны (∠ADC = ∠DCB и ∠DAB = ∠ABC)
2. В равнобедренной трапеции длины диагоналей равны (AC = BD)
3. Если трапецию можно вписать в окружность, то трапеция – равнобедренная
4. Около равнобедренной трапеции можно описать окружность
5. Если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований

Формулы площади произвольной трапеции

Площадь трапеции через основания и высоту

Площадь трапеции через среднюю линию и высоту

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

Площадь трапеции через четыре стороны

Формулы площади равнобедренной трапеции

Площадь трапеции через стороны

Площадь трапеции через стороны и угол

$$ S = AD * sin(∠ADC) * (DC — AD * cos(∠ADC)) $$ $$ S = AD * sin(∠ADC) * (AB + AD * cos(∠ADC)) $$

Площадь трапеции через диагонали и угол между ними

Площадь трапеции через среднюю линию, боковую сторону и угол при основании

$$ S = FE * AD * sin(∠ADC) = FE * AD * sin(∠DAB) $$

Площадь трапеции если в нее вписана окружность

Формулы сторон произвольной трапеции

Основание через другое основание и среднюю линию

$$ AB = 2 * FE — DC $$ $$ DC = 2 * FE — AB $$

Основание через другое основание, диагонали и угол между ними

$$ DC = AB + AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD)) $$ $$ AB = DC — AG * (ctg(∠ADC) + ctg(∠BCD)) $$ $$ DC = AB + AD * cos(∠ADC) + BC * cos(∠BCD) $$ $$ AB = DC — AD * cos(∠ADC) — BC * cos(∠BCD) $$ $$ AD = $$ $$ BC = $$

Формулы сторон равнобедренной трапеции

$$ AD = $$ $$ AD = $$ $$ DC = AB + 2 * AG * ctg(∠ADC) $$ $$ AB = DC — 2 * AG * ctg(∠ADC) $$ $$ DC = AB + 2 * AB * cos(∠ADC) $$ $$ AB = DC — 2 * AB * cos(∠ADC) $$

Длина основания через диагональ, боковую сторону и другое основание

Длина боковой стороны через диагональ и основания

Длина основания через высоту, другое основание, диагонали и угол между ними

Длина основания через высоту, другое основание и площадь трапеции

Длина боковой стороны через площадь трапеции, среднюю линию и угол при основании

Длина боковой стороны через площадь трапеции, основания и угол при основании

Формулы сторон прямоугольной трапеции

$$ DC = AB + BC * cos(∠BCD) = AB + AD * ctg(∠BCD) $$ $$ AB = DC — BC * cos(∠BCD) = DC — AD * ctg(∠BCD) $$ $$ DC = AB + sqrt $$ $$ AB = DC — sqrt $$

Длина основания через боковую сторону, другое основание, диагонали и угол между ними

Длина основания через площадь трапеции, другое основание и высоту

Высота в прямоугольной трапеции равна стороне, которая перпендикулярна основаниям (AD = AG) $$ DC = — AB $$ $$ AB = — DC $$

Формулы диагоналей произвольной трапеции

Длина диагоналей через четыре стороны

Длина диагоналей по теореме косинусов

Длина диагоналей через высоту

Длина диагоналей через стороны и другую диагональ

Длина диагоналей через высоту, основания, другую диагональ и угол между диагоналей

Длина диагоналей через площадь трапеции, другую диагональ и угол между диагоналей

Длина диагоналей через среднюю линию, высоту, другую диагональ и угол между диагоналей

Формулы диагоналей равнобедренной трапеции

Длина диагоналей через стороны

Длина диагоналей по теореме косинусов

Длина диагоналей через высоту основание и угол при основании

Длина диагоналей через сторону и высоту

Формулы диагоналей прямоугольной трапеции

Формулы средней линии произвольной трапеции

Длина средней линии через основания

Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Длина средней линии через площадь и высоту

Формулы средней линии равнобедренной трапеции

Длина средней линии через основания

Длина средней линии через основание, высоту и углы при нижнем основании

$$ FE = DC — AG * ctg(∠ADC) = AB + AG * ctg(∠ADC) $$

Длина средней линии через основания, боковую сторону и высоту

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Длина средней линии через площадь и боковую сторону

Формулы средней линии прямоугольной трапеции

Длина средней линии через основания, высоту и угол при нижнем основании

Длина средней линии через основания, боковую сторону и угол при нижнем основании

Длина средней линии через основания и боковые стороны

Длина средней линии через диагонали, высоту и угол между диагоналями

Формулы высоты произвольной трапеции

Длина высоты через четыре стороны

Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию

$$ AG = AD * sin(∠ADC) = BC * sin(∠BCD) $$

Длина высоты через диагонали и углы между ними

Длина высоты через среднюю линию, диагонали и углы между ними

Длина высоты через площадь и основания

Длина высоты через площадь и среднюю линию

Формулы высоты равнобедренной трапеции

Длина высоты через по сторонам

Длина высоты через боковую сторону и прилегающий угол к основанию

Длина высоты через основания и прилегающий угол к основанию

Длина высоты через диагонали и углы между ними

Длина высоты через площадь и основания

Длина высоты через площадь и среднюю линию

Формулы боковых сторон прямоугольной трапеции

Сторона AD в прямоугольной трапеции равна высоте, поэтому все формулы высоты произвольной трапеции актуальны для стороны AD прямоугольной трапеции.

Сторона BC по трём сторонам

Сторона BC через основания и угол ∠BCD

Сторона BC через Сторону AD

Сторона BC через площадь, среднюю линию и угол ∠BCD

Сторона BC через площадь, основания и угол ∠BCD

Видео:Радиус описанной окружности трапецииСкачать

Трапеция. Формулы, признаки и свойства трапеции

Параллельные стороны называются основами трапеции, а две другие боковыми сторонами

Так же, трапецией называется четырехугольник, у которого одна пара противоположных сторон параллельна, и стороны не равны между собой.

• Основы трапеции — параллельные стороны
• Боковые стороны — две другие стороны
• Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

• Равнобедренная трапеция — трапеция, у которой боковые стороны равны
• Прямоугольная трапеция — трапеция, у которой одна из боковых сторон перпендикулярна основам

Рис.1	Рис.2

Видео:Вписанные и описанные окружности. Вебинар | МатематикаСкачать

Основные свойства трапеции

AK = KB, AM = MC, BN = ND, CL = LD

3. Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме:

BC : AD = OC : AO = OB : DO

d ₁ 2 + d ₂ 2 = 2 a b + c 2 + d 2

Видео:Окружность вписанная в треугольник и описанная около треугольника.Скачать

Сторона трапеции

Формулы определения длин сторон трапеции:

a = b + h · ( ctg α + ctg β )

b = a — h · ( ctg α + ctg β )

a = b + c· cos α + d· cos β

b = a — c· cos α — d· cos β

4. Формулы боковых сторон через высоту и углы при нижнем основании:

Видео:Трапеция. Практическая часть - решение задачи. 8 класс.Скачать

Средняя линия трапеции

Формулы определения длины средней линии трапеции:

1. Формула определения длины средней линии через длины оснований:

2. Формула определения длины средней линии через площадь и высоту:

Видео:Как найти стороны равнобокой трапеции, описанной около трёх попарно касающихся равных окружностей?Скачать

Высота трапеции

Формулы определения длины высоты трапеции:

h = c· sin α = d· sin β

2. Формула высоты через диагонали и углы между ними:

3. Формула высоты через диагонали, углы между ними и среднюю линию:

4. Формула высоты трапеции через площадь и длины оснований:

5. Формула высоты трапеции через площадь и длину средней линии:

Видео:2113 Боковые стороны трапеции описанной около окружности равны 16 и 3 Найдите среднюю линию трапецииСкачать

Диагонали трапеции

Формулы определения длины диагоналей трапеции:

d ₁ = √ a 2 + d 2 — 2 ad· cos β

d ₂ = √ a 2 + c 2 — 2 ac· cos β

2. Формулы диагоналей через четыре стороны:

d ₁ = √ h 2 + ( a — h · ctg β ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg α ) 2

d ₂ = √ h 2 + ( a — h · ctg α ) 2 = √ h 2 + ( b + h · ctg β ) 2

d ₁ = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d ₂ 2

d ₂ = √ c 2 + d 2 + 2 ab — d ₁ 2

Видео:8 класс, 6 урок, ТрапецияСкачать

Площадь трапеции

Формулы определения площади трапеции:

1. Формула площади через основания и высоту:

3. Формула площади через диагонали и угол между ними:

4. Формула площади через четыре стороны:

5. Формула Герона для трапеции

где

Видео:Вписанные и описанные четырехугольники. Практическая часть. 9 класс.Скачать

Периметр трапеции

Формула определения периметра трапеции:

1. Формула периметра через основания:

Видео:СРЕДНЯЯ ЛИНИЯ ТРАПЕЦИИ #математика #егэ #shorts #профильныйегэСкачать

Окружность описанная вокруг трапеции

Формула определения радиуса описанной вокруг трапеции окружности:

1. Формула радиуса через стороны и диагональ:

где

a — большее основание

Видео:ТРАПЕЦИЯ — Что такое трапеция, Виды Трапеций, Площадь Трапеции // Геометрия 8 классСкачать

Окружность вписанная в трапецию

Формула определения радиуса вписанной в трапецию окружности

1. Формула радиуса вписанной окружности через высоту:

Видео:Геометрия Задача № 26 Найти радиус вписанной в трапецию окружностиСкачать

Другие отрезки разносторонней трапеции

Формулы определения длин отрезков проходящих через трапецию:

1. Формула определения длин отрезков проходящих через трапецию:

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

🎬 Видео

Трапеция, решение задач. Вебинар | МатематикаСкачать

Правильные многоугольники. Геометрия 9 класс | Математика | TutorOnlineСкачать

Всё про углы в окружности. Геометрия | МатематикаСкачать

№793. Боковые стороны трапеции равны 13 см и 15 см, а периметр равен 48 см. Найдите среднюю линиюСкачать

Трапеция, вписанная в окружностьСкачать

Малоизвестные свойства равнобедренной трапеции. Разбор задачи 17 ЕГЭ профиль.Скачать

Нафиг теорему синусов 3 задание проф. ЕГЭ по математике (часть II)Скачать