Этот онлайн калькулятор выводит уравнение окружности, проходящей через три заданные точки
Этот онлайн-калькулятор находит окружность, проходящую через три заданные точки. Калькулятор находит центр, радиус и уравнение окружности, и строит окружность на графике. Методы, использованные для нахождения центра и радиуса окружности, описаны ниже под калькулятором.
Уравнение окружности, проходящей через три заданные точки
Первая точка
Вторая точка
Третья точка
Центр
Как найти окружность, проходящюю через три заданные точки
Давайте вспомним как выглядит уравнение окружности в стандартной форме:
Так как все три точки принадлежат одной окружности, мы можем записать систему уравнений
Значения , и мы знаем. Давайте сделаем подстановку с неизвестными переменнами a, b и c.
Теперь у нас есть три линейных уравнения для трех неизвестных — составим систему уравнений соответствующую матричной форме:
Мы можем решить эту систему уравнений, используя, к примеру, Гауссово исключение. (подробнее прочитать об этом можно здесь — Решение системы линейных алгебраических уравнений методом Гаусса ). «Нет решений» — означает, что точки коллинеарны и окружность через них провести нельзя.
Координаты центра окружность и ее радиус относится к подобному решению
Зная центр и радиус, мы можем получить уравнение окружности, используя этот калькулятор — Уравнение окружности по заданному центру и радиусу в различных формах
Найти центр и радиус окружности
Если окружность задана уравнением вида
найти центр (a;b) и радиус R такой окружности несложно.
Определить по уравнению окружности координаты её центра и радиуса:
Таким образом, центр данной окружности — точка (3;7), радиус R=2.
a=-2, b=5, R²=1. Окружность с центром в точке (-2;5) и радиусом 1.
Центр окружности — (0;-3), радиус R=3.
Центр — в точке (6;0), радиус R=√5.
Это уравнение задаёт окружность с центром в начале координат. Центр — O(0;0), радиус R=√11.
Чтобы найти центр и радиус окружности, заданной уравнением вида
нужно дополнить его до полных квадратов, чтобы привести к привычному виду.
Для этого сначала сгруппируем слагаемые
затем прибавим и вычтем квадрат второго слагаемого из формулы квадрата разности (2ax- удвоенное произведение первого слагаемого на второе. Первое — x, второе — a)
При a²+b²-c>0 это уравнение задаёт окружность с радиусом
При a²+b²-c=0 уравнению удовлетворяют координаты единственной точки (a;b).
При a²+b²-c 
Выделяем в уравнении полные квадраты. В первых скобках удвоенное слагаемое 10x представляем как 10x=2·a·5 (чтобы получить 2ab для формулы a²+2ab+b²=(a+b)²). Получается, что b=5. Если прибавить и вычесть b², результат не изменится:
Центром этой окружности является точка (-5;3), радиус R=7.
Центр окружности — точка (2,5;0), радиус R=1,5.
Уравнение окружности по трем точкам
Калькулятор расчета онлайн уравнения окружности по трем заданным точкам, а также нахождение координат точки центра и радиус окружности.
Уравнение окружности
r 2 = (x — h) 2 + (y — k) 2
- h,k — координаты центра Окружности
- x,y — координаты точки окружности
- r — радиус
Пример
Найдите координаты точки центра окружности, радиус и уравнение окружности, если известны координаты трех точек A (2,2), B (2,4) и C (5,5)
Решение :
Подставляем координаты точек в формулу
- (2 — h) 2 + (2 — k) 2 = r 2
- (2 — h) 2 + (4 — k) 2 = r 2
- (5 — h) 2 + (5 — k) 2 = r 2
Шаг :2
Найдем значение k упрощая 1 и 2 уравнения
- (2 — h) 2 + (2 — k) 2 = (2 — h) 2 + (4 — k) 2
- 4 — 4h + h 2 + 4 — 4k + k 2 = 4 — 4h + h 2 +16 — 8k + k 2
- 8 — 4k = 20 — 8k
- k= 3
Шаг :3
Найдем значение h упрощая уравнения 2 и 3
- (2 — h) 2 + (2 — k) 2 = (5 — h) 2 + (5 — k) 2
- 4 — 4h + h 2 + 4 — 4k + k 2 = 25 — 10h + h 2 + 25 — 10k + k 2
- 8 — 4k — 4h = 50 — 10h — 10k
- 6k + 6h = 42
Подставив значение k=3 в уравнение
Получаем координаты точки центра (h,k) = ( 4,3 )
Шаг :4
Подставим значения h,k в формулу
- r 2 = (x — h) 2 + (y — k) 2
- r 2 = (2 — 4) 2 + (2 — 3) 2
- r 2 = (-2) 2 + (-1) 2
- r 2 = 5
- r = 2.24
Шаг :5
Подставим значения h, k в уравнение окружности
(x — h) 2 + (y — k) 2
Уравнение окружности = (x — 4) 2 + (y — 3) 2