Теорема
| Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну. |
- Доказательство
- Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
- Около любого многоугольника можно описать окружность
- Окружность, описанная около правильного многоугольника
- Доказательство
- Около любого многоугольника можно описать окружность
- Описанная и вписанная окружность
- теория по математике 📈 планиметрия
- Описанная окружность
- Вписанная окружность
- Вписанный и описанный треугольники
- Вписанный и описанный четырехугольники
Доказательство
Дано: А1А2А3. Аn — правильный многоугольник.
Доказательство:
Пусть точка О — точка пересечения биссектрис углов А1 и А2. Соединим точку О отрезками с остальными вершинами многоугольника и докажем, что ОА1 = ОА2 = . = ОАn.
А1А2А3. Аn — правильный многоугольник, значит, 
А1 = А2, тогда 1 = 3 (т.к. ОА1 и ОА2 биссектрисы равных углов А1 и А2), следовательно,
А1ОА2 — равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), поэтому ОА1 = ОА2.
А1ОА2 = А2ОА3 по двум сторонам и углу между ними (А1А2 = А2А3 как стороны правильного многоугольника, ОА2 — общая, 3 = 4, т.к. ОА2 биссектриса угла А2), следовательно,
ОА1 = ОА3. Аналогично можно доказать, что ОА2 = ОА4, ОА3 = ОА5 и т.д.
Итак, ОА1 = ОА2 = . = ОАn, значит, точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. Поэтому окружность с центром О и радиусом ОА1 является описанной около многоугольника А1А2А3. Аn.
Докажем, что описать можно только одну окружность.
Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника А1А2А3. Аn, например, А1, А2, А3. Мы можем начертить только одну окружность одновременно проходящую через три точки А1, А2, А3 (смотри доказательство), т.е. другой окружности проходящей через три данные точки не существует, значит, около многоугольника А1А2А3. Аn можно описать только одну окружность, т.к. точки А1, А2, А3 — вершины данного многоугольника. Теорема доказана.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Около любого правильного многоугольника можно описать окружность
Какие из следующих утверждений верны?
1) Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.
2) Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.
3) Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.
4) Около любого ромба можно описать окружность.
Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.
Проверим каждое из утверждений.
1) «Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.»— верно, около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
2) «Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.» — верно, треугольник с такими сторонами является прямоугольным, таким образом, центр окружности лежит на гипотенузе.
3) «Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.» — верно, диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, таким образом, центром окружности является точка пресечения диагоналей.
4) «Около любого ромба можно описать окружность.» — неверно, чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо, чтобы сумма противоположных углов четырёхугольника составляла 180°. Это верно не для любого ромба.
Около любого многоугольника можно описать окружность
Окружность, описанная около правильного многоугольника
Теорема
| Около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну. |
Доказательство
Дано: А1А2А3. Аn — правильный многоугольник.
Доказательство:
Пусть точка О — точка пересечения биссектрис углов А1 и А2. Соединим точку О отрезками с остальными вершинами многоугольника и докажем, что ОА1 = ОА2 = . = ОАn.
А1А2А3. Аn — правильный многоугольник, значит, А1 = А2, тогда 1 = 3 (т.к. ОА1 и ОА2 биссектрисы равных углов А1 и А2), следовательно,
А1ОА2 — равнобедренный (по признаку равнобедренного треугольника), поэтому ОА1 = ОА2.
А1ОА2 = А2ОА3 по двум сторонам и углу между ними (А1А2 = А2А3 как стороны правильного многоугольника, ОА2 — общая, 3 = 4, т.к. ОА2 биссектриса угла А2), следовательно,
ОА1 = ОА3. Аналогично можно доказать, что ОА2 = ОА4, ОА3 = ОА5 и т.д.
Итак, ОА1 = ОА2 = . = ОАn, значит, точка О равноудалена от всех вершин многоугольника. Поэтому окружность с центром О и радиусом ОА1 является описанной около многоугольника А1А2А3. Аn.
Докажем, что описать можно только одну окружность.
Рассмотрим какие-нибудь три вершины многоугольника А1А2А3. Аn, например, А1, А2, А3. Мы можем начертить только одну окружность одновременно проходящую через три точки А1, А2, А3 (смотри доказательство), т.е. другой окружности проходящей через три данные точки не существует, значит, около многоугольника А1А2А3. Аn можно описать только одну окружность, т.к. точки А1, А2, А3 — вершины данного многоугольника. Теорема доказана.
Поделись с друзьями в социальных сетях:
Около любого многоугольника можно описать окружность
Какие из следующих утверждений верны?
1) Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.
2) Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.
3) Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.
4) Около любого ромба можно описать окружность.
Если утверждений несколько, запишите их номера в порядке возрастания.
Проверим каждое из утверждений.
1) «Около любого правильного многоугольника можно описать не более одной окружности.»— верно, около любого правильного многоугольника можно описать окружность, и притом только одну.
2) «Центр окружности, описанной около треугольника со сторонами, равными 3, 4, 5, находится на стороне этого треугольника.» — верно, треугольник с такими сторонами является прямоугольным, таким образом, центр окружности лежит на гипотенузе.
3) «Центром окружности, описанной около квадрата, является точка пересечения его диагоналей.» — верно, диагонали квадрата точкой пересечения делятся пополам, таким образом, центром окружности является точка пресечения диагоналей.
4) «Около любого ромба можно описать окружность.» — неверно, чтобы около четырёхугольника можно было описать окружность, необходимо, чтобы сумма противоположных углов четырёхугольника составляла 180°. Это верно не для любого ромба.
Описанная и вписанная окружность
теория по математике 📈 планиметрия
Описанная окружность
Окружность называется описанной вокруг многоугольника, если все вершины многоугольника принадлежат этой окружности. Многоугольник в этом случае называется вписанным в окружность.
Любой правильный многоугольник можно вписать в окружность. На рисунке описанная окружность проходит через каждую вершину правильного шестиугольника.
Вписанная окружность
Окружность называется вписанной в многоугольник, если она касается всех его сторон. Многоугольник в этом случае называется описанным около окружности.
В любой правильный многоугольник можно вписать окружность. На рисунке окружность вписана в правильный шестиугольник, она касается всех его сторон.
Вписанный и описанный треугольники
Центр описанной около треугольника окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведенных к сторонам треугольника.
В любой треугольник можно вписать окружность: 
Центр вписанной окружности
Центр окружности, вписанной в треугольник, лежит на пересечении его биссектрис.
Вписанный и описанный четырехугольники
Не во всякий четырехугольник можно вписать окружность. Например, в прямоугольник нельзя вписать окружность. По рисунку видно, что окружность касается только трех его сторон, что не соответствует определению.
Условие вписанной в 4-х угольник окружности
Окружность является вписанной в четырехугольник, если суммы длин противоположных сторон равны.
На рисунке выполняется данное условие, то есть AD + BC=DC + AB
Окружность является описанной около четырехугольника, если суммы противоположных углов равны 180 градусов.
На рисунке окружности описана около четырехугольника, следовательно выполнено условие, что сумма углов А и С равна сумме углов B и D и равна 180 градусов.