Одинаковые треугольники разного размера

Подобные треугольники
Содержание
  1. Определение
  2. Признаки подобия треугольников
  3. Свойства подобных треугольников
  4. Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников
  5. Подобные треугольники
  6. Определение
  7. Практические задачи с подобными треугольниками
  8. Практические примеры
  9. Подобие треугольников — признаки и свойства с доказательствами и примерами решения
  10. Подобные треугольники
  11. Первый признак подобия треугольников
  12. Пример №1
  13. Теорема Менелая
  14. Теорема Птолемея
  15. Второй и третий признаки подобия треугольников
  16. Пример №4
  17. Прямая Эйлера
  18. Обобщенная теорема Фалеса
  19. Пример №5
  20. Подобные треугольники
  21. Пример №6
  22. Пример №7
  23. Признаки подобия треугольников
  24. Пример №8
  25. Пример №9
  26. Cредние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
  27. Пример №10
  28. Пример №11
  29. Свойство биссектрисы треугольника
  30. Пример №12
  31. Пример №13
  32. Применение подобия треугольников к решению задач
  33. Пример №14
  34. Пример №15
  35. Подобие треугольников
  36. Определение подобных треугольники
  37. Пример №16
  38. Вычисление подобных треугольников
  39. Подобие треугольников по двум углам
  40. Пример №17
  41. Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними
  42. Пример №18
  43. Подобие треугольников по трем сторонам
  44. Подобие прямоугольных треугольников
  45. Пример №19
  46. Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике
  47. Пример №20
  48. Теорема Пифагора и ее следствия
  49. Пример №21
  50. Теорема, обратная теореме Пифагора
  51. Перпендикуляр и наклонная
  52. Применение подобия треугольников
  53. Свойство биссектрисы треугольника
  54. Пример №22
  55. Метрические соотношения в окружности
  56. Метод подобия
  57. Пример №23
  58. Пример №24
  59. Справочный материал по подобию треугольников
  60. Теорема о пропорциональных отрезках
  61. Подобие треугольников
  62. Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними
  63. Признак подобия треугольников по трем сторонам
  64. Признак подобия прямоугольных треугольников
  65. Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике
  66. Теорема Пифагора и ее следствия
  67. Перпендикуляр и наклонная
  68. Свойство биссектрисы треугольника
  69. Метрические соотношения в окружности
  70. Подробно о подобных треугольниках
  71. Пример №25
  72. Пример №26
  73. Обобщённая теорема Фалеса
  74. Пример №27
  75. Пример №28
  76. Второй и трети и признаки подобия треугольников
  77. Пример №29
  78. Применение подобия треугольников
  79. Пример №30 (свойство биссектрисы треугольника).
  80. Пример №31
  81. 📽️ Видео

Видео:Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnlineСкачать

Признаки равенства треугольников | теорема пифагора | Математика | TutorOnline

Определение

Подобные треугольники — треугольники, у которых углы соответственно равны, а стороны одного соответственно пропорциональны сторонам другого треугольника.

Одинаковые треугольники разного размера

Коэффициентом подобия называют число k , равное отношению сходственных сторон подобных треугольников.

Сходственные (или соответственные) стороны подобных треугольников — стороны, лежащие напротив равных углов.

Одинаковые треугольники разного размера

Видео:Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | МатематикаСкачать

Подобие треугольников. Признаки подобия треугольников (часть 1) | Математика

Признаки подобия треугольников

I признак подобия треугольников

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого, то такие треугольники подобны.

Одинаковые треугольники разного размера II признак подобия треугольников

Одинаковые треугольники разного размера

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то такие треугольники подобны.

Одинаковые треугольники разного размера

Видео:Первый признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Первый признак равенства треугольников. 7 класс.

Свойства подобных треугольников

  • Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.
  • Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Одинаковые треугольники разного размера
  • Отношение длин соответствующих элементов подобных треугольников (в частности, длин биссектрис, медиан, высот и серединных перпендикуляров) равно коэффициенту подобия.

Видео:Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т3. Первый признак равенства треугольников.Скачать

Геометрия. 7 класс. Теоремы. Т3. Первый признак равенства треугольников.

Примеры наиболее часто встречающихся подобных треугольников

1. Прямая, параллельная стороне треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Одинаковые треугольники разного размера

2. Треугольники Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера, образованные отрезками диагоналей и основаниями трапеции, подобны. Коэффициент подобия – Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

3. В прямоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины прямого угла, разбивает его на два треугольника, подобных исходному.

Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Здесь вы найдете подборку задач по теме «Подобные треугольники» .

Видео:ВСЕ ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ😉 #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #shorts #геометрия #образованиеСкачать

ВСЕ ВИДЫ ТРЕУГОЛЬНИКОВ😉 #егэ #огэ #математика #профильныйегэ #shorts #геометрия #образование

Подобные треугольники

Видео:Признаки равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Признаки равенства треугольников. 7 класс.

Определение

Одинаковые треугольники разного размера

Как правило, два треугольника считаются подобными если они имеют одинаковую форму, даже если они различаются размерами, повернуты или даже перевернуты.

Математическое представление двух подобных треугольников A1B1C1 и A2B2C2 , показанных на рисунке, записывается следующим образом:

Два треугольника являются подобными если:

1. Каждый угол одного треугольника равен соответствующему углу другого треугольника:
∠A1 = ∠A2, ∠B1 = ∠B2 и∠C1 = ∠C2

2. Отношения сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой:
$frac=frac=frac$

3. Отношения двух сторон одного треугольника к соответствующим сторонам другого треугольника равны между собой и при этом
углы между этими сторонами равны:
$frac=frac
$ и $angle A_1 = angle A_2$
или
$frac
=frac$ и $angle B_1 = angle B_2$
или
$frac=frac$ и $angle C_1 = angle C_2$

Не нужно путать подобные треугольники с равными треугольниками. У равных треугольников равны соответствующие длины сторон. Поэтому для равных треугольников:

Из этого следует что все равные треугольники являются подобными. Однако не все подобные треугольники являются равными.

Несмотря на то, что вышеприведенная запись показывает, что для выяснения, являются ли два треугольника подобными или нет, нам должны быть известны величины трех углов или длины трех сторон каждого треугольника, для решения задач с подобными треугольниками достаточно знать любые три величины из указанных выше для каждого треугольника. Эти величины могут составлять различные комбинации:

1) три угла каждого треугольника (длины сторон треугольников знать не нужно).

Или хотя бы 2 угла одного треугольника должны быть равны 2-м углам другого треугольника.
Так как если 2 угла равны, то третий угол также будет равным.(Величина третьего угла составляет 180 — угол1 — угол2)

2) длины сторон каждого треугольника (углы знать не нужно);

3) длины двух сторон и угол между ними.

Далее мы рассмотрим решение некоторых задач с подобными треугольниками. Сначала мы рассмотрим задачи, которые можно решить непосредственным использованием вышеуказанных правил, а затем обсудим некоторые практические задачи, которые решаются по методу подобных треугольников.

Практические задачи с подобными треугольниками

Пример №1: Покажите, что два треугольника на рисунке внизу являются подобными.
Одинаковые треугольники разного размера

Решение:
Так как длины сторон обоих треугольников известны, то здесь можно применить второе правило:

Пример №2: Покажите, что два данных треугольника являются подобными и определите длины сторон PQ и PR. Одинаковые треугольники разного размера

Решение:
∠A = ∠P и ∠B = ∠Q, ∠C = ∠R(так как ∠C = 180 — ∠A — ∠B и ∠R = 180 — ∠P — ∠Q)

Из этого следует, что треугольники ΔABC и ΔPQR подобны. Следовательно:
$frac=frac=frac$

Пример №3: Определите длину AB в данном треугольнике.
Одинаковые треугольники разного размера

Решение:

∠ABC = ∠ADE, ∠ACB = ∠AED и ∠A общий => треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными.

$frac = frac = frac = frac = frac = frac Rightarrow 2times AB = AB + 4 Rightarrow AB = 4$

Пример №4:Определить длину AD (x) геометрической фигуры на рисунке.
Одинаковые треугольники разного размера

Треугольники ΔABC и ΔCDE являются подобными так как AB || DE и у них общий верхний угол C.
Мы видим, что один треугольник является масштабированной версией другого. Однако нам нужно это доказать математически.

AB || DE, CD || AC и BC || EC
∠BAC = ∠EDC и ∠ABC = ∠DEC

Исходя из вышеизложенного и учитывая наличие общего угла C, мы можем утверждать, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны.

Следовательно:
$frac = frac = frac = frac Rightarrow CA = frac = 23.57$
x = AC — DC = 23.57 — 15 = 8.57

Практические примеры

Пример №5: На фабрике используется наклонная конвеерная лента для транспортировки продукции с уровня 1 на уровень 2, который выше уровня 1 на 3 метра, как показано на рисунке. Наклонный конвеер обслуживается с одного конца до уровня 1 и с другого конца до рабочего места, расположенного на расстоянии 8 метров от рабочей точки уровня 1.
Одинаковые треугольники разного размера

Фабрика хочет модернизировать конвеер для доступа к новому уровню, который находится на расстоянии 9 метров над уровнем 1, и при этом сохранить угол наклона конвеера.

Определите расстояние, на котором нужно установить новый рабочий пункт для обеспечения работы конвеера на его новом конце на уровне 2. Также вычислите дополнительное расстояние, которое пройдет продукция при перемещении на новый уровень.

Решение:

Для начала давайте обозначим каждую точку пересечения определенной буквой, как показано на рисунке.

Исходя из рассуждений, приведенных выше в предыдущих примерах, мы можем сделать вывод о том, что треугольники ΔABC и ΔADE являются подобными. Следовательно,

$frac = frac = frac = frac Rightarrow AB = frac = 24 м$
x = AB — 8 = 24 — 8 = 16 м

Таким образом, новый пункт должен быть установлен на расстоянии 16 метров от уже существующего пункта.

А так как конструкция состоит из прямоугольных треугольников, мы можем вычислить расстояние перемещения продукции следующим образом:

Аналогично, $AC = sqrt = sqrt = 25.63 м$
что является расстоянием, которое проходит продукция в данный момент при попадании на существующий уровень.

y = AC — AE = 25.63 — 8.54 = 17.09 м
это дополнительное расстояние, которое должна пройти продукция для достижения нового уровня.

Пример №6: Стив хочет навестить своего приятеля, который недавно переехал в новый дом. Дорожная карта проезда к дому Стива и его приятеля вместе с известными Стиву расстояниями показана на рисунке. Помогите Стиву добраться к дому его приятеля наиболее коротким путем.
Одинаковые треугольники разного размера

Решение:

Дорожную карту можно геометрически представить в следующем виде, как показано на рисунке.
Одинаковые треугольники разного размера

Мы видим, что треугольники ΔABC и ΔCDE подобны, следовательно:
$frac = frac = frac$

В условии задачи сказано, что:

AB = 15 км, AC = 13.13 км, CD = 4.41 км и DE = 5 км

Используя эту информацию, мы можем вычислить следующие расстояния:

Стив может добраться к дому своего друга по следующим маршрутам:

A -> B -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.38+2.5=27.61 км

F -> B -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.23+4.41+2.5=27.64 км

F -> A -> C -> E -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.38+2.5=27.51 км

F -> A -> C -> D -> G, суммарное расстояние равно 7.5+13.13+4.41+2.5=27.54 км

Следовательно, маршрут №3 является наиболее коротким и может быть предложен Стиву.

Пример 7:
Триша хочет измерить высоту дома, но у нее нет нужных инструментов. Она заметила, что перед домом растет дерево и решила применить свою находчивость и знания геометрии, полученные в школе, для определения высоты здания. Она измерила расстояние от дерева до дома, результат составил 30 м. Затем она встала перед деревом и начала отходить назад, пока верхний край здания стал виден над верхушкой дерева. Триша отметила это место и измерила расстояние от него до дерева. Это расстояние составило 5 м.

Высота дерева равна 2.8 м, а высота уровня глаз Триши равна 1.6 м. Помогите Трише определить высоту здания.
Одинаковые треугольники разного размера

Решение:

Геометрическое представление задачи показано на рисунке.
Одинаковые треугольники разного размера

Сначала мы используем подобность треугольников ΔABC и ΔADE.

$frac = frac = frac = frac Rightarrow 2.8 times AC = 1.6 times (5 + AC) = 8 + 1.6 times AC$

$(2.8 — 1.6) times AC = 8 Rightarrow AC = frac = 6.67$

Затем мы можем использовать подобность треугольников ΔACB и ΔAFG или ΔADE и ΔAFG. Давайте выберем первый вариант.

Видео:7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построениеСкачать

7 класс Атанасян. Вся геометрия за 100 минут. Треугольник, окружность, задачи на построение

Подобие треугольников — признаки и свойства с доказательствами и примерами решения

Содержание:

Теорема Фалеса. Теорема о пропорциональных отрезках

Теорема 11.1 (теорема Фалеса). Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Доказательство. Пусть дан угол АОВ (рис. 112). Известно, что Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Докажем, что Одинаковые треугольники разного размера

Предположим, что Одинаковые треугольники разного размераПусть серединой отрезка Одинаковые треугольники разного размераявляется некоторая точка Одинаковые треугольники разного размераТогда отрезок Одинаковые треугольники разного размера— средняя линия треугольника Одинаковые треугольники разного размера

Отсюда
Одинаковые треугольники разного размераЗначит, через точку Одинаковые треугольники разного размерапроходят две прямые, параллельные прямой Одинаковые треугольники разного размерачто противоречит аксиоме параллельности прямых. Мы получили противоречие. Следовательно, Одинаковые треугольники разного размера

Предположим, что Одинаковые треугольники разного размераПусть серединой отрезка Одинаковые треугольники разного размераявляется некоторая точка Одинаковые треугольники разного размераТогда отрезок Одинаковые треугольники разного размера— средняя линия трапеции Одинаковые треугольники разного размераОтсюда Одинаковые треугольники разного размераЗначит, через точку Одинаковые треугольники разного размерапроходят две прямые, параллельные прямой Одинаковые треугольники разного размераМы пришли к противоречию. Следовательно, Одинаковые треугольники разного размера
Аналогично можно доказать, что Одинаковые треугольники разного размераи т. д.

Определение. Отношением двух отрезков называют отношение их длин, выраженных в одних и тех же единицах измерения.

Фалес Милетский
(ок. 625 — ок. 547 до н. э.)

Одинаковые треугольники разного размера
Древнегреческий философ, ученый, купец и государственный деятель. Родом из Милета — порта в Малой Азии на побережье Эгейского моря.

Если, например, АВ = 8 см, CD = 6 см, то отношение отрезка АВ к отрезку CD равно Одинаковые треугольники разного размераЗаписывают: Одинаковые треугольники разного размера
Если Одинаковые треугольники разного размерато говорят, что отрезки АВ и CD пропорциональны соответственно отрезкам Одинаковые треугольники разного размера

Аналогично можно говорить о пропорциональности большего количества отрезков. Например, если Одинаковые треугольники разного размерато говорят, что отрезки АВ, CD, MN пропорциональны соответственно отрезкам Одинаковые треугольники разного размера

Теорема 11.2 (теорема о пропорциональных отрезках). Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Одинаковые треугольники разного размера

Доказательство этой теоремы выходит за рамки школьного курса геометрии. Мы приведем доказательство для частного случая.

Пусть стороны угла MON пересечены параллельными прямыми Одинаковые треугольники разного размера(рис. 113). Докажем, что: Одинаковые треугольники разного размера
Докажем первое из этих равенств (остальные два можно доказать аналогично).

Пусть для отрезков ОА и АВ существует такой отрезок длиной Одинаковые треугольники разного размера, который укладывается целое число раз в каждом из них. Имеем: Одинаковые треугольники разного размера— некоторые натуральные числа.

Тогда отрезки ОА и АВ можно разделить соответственно на Одинаковые треугольники разного размераравных отрезков, каждый из которых равен Одинаковые треугольники разного размера.

Одинаковые треугольники разного размера

Через концы полученных отрезков проведем прямые, параллельные прямой Одинаковые треугольники разного размера
(рис. 114). По теореме Фалеса эти прямые делят отрезки Одинаковые треугольники разного размерасоответственно на Одинаковые треугольники разного размераравных отрезков. Пусть каждый из этих отрезков равен Одинаковые треугольники разного размераОтсюда Одинаковые треугольники разного размераОдинаковые треугольники разного размера

Имеем: Одинаковые треугольники разного размераОтсюда Одинаковые треугольники разного размераТогда Одинаковые треугольники разного размера

Почему же приведенные рассуждения нельзя считать полным доказательством теоремы? Дело в том, что не для любых двух отрезков существует отрезок, который укладывается в каждом из них целое число раз. В частности, для отрезков ОА и АВ такой отрезок может и не существовать. Доказательство для этого случая выходит за пределы рассматриваемого курса.

Если рисунок 113 дополнить прямой Одинаковые треугольники разного размерапараллельной прямой Одинаковые треугольники разного размера(рис. 115), то, рассуждая аналогично, получим, например, что Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Теорема 11.2 остается справедливой, если вместо сторон угла взять две любые прямые.

Теорема 11.3. Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Доказательство. На рисунке 116 медианы Одинаковые треугольники разного размератреугольника АВС пересекаются в точке М. Докажем, что медиана Одинаковые треугольники разного размератакже проходит через точку М и Одинаковые треугольники разного размера
Проведем Одинаковые треугольники разного размераПоскольку Одинаковые треугольники разного размерато по теореме Фалеса Одинаковые треугольники разного размерато есть Одинаковые треугольники разного размераПоскольку Одинаковые треугольники разного размера

По теореме о пропорциональных отрезках Одинаковые треугольники разного размера

Таким образом, медиана Одинаковые треугольники разного размерапересекая медиану Одинаковые треугольники разного размераделит ее в отношении 2:1, считая от вершины В.
Аналогично можно доказать (сделайте это самостоятельно), что медиана Одинаковые треугольники разного размератакже делит медиану Одинаковые треугольники разного размерав отношении 2:1, считая от вершины В (рис. 117).

Одинаковые треугольники разного размера

А это означает, что все три медианы треугольника АВС проходят через одну точку. Мы доказали, что эта точка делит медиану Одинаковые треугольники разного размерав отношении 2:1.

Аналогично можно доказать, что эта точка делит в отношении 2 : 1 также медианы Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера

На рисунке 118 изображен треугольник АВС. Точка D принадлежит стороне АС. В этом случае говорят, что стороны АВ и ВС прилежат соответственно к отрезкам AD и DC.

Теорема 11.4 (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Доказательство. На рисунке 119 отрезок BD — биссектриса треугольника АВС. Докажем, что Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Через точку С проведем прямую СЕ, параллельную прямой BD. Пусть проведенная прямая пересекает прямую АВ в точке Е. Углы 1 и 2 равны как накрест лежащие при параллельных прямых BD и СЕ и секущей ВС; утлы 3 и 4 равны как соответственные при параллельных прямых BD и СЕ и секущей АЕ. Поскольку BD — биссектриса треугольника АВС, то Одинаковые треугольники разного размераОтсюда Одинаковые треугольники разного размераТогда треугольник СВЕ — равнобедренный с равными сторонами ВС и BE. По теореме о пропорциональных отрезках Одинаковые треугольники разного размераПоскольку BE = ВС, то Одинаковые треугольники разного размера

Пример:

Разделите данный отрезок на три равных отрезка.

Решение:

Через конец А данного отрезка АВ проведем луч АС, не принадлежащий прямой АВ (рис. 120). Отметим на луче АС произвольную точку А1. Затем отметим точки Одинаковые треугольники разного размератак, чтобы Одинаковые треугольники разного размера Одинаковые треугольники разного размераПроведем отрезок А2В. Через точки A1 и А2 проведем прямые, параллельные прямой Одинаковые треугольники разного размераОни пересекут отрезок АВ в точках В1 и В2 соответственно. По теореме Фалеса Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Видео:ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэСкачать

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ 😉 #егэ #математика #профильныйегэ #shorts #огэ

Подобные треугольники

На рисунке 128 вы видите уменьшенное изображение обложки учебника по геометрии. Вообще в повседневной жизни часто встречаются объекты, имеющие одинаковую форму, но разные размеры (рис. 129).

Одинаковые треугольники разного размера

Геометрические фигуры, которые имеют одинаковую форму, называют подобными. Например, подобными являются любые две окружности, два квадрата, два равносторонних треугольника (рис. 130).

Одинаковые треугольники разного размера

На рисунке 131 изображены треугольники Одинаковые треугольники разного размерау которых равны углы: Одинаковые треугольники разного размера

Стороны Одинаковые треугольники разного размералежат против равных углов Одинаковые треугольники разного размераТакие стороны называют соответственными. Соответственными также являются стороны Одинаковые треугольники разного размера

Определение. Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Например, на рисунке 132 изображены треугольники Одинаковые треугольники разного размерау которых Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераПо определению эти треугольники подобны. Пишут: Одинаковые треугольники разного размера(читают: «треугольник АВС подобен треугольнику Одинаковые треугольники разного размера»).

Число 2, которому равно отношение соответственных сторон, называют коэффициентом подобия. Говорят, что треугольник АВС подобен треугольнику Одинаковые треугольники разного размерас коэффициентом подобия, равным 2.
Пишут: Одинаковые треугольники разного размера
Поскольку Одинаковые треугольники разного размерато можно также сказать, что треугольник Одинаковые треугольники разного размераподобен треугольнику АВС с коэффициентом Одинаковые треугольники разного размераПишут: Одинаковые треугольники разного размера

Из определения равных треугольников следует, что любые два равных треугольника подобны с коэффициентом подобия, равным 1.

Если Одинаковые треугольники разного размера

Докажите это свойство самостоятельно.

Одинаковые треугольники разного размера

Лемма 1 о подобных треугольниках. Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

1 Леммой называют вспомогательную теорему, которую используют для доказательства других теорем.

Доказательство. На рисунке 133 изображен треугольник АВС, отрезок Одинаковые треугольники разного размерапараллелен стороне АС. Докажем, что Одинаковые треугольники разного размера

Углы Одинаковые треугольники разного размераравны как соответственные при параллельных прямых Одинаковые треугольники разного размераи секущих АВ и СВ соответственно. Следовательно, углы рассматриваемых треугольников соответственно равны.

Покажем, что стороны ВА и ВС пропорциональны соответственно сторонам Одинаковые треугольники разного размера
Из теоремы о пропорциональных отрезках (теорема 11.2) следует, что Одинаковые треугольники разного размераОтсюда Одинаковые треугольники разного размера

Проведем Одинаковые треугольники разного размераПолучаем: Одинаковые треугольники разного размераПо определению четырехугольник Одинаковые треугольники разного размера— параллелограмм. Тогда Одинаковые треугольники разного размераОтсюда Одинаковые треугольники разного размера
Таким образом, мы доказали, что Одинаковые треугольники разного размера
Следовательно, в треугольниках Одинаковые треугольники разного размерауглы соответственно равны и соответственные стороны пропорциональны. Поэтому по определению эти треугольники подобны.

Пример:

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия.

Решение:

Пусть треугольник Одинаковые треугольники разного размераподобен треугольнику АВС с коэффициентом подобия k. Тогда Одинаковые треугольники разного размераоткудаОдинаковые треугольники разного размера

Пусть Р1 — периметр треугольника Одинаковые треугольники разного размераР — периметр треугольника АВС. Имеем: Одинаковые треугольники разного размерато есть Одинаковые треугольники разного размера

Первый признак подобия треугольников

Если для треугольников Одинаковые треугольники разного размеравыполняются условия Одинаковые треугольники разного размерато по определению эти треугольники подобны.

Можно ли по меньшему количеству условий определять подобие треугольников? На этот вопрос отвечают признаки подобия треугольников.

Теорема 13.1 (первый признак подобия треугольников: по двум углам). Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Одинаковые треугольники разного размера, у которых Одинаковые треугольники разного размераДокажем, что Одинаковые треугольники разного размера

Если Одинаковые треугольники разного размерато треугольники Одинаковые треугольники разного размераравны по второму признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, Одинаковые треугольники разного размераОтложим на стороне ВА отрезок Одинаковые треугольники разного размераравный стороне Одинаковые треугольники разного размераЧерез точку Одинаковые треугольники разного размерапроведем прямую Одинаковые треугольники разного размерапараллельную стороне АС (рис. 140).

Одинаковые треугольники разного размера

Углы Одинаковые треугольники разного размера— соответственные при параллельных прямых Одинаковые треугольники разного размераи секущей Одинаковые треугольники разного размераОтсюда Одинаковые треугольники разного размераАле Одинаковые треугольники разного размераПолучаем, что Одинаковые треугольники разного размераТаким образом, треугольники Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераравны по второму признаку равенства треугольников. По лемме о подобных треугольниках Одинаковые треугольники разного размераСледовательно, Одинаковые треугольники разного размера

Пример №1

Средняя линия трапеции Одинаковые треугольники разного размераравна 24 см, а ее диагонали пересекаются в точке О. Найдите основания трапеции, если АО : ОС = 5:3.

Решение:

Рассмотрим треугольники AOD и СОВ (рис. 141). Углы AOD и ВОС равны как вертикальные, углы CAD и АСВ равны как накрест лежащие при параллельных прямых ВС и AD и секущей АС. Следовательно, треугольники AOD и СОВ подобны по двум углам.
Тогда Одинаковые треугольники разного размера
Пусть ВС = Зх см, тогда AD = 5х см.
Поскольку средняя линия трапеции равна 24 см, то ВС + AD = 48 см.
Имеем: Зх + 5х = 48. Отсюда х = 6.
Следовательно, ВС = 18 см, AD = 30 см.
Ответ: 18 см, 30 см.

Одинаковые треугольники разного размера

Пример №2 (свойство пересекающихся хорд)

Докажите, что если хорды АВ и CD окружности пересекаются в точке М, то AM • МВ = DM • МС (рис. 142).

Решение:

Рассмотрим треугольники АСМ и DBM. Углы 3 и 4 равны как вертикальные, углы 1 и 2 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АСМ и DBM подобны по первому признаку подобия треугольников.

Тогда Одинаковые треугольники разного размера
Отсюда AM • МВ = DM • МС.

Пример №3 (свойство касательной и секущей)

Докажите, что если через точку А к окружности проведены касательная AM (М — точка касания) и прямая (секущая), пересекающая окружность в точках В и С (рис. 143), то Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Решение:

Рассмотрим треугольники AMВ и АСМ. У них угол А общий. По свойству угла между касательной и хордой (см. ключевую задачу 1 п. 9) Одинаковые треугольники разного размераУгол МСВ — вписанный угол, опирающийся на дугу МВ, поэтому Одинаковые треугольники разного размераОтсюда Одинаковые треугольники разного размераСледовательно, треугольники АМВ и АСМ подобны по первому признаку подобия треугольников. Тогда Одинаковые треугольники разного размера
Отсюда Одинаковые треугольники разного размера

Теорема Менелая

Точки, принадлежащие одной прямой, называют коллинеарными. Две точки коллинеарны всегда.

В этом рассказе вы узнаете об одной знаменитой теореме, которая служит критерием коллинеарности трех точек. Эта теорема носит имя древнегреческого математика и астронома Менелая Александрийского ( Одинаковые треугольники разного размеравв. н. э.).

Теорема Менелая. На сторонах АВ и ВС треугольника АВС отметили соответственно точки Одинаковые треугольники разного размера а на продолжении стороны АС — точку Одинаковые треугольники разного размера Для того чтобы точки Одинаковые треугольники разного размераОдинаковые треугольники разного размера лежали на одной прямой, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

Одинаковые треугольники разного размера

Доказательство. Сначала докажем необходимое условие коллинеарности: если точки Одинаковые треугольники разного размералежат на одной прямой, то выполняется равенство (*).
Из вершин треугольника АВС опустим перпендикуляры AM, BN и СР на прямую Одинаковые треугольники разного размера(рис. 153, а). Поскольку Одинаковые треугольники разного размерато треугольники АМС1 и BNC1 подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Одинаковые треугольники разного размера
Из подобия треугольников BNA1 и СРА1 получаем: Одинаковые треугольники разного размера
Из подобия треугольников Одинаковые треугольники разного размераследует равенство Одинаковые треугольники разного размера

Перемножив почленно левые и правые части пропорции
Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размераполучаем равенство

Одинаковые треугольники разного размераОдинаковые треугольники разного размера

Теперь докажем достаточное условие коллинеарности: если выполняется равенство (*), то точки Одинаковые треугольники разного размералежат на одной прямой.
Пусть прямая Одинаковые треугольники разного размерапересекает сторону ВС треугольника АВС в некоторой точке A2 (рис. 153, б). Поскольку точки Одинаковые треугольники разного размералежат на одной прямой, то из доказанного выше можно записать: Одинаковые треугольники разного размера

Сопоставляя это равенство с равенством (*), приходим к выводу, что Одинаковые треугольники разного размерато есть точки Одинаковые треугольники разного размераделят отрезок ВС в одном и том же отношении, а значит, эти точки совпадают. Отсюда следует, что прямая Одинаковые треугольники разного размерапересекает сторону ВС в точке Одинаковые треугольники разного размера
Заметим, что теорема остается справедливой и тогда, когда точки Одинаковые треугольники разного размералежат не на сторонах треугольника АВС, а на их продолжениях (рис. 154).

Одинаковые треугольники разного размера

Теорема Птолемея

Теорема Птолемея. Произведение диагоналей вписанного в окружность четырехугольника равно сумме произведений его противолежащих сторон.

Клавдий Птолемей
(ок. 100 — ок. 178)

Одинаковые треугольники разного размера

Древнегреческий математик и астроном. Автор геоцентрической модели мира. Разработал математическую теорию движения планет, позволяющую вычислять
их положение. Создал прообраз современной системы координат.

Доказательство. На рисунке 158 изображен вписанный в окружность четырехугольник ABCD. Докажем, что Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

На диагонали АС отметим точку К так, что Одинаковые треугольники разного размераУглы 3 и 4 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Следовательно, треугольники АВК и DBC подобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Одинаковые треугольники разного размерато есть Одинаковые треугольники разного размера

Поскольку Одинаковые треугольники разного размераУглы 5 и 6 равны как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу. Поэтому Одинаковые треугольники разного размераОтсюда Одинаковые треугольники разного размерато есть Одинаковые треугольники разного размера

Сложив равенства (1) и (2), получаем:

Одинаковые треугольники разного размераОдинаковые треугольники разного размера

Второй и третий признаки подобия треугольников

Теорема 14.1 (второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Одинаковые треугольники разного размерав которых Одинаковые треугольники разного размераДокажем, что Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Если k = 1, то Одинаковые треугольники разного размераОдинаковые треугольники разного размераа следовательно, треугольники Одинаковые треугольники разного размера Одинаковые треугольники разного размераравны по первому признаку равенства треугольников, поэтому эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1, то есть Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераНа сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки Одинаковые треугольники разного размератак, что Одинаковые треугольники разного размера(рис. 160). Тогда Одинаковые треугольники разного размера

Покажем, что Одинаковые треугольники разного размераПредположим, что это не так. Тогда на стороне ВС отметим точку М такую, что Одинаковые треугольники разного размера
Имеем: Одинаковые треугольники разного размератогда Одинаковые треугольники разного размерато есть Одинаковые треугольники разного размера
Следовательно, буквами М и С2 обозначена одна и та же точка. Тогда Одинаковые треугольники разного размера
По лемме о подобных треугольниках получаем, что Одинаковые треугольники разного размера

Треугольники Одинаковые треугольники разного размераравны по первому признаку равенства треугольников. Отсюда Одинаковые треугольники разного размера

Теорема 14.2 (третий признак подобия треугольников: по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Доказательство. Рассмотрим треугольники Одинаковые треугольники разного размерав которых Одинаковые треугольники разного размераДокажем, что Одинаковые треугольники разного размера

Если k = 1, то треугольники Одинаковые треугольники разного размераравны по третьему признаку равенства треугольников, а следовательно, эти треугольники подобны.

Пусть, например, k > 1. На сторонах ВА и ВС отметим соответственно точки Одинаковые треугольники разного размератакие, что Одинаковые треугольники разного размера(рис. 161). Тогда Одинаковые треугольники разного размера

В треугольниках Одинаковые треугольники разного размераугол В общий, прилежащие к нему стороны пропорциональны. Следовательно, по второму признаку подобия треугольников эти треугольники подобны, причем коэффициент подобия равен k. Тогда Одинаковые треугольники разного размера

Учитывая, что по условию Одинаковые треугольники разного размераполучаем: Одинаковые треугольники разного размера
Следовательно, треугольники Одинаковые треугольники разного размераравны по третьему признаку равенства треугольников. С учетом того, что Одинаковые треугольники разного размераполучаем: Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Пример №4

Докажите, что отрезок, соединяющим основания двух высот остроугольного треугольника, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Решение:

На рисунке 162 отрезки Одинаковые треугольники разного размера— высоты треугольника АВС. Докажем, что Одинаковые треугольники разного размера
В прямоугольных треугольниках Одинаковые треугольники разного размераострый угол В общий. Следовательно, треугольники Одинаковые треугольники разного размераподобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Одинаковые треугольники разного размера

Тогда Одинаковые треугольники разного размераУгол В — общий для треугольников Одинаковые треугольники разного размераСледовательно, треугольники АВС и Одинаковые треугольники разного размераподобны по второму признаку подобия треугольников.

Прямая Эйлера

Точка пересечения серединных перпендикуляров сторон треугольника — это центр окружности, описанной около треугольника. Обозначим эту точку буквой О.

Точка пересечения биссектрис треугольника — это центр вписанной окружности. Обозначим эту точку буквой J.

Точку пересечения прямых, содержащих высоты треугольника, называют ортоцентром треугольника. Обозначим эту точку буквой Н.

Точку пересечения медиан треугольника называют центроидом треугольника. Обозначим эту точку буквой М.

Точки О, J, Н, М называют замечательными точками треугольника.

Использование такого эмоционального эпитета вполне обосновано. Ведь эти точки обладают целым рядом красивых свойств. Разве не замечательно уже хотя бы то, что они существуют в любом треугольнике?

Рассмотрим одну из многих теорем о замечательных точках треугольника.

Теорема. В любом треугольнике центр описанной окружности, центроид и ортоцентр лежат на одной прямой.

Эту прямую называют прямой Эйлера.

Леонард Эйлер (1707-1783)
Выдающийся математик, физик, механик, астроном.

Одинаковые треугольники разного размера

Доказательство. Для равнобедренного треугольника доказываемое утверждение очевидно.
Если данный треугольник АВС прямоугольный Одинаковые треугольники разного размерато его ортоцентр — это точка С, центр описанной окружности — середина гипотенузы АВ. Тогда понятно, что все три точки, о которых идет речь в теореме, принадлежат медиане, проведенной к гипотенузе.

Докажем теорему для остроугольного разностороннего треугольника.

Лемма. Если Н — ортоцентр треугольника ABC, Одинаковые треугольники разного размера — перпендикуляр, опущенный из центра О описанной окружности на сторону ВС, то АН = Одинаковые треугольники разного размера(рис. 167).

Одинаковые треугольники разного размера

Доказательство. Выполним дополнительное построение, уже знакомое вам из решения ключевой задачи пункта 2: через каждую вершину треугольника АВС проведем прямую, параллельную противолежащей стороне. Получим треугольник Одинаковые треугольники разного размера(рис. 167). В указанной ключевой задаче было показано, что ортоцентр Н треугольника АВС является центром описанной окружности треугольника Одинаковые треугольники разного размера. Для этой окружности угол Одинаковые треугольники разного размераявляется центральным, а угол Одинаковые треугольники разного размера— вписанным. Поскольку оба угла опираются на одну и ту же дугу, то Одинаковые треугольники разного размераУглы ВАС и Одинаковые треугольники разного размераравны как противолежащие углы параллелограмма Одинаковые треугольники разного размерапоэтому Одинаковые треугольники разного размераПоскольку Одинаковые треугольники разного размерато равнобедренные треугольники Одинаковые треугольники разного размераподобны с коэффициентом подобия 2. Поскольку отрезки АН и Одинаковые треугольники разного размера— соответственные высоты подобных треугольников, то АН = Одинаковые треугольники разного размера
Докажем теперь основную теорему.

Одинаковые треугольники разного размера

Поскольку точка М1 — середина стороны ВС, то отрезок AM1 — медиана треугольника АВС (рис. 168). Пусть М — точка пересечения отрезков Одинаковые треугольники разного размераПоскольку Одинаковые треугольники разного размерато Одинаковые треугольники разного размераУглы Одинаковые треугольники разного размераравны как вертикальные. Следовательно, треугольники Одинаковые треугольники разного размераподобны по первому признаку подобия треугольников. Отсюда Одинаковые треугольники разного размераЗначит, точка М делит медиану Одинаковые треугольники разного размерав отношении 2:1, считая от вершины А. Отсюда точка М — центроид треугольника АВС.
Доказательство для случая тупоугольного треугольника аналогично.

Обратим внимание на то, что мы не только установили факт принадлежности точек О, М, Н одной прямой, но и доказали равенство НМ = 2МО,
которое является еще одним свойством замечательных точек треугольника.

Напомню:

Теорема Фалеса

  • Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.

Теорема о пропорциональных отрезках

  • Если параллельные прямые пересекают стороны угла, то отрезки, образовавшиеся на одной стороне угла, пропорциональны соответствующим отрезкам, образовавшимся на другой стороне угла.

Свойство медиан треугольника

  • Все три медианы треугольника пересекаются в одной точке, которая делит каждую из них в отношении 2:1, считая от вершины треугольника.

Свойство биссектрисы треугольника

  • Биссектриса треугольника делит его сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Подобные треугольники

  • Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны соответственным сторонам другого треугольника.

Лемма о подобных треугольниках

  • Прямая, параллельная стороне треугольника и пересекающая две другие его стороны, отсекает от данного треугольника ему подобный.

Первый признак подобия треугольников: по двум углам

  • Если два угла одного треугольника равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Второй признак подобия треугольников: по двум сторонам и углу между ними

  • Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Третий признак подобия треугольников: по трем сторонам

  • Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним, что отношением отрезков Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераназывают отношение их длин, то есть Одинаковые треугольники разного размера

Говорят, что отрезки Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размерапропорциональные отрезкам Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Например, если Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размерато Одинаковые треугольники разного размерадействительно Одинаковые треугольники разного размера

Понятие пропорциональности применили и к большему количеству отрезков. Например, три отрезка Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размерапропорциональны трем отрезкам Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераесли

Одинаковые треугольники разного размера

Обобщенная теорема Фалеса (теорема о пропорциональных отрезках). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Доказательство:

Пусть параллельные прямые Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размерапересекают стороны угла Одинаковые треугольники разного размера(рис. 123). Докажем, что

Одинаковые треугольники разного размера

1) Рассмотрим случай, когда длины отрезков Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераявляются рациональными числами (целыми или дробными). Тогда существует отрезок длины Одинаковые треугольники разного размеракоторый можно отложить целое число раз и на отрезке Одинаковые треугольники разного размераи на отрезке Одинаковые треугольники разного размера

Пусть Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера— рациональные числа. Запишем их в виде дробей с одинаковыми знаменателями: Одинаковые треугольники разного размераПоэтому Одинаковые треугольники разного размера

Имеем: Одинаковые треугольники разного размера

2) Разделим отрезок Одинаковые треугольники разного размерана Одинаковые треугольники разного размераравных частей длины Одинаковые треугольники разного размераа отрезок Одинаковые треугольники разного размера— на Одинаковые треугольники разного размераравных частей длины Одинаковые треугольники разного размераПроведем через точки деления прямые, параллельные прямой Одинаковые треугольники разного размера(рис. 123). По теореме Фалеса они разобьют отрезок Одинаковые треугольники разного размерана Одинаковые треугольники разного размераравных отрезков длины Одинаковые треугольники разного размерапричем Одинаковые треугольники разного размерабудет состоять из Одинаковые треугольники разного размератаких отрезков, а Одинаковые треугольники разного размера— из Одинаковые треугольники разного размератаких отрезков.

Имеем: Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

3) Найдем отношение Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераБудем иметь:

Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера

Следовательно, Одинаковые треугольники разного размера

Учитывая, что в пропорции средние члены можно поменять местами, из доказанного равенства приходим к следующему.

Следствие 1. Одинаковые треугольники разного размера

Следствие 2. Одинаковые треугольники разного размера

Доказательство:

Поскольку Одинаковые треугольники разного размерато Одинаковые треугольники разного размера

Прибавим к обеим частям этого равенства по единице:

Одинаковые треугольники разного размерато есть Одинаковые треугольники разного размера

Учитывая, что Одинаковые треугольники разного размера

будем иметь: Одинаковые треугольники разного размера

Откуда Одинаковые треугольники разного размера

Рассмотрим, как построить один из четырех отрезков, образующих пропорцию, если известны три из них.

Пример №5

Дано отрезки Одинаковые треугольники разного размераПостройте отрезок Одинаковые треугольники разного размера

Решение:

Поскольку Одинаковые треугольники разного размерато Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Для построения отрезка Одинаковые треугольники разного размераможно использовать как обобщенную теорему Фалеса, так и одно из ее следствий. Используем, например, следствие 1.

1) Строим неразвернутый угол с вершиной Одинаковые треугольники разного размера(рис. 124). Откладываем на одной его стороне отрезок Одинаковые треугольники разного размераа на другой — отрезки Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера

2) Проведем прямую Одинаковые треугольники разного размераЧерез точку Одинаковые треугольники разного размерапараллельно Одинаковые треугольники разного размерапроведем прямую, точку пересечения которой со стороной Одинаковые треугольники разного размераугла обозначим через Одинаковые треугольники разного размерато есть Одинаковые треугольники разного размера

3) По следствию 1 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Одинаковые треугольники разного размераоткуда Одинаковые треугольники разного размераСледовательно, Одинаковые треугольники разного размера

Построенный отрезок Одинаковые треугольники разного размераназывают четвертым пропорциональным отрезков Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размератак как для этих отрезков верно равенство: Одинаковые треугольники разного размера

Отношения и пропорции в геометрии использовались с давних времен. Об этом свидетельствуют древнеегипетские храмы, детали гробницы Менеса в Накаде и знаменитых пирамид в Гизе (III тысячелетие до н. э.), персидские дворцы, древнеиндийские достопримечательности и другие памятники древности.

Одинаковые треугольники разного размера

В седьмой книге «Начал» Евклид изложил арифметическую теорию учения об отношениях, которую применил только к соразмерным величинам и целым числам. Эта теория создана на основе практики действий с дробями и применялась для исследования свойств целых чисел.

В пятой книге Евклид изложил общую теорию отношений и пропорций, которую примерно за 100 лет до него разработал древнегреческий математик, механик и астроном Евдокс (408 г. — 355 г. до н. э.). Эта теория легла в основу учения о подобии фигур, изложенного Евклидом в шестой книге «Начал», где также была решена и задача о делении отрезка в данном отношении.

Пропорциональность отрезков прямых, пересеченных несколькими параллельными прямыми, была известна еще вавилонским ученым, хотя многие историки-математики заслугу данного открытия приписывают Фалесу Милетскому.

Подобные треугольники

В повседневной жизни нам встречаются предметы одинаковой формы, но разных размеров, например футбольный мяч и металлический шарик, картина и ее фотоснимок, самолет и его модель, географические карты разного масштаба. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Так, подобными являются все квадраты, все окружности, все отрезки.

Два треугольника называют подобными, если их углы соответственно равны и стороны одного треугольника пропорциональны сторонам другого.

Это значит, что если треугольники Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераподобны (рис. 127), то

Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Пусть значение каждого из полученных отношений соответствующих сторон равно Одинаковые треугольники разного размераЧисло Одинаковые треугольники разного размераназывают коэффициентом подобия треугольника Одинаковые треугольники разного размерак треугольнику Одинаковые треугольники разного размераили коэффициентом подобия треугольников Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера

Подобие треугольников принято обозначать символом Одинаковые треугольники разного размераВ нашем случае Одинаковые треугольники разного размераЗаметим, что из соотношения Одинаковые треугольники разного размераследует соотношение

Одинаковые треугольники разного размера

Пример №6

Докажите, что отношение периметров подобных треугольников равно отношению соответствующих сторон этих треугольников.

Доказательство:

Пусть Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера

Тогда Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Пример №7

Стороны треугольника Одинаковые треугольники разного размераотносятся как 4 : 7 : 9, а большая сторона подобного ему треугольника Одинаковые треугольники разного размераравна 27 см. Найдите две другие стороны второго треугольника.

Решение:

Так как по условию Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размерато Одинаковые треугольники разного размера

Обозначим Одинаковые треугольники разного размераПо условию Одинаковые треугольники разного размератогда Одинаковые треугольники разного размера(см). Имеем: Одинаковые треугольники разного размераОдинаковые треугольники разного размера

Ответ. 12 см, 21 см.

Заметим, что подобные треугольники легко создавать с помощью современных компьютерных программ, в частности графических редакторов. Для этого достаточно построенный треугольник растянуть или сжать, «потянув» за один из угловых маркеров.

Одинаковые по форме, но разные по величине фигуры использовались еще в вавилонской и египетской архитектурах. В сохранившейся погребальной камере отца фараона Рамзеса II есть стена, покрытая сеткой квадратиков, с помощью которой на стену перенесены в увеличенном виде рисунки меньших размеров.

Учение о подобии фигур на основе теории отношений и пропорций было создано в Древней Греции в V-IV вв. до н. э. трудами Гиппократа Хиосского, Архита Тарентского, Евдокса Книдского и других. Обобщил эти сведения Евклид в шестой книге «Начал». Начинается теория подобия следующим определением:

«Подобные прямолинейные фигуры — суть те, которые имеют соответственно равные углы и пропорциональные стороны».

Видео:Подобные треугольникиСкачать

Подобные треугольники

Признаки подобия треугольников

Подобие треугольников, как и равенство треугольников, можно установить с помощью признаков.

Прежде чем их рассмотреть, сформулируем и докажем лемму, то есть вспомогательное утверждение, являющееся верным и используемое для доказательства одной или нескольких теорем.

Лемма. Прямая, параллельная стороне треугольника, отрезает от него подобный ему треугольник.

Доказательство:

Пусть прямая Одинаковые треугольники разного размерапересекает стороны Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размератреугольника Одинаковые треугольники разного размерасоответственно в точках Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера(рис. 129). Докажем, что Одинаковые треугольники разного размера

1) Одинаковые треугольники разного размера— общий для обоих треугольников, Одинаковые треугольники разного размера(как соответственные углы при параллельных прямых Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераи секущей Одинаковые треугольники разного размера(аналогично, но для секущей Одинаковые треугольники разного размераСледовательно, три угла треугольника Одинаковые треугольники разного размераравны трем углам треугольника Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса имеем:

Одинаковые треугольники разного размера

3) Докажем, что Одинаковые треугольники разного размера

Через точку Одинаковые треугольники разного размерапроведем прямую, параллельную Одинаковые треугольники разного размераи пересекающую Одинаковые треугольники разного размерав точке Одинаковые треугольники разного размераТак как Одинаковые треугольники разного размера— параллелограмм, то Одинаковые треугольники разного размераПо обобщенной теореме Фалеса: Одинаковые треугольники разного размера

Прибавим число 1 к обеим частям этого равенства. Получим:

Одинаковые треугольники разного размера

Но Одинаковые треугольники разного размераСледовательно, Одинаковые треугольники разного размера

4) Окончательно имеем: Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераа значит, Одинаковые треугольники разного размера

Теорема 1 (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними). Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого и углы, образованные этими сторонами, равны, то треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размерау которых Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера(рис. 130). Докажем, что Одинаковые треугольники разного размера

1) Отложим на стороне Одинаковые треугольники разного размератреугольника Одинаковые треугольники разного размераотрезок Одинаковые треугольники разного размераи проведем через Одинаковые треугольники разного размерапрямую, параллельную Одинаковые треугольники разного размера(рис. 131). Тогда Одинаковые треугольники разного размера(по лемме).

Одинаковые треугольники разного размера

2) По следствию 2 из обобщенной теоремы Фалеса Одинаковые треугольники разного размераНо Одинаковые треугольники разного размера(по построению). Поэтому Одинаковые треугольники разного размераПо условию Одинаковые треугольники разного размераследовательно, Одинаковые треугольники разного размераоткуда Одинаковые треугольники разного размера

3) Так как Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размерато Одинаковые треугольники разного размера(по двум сторонам между ними).

AAjBjCj (по двум сторонам и углу между ними).

4) Но Одинаковые треугольники разного размераследовательно, Одинаковые треугольники разного размера

Следствие 1. Два прямоугольных треугольника подобны, если катеты одного пропорциональны катетам другого.

Следствие 2. Если угол при вершине одного равнобедренного треугольника равен углу при вершине другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 2 (признак подобия треугольников по двум углам). Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размерау которых Одинаковые треугольники разного размера(рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем: Одинаковые треугольники разного размера

2) Одинаковые треугольники разного размерано Одинаковые треугольники разного размераПоэтому Одинаковые треугольники разного размера

3) Тогда Одинаковые треугольники разного размера(по стороне и двум прилежащим углам).

4) Следовательно, Одинаковые треугольники разного размера

Следствие 1. Равносторонние треугольники подобны.

Следствие 2. Если угол при основании одного равнобедренного треугольника равен углу при основании другого равнобедренного треугольника, то эти треугольники подобны.

Следствие 3. Если острый угол одного прямоугольного треугольника равен острому углу другого прямоугольного треугольника, то эти треугольники подобны.

Теорема 3 (признак подобия треугольников по трем сторонам). Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого, то эти треугольники подобны.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размерау которых Одинаковые треугольники разного размера(рис. 130).

1) Выполним построения, аналогичные тем, что в доказательстве теоремы 1 (рис. 131). Имеем: Одинаковые треугольники разного размера

2) Тогда Одинаковые треугольники разного размерано Одинаковые треугольники разного размерапоэтому

Одинаковые треугольники разного размераУчитывая, что

Одинаковые треугольники разного размераимеем: Одинаковые треугольники разного размера

3) Тогда Одинаковые треугольники разного размера(по трем сторонам).

4) Следовательно, Одинаковые треугольники разного размера

Пример №8

Стороны одного треугольника равны 9 см, 15 см и 18 см, а стороны другого относятся как 3:5:6. Подобны ли эти треугольники?

Решение:

Обозначим стороны второго треугольника Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераНо Одинаковые треугольники разного размеразначит, треугольники подобны (по трем сторонам).

Пример №9

Стороны параллелограмма равны 15 см и 10 см, а высота, проведенная к большей стороне, — 8 см. Найдите высоту, проведенную к меньшей стороне.

Решение:

Пусть Одинаковые треугольники разного размера— параллелограмм (рис. 132). Одинаковые треугольники разного размера— высота параллелограмма. Проведем Одинаковые треугольники разного размера— вторую высоту параллелограмма.

Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера(как прямоугольные с общим острым углом). Тогда Одинаковые треугольники разного размерато есть Одинаковые треугольники разного размераоткуда Одинаковые треугольники разного размера

Cредние пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Лемма. Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, делит треугольник на два подобных друг другу прямоугольных треугольника, каждый из которых подобный данному треугольнику.

Доказательство:

Пусть Одинаковые треугольники разного размера— прямоугольный треугольник Одинаковые треугольники разного размера— высота треугольника (рис. 145). Докажем, что Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

1) У прямоугольных треугольников Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераугол Одинаковые треугольники разного размера— общий. Поэтому Одинаковые треугольники разного размера(по острому углу).

2) Аналогично Одинаковые треугольники разного размера-общий, Одинаковые треугольники разного размераОткуда Одинаковые треугольники разного размера

3) У треугольников Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера

Поэтому Одинаковые треугольники разного размера(по острому углу).

Отрезок Одинаковые треугольники разного размераназывают проекцией катета Одинаковые треугольники разного размерана гипотенузу Одинаковые треугольники разного размераа отрезок Одинаковые треугольники разного размерапроекцией катета Одинаковые треугольники разного размерана гипотенузу Одинаковые треугольники разного размера

Отрезок Одинаковые треугольники разного размераназывают средним пропорциональным (или средним геометрическим) отрезков Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера, если Одинаковые треугольники разного размера

Теорема (о средних пропорциональных отрезках в прямоугольном треугольнике). 1) Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, является средним пропорциональным проекций катетов на гипотенузу. 2) Катет прямоугольного треугольника является средним пропорциональным гипотенузы и проекции этого катета на гипотенузу.

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145.

1) Одинаковые треугольники разного размера(по лемме). Поэтому Одинаковые треугольники разного размераили Одинаковые треугольники разного размера

2) Одинаковые треугольники разного размера(по лемме). Поэтому Одинаковые треугольники разного размераили Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера(по лемме). Поэтому Одинаковые треугольники разного размераили Одинаковые треугольники разного размера

Пример №10

Одинаковые треугольники разного размера— высота прямоугольного треугольника Одинаковые треугольники разного размера

с прямым углом Одинаковые треугольники разного размераДокажите, что Одинаковые треугольники разного размера

Доказательство:

Рассмотрим рисунок 145. Так как

Одинаковые треугольники разного размерато Одинаковые треугольники разного размераа так как Одинаковые треугольники разного размерато

Одинаковые треугольники разного размераПоэтому Одинаковые треугольники разного размераоткуда Одинаковые треугольники разного размера

Пример №11

Высота прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, делит ее на отрезки 9 см и 16 см. Найдите периметр треугольника.

Решение:

Рассмотрим рисунок 145, где Одинаковые треугольники разного размераОдинаковые треугольники разного размера

1) Одинаковые треугольники разного размера

2) Одинаковые треугольники разного размерато есть Одинаковые треугольники разного размераТак как Одинаковые треугольники разного размерато Одинаковые треугольники разного размера

3) Одинаковые треугольники разного размераТак как Одинаковые треугольники разного размерато Одинаковые треугольники разного размера

4) Одинаковые треугольники разного размера

При решении задач этого параграфа советуем использовать таблицу квадратов натуральных чисел.

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника). Биссектриса треугольника делит сторону, к которой она проведена, на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам.

Доказательство:

Пусть Одинаковые треугольники разного размера— биссектриса треугольника Одинаковые треугольники разного размера(рис. 147). Докажем, что Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

1) Проведем через точку Одинаковые треугольники разного размерапрямую, параллельную Одинаковые треугольники разного размераи продлим биссектрису Одинаковые треугольники разного размерадо пересечения с этой прямой в точке Одинаковые треугольники разного размераТогда Одинаковые треугольники разного размера(как внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераи секущей Одинаковые треугольники разного размера

2) Одинаковые треугольники разного размера— равнобедренный (так как Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размерато Одинаковые треугольники разного размераа значит, Одинаковые треугольники разного размера

3) Одинаковые треугольники разного размера(как вертикальные), поэтому Одинаковые треугольники разного размера(по двум углам). Следовательно, Одинаковые треугольники разного размера

Но Одинаковые треугольники разного размератаким образом Одинаковые треугольники разного размера

Из пропорции Одинаковые треугольники разного размераможно получить и такую: Одинаковые треугольники разного размера

Пример №12

В треугольнике Одинаковые треугольники разного размера Одинаковые треугольники разного размера— биссектриса треугольника. Найдите Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера

Решение:

Рассмотрим Одинаковые треугольники разного размера(рис. 147). Пусть Одинаковые треугольники разного размера

тогда Одинаковые треугольники разного размераТак как Одинаковые треугольники разного размераимеем уравнение: Одинаковые треугольники разного размераоткуда Одинаковые треугольники разного размера

Следовательно, Одинаковые треугольники разного размера

Ответ. 6 см, 3 см.

Пример №13

Медиана равнобедренного треугольника, проведенная к основанию, равна 24 см, а боковая сторона относится к основанию как 3 : 2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник.

Решение:

Пусть в треугольнике Одинаковые треугольники разного размерамедиана (рис. 148).

Одинаковые треугольники разного размера

Тогда Одинаковые треугольники разного размераявляется также высотой и биссектрисой. Поскольку точка Одинаковые треугольники разного размера— центр вписанной окружности — является точкой пересечения биссектрис треугольника, то Одинаковые треугольники разного размера— радиус окружности.

Учитывая, что Одинаковые треугольники разного размераобозначим Одинаковые треугольники разного размераТак как Одинаковые треугольники разного размера— середина Одинаковые треугольники разного размерато Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера— биссектриса треугольника Одинаковые треугольники разного размерапоэтому Одинаковые треугольники разного размера

Пусть Одинаковые треугольники разного размераТогда Одинаковые треугольники разного размераИмеем: Одинаковые треугольники разного размераоткуда Одинаковые треугольники разного размера

Применение подобия треугольников к решению задач

Рассмотрим некоторые интересные свойства геометрических фигур, которые легко получить из подобия треугольников, и применим подобие к решению практических задач.

1. Пропорциональность отрезков хорд.

Теорема 1 (о пропорциональности отрезков хорд). Если хорды Одинаковые треугольники разного размера и Одинаковые треугольники разного размера пересекаются в точке Одинаковые треугольники разного размерато

Одинаковые треугольники разного размера

Доказательство:

Пусть хорды Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размерапересекаются в точке Одинаковые треугольники разного размера(рис. 150). Рассмотрим Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размерау которых Одинаковые треугольники разного размера(как вертикальные), Одинаковые треугольники разного размера(как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу).

Одинаковые треугольники разного размера

Тогда Одинаковые треугольники разного размера(по двум углам), а значит, Одинаковые треугольники разного размераоткуда

Одинаковые треугольники разного размера

Следствие. Если Одинаковые треугольники разного размера— центр окружности, Одинаковые треугольники разного размера— ее радиус, Одинаковые треугольники разного размера— хорда, Одинаковые треугольники разного размерато Одинаковые треугольники разного размерагде Одинаковые треугольники разного размера

Доказательство:

Проведем через точку Одинаковые треугольники разного размерадиаметр Одинаковые треугольники разного размера(рис. 151). Тогда Одинаковые треугольники разного размераОдинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Пример №14

AL — биссектриса треугольника Одинаковые треугольники разного размераДокажите формулу биссектрисы: Одинаковые треугольники разного размера

Доказательство:

Опишем около треугольника Одинаковые треугольники разного размераокружность и продлим Одинаковые треугольники разного размерадо пересечения с окружностью в точке Одинаковые треугольники разного размера(рис. 152).

1) Одинаковые треугольники разного размера(как вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу Одинаковые треугольники разного размера Одинаковые треугольники разного размера(по условию). Поэтому Одинаковые треугольники разного размера(по двум углам).

2) Имеем: Одинаковые треугольники разного размераоткуда Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Но по теореме о пропорциональности отрезков хорд:

Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размерато есть Одинаковые треугольники разного размера

2. Пропорциональность отрезков секущей и касательной.

Теорема 2 (о пропорциональности отрезков секущей и касательной). Если из точки Одинаковые треугольники разного размералежащей вне круга, провести секущую, пересекающую окружность в точках Одинаковые треугольники разного размера и Одинаковые треугольники разного размераи касательную Одинаковые треугольники разного размерагде Одинаковые треугольники разного размера — точка касания, то Одинаковые треугольники разного размера

Доказательство:

Рассмотрим рис. 153. Одинаковые треугольники разного размера(как вписанный угол), Одинаковые треугольники разного размера, то

есть Одинаковые треугольники разного размераПоэтому Одинаковые треугольники разного размера(по двум углам),

значит, Одинаковые треугольники разного размераОткуда Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Следствие 1. Если из точки Одинаковые треугольники разного размерапровести две секущие, одна из которых пересекает окружность в точках Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераа другая — в точках Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размерато Одинаковые треугольники разного размера

Так как по теореме каждое из произведений Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераравно Одинаковые треугольники разного размерато следствие очевидно.

Следствие 2. Если Одинаковые треугольники разного размера— центр окружности, Одинаковые треугольники разного размера— ее радиус, Одинаковые треугольники разного размера— касательная, Одинаковые треугольники разного размера— точка касания, то Одинаковые треугольники разного размерагде Одинаковые треугольники разного размера

Доказательство:

Проведем из точки Одинаковые треугольники разного размерачерез центр окружности Одинаковые треугольники разного размерасекущую (рис. 154), Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера— точки ее пересечения с окружностью. Тогда по теореме:

Одинаковые треугольники разного размерано Одинаковые треугольники разного размерапоэтому Одинаковые треугольники разного размера

3. Измерительные работы на местности.

Предположим, что нам необходимо измерить высоту некоторого предмета, например высоту ели Одинаковые треугольники разного размера(рис. 155). Для этого установим на некотором расстоянии от ели жердь Одинаковые треугольники разного размерас планкой, которая вращается вокруг точки Одинаковые треугольники разного размераНаправим планку на верхнюю точку Одинаковые треугольники разного размераели, как показано на рисунке 155. На земле отметим точку Одинаковые треугольники разного размерав которой планка упирается в поверхность земли.

Одинаковые треугольники разного размера

Рассмотрим Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размерау них общий, поэтому Одинаковые треугольники разного размера(по острому углу).

Тогда Одинаковые треугольники разного размераоткуда Одинаковые треугольники разного размера

Если, например, Одинаковые треугольники разного размерато Одинаковые треугольники разного размера

4. Задачи на построение.

Пример №15

Постройте треугольник по двум углам и медиане, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

На рисунке 156 изображены два данных угла и данный отрезок. Построим треугольник, у которого два угла соответственно равны двум данным углам, а медиана, проведенная из вершины третьего угла, равна данному отрезку.

Одинаковые треугольники разного размера

1) Строим некоторый треугольник, подобный искомому. Для этого построим произвольный треугольник Одинаковые треугольники разного размерау которого углы Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераравны данным (рис. 157).

2) Проводим медиану Одинаковые треугольники разного размератреугольника Одинаковые треугольники разного размераи откладываем на прямой Одинаковые треугольники разного размераотрезок Одинаковые треугольники разного размераравный данному.

3) Через точку Одинаковые треугольники разного размерапроводим прямую, параллельную Одинаковые треугольники разного размераОна пересекает стороны угла Одинаковые треугольники разного размерав некоторых точках Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера(рис. 157).

4) Так как Одинаковые треугольники разного размерато Одинаковые треугольники разного размераЗначит, два угла треугольника Одинаковые треугольники разного размераравны данным.

Докажем, что Одинаковые треугольники разного размера— середина Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера(по двум углам). Поэтому Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера(по двум углам). Поэтому Одинаковые треугольники разного размера

Получаем, что Одинаковые треугольники разного размерато есть Одинаковые треугольники разного размераНо Одинаковые треугольники разного размера(по построению), поэтому Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера

Следовательно, Одинаковые треугольники разного размера— медиана треугольника Одинаковые треугольники разного размераи треугольник Одинаковые треугольники разного размера— искомый.

Видео:Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие ТреугольниковСкачать

Как ПОНЯТЬ ГЕОМЕТРИЮ за 5 минут — Подобие Треугольников

Подобие треугольников

Геометрия владеет двумя сокровищами: одно из них — это теорема Пифагора, а второе — деление отрезка в среднем и крайнем отношении. Первое можно сравнить с мерой золота, а второе больше напоминает драгоценный камень.

Иоганн Кеплер, немецкий астроном и математик

В этой главе вы начнете знакомиться с подобием фигур. Отношение подобия является одной из важнейших характеристик евклидовой геометрии. Проявления подобия часто встречаются и в повседневной жизни. Например, авиамодели самолетов подобны реальным машинам, а репродукции классических картин подобны оригиналам.

В основе теории подобия лежит обобщение теоремы Фалеса. Благодаря свойствам подобных треугольников устанавливаются важные геометрические соотношения. В частности, с помощью подобия будет доказана знаменитая теорема Пифагора. Правда, такое доказательство не является классическим, ведь во времена Пифагора некоторые геометрические факты, которые мы будем рассматривать, еще не были открыты. Но сегодня даже обычный школьник может овладеть знаниями, неизвестными великому Пифагору.

Определение подобных треугольники

Обобщенная теорема Фалеса

Напомним некоторые понятия, связанные с делением и пропорциями, которые понадобятся нам для дальнейших рассуждений.

Отношением отрезков длиной Одинаковые треугольники разного размераназывается частное их длин, т.е. число Одинаковые треугольники разного размера

Иначе говоря, отношение Одинаковые треугольники разного размерапоказывает, сколько раз отрезок Одинаковые треугольники разного размераи его части укладываются в отрезке Одинаковые треугольники разного размераДействительно, если отрезок Одинаковые треугольники разного размерапринять за единицу измерения, то данное отношение будет равняться длине отрезка Одинаковые треугольники разного размера

Отрезки длиной Одинаковые треугольники разного размерапропорциональны отрезкам длиной Одинаковые треугольники разного размераесли Одинаковые треугольники разного размера

Например, отрезки длиной 8 см и 12 см пропорциональны отрезкам длиной 10 см и 15 см, поскольку Одинаковые треугольники разного размера

Сформулируем обобщенную теорему Фалеса для неравных отрезков, которые отсекаются параллельными прямыми на сторонах угла.

Теорема (о пропорциональных отрезках)

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки: Одинаковые треугольники разного размера

Утверждение теоремы иллюстрирует рисунок 90.

Одинаковые треугольники разного размера

Приведем рассуждения, на которых основывается доказательство этой теоремы.

Отношение Одинаковые треугольники разного размерапоказывает, сколько раз отрезок Одинаковые треугольники разного размераукладывается в отрезке Одинаковые треугольники разного размераа отношение Одинаковые треугольники разного размерасколько раз отрезок Одинаковые треугольники разного размераукладывается в отрезке Одинаковые треугольники разного размераТеорема Фалеса устанавливает соответствие между процессами измерения отрезков Одинаковые треугольники разного размераДействительно, прямые, параллельные Одинаковые треугольники разного размера«переводят» равные отрезки на одной стороне угла в равные отрезки на другой его стороне: отрезок Одинаковые треугольники разного размера«переходит» в отрезок Одинаковые треугольники разного размерадесятая часть отрезка Одинаковые треугольники разного размера— в десятую часть отрезка Одинаковые треугольники разного размераи т.д. Поэтому если отрезок Одинаковые треугольники разного размераукладывается в отрезке Одинаковые треугольники разного размерараз, то отрезок Одинаковые треугольники разного размераукладывается в отрезке Одинаковые треугольники разного размератакже Одинаковые треугольники разного размерараз.

Полное доказательство этой теоремы представлено в Приложении 1.
Замечание.
Поскольку Одинаковые треугольники разного размерато Одинаковые треугольники разного размераи следствие данной теоремы можно записать в виде Одинаковые треугольники разного размераНа такое равенство мы также будем ссылаться как на теорему о пропорциональных отрезках.

Пример №16

Даны отрезки Одинаковые треугольники разного размераПостройте отрезок Одинаковые треугольники разного размера

Решение:

Построим произвольный неразвернутый угол Одинаковые треугольники разного размераи отложим на одной его стороне отрезки Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераа на другой стороне — отрезок Одинаковые треугольники разного размера(рис. 91).

Одинаковые треугольники разного размера

Проведем прямую Одинаковые треугольники разного размераи прямую, которая параллельна Одинаковые треугольники разного размерапроходит через точку Одинаковые треугольники разного размераи пересекает другую сторону угла в точке Одинаковые треугольники разного размераПо теореме о пропорциональных отрезках Одинаковые треугольники разного размераоткуда Одинаковые треугольники разного размераСледовательно, отрезок Одинаковые треугольники разного размера— искомый.

Заметим, что в задаче величина Одинаковые треугольники разного размераявляется четвертым членом пропорции Одинаковые треугольники разного размераПоэтому построенный отрезок называют четвертым пропорциональным отрезком.

Вычисление подобных треугольников

Равные фигуры представляются в нашем воображении как фигуры, имеющие одинаковую форму и одинаковые размеры. Но в повседневной жизни часто встречаются вещи, у которых одинаковая форма, но разные размеры: например, чайное блюдце и тарелка, одинаковые модели обуви разных размеров и т. п. В геометрии фигуры одинаковой формы принято называть подобными. Например, подобными друг другу являются любые два квадрата, любые две окружности. Введем для начала понятие о подобных треугольниках. Определение

Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

На рисунке 92 изображены подобные треугольники Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Подобие этих треугольников кратко обозначают так: Одинаковые треугольники разного размераВ этой записи, как и в записи равенства треугольников, названия треугольников будем записывать так, чтобы вершины равных углов указывались в порядке соответствия. Это означает:

Одинаковые треугольники разного размера

Число Одинаковые треугольники разного размераравное отношению соответствующих сторон подобных треугольников, называют коэффициентом подобия.

Очевидно, что два равных треугольника являются подобными с коэффициентом подобия 1.

Опорная задача

Отношение периметров подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите.

Решение:

Пусть Одинаковые треугольники разного размерас коэффициентом подобия Одинаковые треугольники разного размераЭто означает, что Одинаковые треугольники разного размерат.е. Одинаковые треугольники разного размераИмеем:

Одинаковые треугольники разного размера

Отметим также, что отношение соответствующих линейных элементов (медиан, биссектрис, высот и т.п.) подобных треугольников равно коэффициенту подобия. Докажите это самостоятельно.

Подобие треугольников по двум углам

Для доказательства подобия двух треугольников, как и для доказательства их равенства, не обязательно проверять все соотношения сторон и углов согласно определению — достаточно проверить лишь некоторые из них. Какие именно? Ответ на этот вопрос дают три признака подобия треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум углам)

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть даны треугольники Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размерав которых Одинаковые треугольники разного размера, (рис. 99).

Одинаковые треугольники разного размера

Докажем подобие этих треугольников. Из теоремы о сумме углов треугольника очевидно следует, что Одинаковые треугольники разного размераОтложим на луче Одинаковые треугольники разного размераотрезок Одинаковые треугольники разного размераравный Одинаковые треугольники разного размераи проведем прямую Одинаковые треугольники разного размерапараллельную Одинаковые треугольники разного размераТогда Одинаковые треугольники разного размеракак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Одинаковые треугольники разного размерапо второму признаку, откуда Одинаковые треугольники разного размераПо теореме о пропорциональных отрезках Одинаковые треугольники разного размераследовательно Одинаковые треугольники разного размераАналогично доказываем что Одинаковые треугольники разного размераТаким образом по определению подобных треугольников Одинаковые треугольники разного размераТеорема доказана.

Пример №17

Точка пересечения диагоналей трапеции делит одну из них на отрезки длиной 4 см и 7 см. Меньшее основание трапеции равно 8 см. Найдите среднюю линию трапеции.

Решение:

Пусть в трапеции Одинаковые треугольники разного размерадиагонали пересекаются в точке Одинаковые треугольники разного размера(рис. 100).

Одинаковые треугольники разного размера

Рассмотрим треугольники Одинаковые треугольники разного размераВ них углы при вершине Одинаковые треугольники разного размераравны как вертикальные, Одинаковые треугольники разного размера Одинаковые треугольники разного размеракак внутренние накрест лежащие при параллельных прямых Одинаковые треугольники разного размераи секущей Одинаковые треугольники разного размераТогда Одинаковые треугольники разного размерапо двум углам. Отсюда следует, что Одинаковые треугольники разного размераПо скольку по условию Одинаковые треугольники разного размеразначит, Одинаковые треугольники разного размераОдинаковые треугольники разного размераТогда Одинаковые треугольники разного размера
Средняя линия трапеции равна полусумме ее основании, т.е. Одинаковые треугольники разного размера

Ответ: 11 см.

Подобие треугольников по двум сторонам и углу между ними

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними)

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Пусть даны треугольники Одинаковые треугольники разного размерав которых Одинаковые треугольники разного размера(рис. 101).

Одинаковые треугольники разного размера

Докажем подобие этих треугольников. Отложим на луче Одинаковые треугольники разного размераотрезок Одинаковые треугольники разного размераравный Одинаковые треугольники разного размераи проведем прямую Одинаковые треугольники разного размерапараллельную Одинаковые треугольники разного размераТогда Одинаковые треугольники разного размеракак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Одинаковые треугольники разного размерапо двум углам. Отсюда Одинаковые треугольники разного размераа поскольку Одинаковые треугольники разного размераТогда Одинаковые треугольники разного размерапо первому признаку равенства треугольников, следовательно, Одинаковые треугольники разного размера Одинаковые треугольники разного размерапо двум углам. Теорема доказана.

Пример №18

Прямая, пересекающая стороны Одинаковые треугольники разного размератреугольника Одинаковые треугольники разного размераделит каждую из них в отношении Одинаковые треугольники разного размераначиная от вершины Одинаковые треугольники разного размераДокажите, что эта прямая параллельна Одинаковые треугольники разного размера

Решение:

Одинаковые треугольники разного размера

Пусть прямая Одинаковые треугольники разного размерапересекает стороны Одинаковые треугольники разного размератреугольника Одинаковые треугольники разного размерав точках Одинаковые треугольники разного размерасоответственно (рис. 102). Поскольку по условию задачи Одинаковые треугольники разного размераТогда треугольники Одинаковые треугольники разного размераподобны по двум сторонам и углу между ними. Из подобия треугольников следует, что Одинаковые треугольники разного размераНо эти углы являются соответственными при прямых Одинаковые треугольники разного размераи секущей Одинаковые треугольники разного размераСледовательно, Одинаковые треугольники разного размерапо признаку параллельности прямых.

Подобие треугольников по трем сторонам

Теорема (признак подобия треугольников по трем сторонам)

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Пусть в треугольниках Одинаковые треугольники разного размераОдинаковые треугольники разного размера(рис. 103).

Одинаковые треугольники разного размера

Докажем подобие этих треугольников. Как и в предыдущих теоремах, отложим на луче Одинаковые треугольники разного размераотрезок Одинаковые треугольники разного размераравный отрезку Одинаковые треугольники разного размераи проведем прямую Одинаковые треугольники разного размерапараллельную Одинаковые треугольники разного размераТогда Одинаковые треугольники разного размеракак соответственные углы при параллельных прямых, поэтому Одинаковые треугольники разного размерапо двум углам. Отсюда Одинаковые треугольники разного размераа поскольку Одинаковые треугольники разного размерато Одинаковые треугольники разного размераУчитывая, что Одинаковые треугольники разного размераимеем Одинаковые треугольники разного размераАналогично доказываем, что Одинаковые треугольники разного размераОдинаковые треугольники разного размераТогда Одинаковые треугольники разного размерапо третьему признаку равенства треугольников, следовательно, Одинаковые треугольники разного размера Одинаковые треугольники разного размерапо двум углам. Теорема доказана.

Таким образом, для доказательства всех трех признаков подобия треугольников использован один и тот же подход, а доказательство каждого из признаков подобия основывается на соответствующем признаке равенства треугольников.

В ходе доказательства признаков подобия треугольников мы показали также, что прямая, которая параллельна стороне треугольника и пересекает две другие стороны, отсекает от данного треугольника подобный.

Видео:Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)Скачать

Геометрия 7 класс (Урок№9 - Треугольник.)

Подобие прямоугольных треугольников

Признаки подобия прямоугольных треугольников:

Признаки подобия прямоугольных треугольников являются следствиями соответствующих признаков подобия произвольных треугольников. Наиболее важным признаком подобия прямоугольных треугольников является следующий.

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны.

Действительно, поскольку в прямоугольном треугольнике один угол прямой, этот признак следует из признака подобия треугольников по двум углам.

Другие признаки подобия прямоугольных треугольников сформулируйте и докажите самостоятельно (задачи № 395, 413).

Пример №19

В треугольнике Одинаковые треугольники разного размерас острым углом Одинаковые треугольники разного размерапроведены высоты Одинаковые треугольники разного размера(рис. 110). Докажите, что Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Решение:

Рассмотрим прямоугольные треугольники Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераПоскольку они имеют общий острый угол Одинаковые треугольники разного размераони подобны. Из этого следует, что соответствующие катеты и гипотенузы этих треугольников пропорциональны, т.е. Одинаковые треугольники разного размера

Рассмотрим теперь треугольники Одинаковые треугольники разного размераУ них также общий угол Одинаковые треугольники разного размера, а по только что доказанному стороны, прилегающие к этому углу, пропорциональны. Следовательно, Одинаковые треугольники разного размерапо двум пропорциональным сторонам и углу между ними.

Пропорциональные отрезки в прямоугольном треугольнике

Подобие треугольников позволяет установить ряд соотношений между длинами некоторых отрезков в треугольнике и окружности (такие соотношения называют метрическими). Сначала введем несколько вспомогательных понятий.

Отрезок Одинаковые треугольники разного размераназывается средним пропорциональным между отрезками Одинаковые треугольники разного размераесли Одинаковые треугольники разного размера

В прямоугольном треугольнике Одинаковые треугольники разного размерас катетами Одинаковые треугольники разного размераи гипотенузой Одинаковые треугольники разного размерапроведем высоту Одинаковые треугольники разного размераи обозначим ее Одинаковые треугольники разного размера(рис. 111).

Одинаковые треугольники разного размера

Отрезки Одинаковые треугольники разного размерана которые эта высота делит гипотенузу, называют проекциями катетов на гипотенузу. Проекции катетов Одинаковые треугольники разного размерана гипотенузу Одинаковые треугольники разного размераобозначают Одинаковые треугольники разного размерасоответственно.

Теорема (метрические соотношения в прямоугольном треугольнике) В прямоугольном треугольнике:

1) высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу:

Одинаковые треугольники разного размера

2) катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу:

Одинаковые треугольники разного размера

3) высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу:

Одинаковые треугольники разного размера

По признаку подобия прямоугольных треугольников Одинаковые треугольники разного размера(у этих треугольников общий острый угол Одинаковые треугольники разного размера Одинаковые треугольники разного размера(у этих треугольников общий острый угол Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера(острые углы этих треугольников равны острым углам треугольника Одинаковые треугольники разного размераИз подобия треугольников Одинаковые треугольники разного размераимеем: Одинаковые треугольники разного размераоткуда Одинаковые треугольники разного размераАналогично из подобия треугольников Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераполучаем Одинаковые треугольники разного размераИ наконец, из подобия треугольников Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераимеем Одинаковые треугольники разного размераоткуда Одинаковые треугольники разного размераТеорема доказана.

В ходе доказательства теоремы мы установили интересный факт: высота прямоугольного треугольника делит его на два подобных треугольника, каждый из которых подобен данному треугольнику. Среди всех видов треугольников такое свойство имеет лишь прямоугольный.

Пример №20

Найдите периметр прямоугольного треугольника, в котором катет равен 15 см, а его проекция на гипотенузу равна 9 см.

Решение:

Пусть в треугольнике Одинаковые треугольники разного размера Одинаковые треугольники разного размера(рис. 112).

Одинаковые треугольники разного размера

Из метрического соотношения в треугольнике Одинаковые треугольники разного размераполучаем: Одинаковые треугольники разного размераоткуда Одинаковые треугольники разного размератогда Одинаковые треугольники разного размераИз соотношения Одинаковые треугольники разного размераимеем: Одинаковые треугольники разного размераоткуда Одинаковые треугольники разного размераСледовательно, Одинаковые треугольники разного размераОдинаковые треугольники разного размера

Ответ: 60 см.

Теорема Пифагора и ее следствия

Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем геометрии — теорему Пифагора.

Теорема (Пифагора)

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Одинаковые треугольники разного размера

Согласно доказанным метрическим соотношениям в прямоугольном треугольнике с катетами Одинаковые треугольники разного размераи гипотенузой Одинаковые треугольники разного размера(рис. 117) Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Складывая эти равенства почленно, имеем:

Одинаковые треугольники разного размера

Соотношение между катетами и гипотенузой прямоугольного треугольника было известно задолго до Пифагора. Но именно Пифагору удалось доказать его, опираясь на понятие площади (к этому доказательству мы вернемся в следующей главе). Всего же на сегодня известно более 150 способов доказательства теоремы Пифагора. С некоторыми из них вы сможете познакомиться в п. 18.3.

Доказательство, которое мы рассмотрели, является по сути алгебраическим. Собственно, важность теоремы Пифагора заключается, в частности, в том, что она значительно расширяет возможности применения алгебры в геометрии.

С ее помощью можно найти любую сторону прямоугольного треугольника, зная две другие стороны. Например, если Одинаковые треугольники разного размерато

Одинаковые треугольники разного размера

Теорема Пифагора позволяет использовать для решения геометрических задач и другие алгебраические приемы, например составление уравнений.

Пример №21

Стороны треугольника равны 13 см, 20 см и 21 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к наибольшей стороне.

Решение:

Пусть Одинаковые треугольники разного размера— высота треугольника Одинаковые треугольники разного размерав котором Одинаковые треугольники разного размера(рис. 118).

Одинаковые треугольники разного размера

Поскольку Одинаковые треугольники разного размера— наибольшая сторона треугольника, то точка Одинаковые треугольники разного размералежит на этой стороне (докажите это самостоятельно). Примем длину отрезка Одинаковые треугольники разного размераравной Одинаковые треугольники разного размерасм, тогда Одинаковые треугольники разного размераПо теореме Пифагора из прямоугольного треугольника Одинаковые треугольники разного размераимеем: Одинаковые треугольники разного размераа из прямоугольного треугольника Одинаковые треугольники разного размераимеем: Одинаковые треугольники разного размерат.е. Одинаковые треугольники разного размераПриравнивая два выражения для Одинаковые треугольники разного размераполучаем:

Одинаковые треугольники разного размера

Таким образом, Одинаковые треугольники разного размера

Тогда из треугольника Одинаковые треугольники разного размерапо теореме Пифагора имеем: Одинаковые треугольники разного размера

Ответ: 12 см.

Теорема, обратная теореме Пифагора

Наряду с теоремой Пифагора не менее важной является обратная теорема. Эту теорему можно рассматривать как признак прямоугольного треугольника.

Теорема (обратная теореме Пифагора)

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный: если Одинаковые треугольники разного размера

Пусть в треугольнике Одинаковые треугольники разного размера(рис. 119, а) Одинаковые треугольники разного размераДокажем, что угол Одинаковые треугольники разного размерапрямой. Рассмотрим прямоугольный треугольник Одинаковые треугольники разного размерас прямым углом Одинаковые треугольники разного размерав котором Одинаковые треугольники разного размера(рис. 119, б). По теореме Пифагора Одинаковые треугольники разного размераа с учетом равенства двух сторон рассматриваемых треугольников Одинаковые треугольники разного размераТогда Одинаковые треугольники разного размерапо трем сторонам, откуда Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Из доказанной теоремы, в частности, следует, что треугольник со сторонами 3, 4 и 5 — прямоугольный: Одинаковые треугольники разного размераОб этом знали еще древние египтяне: для построения прямых углов на местности они делили бечевку на 12 равных частей, связывали ее концы, а потом с помощью кольев натягивали ее так, чтобы получился прямоугольный треугольник (рис. 120). Именно поэтому прямоугольные треугольники со сторонами, пропорциональными числам 3, 4 и 5, называют египетскими треугольниками. Вообще, тройки чисел Одинаковые треугольники разного размерадля которых выполняется равенство Одинаковые треугольники разного размерапринято называть пифагоровыми тройками, а треугольники, длины сторон которых являются пифагоровыми тройками,— пифагоровыми треугольниками. Попробуйте самостоятельно составить несколько пифагоровых троек чисел (поможет в этом решение задачи № 443).

Перпендикуляр и наклонная

Пусть точка Одинаковые треугольники разного размеране лежит на прямой Одинаковые треугольники разного размера Одинаковые треугольники разного размера— перпендикуляр к этой прямой (рис. 121). Любой отрезок, соединяющий точку Одинаковые треугольники разного размерас точкой прямой Одинаковые треугольники разного размераи не совпадающий с перпендикуляром, называют наклонной к прямой Одинаковые треугольники разного размераНа рисунке 121 отрезок Одинаковые треугольники разного размера— наклонная к прямой Одинаковые треугольники разного размераточка Одинаковые треугольники разного размера— основание наклонной. При этом отрезок Одинаковые треугольники разного размерапрямой Одинаковые треугольники разного размераограниченный основаниями перпендикуляра и наклонной, называют проекцией наклонной Одинаковые треугольники разного размерана данную прямую.

Одинаковые треугольники разного размера

Понятия наклонной и ее проекции взаимосвязаны с понятием перпендикуляра к прямой: невозможно указать проекцию данной наклонной, не построив перпендикуляр. Очевидно, что перпендикуляр и наклонная, проведенные из одной точки, вместе с проекцией наклонной образуют прямоугольный треугольник, в котором наклонная является гипотенузой.

Сформулируем свойства перпендикуляра, наклонных и проекций.

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

  1. любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую (рис. 122, а):
  2. равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные (рис. 122, б);
  3. большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию (рис. 122, в).

Все эти свойства следуют из теоремы Пифагора (самостоятельно объясните почему). Но некоторые из них можно также получить и из других свойств прямоугольного треугольника.

Одинаковые треугольники разного размера

Видео:Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnlineСкачать

Подобие треугольников (ч.2) | Математика | TutorOnline

Применение подобия треугольников

Свойство биссектрисы треугольника

Теорема (свойство биссектрисы треугольника)

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим к ним сторонам.

Одинаковые треугольники разного размера

По данным рисунка 123 это означает, что

Одинаковые треугольники разного размера

Пусть Одинаковые треугольники разного размера— биссектриса треугольника Одинаковые треугольники разного размераДокажем, что Одинаковые треугольники разного размера

В случае, если Одинаковые треугольники разного размераутверждение теоремы очевидно, поскольку биссектриса Одинаковые треугольники разного размераявляется одновременно и медианой. Рассмотрим случай, когда Одинаковые треугольники разного размера

Проведем перпендикуляры Одинаковые треугольники разного размерак прямой Одинаковые треугольники разного размера(рис. 124). Прямоугольные треугольники Одинаковые треугольники разного размераподобны, поскольку их острые углы при вершине Одинаковые треугольники разного размераравны как вертикальные. Из подобия этих треугольников имеем: Одинаковые треугольники разного размера

С другой стороны, прямоугольные треугольники Одинаковые треугольники разного размератакже подобны, поскольку имеют равные острые углы при вершине Одинаковые треугольники разного размераОтсюда следует что Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Сравнивая это равенство с предыдущем Одинаковые треугольники разного размерачто и требовалось доказать.

Пример №22

Найдите периметр прямоугольного треугольника, если его биссектриса делит гипотенузу на отрезки длиной 15 см и 20 см.

Решение:

Пусть Одинаковые треугольники разного размера— биссектриса прямоугольного треугольника Одинаковые треугольники разного размерас гипотенузой Одинаковые треугольники разного размера Одинаковые треугольники разного размера(рис. 125).

Одинаковые треугольники разного размера

По свойству биссектрисы треугольника Одинаковые треугольники разного размера

Тогда если Одинаковые треугольники разного размераи по теореме Пифагора имеем:

Одинаковые треугольники разного размера

Следовательно, Одинаковые треугольники разного размера

тогда Одинаковые треугольники разного размера

Ответ: 84 см.

Метрические соотношения в окружности

Теорема (о пропорциональности отрезков хорд)

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны.

По данным рисунка 126 это означает, что Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Пусть хорды Одинаковые треугольники разного размерапересекаются в точке Одинаковые треугольники разного размераПроведем хорды Одинаковые треугольники разного размераТреугольники Одинаковые треугольники разного размераподобны по двум углам: Одинаковые треугольники разного размеракак вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, а углы при вершине Одинаковые треугольники разного размераравны как вертикальные. Из подобия треугольников следует, что Одинаковые треугольники разного размерат.е. Одинаковые треугольники разного размера

Теорема (о пропорциональности отрезков секущей и касательной)

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки.

По данным рисунка 127 это означает, что Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Пусть из точки Одинаковые треугольники разного размерак окружности проведены секущая, которая пересекает окружность в точках Одинаковые треугольники разного размераи касательная Одинаковые треугольники разного размера— точка касания). Проведем хорды Одинаковые треугольники разного размераТреугольники Одинаковые треугольники разного размераподобны по двум углам: у них общий угол Одинаковые треугольники разного размераа углы Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размераизмеряются половиной дуги Одинаковые треугольники разного размера(см. опорную задачу № 230). Следовательно, из подобия треугольников получаем: Одинаковые треугольники разного размерат.е. Одинаковые треугольники разного размера

Следствие

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно.

По данным рисунка 128 это означает, что Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Метод подобия

Подобие треугольников дает ключ к решению задач на доказательство и вычисление, которые содержат соотношения между произведениями некоторых отрезков. Для этого соответствующие равенства превращают в пропорции, благодаря которым можно доказать подобие соответствующих треугольников.

Пример №23

Диагонали четырехугольника Одинаковые треугольники разного размерапересекаются в точке Одинаковые треугольники разного размераДокажите, что Одинаковые треугольники разного размера

Решение:

Перепишем данное равенство в виде пропорции Одинаковые треугольники разного размераЭлементы этой пропорции являются соответствующими сторонами треугольников Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера(рис. 129). Поскольку Одинаковые треугольники разного размеракак вертикальные, то эти треугольники подобны по двум пропорциональным сторонам и углу между ними поэтому Одинаковые треугольники разного размераНо углы Одинаковые треугольники разного размеравнутренние накрест лежащие при прямых Одинаковые треугольники разного размераи секущей Одинаковые треугольники разного размераСледовательно, по признаку параллельности прямых Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Подобие треугольников может использоваться не только как инструмент геометрических доказательств или вычислений, но и как средство для решения задач на построение. Метод подобия для решения задач на построение заключается в построении вспомогательной фигуры, подобной искомой.

Пример №24

Постройте треугольник по двум углам и биссектрисе, проведенной из вершины третьего угла.

Решение:

Анализ

Обратим внимание на то, что два данных угла (пусть они равны Одинаковые треугольники разного размераопределяют форму искомого треугольника, а длина данной биссектрисы (пусть она равна Одинаковые треугольники разного размера— его размеры.

При этом искомый треугольник будет подобен любому треугольнику с углами Одинаковые треугольники разного размераОтсюда следует план построения: строим сначала произвольный треугольник с углами Одинаковые треугольники разного размерапроводим в нем биссектрису и, пользуясь подобием треугольников, строим искомый треугольник (рис. 130).

Одинаковые треугольники разного размера

Построение:

1.Построим треугольник Одинаковые треугольники разного размерав котором Одинаковые треугольники разного размера

2.Построим биссектрису угла Одинаковые треугольники разного размера

3.Отложим на построенной биссектрисе отрезок Одинаковые треугольники разного размера

4.Проведем через точку Одинаковые треугольники разного размерапрямую, параллельную Одинаковые треугольники разного размераПусть Одинаковые треугольники разного размера— точки ее пересечения со сторонами угла Одинаковые треугольники разного размераТреугольник Одинаковые треугольники разного размераискомый.

Поскольку по построению Одинаковые треугольники разного размеракак соответственные углы при параллельных прямых. Значит, в треугольнике Одинаковые треугольники разного размера Одинаковые треугольники разного размера— биссектриса и Одинаковые треугольники разного размерапо построению, Одинаковые треугольники разного размера

Исследование

Задача имеет единственное решение при условии Одинаковые треугольники разного размераи ни одного, если Одинаковые треугольники разного размера

Итак, при решении задач на построение методом подобия следует придерживаться следующего плана.

1. Выделить из условий задачи те, которые определяют форму искомой фигуры.

2. Построить по этим данным фигуру, подобную искомой.

3. Используя условия задачи, определяющие размеры искомой фигуры, построить эту фигуру.

Среди задач на построение, связанных с подобием, одной из наиболее интересных является задача деления отрезка на две части таким образом, чтобы одна из них была средним пропорциональным между второй частью и всем отрезком. Такое деление отрезка называют делением в среднем и крайнем отношениях, или золотым сечением. Подробнее о таком делении вы можете узнать в Приложении 2.

Видео:7 класс, 14 урок, ТреугольникСкачать

7 класс, 14 урок, Треугольник

Справочный материал по подобию треугольников

Теорема о пропорциональных отрезках

Одинаковые треугольники разного размера

Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на сторонах этого угла пропорциональные отрезки:

Одинаковые треугольники разного размера

Подобие треугольников

Одинаковые треугольники разного размера
Два треугольника называются подобными, если углы одного из них соответственно равны углам другого и соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Признак подобия треугольников по двум углам

Одинаковые треугольники разного размера

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними

Одинаковые треугольники разного размера

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны

Признак подобия треугольников по трем сторонам

Одинаковые треугольники разного размера

Если три стороны одного треугольника пропорциональны трем сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны

Признак подобия прямоугольных треугольников

Если два прямоугольных треугольника имеют по равному острому углу, то такие треугольники подобны

Одинаковые треугольники разного размера

Метрические соотношения в прямоугольном треугольнике

Одинаковые треугольники разного размера

Высота, проведенная к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу: Одинаковые треугольники разного размера

Катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу: Одинаковые треугольники разного размераи Одинаковые треугольники разного размера

Высота, проведенная к гипотенузе, равна произведению катетов, деленному на гипотенузу: Одинаковые треугольники разного размера

Теорема Пифагора и ее следствия

Теорема Пифагора

Одинаковые треугольники разного размера

В прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов:

Одинаковые треугольники разного размера

Теорема, обратная теореме Пифагора

Если сумма квадратов двух сторон треугольника равна квадрату третьей стороны, то такой треугольник прямоугольный:

если Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Перпендикуляр и наклонная

Пусть из одной точки к прямой проведены перпендикуляр и наклонные. Тогда:

  • любая наклонная больше перпендикуляра и больше своей проекции на данную прямую
  • равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот: если проекции двух наклонных равны, то равны и сами наклонные
  • большая наклонная имеет большую проекцию, и наоборот: из двух наклонных больше та, которая имеет большую проекцию

Одинаковые треугольники разного размераОдинаковые треугольники разного размераОдинаковые треугольники разного размера

Свойство биссектрисы треугольника

Биссектриса треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные двум другим сторонам:

Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Метрические соотношения в окружности

Произведения отрезков пересекающихся хорд равны:

Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Произведение секущей на ее внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной, проведенной из той же точки:

Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Произведение секущей на ее внешнюю часть для данной окружности и точки вне ее постоянно:

Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Теории подобия треугольников посвящен шестой раздел «Начал» Евклида. Интересно, что, например, в геометрии Лобачевского не существует подобных треугольников, которые не были бы равны. Оказывается, что аксиома параллельных прямых в евклидовой геометрии равносильна предположению о существовании подобных, но неравных треугольников. Центральное место в евклидовой геометрии занимает теорема Пифагора. Пифагор Самосский (ок. 580-500 гг. до н. э.) долгое время жил в Египте Евклид и Вавилоне, потом поселился в городе Кротон (греческая

колония на юге Италии) и основал там так называемый пифагорийский союз. Считается, что именно от пифагорейцев происходит слово «математика» (греческое «матема» означает «наука», «познание»). Свойства треугольника со сторонами 3, 4 и 5 были известны древним египтянам и китайским ученым. Пифагор начал исследовать другие прямоугольные треугольники с целочисленными сторонами. Рассмотрев равнобедренный прямоугольный треугольник с единичными катетами, он увидел, что длина его гипотенузы не выражается целым числом — так были открыты иррациональные числа. Вскоре Пифагору удалось доказать, что сумма площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, равна площади квадрата, построенного на гипотенузе,— именно так выглядела теорема Пифагора в классической формулировке. По легенде, в честь своего открытия он принес богам в жертву сто быков.

Сегодня нельзя с уверенностью сказать, какие из открытий пифагорейцев принадлежат самому Пифагору, а какие — его ученикам. Вообще, школа Пифагора существовала достаточно закрыто и обособленно от общества. Это породило ненависть к пифагорейцам, и школа была разгромлена, а сам Пифагор вынужден был спасаться бегством, но в дороге был убит. После смерти Пифагора его ученики разбрелись по всей Греции и стали распространять его учение, которое дошло и до наших дней.

Пифагорейский союз был одновременно и философской школой, и научным сообществом, и религиозным братством, и даже политической партией. Исследования пифагорейцев охватывали и арифметику, и философию, и музыку, и астрономию.

Подробно о подобных треугольниках

Вы знаете, что в равных треугольниках равны соответственные стороны и углы. Посмотрите на рисунок 243. Углы Одинаковые треугольники разного размераравны соответственным углам Δ ABC: Одинаковые треугольники разного размера. Но стороны Одинаковые треугольники разного размерав два раза больше соответственных сторон Δ ABC: Одинаковые треугольники разного размера. Следовательно, треугольник Одинаковые треугольники разного размеране равен треугольнику ABC. Треугольники Одинаковые треугольники разного размераи ABC — подобные.

Одинаковые треугольники разного размера

Поскольку Одинаковые треугольники разного размера= 2АВ, составим отношение этих сторон: Одинаковые треугольники разного размера

Аналогично получим: Одинаковые треугольники разного размера. Каждое из этих отношений равно числу 2. Следовательно, их можно приравнять: Одинаковые треугольники разного размера

Из этого двойного равенства составим три пропорции: Одинаковые треугольники разного размера

Именно поэтому говорят, что соответственные стороны подобных треугольников пропорциональны. Их называют сходственными.

Два треугольника называются подобными, если в них соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны.

Число, которому равно отношение сходственных сторон подобных треугольников, называется коэффициентом подобия. Его обозначают буквой h.

Записываем: Одинаковые треугольники разного размераи говорим: «Треугольник Одинаковые треугольники разного размераподобен треугольнику ABC*. Знак Одинаковые треугольники разного размеразаменяет слово «подобный». Если коэффициент подобия треугольников известен, то записываем:

Одинаковые треугольники разного размера

Для подобных треугольников, как и для равных треугольников, имеет значение порядок записи вершин. Для треугольников на рисунке 243 запись Одинаковые треугольники разного размера— неверна.

Пример №25

Два треугольника на рисунке 244 подобны. Найдите длину их неизвестных сторон.

Одинаковые треугольники разного размера

Решение:

В данных треугольниках: ے A = ے ,N ےB = ے K, ے C= ے P. Составим отношение сходственных сторон: Одинаковые треугольники разного размера

Подставим известные длины сторон: Одинаковые треугольники разного размера

Приравняем первое и третье отношения, а затем — второе и третье.

Получаем: Одинаковые треугольники разного размера, отсюда АВ = 5,6 см; Одинаковые треугольники разного размера

Для того чтобы составить отношение сходственных сторон подобных треугольников:

  1. определите соответственно равные углы треугольников;
  2. выясните, какие их стороны являются сходственными;
  3. запишите равенство трёх дробей, в их числителях — стороны одного треугольника, а в знаменателях — сходственные стороны другого.

Может ли коэффициент подобия быть равным 1? Да, может. В этом случае подобные треугольники имеют равные стороны, следовательно, они равны.

Равенство треугольников — это частный случай подобия треугольников с коэффициентом k = 1.

Пример №26

Отношение периметров подобных треугольников равно отношению их сходственных сторон. Докажите это.

Решение:

Пусть треугольники АВС и Одинаковые треугольники разного размера(рис. 245) подобны с коэффициентом k.

Одинаковые треугольники разного размера

Докажем, что Одинаковые треугольники разного размера

Поскольку Одинаковые треугольники разного размерато Одинаковые треугольники разного размера

Запишем периметры подобных треугольников АВС и Одинаковые треугольники разного размераОдинаковые треугольники разного размера

1. Слово «подобный» означает «имеющий общие черты с кем-либо, чем-либо; похожий на кого-либо, что-либо». Этот термин часто используют в быту, науке, производстве. Например, эскиз треугольной косынки в масштабе 1: 10 и её выкройка в натуральную величину — это подобные треугольники. А вот выкройка и сама косынка — равные треугольники.

2. Древнегреческие математики вместо термина «подобный» употребляли слово «похожий». В отечественной математической литературе русский термин «подобие» используется с 1739 г. Знак ввёл в 1679 г. немецкий математик Готфрид Лейбниц (1646 — 1716).

Одинаковые треугольники разного размера

3. На рисунке 246 вы видите подобные треугольники АВС и НТР. Они расположены так, что их стороны параллельны, а прямые АН, ВТ и CP, проходящие через соответственные вершины, пересекаются в одной точке О. Говорят, что такие подобные треугольники ABC и НТР имеют перспективное расположение.

Понятие перспективы известно с древности, но собственно научная теория начинает интенсивно развиваться только в эпоху Возрождения. Посредством перспективы художники достигали эффекта объёмности своих холстов. Первым, кому это удалось сделать, был выдающийся флорентийский художник Джотто ди Бон-доне (1266 — 1337). Одновременно начинается поиск научных основ перспективы. Здесь первенство принадлежит также флорентийцу Филиппо Брунеллески (1377 — 1446). Учение о перспективе развивали и активно использовали в своём творчестве выдающиеся художники Леонардо да Винчи (Италия, 1452 — 1519), Альбрехт Дюрер (Германия, 1471 — 1528) и другие. Со временем из первых геометрических ростков учения о перспективе возникла новая наука — проективная геометрия. Её основателем был французский геометр, архитектор и инженер Жерар Дезарг (1591 — 1661), а развил до уровня стройной математической теории французский математик Жан Виктор Понселе (1788 — 1867).

Обобщённая теорема Фалеса

В теореме Фалеса утверждается, что параллельные прямые отсекают на сторонах угла соответственно равные отрезки. Обобщённым является случай, когда параллельные прямые отсекают на сторонах угла пропорциональные отрезки (рис. 253). Соответствующая теорема называется обобщённой теоремой Фалеса. Приведём её без доказательства.

Теорема (обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на его сторонах пропорциональные отрезки.

Обобщённую теорему Фалеса иначе называют теоремой о пропорциональных отрезках.

Следствие. Прямая, параллельная любой стороне треугольника, отсекает от него подобный треугольник.

Одинаковые треугольники разного размера

Действительно, в треугольниках ABC и MNC (рис. 254) общий угол С. Его пересекают параллельные прямые АВ и MN. С секущей АС они образуют равные соответственные углы CAB и CMN. Третьи углы треугольников также равны. Докажем пропорциональность сторон треугольников.

Одинаковые треугольники разного размера

Из обобщенной теоремы Фалеса, Одинаковые треугольники разного размера

поэтому Одинаковые треугольники разного размера

Проводим прямую NK || АС, аналогично получаем: Одинаковые треугольники разного размера. Но КА = MN, поэтому Одинаковые треугольники разного размера

Итак, в треугольниках ABC и MNC соответственные углы равны, а сходственные стороны пропорциональны: Одинаковые треугольники разного размера‘ Данные треугольники подобны по определению.

Для того чтобы доказать подобие треугольников:

  1. докажите равенство соответственных углов данных треугольников;
  2. докажите пропорциональность сходственных сторон данных треугольников;
  3. сделайте вывод: треугольники подобны по определению.

1. Может возникнуть вопрос: Как доказать обобщённую теорему Фалеса? Разделим отрезок АВ на п равных отрезков (рис. 255).

Одинаковые треугольники разного размера

Пусть длина каждого из них равна d. Тогда АВ = dn. Отложим от точки В на луче ВМ отрезки длиной d. Через все точки деления проведём прямые, параллельные ВС. Из теоремы Фалеса следует, что эти прямые отсекают равные отрезки и на стороне АС данного угла. Обозначим их длины Одинаковые треугольники разного размераНа отрезке АС их будет одинаковое количество п, поэтому АС = Одинаковые треугольники разного размераn. Пусть на отрезке ВМ помещается целое количество m таких отрезков (рис. 255). На отрезке CN их также будет m. Тогда ВМ = dm, a CN = Одинаковые треугольники разного размераm. Найдём отношение отрезков на двух сторонах угла:

Одинаковые треугольники разного размера

Мы видим, что два отношения равны одному и тому же числу Одинаковые треугольники разного размера

Следовательно, их можно приравнять: Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Пусть на отрезке ВМ помещаются т отрезков длиной dn остаётся отрезок меньшей длины, чем d (рис. 256). Это означает, что отрезок из m частей длиной d меньше отрезка ВМ, а отрезок из m + 1 частей длиной d — больше этого отрезка. Пришли к неравенству: dm ے А = ے Ау Тогда стороны АВ и АС будут лежать соответственно на лучах Одинаковые треугольники разного размера. Прямые ВС и Одинаковые треугольники разного размераcообразуют с секущей Одинаковые треугольники разного размераравные соответственные углы: Одинаковые треугольники разного размераИз признака параллельности прямых следует, что, Одинаковые треугольники разного размера

По следствию из обобщённой теоремы Фалеса, прямая ВС параллельная стороне Одинаковые треугольники разного размера, отсекает от треугольника Одинаковые треугольники разного размераподобный треугольник. Поэтому Одинаковые треугольники разного размера

Следствие. Равносторонние треугольники подобны. Действительно, в равносторонних треугольниках все углы — по 60′. Поэтому треугольники подобны по двум углам.

Пример №27

В трапеции ABCD диагонали АС и BD пересекаются в точке О (рис. 274). Докажите, что ∆АОВ

Одинаковые треугольники разного размера

Решение:

Рассмотрим треугольники АОВ и COD. В них: ے АОВ = ے COD как вертикальные, ے ОАВ = ے OCD как внутренние разносторонние при параллельных прямых АВ и CD и секущей АС. Следовательно, ∆АОВ

∆COD по двум углам.

Для того чтобы доказать подобие двух треугольников:

  1. выделите их на рисунке;
  2. докажите равенство двух пар соответственных углов;
  3. сделайте вывод: треугольники подобны по двум углам.

1. На свойствах подобных треугольников базируется принцип построения номограммы — специального чертежа, при помощи которого, не выполняя расчётов, можно найти корни некоторого уравнения. Рассмотрим задачу.

Пример №28

К заданному отрезку АВ в его концах и с М одной стороны от него проведены два перпендикуляра AM = а и BN = by а также отрезки MB и NA, пересекающиеся в точке О. Расстояние от О до АВ равно х. Найдите зависимость х от а и b.

Решение:

Пусть точка К (рис. 275) — основание перпендикуляра, проведённого из точки О к прямой АВ. По условию задачи, Одинаковые треугольники разного размера. Тогда:

Одинаковые треугольники разного размераОдинаковые треугольники разного размера

Получили уравнение, выражающее искомую зависимость. Для его приближённого решения можно на листе в клеточку или миллиметровой бумаге построить (аналогично рис. 275) отрезки о и b заданной длины и измерить расстояние х— это и будет искомый корень уравнения. Такие номограммы можно использовать в задачах по физике, в частности в разделе «Оптика».

Второй и трети и признаки подобия треугольников

Вы уже знаете, что равенство треугольников можно установить по двум сторонам и углу между ними либо по трём сторонам. Признаки подобия треугольников аналогичны. Но в данном случае нужно определить не равенство, а пропорциональность соответственных сторон двух треугольников.

Теорема (признак подобия треугольников по двум сторонам и углу между ними).

Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника и углы, образованные этими сторонами, равны, то такие треугольники подобны.

Дано: Одинаковые треугольники разного размера

Доказать: Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размераОдинаковые треугольники разного размера

Доказательство. Пусть Одинаковые треугольники разного размера. Отложим на стороне Одинаковые треугольники разного размератреугольника Одинаковые треугольники разного размераотрезок Одинаковые треугольники разного размера= АВ = с (рис. 288). Через точку В2 проведём прямую Одинаковые треугольники разного размераИмеем треугольник Одинаковые треугольники разного размера, который по следствию из теоремы Фалеса, подобен треугольнику Одинаковые треугольники разного размера.

Следовательно, Одинаковые треугольники разного размераОтсюда Одинаковые треугольники разного размера

Подставим в эту пропорцию известные длины сторон и сократим полученные дроби.

Имеем: Одинаковые треугольники разного размера. Отсюда Одинаковые треугольники разного размераИз равенства треугольников Одинаковые треугольники разного размераподобия треугольников Одинаковые треугольники разного размераследует, что Одинаковые треугольники разного размера.

Пример №29

В каждом из треугольников ABC и /?5Г(рис. 291) медиана, проведённая к большей стороне, равна половине этой стороны. Подобны ли заданные треугольники, если АС = 9, АК= 7,5, RT = б, MR = 5?

Одинаковые треугольники разного размера

Решение:

Медианы СK и ТМ отсекают от треугольников АВС и RSТсоответственно ∆АСК и ∆RTM. В каждом из них известны три стороны: АС= 9, АК= КС— 7,5; RT= 6, RM= МТ= 5.

Выясним, пропорциональны ли сходственные стороны этих треугольников: Одинаковые треугольники разного размера

Следовательно, AACK ARTM по трём сторонам. Из подобия этих треугольников следует, что ے A = ے R.

Рассмотрим ∆АВС и ∆RST. У них: ے A= ے R, Одинаковые треугольники разного размера

∆RSTno двум сторонам и углу между ними.

Решая задачи, помните:

  1. если на рисунке нет нужной пары треугольников, то для их получения проведите вспомогательные отрезки;
  2. иногда необходимо доказать подобие нескольких треугольников.

1. Вы, наверное, заметили, что признаки подобия и признаки равенства треугольников имеют много общего.

Пользуясь таблицей 19, сформулируйте попарно признак равенства и признак подобия треугольников. Чем отличаются соответствующие признаки?

Одинаковые треугольники разного размера

2. Используя признаки подобия треугольников, можно доказать, что точка пересечения высот треугольника Н, точка пересечения его медиан М и центр описанной окружности Олежат на одной прямой (рис. 292).

Одинаковые треугольники разного размера

Эту прямую называют прямой Эйлера в честь великого математика XVIII в. Леонарда Эйлера (1707 — 1783). Он родился в Базеле (Швейцария), в 1727 — 1741 гг. работал в Петербурге, затем — в Берлине, а с 1766 г. — снова в Петербурге. С его работами связаны выдающиеся достижения во всех областях математики, в механике, физике, астрономии. Теорему о прямой, получившей его имя, Л. Эйлер сформулировал, доказал и опубликовал в 1765 г.

Применение подобия треугольников

Проведём высоту CD к гипотенузе ЛВ в прямоугольном треугольнике АБС (рис. 300). Она делит гипотенузу на отрезки AD и BD, которые называются проекциями катетов на гипотенузу.

Если стороны треугольника обозначены А малыми буквами (рис. 300), то проекции катетов а и b на гипотенузу с обозначают соответственно: Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Существуют ли зависимости между проекциями катетов на гипотенузу и сторонами прямоугольного треугольника? Да, существуют.

Одна из этих зависимостей очевидна: Одинаковые треугольники разного размера. Другие зависимости требуют доказательства.

Отрезок x называется средним пропорциональным между отрезками а и b, если выполняется равенство а : х = х : b.

Из определения следует, что Одинаковые треугольники разного размера. То есть квадрат среднего пропорционального между двумя отрезками равен произведению этих отрезков. В прямоугольном треугольнике можно выделить три средних пропорциональных: высоту, проведённую к гипотенузе, и оба катета.

Теорема (о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике).

В прямоугольном треугольнике:

  1. высота, проведённая к гипотенузе, является средним пропорциональным между проекциями катетов на гипотенузу;
  2. катет является средним пропорциональным между гипотенузой и его проекцией на гипотенузу.

Дано: ∆АСВ (рис. 301), ے C= 90°, СH— высота.

Доказать: Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Доказательство.

1) Одинаковые треугольники разного размерапо двум углам.

Действительно, они имеют по прямому углу и ے ACH— ے CBH

Из подобия треугольников следует: Одинаковые треугольники разного размераОтсюда Одинаковые треугольники разного размера= Одинаковые треугольники разного размера.

2) Каждый из треугольников АНС и СНВ подобен заданному треугольнику АСВ. Это следует из равенства их соответственных углов. Тогда получим:

Одинаковые треугольники разного размера

Следствие. Проекции катетов на гипотенузу относятся, как квадраты катетов.

Действительно, по теореме о средних пропорциональных в прямоугольном треугольнике, квадраты катетов соответственно равны Одинаковые треугольники разного размера(рис. 302).

Одинаковые треугольники разного размера

Поэтому Одинаковые треугольники разного размера

Вы знаете, что биссектриса треугольника делит его угол пополам. Существует ли зависимость между отрезками, на которые биссектриса делит противолежащую сторону треугольника? Да, существует.

Пример №30 (свойство биссектрисы треугольника).

Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на отрезки, пропорциональные прилежащим сторонам. Докажите это.

Решение:

Пусть в треугольнике ABC (рис. 303) проведена биссектриса AL АС

Надо доказать, что Одинаковые треугольники разного размера

Одинаковые треугольники разного размера

Из точек А и В проводим перпендикуляры AM и BN к прямой CL.

Одинаковые треугольники разного размераno двум углам. В них: Одинаковые треугольники разного размера, поскольку CL — биссектриса ے С. Отсюда Одинаковые треугольники разного размера Одинаковые треугольники разного размерапо двум углам.

В них: ے AML = ے BNL = 90°, ے ALM— ے BLN как вертикальные.

Отсюда Одинаковые треугольники разного размера(2)

Из равенств (1) и (2) получим: Одинаковые треугольники разного размера

Подобие треугольников используют не только в задачах на доказательство или вычисление, но и на построение.

Пример №31

Постройте треугольник по двум углам А и С и биссектрисе I угла В.

Одинаковые треугольники разного размераОдинаковые треугольники разного размера

Решение:

Анализ (рис. 304). Углы А и С определяют треугольники, подобные искомому, а биссектриса — размеры искомого треугольника.

Пусть Одинаковые треугольники разного размера— искомый. Опустим требование задачи, что I — биссектриса ے B, то есть Одинаковые треугольники разного размера= I. Тогда можно построить вспомогательный Одинаковые треугольники разного размерапо двум заданным углам А и С. Через точку Одинаковые треугольники разного размерана биссектрисе ے В ( Одинаковые треугольники разного размера= I) проходит прямая Одинаковые треугольники разного размера, отсекающая от треугольника ABC подобный ему треугольник. Следовательно, вершины Одинаковые треугольники разного размера, искомого треугольника являются точками пересечения прямой С, со сторонами ВА и несоответственно вспомогательного Одинаковые треугольники разного размераАВС.

Построение.

  1. Строим вспомогательный ∆ABC двум углам А и С.
  2. Проводим биссектрису BL угла В.
  3. На луче BL откладываем отрезок Одинаковые треугольники разного размера= I.
  4. Через точку Одинаковые треугольники разного размера, проводим прямую Одинаковые треугольники разного размера.

Доказательство.

По построению, в треугольнике Одинаковые треугольники разного размера: ے At = ے A, ے CX = ے C, BLy — биссектриса угла В и Одинаковые треугольники разного размера= I. Следовательно, Одинаковые треугольники разного размера, — искомый.

Дано:

Способ применения подобия треугольников в задачах на построение называют методом подобия.

Для того чтобы решить задачу на построение треугольника методом подобия:

  1. выделите из условия задачи те данные, которые определяют форму искомого треугольника;
  2. постройте по этим данным вспомогательный треугольник, подобный искомому;
  3. постройте искомый треугольник, используя те заданные условия, которые определяют его размеры.

1. Важные свойства имеет биссектриса внешнего угла треугольника.

Если треугольник равнобедренный, то биссектриса внешнего угла параллельна основанию (рис. 305). Если треугольник не равнобедренный, то биссектриса его внешнего ума пересекает противолежащую сторону в точке, расстояния от которой до вершин этой стороны пропорциональны прилежащим сторонам треугольника.

Пусть ABC — заданный треугольник (рис. 306), биссектриса его внешнего угла КВС пересекает продолжение стороны АС в точке D. Докажем, что DC: DA= ВС: ВА. Выполним вспомогательное построение: проведём СМ || BD. Две параллельные прямые пересекают стороны угла А, поэтому, по обобщённой теореме Фалеса, А С : CD = А М: MB, либо AD: CD=AB: MB.

Одинаковые треугольники разного размераОдинаковые треугольники разного размера

Но МВ= СВ, поскольку ∆ВСМ— равнобедренный.

Действительно, в нём ے 3 = ے 4, так как ے 1 = ے 2 (BD— биссектриса ے KBC);

ے 1 = ے 3 как соответственные (BD II СМ, АВ — секущая);

ے 2 = ے 4 как внутренние накрест лежащие (BD || СМ, ВС — секущая).

Следовательно, AD : CD = АВ : СВ, то есть DC: DA = ВС: ВА.

Рассмотрите самостоятельно случаи, когда треугольник ABC— остроугольный

2. Значительный вклад в развитие теории геометрических построений сделал известный украинский математик Александр Степанович Смогоржевский.

Рекомендую подробно изучить предметы:
  • Геометрия
  • Аналитическая геометрия
  • Начертательная геометрия
Ещё лекции с примерами решения и объяснением:
  • Решение прямоугольных треугольников
  • Параллелограмм
  • Теорема синусов и теорема косинусов
  • Параллельность прямых и плоскостей
  • Трапеция и ее свойства
  • Площадь трапеции
  • Центральные и вписанные углы
  • Углы и расстояния в пространстве

При копировании любых материалов с сайта evkova.org обязательна активная ссылка на сайт www.evkova.org

Сайт создан коллективом преподавателей на некоммерческой основе для дополнительного образования молодежи

Сайт пишется, поддерживается и управляется коллективом преподавателей

Whatsapp и логотип whatsapp являются товарными знаками корпорации WhatsApp LLC.

Cайт носит информационный характер и ни при каких условиях не является публичной офертой, которая определяется положениями статьи 437 Гражданского кодекса РФ. Анна Евкова не оказывает никаких услуг.

📽️ Видео

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольникаСкачать

7 класс, 17 урок, Медианы, биссектрисы и высоты треугольника

ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрияСкачать

ТРИ ПРИЗНАКА РАВЕНСТВА ТРЕУГОЛЬНИКОВ НА ЕГЭ #shorts #математика #егэ #огэ #профильныйегэ #геометрия

Сила формы треугольника. Жёсткая фигура и прочная конструкция. Физика. ГеометрияСкачать

Сила формы треугольника. Жёсткая фигура и прочная конструкция. Физика. Геометрия

Две задачи по геометрии за 7 класс на тему: "Треугольники"Скачать

Две задачи по геометрии за 7 класс на тему: "Треугольники"

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.Скачать

Высота, биссектриса, медиана. 7 класс.

Второй признак равенства треугольников. 7 класс.Скачать

Второй признак равенства треугольников. 7 класс.
Поделиться или сохранить к себе: